장음표시 사용
321쪽
esse radicem in fractionibus decimalibus S. a thm.), continuata ope ratione ad tot loca, quot visuna fuerit. Quodsi hanc dilidas per Α, habebis ἱέ Isa, consequenter numerum , a quo summa terminorum signo negativo assectorum subtrahenda venit. Dividatur jam cadem radix pers , s sive SI, s 3 sive 7 as, &c. ut habeatur- I sa, - V Isa Δ9 s s3V Isa , aut, quod perinde est, quotus anterior semper per s, pro obtinendo proxime sequente. Porro numerus --Isa multiplicetur per
3 , & factuin dividatur per Is, ita
prodibit numerus respondenS --- .s
V ror multiplicetur per 1 & factum
dividatur per 53, ut prodeat nume rus -- Isa I atque ita por-63. svro. Quodsi enim terminos hosce, in unam summam collectos, subtrahas a numero e Isa , relinquetur numerus peripheriae circuli respondens , posita diametro I. Cum sit Vrsa - I3. 816qo666oyy Io I 8
ita porro, Disitired by Cooste
322쪽
323쪽
Series haec cum numeris L UDoL- si quis seriem Dismtianam in fracilio- pH I prorsus consentit : notae enim nes decimales resolvere vellet, multo ultimae non habetur ratio , quia ac- prolixiore calculo haberet opus, an- curata non est, saltem dubia, propte- tequam peripheriam circuli ad tot rea quod ignoratur, qualis sit proditu- loca produceret. rus, si calculus produceretur, Equi- S. a s. Quamvis autem ex allatodem calculus hic videtur admodum exemplo abunde perspiciatur, quo- prolixus ; quod si tamen quis eundem modo seriebus infinitis sit utendum; conferre volucrit cum calculo LU- non inconsultum tamen existimamus DoL p ut in Libro de csrculo se ari alterum adhuc addere exemplum. Ieripiis, facile intelligit, quanto LudoL Si sinus arcus sit 3, sinus totus seu rasit operosior&molestior. Immo dius circuli I , crit arcus
324쪽
cis. IV DE STUDIO ALGEBR AD. 3i3
in infinitum ; consequenter si diameter fuerit I , eadein series exprimit arcum fio'. Quodsi ergo terminum primum ducas in o , & qui hinc prodit 3 , in α' coefilaientem secundi,
ut habeas - , obtinebitur series pro
enim hic opus cst, ut termini singuli multiplicentur per 5 ; quia sequentem semper ingreditur proxime princedens ; adeoque primus, qui est sextuplus primi in anteriore serie,
terminos omnes sequentes. Non igitur alia re opus est , quam ut resolvas in fractionem decimalem Ia Inoo Oo Oo oo oo oo oo, ut habeas terminum secundum . hunc porro ducas in-- sive - , hoc est, mul- ε, .ss Sotiplices per o & dividas per go, ut obti
tertium vero ducas in--, seu mul-6. 7. Φtiplices per 23, & dividas per I 68 ,
ut , prodeat quartus et os 2633sa SITI 28; & ita porro. Quodsi enim terminos omnes addas , aggregatum erit periphcria circuli, cum rumoris dolphinis consentiens. Sane si quatuor saltem terminos addis, posita diametro Ioo oo , prout hic iactum esse vides,
habebimus pro peripheria 3I r.
cum nota ultima non sit accurata.
Reperitur adeo ratio diametri ad peripheriam ut Io oo ad 31 I cum Ludolphnus numeris consenticns. Nisi adeo fractiones decimales ad multa loca cxtcndet e volucris, sed in paucis numeris acquicscas, quemadmodum secere ARCHIMEDES, PTOLOMAEUs, alii; exiguo tantum calculo opus est. Similiter brevi calculo iidem numeri invcniri poterant cxserie praeccdente. Cum enim sit
325쪽
314 DE STUDIO MATHEs Eos RECTE INSTIT.
qua quatuor numeri 3IAI, ut ante, cum Ludo hixis consentiunt.
S. a Ao. Quod si resolutio serierum infinitarum hic data probe perpendatur; nullus dubito fore ut, in s riebus ad usum aptandis, nihil post. hac supersit difficultatis. Inprimis autem hinc perspicitur, quantum intersit , ut lex progressionis in infinitum sit manifesta ; ne multo labore demum investigandi sint termini, quibus habemus opus, & ut termini sequentes inveniantur eκ antecedentibus ; sive id fiat per dependentiam eorundem a se invicem in formula generali, quemadmodum in exemplo altero S. 241 , sive id singulari quadam ratione contingat in casu particulari , quemadmodum in exemplo primo S. aqq). Intelligimus ctiam quanta, in tractandis altioribus, attentione opus sit ad maxime vulgaria, ne ea eidem sese subducant, & per ambages incedamus, ubi brevior ducit ad scopum via. Ex. gr. notissimum est eκ communi Algorithmo fractorum, si ἱ dividas per se , quotum esse -; si porro dividas per
s, quotum este -& sic porro in im finitum. Enimvero , si in exemplo primo huc animum minime advertas,& V isa sive i3. 83 6qo666o ID 183 8 ars dividere velis per 9, pers sive 8 i , per s3 sivc a s & ita
porro,operose calculo invenies numeros A, B, C, D &c. qui, continua divisione antecedentis per si multo facilius eruuntur. Immo si quis una divitione terminum quemcunque resolvere vellet, V. gr. secundum -- V isa sve
videndo per i 33 ; in ambagcs multo longiores incideret; adhuc longiores futuras, si terminus quilibet reduceretur ad pure irrationalcm & ex eo extraheretur radix , veluti si fieret
est, talia inutiliter moneri: nisi enim ad ea animum reflectamus, ubi obvia sunt, attentioni nostrae sese subducent, ubi magis latent. Illustria dare poteramus exempla, nisi nostrum foret ab invidiosis abstinere, quae nulla neceLsitas imperat. Ad vitandam itaqueasMψιάν si dato opus est animo; ne ala petitus influat in determinationem operationum intellectus, in qua nullae
326쪽
c p. IV DE STUDIO ALGEBRR. 3IT
hul libi negligendae sunt,ubi carum pamticipes fieri possumus ; pra sertim siquis philosophari constituit, & ad vitae
perfectionem tanquam ad scopum tendit. Diximus insuper, quam disticile sit de praerogativa formulae unius praealtera statuere, nisi utriusque resolutione observatis omnibus, quae observari possunt, facta. Sanc si formula post
riore utaris pro circulo,& terminos resolutos sibi invicem legitime subordines, & idem facias cuin priori; videbitur posterior priori longe anteponenda. Enimvero si totam Opcrationcm in casu priori conferas cum tota in altero ; praesertim ubi divisionem per novenarium transmutes in substractioncm S. I i5 Arium.); longe aliter senties. Nolo addere plura, ne videar in levioribus commendandis nimius; praesertim iis, qui, cum in calculis consenescere decreverint, nec studii Matheseos utilitatem cxtra Mathcsin qua rant, illorum fructum prospicere nequeant.
S. 2 7. In capite de cubatione solidorum & complanatione superfici
rum tantummodo notandum est, quomodo elementa solidorum & superficierum eorundem inveniantur ; &quomodo per calculum summatorium, eruta Iiditate vel superficie corporis rotundi , investigentur per calculum litoralem theoremata praxi inservicntia. Inprimis hic attentionem meretur , quomodo solidum unum transformetur in aliud ipsi aequale. Ea cum facilia sint, pauca tantummodo speciminis loco exhibuimus , cum unusquisque per se plura addere possit.
S. I 8. Methodus tangentium inversa maximae utilitatis est in sublimio ribus, atque ideo maximam quoque meretur attcntionem. Ejus saltem primas lineas duximus ; ut nascatur methodi hujus idea in animis tyronum ne haesitent in problematis, quae in Mechanica traduntur. Duo autem hic praeceteris notanda sunt; primum quom do constructio aequationum reducatur ad quadraturam curvarum simpliciorum & carundem rectificationem, ut appareat, quomodo solvantur probi mala. supposita quadpatura curvae vclreetificatione arcus ; deinde quomodo ex aequatione differentiali ad lo-garithmicam deducatur modus differentiandi quantitates, quas togarithmi ingrediuntur S. a 3 AMAEI. in . . Hujus enim usus insignis est in inveniendis logarithmis, tam numerorum vulgarium, quam sinuum, atque tangentium ; quemadmodum capite sexto docetur. Eodem quoque artificio nititur calculus exponentialis, quem integra sectione tertia cxposuimus, &constructio curvarum exponentialium,
ope togarithmicae , atque quantitatum, quas togarithmi ingrediuntur ;cujus exempla dedimus capite altero hujus sectionis. Hinc vero eluincet insignis lineae togarithmicae utilitas, quam nemo praevidere poterat, iis probe notanda, qui ad tertium cognitionis gradum adspiranti Ratio-R r a nem
327쪽
nem jam dedimus in superioribus S. I 76 .
s. aq9. Artificia, quibus utimur in investigando modo disserentiandidisserentialia S. 29 7 Anal. in . , eadem sunt , quae ante adhibuimus ad investigandas regulas disserentiandi quantitates finitas , & quae jam
nobis innotuere in calculo litorali, ubi algorithmum fi actorum ex algorithmo integrorum , & algorithmum irrationalium ex algorithmo rationalium deduximus , ut adeo hinc appareat , quomodo quae vulgaria videntur, haud raro prosint ad altiora;& quam utile sit ad artificia, quibus
utimur in facilioribus , animum attendere, ne impervia nobis videantur magis ardua. Cum Methodus determinandi puncta flexus contrarii curvarum non minus utilis sit , adductum curvarum repraesentandum, quarum praeter aequationem nihil novimus, quam methodus de maximis& minimis , & methodus determinandi puncta, in quibus curva rectam positione datam secat, quam in superioribus illustravimus ; illa vero a calculo differentiali pendeat; eandem quoque exemplis nonnullis illustrare lubuit. Et si enim curva int gra nondum construi possit ; ope tamen punctorum , quae per eas methodos determinantur, ductum ejus imaginari licet. Exempla Occurrent in Mechanica. S. aso. In doctrina de evolutione curvarum , quam capite tertioi proponimus, notatu maxime dignumi est, quod cyclois sua exolutione s ipsam describat 9. 33o anal. inuis. ,
cum hoc faciat ad perfectionem m tus penduli, quo horologia autom ta ad maximam perfectionem perducuntur, quemadmodum in Mechanicis demonstratur. Sane ea ipsa permovit Hu GENIUM, ut de cvolutione curvarum cogitaret, sicuti excgregio Mathematici summi Tractatu de horologio oscissatorio intelligitur. Notandum praeterra , quod inserviat rectificationi curvarum , & ipsam
curvedinem curvae discernat; ut arcus circuli Osculatoris pro arcu cum
vae alterius in praxi substitui possit
S. 33 I Anat. is . . Applicatio calculi differentialis in hoc argumento nihil habet , quod non sit ex anterioribus manisestum. Hoc tamen aia huc attentionem meretur, quod de
terminatio radii osculi, seu evolutae, interdum faciat ad theoremata selecta eruenda , quemadmodum exemplo
logarithmicae docemus S. 33a Anac
S. 23 I. Arithmetica infinitorum, invento calculo disserentiali & summatorio , non amplius eum habet usum quem habere poterat, si is nondum fuisset inventus. Eam tamen praetermittendam esse non duximus , ne quod sit inventum, celebre inter recentiores Mathematicos nomen adeptum, quod a nobis non illustretur. Etsi autem pauca tantummodo de ea tradidisse videamur, plura in
328쪽
men dedimus, quam in prolixo ope
M i u s in Afri ψs enucleata; sed cum esset artificiorum recentiorum ignarus, quod sibi proposuerat non perfecit. Quae de termino ultimo seriei continuatae evanescente notanda sunt, satis perspicue exposuimus s. 347 Anal. in . , ut plura eam in rem annotari minime sit opus. Ratio, cur usum Arithmeticae infinitorum extendi quasi in infinitum licuerit
ultra terminos , intra quos a B U L-LIALDo coercetur, in summatione
potentiarum & numerorum pyrami-dalium consistit , quam in Analysi finitorum universali quadam ratione abisivimus g. a oo ct q. & S. a ro). In Arithmetica enim infinitorum s
miordinatae curvarum spectantur tanquam in certa numerorum serie
progredientium, veluti potentiarum dati cujusdam gradus in curvis parabolici generis S. 349, 3 SO MAEI. insin. . Unde analysi ad analysin
Veterum propius accedente, quadraturae curvarum quadrabilium ded cuntur in Arithmetica infinitorum. Atque hoc artificium heuristicum notari meretur.
S. 1s a. Echanica a Veteribus i. 1 inventa fuit in usum
machinarum : Veteres enim laudabili exemplo in theoria semper respiciebant ad usum in praxin ; quippc cum in omni theoriar gcnere intendendast praxis, quemadmodum in Philosophia sedulo inculcamus. Primas ejus lineas duxit ARCHi MEDEs in libris de aequiponderantibus, nec ultra eos terminos progressi sunt Mathematici usque ad GALILAEUΜ. Quoniam machinae omnes ex paucis quibusdam machinis simplicibus componuntur, quas potentias mechani. cas appellare solent, nos machinas simplices diximus; in Mechanica non considerarunt nisi machinas simplices,
vectem , axem in peritrochio, trochleam, cochleam, planum inclinatum& cuneum , quarum theoriam amplissimam , sed nimis dimiam dedit
VARI GNON ius in opero posth mo. Considerarunt autem machinas
hasce simplices in statu aequilibrii, in quo non nisi adest conatus ad mo
L Et B N 1 T l V s , propterea quod sublato aequilibrio , dum potentia motrix augetur, nascitur motus dbversae celeritatis , pro diverso illius incremento , seu excessu potentia
329쪽
3i8 DE SΤUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
motricis supra pondus movendum. In deost quod, in agitandis machinis,
non modo potentiae motrices conferantur cum pondere movendo I Ve-riun etiam ipsa mei ad pondus ipsis aequale , & resistentiae in motu machinarum superandae ad pondus aequi
tiae cuilibet motrici, quoad enectum,
substitui potest aliquod pondus , vi
gravitatis , qua ad descensum urg tur in machinam agens, seu eandem animans ; & rellitentiis supcrandis sibstituere licet pondus candem potentiam motricem rcquircns , si clevari debet. Atque haec probe notanda sunt tyronibus, ut & mentem Veterum plenius assequantur , & in applicatione theoriar machinarum simplicium ad praxiii, hoc est, ad machinas compositas cxplicandas nihil sentiant dissicultatis. Patet hinc, quod L E i 3 N I T s V s asseruit, Veteres nonnisi vis mortuae notionem habuisse. G AL ILA ti s in Dialogis de motu ulterius primum progressus, &motum gravium descendentium , &projectorum explicare coepit o non infeliciter : eum vero in finem praemisit theoriam motus aequabilis. Attingit etiam nonnulla de motu pendulorum , sed quasi obiter. Accuratius vero, & data Opera, in eumdem inquisivit HusEMlus in Tractatu de Horologio osciliatorio, & theoriam inprimis centri oscillationis superaddidit. Occasione motus pen-aulorum idem incidit in vim centrifugam , quam in circulo ad evamen revocavit, adjectis in fine Tractatus de horologio oscillatorio theorematis de vi centrifuga , quorum demonstrationcs demum publici juris iactae sunt in posthumis. Inde
NEw TONUs vires centrales, tam centripetas , quam centrifugas considerare coepit otiain in curvis aliis , prasertim centripctis , & ad explicandum motum Planetarum theo riam transtulit , in Principiis Philosephia naiuratis mathematicis. C ΑRTEs I U s, in Principiis Philosephia , leges motus ex percussione cxplicare aggrediebatur, sed non satis feliciter, cum ad teritatem liquidam pertingere non potucrit. Postea vero WALLIs Io, CHRIs TOPHORO REM, HuGENlo negotium felicius cessit; quorum ille leges motus corporum non elasticorum, hi vero corporum clasticorum bene explicarunt. Quoniam aut m motus corporum diminuuntur propter resistentiam medii , in quo movcntur a in eandem quoque inquirere coepit UALLI-s i u s ; deinde vero hoc argumentum ulterius prosecutus cst NEw T
Nus in Principiis modo laudatis. Denique , cum calculus d flarentialis esset inventus , & a Geometris praeclaris, quos inter cminent B E R- NOU LLII fratres , ad solutionem problematum physico-mechanicoi iam tranSserrctur; descensus & ascensus corporum in lineis curvis expendi coepit. Atque sic tandem latissimus evasit
330쪽
evasit Mechanicae campus, qui arciis nimium limitibus a Veteribus includebatur. Nos igitur Elementa M chanicae daturi, quae satisfacerent,
non minus inventorum antiquorum, quam recentiorum rationem habuimus. Haec probe notanda sunt, ut
idea quaedam Mechanicae animo concipiatur, definitio rectius intelligatur, nec quisquam miretur , ubi viderit, in Elementis nostris Mechanicae longe alia pertractari , quam quae vulgo in libellis hujus nominis repe
S. as 3. Qui solam praxin mechanicam curae cordique habent , ii, praetermissis ceteris omnibus, ad caput decimum quintum statim digrediantur : in eo enim & sequentibus
continentur, quae ad machinarum intellectum faciunt. Quoniam nobis theoriam cum praxi temper con ungere proposuimus, potentiarum quinque motricium ad machinas appli. cationem , & machinarum usitatiorum constructionem cxplicare voluimus : quae duo vulgo in libellis mechanicis negliguntur. A potentiarum motricium ad machinas applicatione pendet structura externa machinarum , quae absque illa intelligi nequit; quemadmodum structura inaterna non intclligitur absque notitia machinarum simplicium. Libellatio vulgo in Geometria practica docetur: sed cum nos Geometriam practicam a theoretica non separaverimus ; li
sit in construendis molendinis , quae aquarum vi agitantur; eandem quoque hie cxplicare visum fuit, ubi de applicatione potentiarum ad machinas agitur. Quoniam tamen ad machinas applicantur , quae de aequilibrio solidorum c. 3 , quod de centro gravitatis agit, demonstrantur in prima ejus parte, & quae c. Φ, de quiete & lapsu corporum gravium docentur ; expensis definitionibus machinarum simplicium, addendae sunt definitiones ac propolitioncs horum capitum, eo modo, qui ad primum cognitionis gradum acquirendum sufficit. Ubi vero animo satis comis prchenderis, quae ad machinas, tam simplices, quam compositas spectant; non inutile fuerit, si ceterorum quoque theorcinatum notitiam quandam tibi compares ex anterioribus, printermissis tantummodo problematis , quae analytice solvuntur per calc lum ἔ ne ignores principia, quae in praxi accuratiori usui sunt. g. a Fq. Qui praxin mechanicam demonstratam cxpetit, ad secundum cognitionis gradum adspirans ; eum addere debere demonstratio tres per se pater. Non tamen ideo neceste
est, ut omnis theoriae campum em
tiatur; sed sufficiunt ea, quae ad intellectum machinarum faciunt. Quae nam vero ea sint, facta demonstra
tionum cap. Is , contentarum analysis, eo quidem modo , quam in Logica svsaa satis distincte expli-: cavimus, & cxemplis illustravimus,