장음표시 사용
101쪽
consistimo. demonstratio. SInt ABC hyperbolae asymptoti ED, DF: angulus datus V Τ oporteat exhibere hyperbolam, aequalem datae ABC, cuius asymptoti, datum angulum VT acontineant. sit primo datus angulus Uminor angialo EDF , hyperbolae ABC axis po tur DB, ad illam ordinatim AC, pertingens ad asymiuotos in Ede Rapisina super MF segmenxum describatur circuli continens angulum aequalem VTarquim in ini re atur angulo EDF, calet in segmentum Iscriptum supra D, adeo.
- . . que DG aequidistans A Umento tarpuis occurret in puncto quodam G: iungantur igitur cf. GE GH , actaeq; per B 'contingenti BI, aequidistantes ponantur L occvxtentes ABC hypςrbolas in N, axi DB in M, tectae II G in or fiantque MN lineis aequales OP, Din: ilico P, Ι, Q, esse ad hyperbolam , aequalem
.is ABC , cuius asiymptoti E G, GF datum obtinent angulum. cum enim GD, EF,IR&c. aequid istent, ut rectangulum D MB est O ad rectangulum D ΜΒ, sic GOI rectangulum est ad rectaneaum Go I: sed ut DMB ad D MB, sic MN quadratum' ad quadratum MN id est OP quadratu ad quadratu OPiigitur ut G ΟΙ redhagulum adrectangulum GOI,sic quadrarum OP ad quadratum OP, siue o. quadratudo ad quadratu O in puncta igitur 4 P Iasiunt ad hyperbola cuius asymptota ,G E GRI contingit Z R. quia vero GD, Z R, ΕΗ aequidistant'. rectrae ZI, δ. B..,. aequales sunt: unde 3c triangula contingentium G IZ, λ DB aequalia sonta quare de
hyperbolet AIC, ABC aequales: angulus autem EGF dato UT α pec constructionem est aequatis, datet igitur hyperbolae, Scc. Sit iam angulus datus ST U, maior angulo E D P, pmducamque S T in an- g ti. . . gulus igitur VTα minor est angulo ED F; per constructionem igitur primae partis ghuius exhibeatur hyperbola aequalis ABC cinus .immoti an alii obtineant VTα. sit illa PI Q Se asymptoti EG, GF. proditeantur D G in T FG in infinitum: GY autem aequalis sit IZ iunctii ZY, occurrat s Gin X. quoniam igitur . . YG, IZ, aequales sunt, de parallelae, rectae quoque Gi, ZY aequales sunt de patiali telae, ερ quia Z R in I bisiecta est , Z X quoque in Y hissecta erat: positis igime
TX, parallelis γε. fiant YZ quadratis inualia rectangula βδγωβωγ: erunt1Yh t. ν t)- s. adb hyperbolam quam in Y contingit Z . de asymptoti sunt γ G, GH constituentes angulum aequalem dato S T V. quia ver6 triangula contingentium ZIG,Σ Υ Gaequalia sunt, hyperbola quoque δYω aequalis est syperbolae PIMd est per eon. structionem hyperbolet A B C: datae igitur hyperbolet,&c. Quod erat faciendum.
102쪽
Atam A B diuisam in C demis secare in D, Vt rectangulum B D C quadrato residui Ao sit aequale. .
c Rigatur A E ut cum BAD,angulum semitectum constituat, Nex F dimiadio C B, lineae ponantur F G, F H UM los semirectos exhibentes cum A F linea, di defetipta sit hyperbola ICE, inter a--ptotos FG, FH habens axem AF rtitque E punctum intersectiquis rectae A ta productae cum liyperbola d C E: de. missa igitur perpendicularis ex nad AB, exhibebit punctum D quaesitum , cumen assymptoti H F, F. ansulum is
merit rectusa ex constructione, rectangu
lum a BDC aequale est quadrato D Ei quia vero angui D A E Iei lirectus est . Si A D E tectus , reliquus ΑΕ D dimidio recti , adeoque di angulo E AD aequalis est & ED quadratum aequale quadrato A D: vi de & rectangulum B D C, A D quadrato aequatur. fecimus igitur, &c.quod
PRO Post Tio CLXXXIV. Atam ΑΒ sectam in C partiti in D. Vt rectangulum BDC ad AD.
quadratum datam obtineat rationem quadrati E ad F quadratum. Constrictio-demonstratis.
DIuisa CB bifariam in G potiatur orthog nalis H G ut ratio quadrati C G ad G H, hoe est CB ad HI, eadem sit cum proporti ne E ad F. persecto deinde parallelogrammo ductisque cK. GL descripta ponatur hyper-hola inter asymptotos G Κ, G L, habens verticem C. ex puncto deinde Α ducatur AM, vecum D A recta semirectum angulum Hrmer, oceurrens perimetro sectionis in M:& ponatur MD parallela HI. Dico punctum Desse quod quaerittiri est enim rectangulum BDC ad quadratum D Mut CB, quadratum ad HI quadratum per ea quς praei nitimus. sed quadrato D M aequale est D A quadrato , igitur rectangulum BDC ad D A. quadratum eam habet rationemqtiam CB ad HI quadratum , hoc est quadratum Ε, ad F, quadratum. quod p standum fuit.
103쪽
H Y p E R. B O I. 4. PROPOSITIO CLXX xv. Oporteat bis positis assignare puris
rectae A in cum perimetro sectionis N C M.
constructis c demonstratis. . FIat ex a8. huius rectae AM paralIeta
ΟΡ, quς contingat sectionem in o. & producta utrim pie recta AM, usque ad asymptotos, fiat quadrato OΡ aequale rectangulum RΜ in Dico punctum Μ fore intersecti nem communem rectae Abi cum stetione NC M. mod patet exi .huius, &c. '
IN omni dono sectiones hyperbolicae parallelae similes figuras exhibenti ii temonstratis.
SIt ABC triangulum per axem coni A B D c, sitque E F G sectio basi aequi- distans: ducta deinde A H in plano trianguli per axem quκ Circulorum diametris oecurrit in I Zt H, cum in eodem sint plano, erigatur ex H recta H D normalis ad BC, occurrens circuli perimetro in D, ducaturque D A, occurret illa circuli E F G petimetro in F: iungatur autem I R. denique secundum H D, FI lineas plana ducantur parallela , quae cum ΑΒ linea. conueniant in K & L, Se A C in Q es R. erunt igitur IF Q, RH D' hyperbolae, quarum diametri Κ I, LRH ad quas ordinatim positae sunt I F, H D: quia vero aequidistane EG. BC, bitem I F, ID ut AI ad I F, sic A H est ad H D : rursum. affumpto in I puncto quodam P, pon tur ex A per P linea, occurrens L R quae in eodem cum IK , plano est in O r ponantur autem PM,ON aequidistantes FI, H D: cum igitur Im. RH aequidistentr
tur Κ PQ rectangulum est ad rectangulum ΚI , ut LOR rectangliIum est a trectagulum L HResed vi K PQ ad Κ IQ, rectangulum ς sic ΡΜ quadratum ad quadratum IF de vi Lo R, rectangulum ad L H R, sic O N quadratum ad quadratum H D; quadratum igitur O N est ad H D, vi PM quadratum ad quadratum ΙF: dc PM, IF linee proportionales rectis O H D: quia vero RP, QI rectae, quoque proportionales sunt RO, R He figurae Q ΡM, in P similes sunt figuris R ON, RH D r similes igitur 4 sunt hyperbolae HR RND. Quod erat demonstrandum.
104쪽
MYpERBOLA. PROPOSITIO CLXXXV M.
λθ l in cuiuscunque sectionis diametro producta, punctum assumatur,& ab illo ad sectionem contingentes ducantur, iunganturq; contactuum puncta: Dico in parabola parte diametri a vertice eiusdem & contingente interceptam aequalem esse illi, quae ab eiusdem vertice & linea contactus coniungente intercipitur lineae r in ellipsi autem maiorem. in hyperbola minorem.
It ABC conus, sectus triangulo per axem ABC, diameter autem baseos AGB sit AB in qua assumpto quovis puncto E, ponatur EH aequidistans AC, Sc EI normalis ad AB, tum per HE, & IE, fiat sectio exhibens in superficie eoni lineam GHI: erit illa φ parabola: ponatur exinde axis coni C D, perficiatiirque parallelo- ετ ιυμ- graminum CDB, cuius lateri B M occurrae E H producta in F, iunctaque C F,dia- - - metro AE protractae occurrat in K, ponatur autem per I contingens Circulum AIB in Ir conueniet illa cum ΑΚ, CK lineis in K , uti propos i7. de parabola ostendi: ulterius, si secundum IK ω per C verticem coni, planum intelligatur duci, continget illud stuperficiem coni secundum lineam CI: uti proposit. 17. de para bola ostendi t eadem quoque propositione ostensum est iunctam I F, parabolam in I contingere. 8t E H, H F lineas esse aequales:quod erat primum. Rursum inter P & Κ in FK linea punctum sumatur quodcunque G: iunctisq: EG, I G secundum IE, EG lineas planum agatur,exhibens in coni superficie lineam LI: erit IEL bellipsis: oportet autem Ostendere IC, eandem Contingere in I, & GL maiorem esse LR ponatur petr F linea FN , aequid istans BC in pla- no trianguli per axem occurrens EG, lineae in N t quoniam igitur punctum G sumitur inter F de Κ, si per G, recta intelligatur duci. parallela CD, Cadet Illa e --virta FN, adeoque N punctum inter G de Lest . quia vero FN, HL aequidistant,&d ΕΗ, ΗF ostensae sunt aequales, rectae EL, LN quoque aequales sunt: quare ari n. cum LG maior sit L N, recta quoquo LG maior est L E. deinde cum utrumque ma ια punctum I & G, in planci sit CI K, recta I G in eodem existit plano e quia vero planum Cl in linea CI e contingit superficiem coni de EII, ellipsis in uno tan-e mctum puncto occurrit C I lineae nimirum in I, planum C IK, in I,adeoque & GI, linea in uno tantum puncto occurrit ellipsi, adeoque in I contingit. Quod erat secundum.
Sumatur denique inter C & P, in CF linea punctum quodcumque P ; iunctisque PRPI fiat secundum EI, EP lineas planum I EO patet I Eo esse hyper- Lili bolam
105쪽
EF linea punctum E. producta, lateri ΑC occurrat in in ostendetur autem ut prius PI lineam esse in plano C IK dc hyperbolam in I contingeret restat igit arvi ostendamus PO lineam minorem esse OK recta N , occurrat EP , productae in Ri quoniam igitur CB,RN aequidistant, de N punctum ostensium est es- se intra G & L, recta autem FG cum C B, conueniat in C, constat R punctum cadere vltra Pr adeoque R O lineam maiorem esse Po: sed RO linea aequa- Iis est OE, cum ΕΗ, ΗΓ lineae aequales sint, recta igitur Po minor est quam E O. quae erant demonstranda.
asymptoto BC : ductae quoque BD, dividant HBF in partes seu sectores aequales, occurrentes EF lineae in I GG. Di eo E F in I G G, diuisam esse in continue proportionales. Demonstratio.
statim Ouoniam segmentum H BF diuisum est in partes aequales gitur sunt in continua insatos, analogia lineae FE cum reliquis sibi parallelis . sane autem IE, ΗΚ, EF, Ae GE, DL, FE in continua proportione , igitur quoniam prima EF communis est,& HK, D L, E F, sunt proportionales, hinc etiam mediae E I,EG,E GEF, proportionales existunt. Quod erat demonstrandum.
106쪽
H Y p E R B O L A. PROPOSITIO CLXXXIX.
ΗΥperbola in D F G inter asymptotos rectum angulum formantes constitutam, lecet in D parabola B D E habens axem BC. positaque ex B quavis linea BKH, quae hyperbolat occurrat in K dc para Oolae in H, deleti batur per H hyperbola Ho habens AB, B C asymptotos ; &ex B qua uis alia ducatur B L O E, occurrens hyperbolis in L, & O parabolae in E. Dico ΒΚ esse ad B H, ut BL est ad Bo.
exciderint , huic DemonseratIs. Ponantur KM, LN, H I, O QP aequid istantes AB. Triangula, igitur BΚM, BL N aequalia sunt, uti de triangula B HI, B O Q: unde B ΚΜ triangulum est ad BL N, ut B HI ad BG triangulum , &permutando B K M ad B H I , ut BL N ad B O sed B Κ Μ triangulum d x BHI, in duplicata est ratione R Mad HI ι similiter B LN triangulum ad triangulum B O Q in duplicata est ratione LN ad Oo: igitur ut ΚΜ adHI, id est B K ad B H, sic LN est ad O id est BL ad B O. Nota mersabm bane es propositionem: ne rare necessarium is B H tinea incint in II, coanminens hyperboia cum paraboti intersectumem:sed B H, B E p suae demonseratione iam posita manifestum eis.
ΡRoΡOSITIO .CXC. SInt AB, B C rectum angulum formantes asymptoti hyperbolarum D F, E G, quas in D & E secet parabola habens axem B C et ponatur autem ex B quae uis secans hyperbolas in F & G, occurrens parauolae in M. & ex F, D, G, E punctis rectae demittantur DH, FI, ΕΚ, GL paral-Ielae AB. Dico rationem D H ad FI, maiorem esse ratione F Κ ad G L. Sempnseratio.
Ω Εcta BD producta occurrat EG. hyperbolae in N. ponaturque NO,p allela A B: erit igitur DH ad FI, e ve N O ad G L r sed ratio N O ad
G L, maioris ad eande, maior il est qua ratio ΕΚ ad GI , minoris ad eandem: ratio igitur DH ad FΙ. maior est ra. tione F Κ ad G L. Quodsiit demonstrandum.
107쪽
asymptotis aequi distent, ponantur B D, A E aequi distantes contingenti per C ductae occurrentes CL, CN lineis in L, N, M, O. Dico quod B L D rectangulum ad rectangulum A M E sit ut LN lianea ad lineam M O. Demonstratio.
rinantur ABC hyperbolae asymptoti GK, GH occurrentes BD, AElineis in K,F, P, H. rectangulum KLP aequale est rectangulis ΚBP, BL D: sed etiam KLΡ id est L KN, iob KL, NP lineas aequalesὶ aequale est x quadrato KL, side.ia. i. est IC , id est K B P e rectanguloὶ una eum rectangulo Κ LN: demptis igitur squalibus ΚBR3c quadrato KL, aequalia remanent rectangula B L D, Κ L N; similiter aequalia ostenduntur rectangula A ME, F Mo: igitur ut KL N ad FMΟ rectangulum , id est ut a L N ad Μ Ο . sie B L D tectangulum est ad rectangulum Α ΜΕ. Nderat demonstrandum.
108쪽
Uarias exhibet genesis, pia tum ex Ineu es' circulu, tum ex Hypsis parabola, denique ex ipsa oriuntur hyperbola. Secundo h perbolas .reducit ad mnes, e quibus orta. Tensi reliquauectiones ex h per
SIt parallelogrammum ABCD, cui adiungatiu triangulum rectae verὁ DE, ponantur aequi distantes FG, rectangulis I G F, fiant quadrata GH aequalia. Dico puncta B, H, H ad eandem esse hyperbolam, cuius diameter est B E. Demonstratio.
PROlveamve rectet D A , E B donec conueniant in K. quoniam aequidistant F G, rectae D E , vel A B, &AD ipsi H C ; igitur vi K B ad Κ G, ita est ΑΒ ad GFi&vi K Bad B G, ita AB, hoc est FI ad I G, &vt RG ad G B. ita est F G ad G I.quare rectangulum L G B, ad
KGB, rectangulum eam rationem obtinet, quq reperitur inter rectangula FG I ad FGI, cum ex ijsdem rationi bos componantur: sed ut rectangulum FGI, ad FGI rectangulum, ita ponitur q-dratum GH ad HGquadratum ; igitur ut est rectangulum ΚGB ad KGBrectangulum, ita est GH ad GH quadratum. Igitur αH H sunt ad eandem hyperbolam cuius diameter trans. uetia est KB. Quod fuit demonstrandum.
Hinc colligere licet methodum de scribendi hyperbolas , non istum
eas.quae asymptotos habent ad rectos angulos constitutas,uerum etiam alias omin
nes, quae vel obliquissimo sese angulo decussant. hyperbola enim cuiusvimptoti sese inuicem orthogonaliter diuidunt,rectangula KGBaequalia quadratis ordinatim applicatarum exhibent: comvero rectangula K GB, maiora sunt quadratis GH, aut minora , tunc asymptotos habent sibi inuicem a s angulos obliquos insistentes t unde asymptotorum quoad angulos constitutio, dependet a propo tione rectangulorum ΚGB, ad quadrata G H, non autem a proportione rectangulorum I G F ad quadrata G H. nam ut in praesenti scemate videre est, rectangula I G F aequalia sunt quadratis HG, nihilominus asymptoti harum hyperbolarum occultunt sibi ad inaequales angulos,
109쪽
quod si quis hyperbolas eontractax magis aut cli ductas eadem praxi delati re desiderat , augeat tantuminodo lineas ordinatiin positas G H. vel decurtet secundum rationem, quam desiderat,habebitque intentum.
DEcussent se invicem rectae ΑΙ , CG in C: occurrat deinde AF rectae Iasirin G:& positis FL quae aequi distent cuidam CK fiant inter LB, LF mediae proportionales Ll. Dico II C esse ad eandem hyperbolam cuius A C est latus transue*sum.
Quoniam enim Fia aequidistant ΚC Iineae. ac proinde inter se, erit ratio F L Hrectania guli, ad rectangulu FLΗ, composita ex ratione H L ad H L, hoc est C L, ad C ta& ratione FL ad F L,hoe est A L ad A Lligitur rectaniagulum ALC ad ALC , est ut rectangulum F L H ad FLH. cum ergo quadrata I L,aequalia sint rectangulis FLΗ, erit quadratum I Lad I L, quadratum ut rectagulum Α L C ad AL C, unde patet CII esse ad hyperbolam cuius C B, est diameter, & AC latus transitersum.Quod
occurrat deinde A F ieciae D C in G, se ut AG non subtendat angulum A CD ; & positis FL quae aequidi stetit cuidam CK, fiant inter FH, HL mediae proportionales Hl. Dico I IC ad eandem esse hyperbolam cuius G C latus transiuersiam est. Demon alio. UAdem est planὸ quae in praecedenti Propφω
110쪽
ctum F ducantur BC, rectis autem F, DB, aequales fiant, E C. Dico DF E fore ad eandem hyperbolam cuius asImptoti sint ΑΒ,
r Emonstrauim iis is .huius rectam quam eumque lections hyperbollax ore te, Qtem inter asymptotos constitutam, squales sui partes habere constitutas inter mptotos§ionem. hoc est si recta B C secet hyperbolam in D de v, rectas BD, FC aequales esse inter se; igitur si inter a mptulos AB, AC per punctum P deseripta ponatur hyperbola, quamcumque per F duxeris rectam BFC, neces carium elive BF sit aequalis CE, igiturciam hac praxi usi simus, restat ut DFEpe tineat ad eandem hyperbolam.
Lineae AB, CD occurrant sibi mutuo ad angulos rectos in B,&alis teri illatum ponantur aequi distantes E G. assumpto denique quouis puncto in recta CD, ductisque CF, fiant rectis CF sequalis FE FG.
Dico EE, G G esse hyperbolas, di quidem Demonstratio.
Ponatur CH quae a quidistet AB . Item ex
k G,ponatur eidem aequi distantes GLquoniam quadratum CF aequale est quadratis FB, BC, etiam F G quadratum ijsdem aequabitur. est autem FG quadratum aequale madrato F Η, una eum rectangulo EH G, cum sint EF aequales FG: igitur cum FH quadratum aequale sit BC quadrato, etiam rectangulum E HG, quadrato F B, hoe est GI aequale existet. erit igitur rectangulum E HG hoe est D IC ad DIC, rectangulum ut FB quadratum ad FB quadratum hoc est ut GI quadratum ad quadratum
Gl. quam EE, GG hyperbolae sint de quidem oppositae. Quod demonstrandum fuit.