장음표시 사용
111쪽
PROPOSITIO CXCVII. DAtia A B, A D pro diametris hyperbolae ad rectos angulos constituri
tis coniugatas sectiones describere. - constructio isdemo ratio.
Ponantur E F , H G aequi distantes A B, A Di talio deinde parallelogramo A D C.
ductis quoque ΑΚ, AI fiant rectis AK aequales EF ι rectis insaper A I aequales rectae I, HG. Dico BFF, DGG esse hyperbolas coniugatas. quod sint hyperbolae squarum latera transitersa sunt AB,Α Dὶ demonstratum est prop. praeced. Quod autem coniugatae,sic ostendo. Productis BC in G, & DC in F, ponantur FN,GMq aequi- distent AD, AB, diuidentur ex constructiciis ne hae bifitiam in M & N, a rectis A B, AD, utpote diametris , si ustiue adsecti nem utrimque productae intelligantur. suntque rectis AD, AB quae latera transuersa suarum hyperbola rum ostensa sunt, aequidistantes, igitur AB, Α D sunt diametri coniugatae, ae proinde ipsae etiam figurae coniugari sunt; fecimus igitur quod fuerat
i PROPOSITIO CXCVIII. Lineae A B, A F positae sint ad quemcumque angulum F Α Β, linea- qtie AB diuisitit utcunque in CC, defiat ut AC ad ΑΒ, ita BE ad C D. sintque B E, C D parfletae A F.
Dico puncta DE esse ad eandem hyperbolam cuius asymptoti sunt ΑΒ, Α F. Demonstratio.
DVcantur EG 3e DF, quae aequidistent ΑΒ rcdmigitur sit ut AC ad AB, se EB ad DC , parallelogramma CDF baequalia sunt parallelogrammo BEG. puncta igitur EDDς ad eandem sunt hyperbolam.
SInc AB, ΑΕ lineae quemcumque angulum constituentes, ex B vero punisho lineae AB, ducatur BF parillela ΑΕ: de ducta quavis AC quae FB lineam seeet in C, fiant in continua analogia E G,E F,EHquet parallelae sint lineae A B. Dic Diuiti su by Corale
112쪽
Dico H C putri esse ad eandem hyperbolam eurus asymptoti sunt AB, A D.
Quoniam supponuiuiar lines EG,
tionem, rectangula GEH. quadrato CD, adeoque M inter se aequalia suntrest autem EG ad EG , ut AE est ad ΑΚ: igitur AEH, rectanguisla inter se quoque sunt aeqitaliat: cum ex ijsdem rationein habeant compositam, ex quibus ratio GEH sectangulorum componitur. puncta igitur H HC ad hyperbolam sunt, cuius 6mptoti sunt ΑΒ. A D.
Constituantur duae lineae A B, BG formantes angulum quendam ABC, & ex puncto quovis Dextra angulum assumpto ducantur rectae D E, occurrentes A B ia F: punctis. Fiant autem D G mediae proportionales inter D F, D E. Dico G G esse ad eandem hyperbolam cuius centrum est D punctum. Demonseratio- , sonatur DH aequidistans AB, 8e
'PΚ, GP parallelae BC. quoniam igitur in continua fiant proportione D F, D G,D E, erunt quoque in continua analogia Ic F, LG, H C, hoc est DR,DI, DH;igitur ut m ad DEI,
ad I Ge rectangula igitur . D HB, e DIG aequalia sunt : quare BGG puncta ad eandem sunt hyperbolam cuius cen- - ε.
C C I. CIreulus ABC diuisus diametro AC,
habeat BD normaliter ad A Cconstitutas: ι prodiusta vero CA, fiat vi A D C ad A D C rectangulum, ita rectangulu Α EC ad Α E C rectangulum , & stant rectis B Daequales & p rallelae E F. Dico FF fore ad eandem hyperbolam
cuius diameter est transuersa AC.Demonstratis., ad B D, id est E F ad E p quadratum r
est 4 hyperbola, ad cuius diametrum Cnatim positae sitne EF. -
113쪽
Demonstratio. ΡOnaneur IK qu atquidistet et AD ' errant igi
tui IK aequales D A. quia vero B Μ lineis χώquales sunt DF, & DI aequales L. BD, tectah-gula DIF id est Α KC. aequalia sunt sectan BDM, id est quadratis D A sine I K. igitur Α ΚC iad AKC, rectans unx est ut IK quadratum actquidratu in I R. unde AI, puncta ad hyperbolam sunt. similiter ostendam puncta C G G ad histe bolam ess e. quia etero AII, e GG h et lae communi gaudent tr nsuersa AC, oppolitaretunes sectiones AII, CGG. I
Ireulum ABC cuius diameter AC, contingant quotuis DB.. occurrentes diametro in D: erectis autem parallelis D E , fiant o B c chis aequales DE. . ii l Dico A E esse ad eandem hyper bolam , cuius diameter transiuersa est A C.
moniam BD contingentes sun', rectangulis AD C aequalia sunt quadrata DB id est ex hypothesi quadrata DBquare ADC ad ADC rectangulum, est ut D E quadratum ad quadratum D Rigitur Α EE puncta ad hyperbolam sunt cuius transuersa diametet A C.Quod fuit
114쪽
G D , sese decussantes ad angulos rectos. Fiant deinde contingentibu EF, I G ductis, se s linea AB, de GOὶ producta aequales lineae E Κ, IH pa tallelae diametris A B, C D. Dico D Κ, B H seetiones esse contu
ostensς sine prop. praee. habentes latera Z atransuersa AB, CD, quae aequalia sunt inter sese
se 1 8c praeterea quadrata ER aequalia sine Z
quadratis IH si BI.&DE aequales assu- Tmantur) manifestum est eas ene sectiones coniugatas. Quod fuit dentonstrandum. κ
QVadrantem et rculi ABC continsant D ducantur autem per D o parallelae B C, rectae F D G, quae sint aequales, B E. Dico G Gessead hyperbolam cuius asymptoti sunt AB, BC. Iseon natio.
DEr centrum B ponantur BD. Quoniam contingentessunt ED,&BD pee centrum actae, igitur angulus E DB rectus est, quemadmodum re angulus BFG. quare quadrato BD aequale est rectangulum FBR hoe est per hypothesim BFG. Vnde aequalia sunt inter se rectangula BFG eonstat igitur GG eme ad a hypeib Σ' - iam, cuius asymptoti sunt A B, B C. Quod fuit demonstrandum. '
115쪽
nea vero DC secet circulum in punctis A, C. fiant quoque rectangulis G EF aequalia quadrata E H. x Dico AH B esse ad eandem hyperbolam cuius latus transuersum A C. Demonstratio.
Quoniam ΕΗ quadratis aequalia sunt mmngula GEF quadratis En qualia quoque sunt rectangula AEC: cum A E C. GEF rectansula aeq0 ntur quare us/EC ad AEC, rectansulum, ita quadratum ΣὶI ad HB qu drus uisitur A H B sunt ad layperbolam, cuius latus uansuersum A C.
Constractios monstrario. Porteat autem hyperbolam AH B producere in infinitum. PErminx AC destri tur circvlvs AΜ euiuscunque magnitudinis; ac con-- tingente posita N M quq aequidistet D B , ponantur prςterea K L parallelae contingenti . denique fiant rectangulis O , qualia quadrata KL. Dico ΑΗΒ LM 'esse ad eandem hyperbolam.est enim rectangulum Α N C aequale quadrato N M,ωΑ Κ C aequale quadrato Κ L, q*emadmodum rectangulis A E C aequalia sunt quadrata DΗt igitur cum rectangulum C EA ad CRA , eandem habeat rationem quam quadratum E Had KL,quadratum, manifestum est AH LMesse ad eandem hyperboIam cuius transteria diameterest A
Contingant circuli ABE circulum ADC in A. acta vero communi diametro ΑΕ, ponatur CG normalis ad A E occurrens cireulis in GH: & fiant rectis E H aequales Et quet aeqvidistent GC. Dico CII esse ad eandem hyperbolam cuiuTlatus transitersum A C. Demon natio.QVadratis E Η aequalia sunt
rectangula A E C i sed E Hquadratis aeqqatur quadrata EI, quadratis v tur EI aequalia senegoctangula ΑEC: quare C EA ad C E A rectangulum est ut quadratiam EI ad EI quadratum : puncta igitur CII ad hyperbolam fiunt. Prod demon
116쪽
circellum A BC occurreris reliquis circulis in G G. Fiant autem rectis A G aequalrs si I, orthogo ualiter erectae ex E E punctis. Di eo bit elle hyperbolam cuius diameter transhersa est B H.
quadratum EI aa quadratiim ; patetigitur H B este latus transuersum hyperbo. Quo fuit demolistrandum.
t . . P R Oip o S I T I O C C X. l-ῖ Andem hyperbolam producere in infinitum eadem praxi.
Flat x stangulo Ap, AC, sius quadrato
AD aequale rectangulum E AF cuius latus A E minus sit latere AB. deinde describatu circulus cuius diameter sit ERMAuctae sint R M N, erunt rectangula M R Naequalia rectagulis P RQ.ductis itaq: GHRparallelis AF , fiant rectangulis HGK aequalia quadrata GG. Dico G Iesse ad eandem hyperbolam Io D. nam ante ostensum est esse II ad hyperbolam. insuper ex conis struct. iunt rectangula M R N aequalia rectangulis P R in igitur etiam quadrata R Oaeqvdia sent techangulis M R N, sed per pri- cedentem quadrata RO, GI sunt ad eandem hyperbolam,ex eo quod quadrata R ΟἰzGI sint aeqv iure, angulis MB N. HGΚ; igitur produxinius thyperbolam D Ο Ο,quod rςquimum fuerat. quod si ulterius eandem hypςrboum pxxedere quis intendat eandem
praxim extendat 44 ςirculum maiorem circulo E H F,ira ramςn νς obseruetur eadem conditio, quam hae ropositio r uirit.
BD,lcyonantur EF qtiae aequi distent b D, occurrentes AC in punctis G G, tum per centrum K M puocta si, agantur Κ, P H, rectis autem Κ, G H, fian t aeq uales Gl. Dico BIC esse ad hyperbolam.
117쪽
FIant G I. aequales BD , Ac LM aequa res G I. similiter ipsis ML aequales GN. ducatur praeterea Q. parallela LL, quae rectas GL bifariam diuidati quoniam G aequales sunt dimidijs GL id est BD , sive ΡΗ, erunt Ginaequales ΚΒ, sunt autem GN, vel ML aequales Κ, GH, hoc est GDigitur Κ G reliquae aequales sime rectis Q ostensum vero est ONC esse hyperbolam, igitur & D M M est hyperbola, ac proinde etiam BIC, est enim rectangulum NGMad N G Μ rectangultim hoc est rectangulum PGE, ad PGE, ut rectangulum A G Cad AG C rectangulum.
PROPOSITIO CCXII. Sit A centrum elaeulorum parallelorum B C D, E F G, quos secet recta FH orthogona ipsi diametro communi A Ediametri autem AI occurrant FH in ΚΚ, & circulis in ta , MM : tandem fiant tectis ΚM aequales KL: delineis Α, Κ l aequales KN quae diametro A E aequis
t Dieo NN hyperbolam esse& quidem parallelam ae aequalem hyperibolae CL B. Demonstratio.
D redenti propositione ostensiam est CL B esse ad eandem hyperbolam. quia
Tvero A, RI aequales sunt ex constructione rectis ΚN,&A, Κ M aequales lineis KL, ablatis aequalibus nimirum KL, a rectis KN, de Α, Κ M, a tectis A, Itemanebunt rectet LN aequales A, MI, ac proinde LN lineae aequales inter se. --b xit - de eum C LB constet esse it hyperbolam , constat quoque N NE esse huetb lam; de quidem similem&aeqvdem CL B. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO CCXII I. SEcent inuicem aequales circuli in punctis ABrductam* AB serent
diametri DCF in EE: & per E E ponantur aequidis antes HE orthogonae ad AB. fiant denique rectis C, EF aequales E G, MEHaequales diametro DCF et rectis quoque E G, fiant aequales HI. Dico G G, II esse hypervolas oppositas.
118쪽
o Stensum est propositione Loi liuius CG, teta hyperbolas, restat igitur ut ostend. usillas oppositas esse sectiones; quoniam EF lineis aequales ponuntur EG volHI, Ac DCF aequ*les ΕΗ, rectangula GRI aequalia sunt rectan eatis FED, ide, AEB igiti irvi AEAM AEBrectingulum, ita est lectangulum GEI ad G Eltectangulum,opptisitae igitur sunt a sectiones GG, Π, esim sine AEB, M H I restae lineae. . I
Circulii iii ABC contingant AD, C
aequales N parallelae; coniuncta autem
DE diuidatur in F F punctis, per quar sim Cnanitur FG, quq aequi distent A D. fian , te iangulis B FG atqtialia quadrata FH. Dieo HH esse ad eandem hyperbola ne Demonseratio.
intelligatur insuper duci qu cunque FRU Oc- meretia circulo in U Ac Z: quoniam igitur I Q. I K,'I L, proportionales sunt N angulus FΙK ex hypothesi rectus, lineae FZ, F FU , proportiopales sunt, unde Z F V rest angulum, id, est BFG. aequale est quadrato FK id est qua ato I x vel FP. id est xectangulo SFΤ uni cum quadrato FI id est S in id est rectangulo B S Girectangula igitur B RG id est exiitypothesi, a- irata FH, maiora sunt recta gulis S FT id est quadratis FPt igitur FH quadrata aequalia sunt quadratis F P una cum rectangulis N P H. sed de F H quadrata.id est per j xypothesim rectangula B F G, aequalia ostensa sunt rectangulis S F Τ una cum tactangulis BSG, ablatis igitur aequalibus, nimirum quadratis FP, dc rectangulis sFT, Inarient BSG rectangula, id est quadrata SQ. vel P Κ, aequalia reliquis N PH rectangulis; φ Aetangula igitur NPΗ id est RMK, aequalia sunt quadratis P Κ id est H Μr quare puncta H H ad ς hyperbolam sunt, euius a opposita est Nir.
PROPOSITIO CCX V. Sit A B axis parabolae A E si, ad quem ordinatim ponantur E; C D m
quales rectis AE. ἰ 1 p . Dieo A D D esse ad eatidem hyper lam cuius aiameter A B; delatus transuersum lateti recto parabolae datae aequale.
119쪽
Quoniam CD a quales sunt rectis AE, Ψε
dratum DC aequale est quadratis Α, . CE. Fiat igitur recta A F, aequalis recto lateri paraboIae AEE; erit itaque .rectangulu FAC aequale quadrato C E. igitur rectangulu F ς Maequale est quadrato AC, una cum rectangulo FAC hoc est quadrato CE. unde FCA Tectangulo aequale est quaci tum A E hoc est CD quadrarum. Igitur rectangulum FG ad FCΑ rectangulum, eandem obtinet rati o nem , quam quadratum CD ad CD q adra eum. Ergo ADD est , hyperbola cuius diameter est ΑΒ. latus transuersum ero A P. - - fuit demonstrandum. e
PROPOSITIO CCXVI. 'LIbet id ipsum aliter demonstrare. sit parabolae A BB axis AC, & or
dinatim positae ad eandem CBr fiant veto rectis AB aequales lineae B, CD. IDico ADD sere ad hyperbolam cuius axis A C C Demonstratio.
It A E, lateri recto parabolae A B B aequalis, parallela CB; ducaturq; AG quae tectum an pulum E AC bifariam partiatur, Cui aequi- distet recta EH ducta per E. Eris itaque re ctangulum C AE aequale C B quadrato, hoc est erit quadrato CB aequale rectangulum C G H,cum GC Se CA, item ARGH aequales sint: Si consequenter rectangulo G CH a , F quale quadratum CD, cum illud aequaleposi- tum sit quadrato AB, hoc est quadratu CR de C Ahoe est C igitur cum sit GCH-Dgulum ad G C H rectangulum, ut quadratum CD ad CD quadratum, patet ADD hyper holam esse,& rectas C D ordin alim essepositas ad axem A QQuod filii demonstrandum
SIt A B diameter secundaria parauolet
ad quam ordinatim ponantur C in quadratis autem AC, CD fiant aec tu lia quadrata C E. Di eo AEE esse hyperbolam, cuius latus transiuersum sit latus rectum di metri ΑΒ in parabola.
Demonstratio. FIat AP aequale lateri recto diametri A B iri
120쪽
hoc est quadrato CE. ergo cuin sit rectangulum FCA ad pCA, rectangultimve quadratum CE ad CP, quadratum, maiufestum est AEElayperbolam esse&ΑFlatus eius transuersam. Quod fuit demonstralidum.
qui distent diametro BD, fiat ut GH ad G H , ita GΚ quadratum ad quadratum G K. Dico ΚΚ esse ad eandem hypcrbolam cuius latus transuersum B F. ' Demonstratio.
cantur HL aequissistent BF , ω FN quae a quidistet BD. erit itaque ad. ΗΜL rectangulum .ave linea. B M ad B M lineam, est autem lineqs ' Palis GH 'Intueut est GH M GH lineam , ita est rectangulum H ML, u ML. Ja est recta estim I Hu id NHM, hoe est FG B ad FGB rea sed va GH aa' GH lineam, ita est ex constructione quadratum GKm is quadratin' igitur me est FG ad B rectangulum , ita est quadratum G μἀ: G:lli quadratum. . Hocirca BKKest hyperbol cuius lati' exansuersam in1RRigae ruining nodisi demonstrandum. . 4