장음표시 사용
71쪽
L A. superfiet ei DFGP, relinquat in ea
residuum , minus data quvntitate Κ.sii bd illidatur in aequales partes planum FG CH per primam osci mi, toties, ut F GLI rcsidua INJs, minor sit quantitate iΚ; .erit ill* plano FGH C sui patet ex subdiuisione por partes aequale' iacta) com- me istutabilis; planum igitur F G LIquoties potest , auferatur ex plano D EF G: Dico residuum quantitatis DEFG, plano K minus esse: si non, igitur residuum vel aequale. Ni maius est Du.no Κ s aequale : ergo FGLI quantitas, commensurabilis est quantitati DEFGza la..ti. N qui FGL I, Commei iurat quantitatem FGH C, tve ex eiusdem subdiuuione in . constructione facta constat) planum igitur D E FG commenserabile ' est plano FGH C equod estcontra hypothesim.Iam veto residuum ex DE GF relictum, rarius se dato K: ergo qu-ntitas FGLΙ quet minor est quantitate Κ iterum ex residuo plani DE EG auferri poterit: ergo facta non est sublatio, quoties fieri potuit; quod riiriam contra lappositum est. Residuum igitur in plano DEFG telictum, minus est
quantitate Κ: quod erat demonstrandum. Q. V.
i PROPOSITIO C X X I X. Int AB, BC asymptoti hyperbolae DFH,&DE, FG, H C paral
lelς asymptoto et plano autem n E G F incommensurabile sit planum FGCH. Dico rationem DE ad FG, toties multiplicare rationem FG,adHC,q uoties quantitas D E C F, continet quantitatem FGCH. Semonstratio.
SI enim ita non sit,igitur ratio D Ead FG, saepius multiplicat rationem F G ad H C , quam DEFG
planum, continet planum FGH C; vel contra: si primum, ponatur ratio IK ad FG, toties multiplicans rationem F G ad Η C, quoties pla- 'num DEFG continet planumbriνεω F GH C : minor ergo est ratio IK ad FG, b quam DE ad F G ι adeoque & IK mianor DE.Vlterius diuidatur per aequales partes planum F G H C,ut pars eius FLGMἐκ iis FGH C commensurabilis, ς minor si parte DE KI di tum FM ablata ex . DEIN quoties potest, relinquat partem D NOE: quae minor est parte DERI, adeoque No linea cadit inter DE, IKr Renim DENO non minor sit D ERI, sed illi aequalis, vel illa maior poterit ex DENO iterum auferri FGL E planum quod minus est DR IK explano DEFG, quod est contra lappositum. minor igitur est quantitas DENO, quantitate D EI Κ, & N O linea est inter D E, I K. d -- igitur ratio NO ad FG maior est ratione 4 IK ad FG. ac proinde ratio NO ad FG, magis multiplicat rationem FG ad HC , quam eamdem multiplicet latio IK ad F G : quia vero F M 'quantitas communis est mensura planorum FGH C, eis a mi. N OF G. commensurabilia sunt plana FGH C, adeoque toties multiplicat ratio N O ad FG, rationem FG ad HC , quoties planum N OFG continet planum FGH C; sed de planum DEFG toties continet planum FGH C, quoties ratio IK ad FG, multiplicat ratuinem FG ad F C; sepius igitur planum N OFG continet planum FGH C, quam DEFG idem FGH C contineat: quod fieri non potest,
72쪽
lest, eum DEFGil ntitas maior ostςnsa sit quantitate No pGil nitratio DE ad FG, non magis multiplicat rationem pGad AC, quam planum D EFG continet pisnum FGH C. Eadem plane ratione ostenditur, planum DEFG non laepius continere planum FGH C, quam ratio DE ad FG, multiplicae rationem FG ad H C. Planum igitur DEFG toties continet planum FG H C, quoties ratio DR ad FG, multiplicat rationem FG ad II C. Qilod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXXX.. Int AB, BC asymptoti hyperbolae, & ponantvx parallelae asymptoto D H, EI, F GL,CM, auferentes segmenta aequalia HE, IRKG,LC. ' i Dico lineas H D, lE,ΚR L MC esse in continua analogia. Demonstratio.
r intio enim is ad IE, toties mulla,neat mis ei 14 Ead MC, quoties u. .' perficies ΗΕ eontinetur In superficis I C. sed superficies ΗΕ est quarta uary. hio . Urbi causa,planiΗC, stur ratio H Dad MC quadrupli rata est raetionis H Dad Ita Similiter ratio IE ad MCI stenditur esse triplicata eariSnti KF ad MC: Igitur rado HD ast 1 E, est eandem eum ratiotie IE ad KR eodem pacto demonstra. Hi, rationem IE ad K p. esse eandem eum ratione KF ad LG, deto ad ΜαIgitur eontinuant eandem rationem linea: Hu IE, R LG, MC. Quod faledemonsthandum. l T i , O :
LInea ABC ita diuisa sit in B, C, D, E, F, ut ratio AB ad AC, duplicata sit rationis eius, quam habet A C ad A D , & Α C ad Α D, duplicata rabonis ΑΠ ad: A Eι & hare postrema duplicata AE ad AF,
ita deinceps in infinitum. . - ortea huius progressonis terminum assignare.
73쪽
A G tertia propolilonalis, ad duas primas Α Β , AU. Dieo G punctum ege A quod postulatur. Erigatur ex A normalis ΑΗ, describaturque hyperbola IKL, cuius asymptoti sint A H, A G: & Α Η quidem aequidistantes ponantur ex punctis B, C, D. Ε, F, G ut AB ad AC, a se KC est aὸ IB ι & LD ad ΚC, ut AC ad AD: sed ratio AB ad AC, duplieata est rationis AC ad AD; igitur M tio ΚC ad 13, duplicata est rationis L D ad Κta similiter ratio ME ad LD, duplicata est rationis N F ad ΜE,&e. Sed planum AK toties continet planum CL, b quoties ratio I B ad KC, multiplicat rationem KC ad 1, D Duplum igitur est planum BK, plani CL: similiter CL planum duplum est D M , de hoc duplum plani EN,&e. Progressio igitur Me est planorum in proportione dupla. Quia vero AB, AC, AG sunt proportionales, erunt φ εc O G, KC. IB c-- ait iis. ad O, d Hic t sierationis BI, ad C R, planum IR i duplum est ii an, qΚ..i qyod erat primum in serie planorum proportionis duplas, e se, 'quit Nil stries magni ivli iunii propo solus dupIae . dupla est primae magnitudinci si qis. Erg. i qm I G ρ qua itur totis eves planorum B Κ, CL,DM, Et hoc est te minu ptrer lonis plostrum est linea O G. Quaru de .series line 'M AB, ACMaw,4 . pNeortions V posita co*tinuataequet progressionem pi in um semoriAM MM M, xystimenn E lii Humus igitur,&α bderati ci dum.' ..1
CXXXII. Ponatur iterum ratio A C ad A D , duplicata H D ad B Ei & ratio BD ad B E duplieata rationis BE ad B F, &c.
-l Opistaealiter inum initus piovellionis exhibere,
esse quaesitum. Erecta ex B normali ad B C , describatur hyperbola G HI, cuius asymptoti sint AB BG3c AB quidem aequidistantes ponantur CG, D H, EI.ΓΚ, L M. ut BC ad BD, s sic H D est ad G C. Ae IE ad I D, ut BD ad BE. sed ratio B C ad B D, duplicata est ra-ικὰ Mationis BD ad BE , ratio igitur H Dgad GC duplicata quoque est rationis I Ead Mitti C SIC
74쪽
aa H D. similiter ratio IE ad H Dduplicata est rationis K Pad I E dec. sed planum H C toties continet pla- l aias.1. num HE, 'quoties ratio H D, ad GC multiplicat rationem IE adH D, duplum igitur eli H C planum,sIani HE. Similiter ostendetur planum H E duplum esse plani IR &c. Quare progressio hic est plantirum in proportione displa. Quia vero B L, BD, BC,adeoqs b N GUΗD,MI proportionales sunt, planum e M C duplum h7 est planί HC , planum igitur aequale est toti seriei planorum H C, I D, NE,&c. hoc est linea LM terminus est progressionis planorum. Cum igitur progressio linearum BC, siD, R E, dcc. iuicta proportiones ante positas continua a, progressioneni pl)norai pexpctuo comitetur, eius quoque verminus erit punctum L. Fa-ώM. . Eium igitur est quod petebatur.
PRO POSITIO CXXXIII. Steratio A adi ei, duplicat irationis B ad C et ratio quoque B ad C,
duplicata rationis C, ad D, uti& ratio C ad D, duplicata rationis D al E, &c. quamvis haec progressio continuetur in infinitum, non V ni tu tamen ad magnitudinem data minorem , uti in libro progressio. Ivim propos , , . contingere demonstr uim 'eiusdem rationis con .
Uyostea ergo exhibere lineam, quaesit minima omniumlinearxurii ut 'in tali litogressione dati ' i
Constituantur HI , HK asymptoti hyperbolet L NP R
fiatque ut A M. Bir. ita ΗΟ ad .HM, dcvt B ad C, ita Hu ad ΗΟ, Alc. eti-αantur deinde obr, QP, dcc parallelae asymptoto HI, erit φ LM a3 NO., uter .h. HO ad FIM , Loc est ex eoέstr. ut A ao B He NO ad Pin Ut Hinud Hothoe -- est ve B ad C, 3e se deinceps. Fiat denique vi H M ad Ho, ita Hos 1 HK, erigatur KR parallela asymptoto HI. Dico KR minimam esse lineam, quae serieni duplicatae ratiotiis LM, ad N O, dc N O ad PQ, & sic in infinitum termina-hit. Cum enim ratio LM ad NO, ut patet ex discursia duarum praecedentium, du-Fli ta sierationis N O ad 'in' 'um L O duplum erit plani N similiter & Hanum Nin lapi qui est p ic S, M sic de caeteris. Igmir iuper recierum L O, i:, OPi P S, dcc. series procedi lii ratione dupla. quia vero HM, H O,ΗΚ, eg adeoque vis. Ac RK N O, L ' sunt propρrti' o ales, planum h LΚ duplum est plani L O. igi- 2 3 tu planum L Κ, aequale est trii. ys norun L O,N Q, P S, dcc. seriel in proportione dupla continuatae: ergo RN erit k terminus progrcssionis linearum LM, NO, iis vibis,. Pinace sed lineae LM No,PQ, Scc. sunt aequales lineis A, B, C, D, dcc. csim line LM, NO, PQ S c. sine lineis A, B, C, D supra pinportionales, de prim LM , aequalis sit primae A. Eigo x K est minima linearum A, B, C, 5ζα. suio rernunρt seriem duplicatae ruionis Α, ad B, B ad C, in infinitum qtinuatae. A lbu mysigitur, Scc. Quod facere oportebat.
75쪽
. HYPERBOLA. PROPOSITIO CXXXIV. ratio AB ad AC, tr licata rationis A C ad A D, & ratio ACQ ad A D triplicata rationis AD ad A E, &c.
Oporteat huius progressionis terminum assignare. Confisumam demons ita. INter AB, AC media ponatur Arifiantque continuae, A P, A C, A G, dico G terminum esse quaesitum. Fiant ΑΗ, AB, asymptoti hyperbolae I KL, & erigantur BI, C Κ, D L, &c. parallelae asymptoto: Quoniam ΑΒ, AC, AD, AE tationem continuant proportionis triplicatae, rectae quoque I B, Κ C, L D, M Eis &c. proportionem Continuant rationis triplicatae. Vnde, planum IC, trisum est pi
ni KD d&illud rursum triplum plani LE. de se in emetis procedendo habetur progressio planorum in ratione tripla: quia veris ΑΒ, AP, AC proportionales sunt, de ipsis AP, AC, tertia proportionalis est adialecta A G, eontinuabunt Α Β, Α Ρ, Α C, A G rationem eandem Sc si ex P erigatur' parallela asymptoto, BI, P ., C Κ, o G, erunt ipsis AB.AΡ, AC, AG propostionales, ac proinde in ratione continua. Ergo ratio I B ad O G, est sesquialtera triticinis IB. ad KC, eo sensu quo in definitione Io.& II. libris. elem. propoFiones dicuntur duplicatae, triplicatae,&c. Ergo planum I G sesquialterum est plani ICIed tota progressio planorum I C,ΚD,L E, &c. sese mutuo in proportione tripla exce-e c.ῶν-' dentium sesquialterae est primi plani IC..rgo planum I G aequatur toti progressio 1. - ni planorum 1 B KD, L E, &c ac proinde linea OG terminat progrestionem planorum. Aequi progressionem planorum perpetuo comitatur progressio rationis tri ἀplicatae, AB ad AC, AC ad AD.&c. ergo haec quoque terminatur in G. Exhibuimus ergo, &c. Quod erat faciendum . .
Ponatur ratio A Bod A C,quadruplicata rationis A C, ad A D , ratio
autem AC ad AD, quadruplicata rationis AD ad ΑΕ. miceon. sequenter, butus vero progressionis finis siue terminus sit punctum RDico rationem AB,ad AC, sere triplicatam eius, quam habet A C,adrectam ΑF. Demonstratio. ' iVRecta ad AP normali Ao, inter A asymptotos AF, AO. hyperbola describatur G H x, de cx B, C, D, E,
quidistarites asymptoto ΑΟ. ut AB ad AC, sic ΚC, ad G B. 8cLD ad KCut AC ad AD , quadruplicata est igitur ratio G B ad ΚC , rationis KC ad LD, unde&GC planum quadruplum est plani KD. Similiter ostenditur planum K D quadruplum esse plani L E M sic de caeteris. Progressio igitur hie est planorum
76쪽
ra ratione quadrupla: quia vero F terminus est progressionis ARU AC. xe.procedentium in ratione quadruplicara,PNquoque temamus est progressionis planorum in ratione quadrupla , .u G F planum toti seriei aequale: unde G C planum, si te primus seriei terminus ad reliqtium KF est ut tria ad viail.Nam uti patet ex constri 9. a. propos.8o.de progressioniblis, primus terminus seriei magnitudinum in ratione auadrupla, est ad reliquam seriem ut primi termini qui est A, M secundi qui est I, differentia, ad secundiam terminum , hoc est ut 3 ad i. ergo ratio K C ad G B triplicata rationis est NF ad KC, id est A B ad AC, triplicatam habet rationis AC, ad AF. Quod erat dentonstrandum. Soholion. D Enigne Lemnex hac ultima propositisne GHmspectam habet,qu, tendebant Meilem Muspropositiones,scii cra ut aliqua ratio polytin eniri etiam per progressiones se Θρο- Mias exhibendi duas meiuas proportunaus inter duae absignat- qirantitates; quod profectὸsccessisset,si banc vltimam propositione oblemarito more proponere aestuere aqu eliciter
tituis et atqueniores resoluta ac demonstratae sent. Certe prima fronte rem intuenti,facilior Δην videri posset ratio exhibendi terminum progreFons quadruplicata rationis, quam implicara,vel astem non minus facilis ac rationis duphcata terminum Geometricὸ inuenimini Iono tamen aluer rem curiosius in enti apparet: interim viam atiquo modo rauimus tibi, Goliant,viseriore conatu eoperuenires. Maria nobis nondum bruit.
Positis asymptotis AB, BC, hyperbolae DF, oc quibusvis D E, F C,
asymptoto parallelis ; fiat HG media inter DE, PC.Deinde lΚ m dia ituer HG, F C. denique LM media proportionalis inter lΚ, H G toe NO. media inter L M, I & id semper fiat: alternae autem progreD
sionis huius terminus ponatur Pin i , t '
Dico P Q fore unam e duabus mediis intςr D E, F C. Demonstratio. Quoniam DE, HG , FC sunt
continuae, planum DG b aequatur plano H Cr sed, quia H G, IK,
FC, etiam sunt in continua, planum
H C illi plum est plani H K. igitur planum D G lupiunt est plani H K.
sed quia H G,LM, IK sunt in con- timia, planum H K, duplum est plani H M. ergo planum DG quadruplum cst plani H M. Ergo progressio planorum D G, HM, dcc. procedit in ratione quadrupla quae terminatur in PaDeinde quoniam HG, IK. FC sunt in continua, plana FK, I G aequantur: sed, quia HG, L M, IK sitne in continua, planum I G duplum est plani I M. crgo pla num FK duplum est plani I M. sed quia LM. NO, IK sunt in continua, planum IM duplum est plani IO. ergo planum FK quadruplum est plani IO. Ergo progressio planorum FK, IO, &c. similiter procedit in ratione quadrupla terminatu cautem in P Iam vero quoniam sve supra ostendiiniis in planum D G aequatur plano H C,&planiim H C duplum est plani FK, erit quoque planum D G duplum plani FK. sed, ut se habent summi similium progressionum termini, plana nempe DG, FK, ita se habent lce progressiones totae, hoc est plana D Q. Fuc Quare cum planum D G duplum sit plani F K, erit de planum D induplum plani Fia ergo ratio DE ad Pin duplicata est rationis PQ ad FC. ergo P . est una e duabus med ijs inter DE, F C. Quod erat demolistrandum. '
77쪽
IN ter duas datas quotlibet medias proportionales exhibere conico. . senstruotio.demonstratio.
Cint A, B duae datae oporteat inter illas quatuor medias proportionales assignare; assumpta hyperbola cuius asymptoti D C, CE, ponatur GF aequalis A&aequidi stans C D et fiat ut B ad A, ita CG ad CE, S: erigatur E M aeq uidistans F Gidi ductis CF,CM: diuisa ponatur quantitas FCM , concauae hyperbolae, in quinque partes aequales in II, I, K, L. & demittantur H N,IO, ΚΡ, Lin parallelae asyni proibi dico HN,IO. ΚP, L eme quatuor quq requiruntur. Ostendim*s quantitates FCH, PICI, &c aequales esse quantitat: bus FGN H, NHIO, ω ergo cum FC M quantitas concaua, diuisa sit in quinque partes aequales etiam quantitas FGEM per parallς las HN,IO, RP, L in totidem partes aequales,diuisa erit: ergo cum ratio FG ad ME, toties multiplicet rationem FG ad HN, quoties h quantitas FGEM continet quantitatem FGN H, hoc est quinquies ex constructione, ratio FG ad ME quintuplicata est rationis FG, ad PIN. igitur H N,Io, PK, L asiant quatuor mediae, inter duas datas FG, ME. moderat praestandum.
PROPOSITIO CXX XUII I. Circulo ABC rectangulum ABCD inscii batur assumptisque rectis
AB, BC in asymptotos, per D inter eosdem describatur hyperbola E D occurrens circulo denuo in E, ex quo demittantur rectae E K, EFasymptotis aequi distantes . . Dico BF, F E duas esse medias inter AB, BC.' . '
HEG , ponaturque B Eir tecta Ponaturque B E erit igitur HE aequalis D G:M HKaequalis DC hoc est AH. Cum triangula H KE. D C Gd aequalia sint inter ie, M limilia: quia vero circulo ABC inscriptum est rectangulium AD , eadem utrique . erit diameter; quare angulus B E D, adeoque & angulus HEB rectus est: quare cum ΕΚ aequidistet AD , lateri rectanguli ABCD, recta EΚ normalis est ad Η B: unde tres tui,t in continua analogia Η Κ, Κ E, Κ B: sed H Κ aequatur AB, SeΚE aequalis est BF, uti Sc FB ipsi F E, igitur & AB, BRF E proportionales sunt deinde cum rectangulo ABC haequale sit rectangulum KEF; ut A B ad B F, ita es
78쪽
ad BC, igitur quatuor lineae V, BDFE, BG untia ntiqua ana gi, ac proinde BF, F E sent mediantiter AM, B demo frandum
FGH, IKL aequalium & similium De constitutae, ut DE de B sint parallelae inter se a ducatur autem L C. parallela DB. Dieo parallelogrammo B E aequari spatium infinitum duabus hyperbolis IKL,HNF comprehensirim i
79쪽
PROPOSITIO CXL. ISInt symptoti AB, BC, hyperbolae OE, continentes angulum re- istum: parabola vero describatur B D F, cuius axis B C , occurrens hyperbolae in D: ponamurq; D G, F C parallelae asymptoto A B. Dico EC, ad DG rationem duplieatam obtinere illius, quam habet D G ad FC.
Pint denuo AB; BC asymptoti hyperbolae D HI re m an munio wncine ires ; escripq autem paradola B D E , habente B C axeat ponautur EF, GC: paralleualymptoto ΛΒ.ineo rationem IC ad H F, esse duplicatam eius quam hiam EF
Quod filii demonstrandum. Diqili do by Cooste
80쪽
. D Y p ΕRB D L A. s. P.ROPOSITIO; CX LI I. Iisdem positis per nunctum intersectionis D, agatur aequidistans; oce m GC lineisiui F. ii Hri ci ii Dico rationem CG ad CR esse duclidatam rationis CF ad C E. Demonstratio.
ta est eiusquam ibet Diu ag EC, ea autem D H aequalis FC cum H Fpatrallelogrammum sit. igitur ad ratio duplicata est rationis et ad CR
Occurrant in F & Gs ponantur autem lineae D F, FG. Dico convexa segmenta D F, FG H. inter se aequalia.
Donantur DM,PL, GK aequidistantes AB;εe GK quidem restae BRoeeue-., 'orrat in I: erunt igitur proportionales continuaeφ QC, GK, S C, id est D M. quare& a BM, BK, BC, lineae, adeosiue & DM, ΗΚ, EC eamdem continuant ra- tibnem: ted etiam IK, ΗΚ, EC, sunt proportionalest D M igitur g aequalis est Κl, MI punctum communis intersectio est linearu DS, BE, ΗΚ: unde continuae, stat proportionales G R, F L, D M, 3t segmenta tam concaua, D F L M,F L G Κ, quam ilh eonvexa DF, FG, aequalia sunt. Quod erat demonstrandiim