장음표시 사용
131쪽
natur quicunque circulus KLMquem M T. eontingat N L ω recta N O normalis
ctam O M secundum rationem A C ad CD. diuisa deinde No in pP, ut est di-κ uisa DE in P fiant quadrata PR aequalia rectangulis S PQ ostedimus puncta LRRς esse ad eandem hyperbolam. quia vero est Ο Κ ad ΚX, ut AC ad CZ, erit quoque
- - S V ad G T , ut demonstratnm est libro de ellipsi. Igitur vi s V ad GT, ita PS ad FG. itaque rectangula GPH similia reuangulis SP igitur ut rectangula GFH ad SP Q, ira quadrata FI MUR quadrata.sunt autem LRR .adnyperbolam: leuretiam BII sintad hyperbolam. εod fuit demonstrandum.
PRO Pos ITIO CCXXXIX. Slat AB, AC semiaxea ellipseon C ΑΒ , sicut ΑΒ prima aequalis sit A C, & ex B rectae erigantur B D, parallela: A C, aequales autem l retibus rectis ellipseos 'eo puncta D D esse ad hypei olam cuius alumptoti sint AC, Ag.
ellipseon aequales sum, rectan. Ia ABD singuia aequidiaesunt, qua drato AC ade ue de inter se. unde puncta D D ad hyperbolam sunt, cuius asymptoti Α ΑΒ. Duili su by Cooste
132쪽
omatiar IG panstrabaeuius EF , aequalis parabolae A B B id est habens latus sectum axem Evale latexi axeos B B, M IB, aequalis sumatur PN q uae in no parabola ordinavina applicetiae ad axem E F sumptaque F L aequali I C ciminantiit RNO, MN, Mae luidis antes KL, FE: eritisetur NL rectati tum Amata rectangula Ac se R quadrata aequalia quadratis BC. vlterius si inter '' 'medis pons intellistur, producent illae parabolam aequalem EGG. idaea λθ Rr hoc est par, iam producent hab*ntem ad axem Iatus rectum aequale hueri lecto eoa B R. rectan.la igitur P Qo parabola' proaueunt A 8 B. sed a Qio rectangula una cum qusdratis QR,quadrata producutitPR qii ordinatim ea me in parabola,EG G M axem EF, quadrata igiturAB, una cum quadratis arabolam producunt E G p.Quod erat demonstrandum.
133쪽
DAta sit parabola A B C, α eiusdem altitψinis Xyperbola I
habentes communewaxem AF, ad quem ordinatim positae igni
Donatur ex A linea AG oecurrens FD lineis in Ga M AG parallela HRM. .... L FGH rectangula aequalia sint quadratis FD: patv Hri essem directum ne: Σ- iterum FB quadratis aequalia rectangula GFI: conli 'quoque II esse rectam' lineam. deinde IK rectae aequales fiant F G i patet & Κ Κ esse tectam lineam, rectangula igi ur IKF aequalia sunt quadratis BF. de IKFΗ ectangula aequalia quadratis FD 1 unde IR H rectanDIa aequantor quadratis B F, FD. si autem IK in rectangulis aequalia ponantur quadrata KL, punct ΚLL ad hyperbolam sunt,igiatur si B F, F D quadratis aequalia ponantur quadrata, patet illa quoque esse ad hyperbolam. Quod erat demonstrandum.
Ponatur ellipseos axis maior AB, ex centro D, post iis quotuis diametris ITE, fiant E parallelae DC diametro coniugatae ΑΒ ι, de fiant rectis D E, aequales E, F G. piso G G esse ad eandem hyperbolam cuius centrum D. i Demonstratio FIant tectis FG aequales FK.
de describatui circulus super axe A B, dc perficiatur quadratum N's, erit itaque rectare selum I ELi ad I EL , rectangi Tium quemadmodum est rectan- i: ultimo ad'QEP, rectam '
uitFE quadratum. unde ut est FE quadratum ad quadratum R. FE, ita similitet est HGN t ctangulum ad tectanguluMGN'cum ex constructione DEbs
aequales FH vel FN, est autem quadrarum
134쪽
quadratum ad PE, qu dratum trectangulum AFBAd AFB rectangulum, a . D. hoe est RHO ad RHo: igitur GHK rectangulum est ad rectaugulum GH ut rectangulum R H G ad R H O rectangulum. ergo G G , Κ Κ iunt sectionest oppositae habentes centrum D. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO CCXLIV. I Uber propositionem praecedentem nonnihil aliter demonstrare. Demonstratio.
It itaque ellipsis ABC cuius centrum D, axis maior .AB, minor DC r cui parallela: ponantur FH; M rectis D E fiant aequales E, F G. M E, F L Dico G G, II en oppositas sectiones, quarum centrum D r ponantur H H, L C axi parallelae: erit itaque quadratum D E, aequale quadratis EF, FD, igitur etiam qua vietasii. dratum FG ijsdem aequabitur r ablato igitur communi quadrato EF , remanebit rectangu-ham G EI, aequale P D quadrato. unde ut est
FD quadratum ad FD quadratum . hoc est quadratum G M ad G M quadratum, ita est rectangulum GEI ad G EI rectangulum, est autem& HEL rectangylum ad HEL, το- .ctan tum id est E HK ad E HK, ut quadratum FD ad F D, quadratum siue HNad HN quadratum,igitur de GHI rectangulum reliquum ad rectangulum GHI est, in quadratum FD ad FD quadratum; snam GEI rectangulum aequatur rectangulis GHI. & HEL. igitur ut rectangulum GHI ad GHI, B D quadratum ad quadratum FD , id est HN ad HN quadratum i quare GG, II sunt. oppositae sectiones, quarum centrum est D punctum. Quod fuit demoostram
Ponatur AB axis maior ellipseos, cuius centrum Ct assumnto voci puncto quodam D in axe AB, quod inter centrum C& punctum s et eo stitutum sit, ducantur ex eo rectae τ' natur F Giordinatim ad axem A B. fiant aute rectis D F, quales F,G H,G LDico puncta H H, II esse ad hyperbolas oppolitas.
135쪽
A Cta per D recta ER normali ad Aa, ponamur per E&x intingentes ellipsim
a rectae ELAEL, oecurtentes rectis GH,in N &M et conuenient igitur EL, KL in puncto , quodam L, quod in AB producta est, quoniam rectis I Faequeses p stat sunt F,Grede P. GI, igitur quadrata FG, GD aequali. sunt quadratis HG,hoe est reetangulis II PI, una cum quadratis F Gunde ablato communi quadrato P G, remanet ΗFI rectangulum aequale quadrato GD: quare ves quadratum GD, ad GD quadratum id est NE quadratum ad quadratum NE, sic rectangulum H FIad H FI, rect ngulum. est autem ostensum NFMirectangulum esse ad rectangulum NFM ut NE, quadratum ad quadratum N Et residuum igitur tectangulum H NI ad HNI est, ut quadratum N E ad N E quadrarum. igitur per conuersis huius erunt H H, II sectiones oppositae.Quod demonstrandum fisit.
PROPOSI.TIO CCXLVI. SIt ellipseos ABC, foeus D; assumpto autem in axe puncto E inter
cum & verticem ellipseos Α, ducantur ex Ead perimetrum ellipseos quotcunque E Fs di per F rectae ponantur F, GH, normales ad AC Maequales Ep.
Dico B H Η, esse ad eandem hyperbolam. Demonseratio.
FX foco D, erigatur ordinatim ad axem DFN & per F de N, contingentes in onantur F , NO. diuisa deinde bifariam ED in I, ponatur IK parallela DP, occurrent contingenti FΜ in L. quoniam igitur D locus est elIipseos, deIK, EB normales ad A C, tectae DK aequalis , est I L, prout contingenti occurrier sed DK rectae aequalis est ΕΚ, quia ED in I bissecta in in rectη igitur AK, II. aequales sunt sed per hypothesim rectae E K aequalis est IL, prout oecurrit figurae ΑΒΗ. punctum igitur L communis intersectio est figuri BHΗ de lineam IK,PΜ: fiant deinde GH lineis, uales GΥ: erunt igitur H G quadrata aequalia quadratis M G, una cum redeaasgulis H M Υ: quia vero rectet E F, per hypothesim . aequales sunt GH,&DF aequales ipsis G M, quadrata ERDF aequalia sunt quadratas
136쪽
t stiperant quadrata DF rectangulo e G bis sumpto avnacii quadrato ED; itangula igitur g DG bis suilipta una . i
n quadrato ED, aequalia sunt rectan-
E D quadratum; proflueet ς illud Vna l l l sn parabola , parabolam i igitur 3e ii
MY rectangulis si aequalia fiant qua- - - -l, ita, producent illa parabolam.similiter o P O rectangulis aequalia fiant quadra- producent 4 illa layperbolam , quae l l lita parabolae , quam V M Y produ-
. generabit hyperbolam igitur si -- Y rectangulis , quς aequalia fiant /εὰ, MPUὶ aequalia fiant quadrata, e Z V. producent illa quoque hyperbolam: cui isti addantur quadrata PG, producent illa . 'Osimul f eum hyperbola,hyperbolam. sed H PY rectagulis -a cum quadratis P a ' i aequalia sinit quadrata H G, id est EF. AEquadrata igitur EF hyperbolam produ- Cunt cuius ordinatim ad axem positaesiani EF, id est GH : hyperbola isitur est ΠΗ, YT ,
PROPOsITIO CCXLVII. HYperbolam ABC cuius a b AD communis est parabolae ex qua
orta est, reducere ad parabolam.
Conflauctio es onstratis, Dostis ad axem AD in hyperboIa ordinatim linei BE; fiant EB lineis aequales AR dico AFP esse parabolamquς produxit hyperbolam ABC : ponatur AG latus transiersum hyperabolae .quoniam igitur ABC hyperbola orta ex Parabola sommunem cum illa habet axem , rectangula GEΑ aequalia. sopi quadratis yE, id est per construct. quadratis A P, id est quadratis ALEFr ablatis igitur communibus quadratis' A E , manent G A E tectangula aequalia quadratis EF : unde ut A E ad AE , sic FE quadra. tum ad quadratum.F E:parabola est igitur AFRec eadem ex qua orta et hyperbola AB Q
137쪽
rant parabolae in E Et pol mur AK, BG parallelae diametris. fiant tandem inediae proportionales inter ED, DM,scilicet D F. Dico BF C esse ad eandem hyperbolam. Demonstratis.
Pri 'puncta E E ducati, tur parallelae EI ipsis A , quae lineam BG dua
ctam ex B parallelam axilecent in G, G. fiamq; in ter I G, GE mediae pr portionales H G.erit haec parabola prout lib. de p rabola us, demo iurata est, igitur ut quadratum GH ad. GH, quadratum,
Ba d quadrato HG aequale est IGE reetangulum, hoc est LEG,hoc est A DBaigitur ut ADB rectansul lina ad rectansulum ADB, ita est BG linea ad lineam BG. hoc est D E recta ad rhetam DΗt sed ut DE ad DE. ita rectangulum ED Mad E D Μ rectangulum , igitur B D A rectangulum est ad rectangulum B D A, v est EDM Hetanguluin adfectangulum EDM est autem EDΜ rectangulo aequale uadratim 'DF., ex ipse constructionei igitur ut BDA ad BDA, rectangatum, ita est quadratum DF ad DF quadratum. Quare liquet BF C este hypervolam euius diameter ΑΒ est transuersa. Quod oportuit demdnstrare.
ordinatim sit constituta A C, cui sit aequi distans E F, ductisque G l parallelis ad axem, fiant rectangulis H Gl aequalia
Dico Κ Κ esse ad eandem hyperbola Demonseratio.
L Iant GK lineis aequales GL , Ac AE κ-- qualis EV ponaturque V M aequi distans AC. Quoniam rectangulis H GI aequalia sunt quadrata GK, hoc est rectangula LGK., ω quadratum G I, aequatura rectangulis HGIN GIH simul sumptis i de idem quadratum G I hoo est rectangula M GI aequentur quadratis G Κ, Et rectangulis MKI id est MLI. igitur rectangula MLI, hoc est LI aequalia sent rectangulis G IH. est autem HI, linea ad lineam H I,ut ii rectangulum AIC ad AI C. rectangulum, igitur etiam MKI rectangulum est ad rectangulum M ΚI ut ΑIC , rectan- 'gulum ad rectangulum ΑΙ C; puncta φ ergo x K sitne ad hyperbolam. Quod fuit demonstrandum. PRΟ-M M H IN N
138쪽
o tuantur quot uis parab lae ACB, ad eundem axem erecta deinde Α Dquq aequi disteeiCF ponantur C, D E aequales lateribus rectis singularum parabolarum. Dico E E puncta esse ad eandem Euperbolam cuius
R EctanguIumenim CF,DE, aequale est temper eidem a quadrato AF ι unde momnia rectangula ADE imesse sunt aequalia. quare EE puncta sunt ad ean. m. hyperbolam, cuius asymptoti sunt AD, AB. Quod fuit demonstrandum.
HΥperbolae A DC sit diameter transuersa B O ducta A C ordin tim ad D B, sint illis parallels F E. Fiant autem F G ad F G, ut sint FE ad F E. Dico G G esse ad eandem hyperbolam. Demonaratιλ
vectangulum. nam rectangulum B ID ad B ID, irectangulum habet rationem composeam ς R- lier maioria Bi ad BI, hoe est L H ad L H 3 dc cx t : - l s Di 2. . ratione DI ad DI, hoc est KH ad ΚΗ. est au- . item quadratum I E, ad I E quadratum vzrectam , pulum DI B ad DI B rectangulum, quoniam supponitul DB transuetia diame ter hyperbolae ABC t igitur etiam rectangulum Κ H Lad ΚHL, rectiangulum est ut quadratum IE a I E quadratum,hoe est quadraeum HL ad Hia quocirca
139쪽
It AB diimeter transuersi hypessi lae BC D i ductisque orchnatim fiant G F ad FG, ut CF ad FC. A rui Dico BGG esse ad eandem hyperbS
QVρniam ex suppositione AB est diameter transiuersia hyperbolae BCD, igitur ut in FC ad ED, quadratum; ita est recta muri
AFq. ad ΑΕΒ tectangulum. ergo i quadratum GF ad ΗΕ quadratum . ira quoque est AFB rectangulum adrectangulum AEBAgi-iturno H hyperbola est cuius . latus transireta, sum est A B.i Rilod demonstrandum M - -
SInr AB, C D diametri coniugatae hyperbolae BEF & diametro AB sani hciuidistatues C E. Deindo fiat ut C E ad H F ita C G adH L
Dico IGG esse adeandem hyperbolam. . : Demonstratio. iFIae rectae OK aequalis ON r ω ponantuT G L, IL parallelae C D, quemadmodum etiam EM & F M. quoniam BEF ρ6nstur hyperbola cuius leansuersa diameter ΑΒ , erie ΑΜΒ ad Am, rectangulum restquadratum B M ad FM quadratum, hoc est ut quadratum G L ad I L quadratum. est autem C E ad O B , ut CG ad OK: igitur est o L ado K. ut O M ad OB: &OK ad KL , veo B ad ΗΜ; &NK ad KL ut AB ad B M denique&NL ad LM. vi AM ad MB. quare rectangulum AM Bad ΑMB,rectangulum est ut rectangulum N LK ad N LΚ rectangulum. quare cum sit rectangulum AMB ad ΑΜΒ, reactangulum ut est quadratum E M ad F Μ , quadratu n, hoc est GL quadratum ad quadratum IL, etiam erit rectangulum MLΚ ad N LK, rectangulum ut quadra. tum GL ad I L quadratum. igitur manifestum est KGI esse ad eandem hyperboa Iam cuius diameter transuersa est N K. mod fuit demonstrandum. '
rectis BC, fiant lineis AB aequales lineae B, C G. Dico A G F esse ad eandem hyperbolam cuius axis est A D.
140쪽
'Veatue Iinha AH secἔs lineam Bd, 1 sie vi HC G Afint aeqv.iles;& fiant tres quantitares in continua analogia 'C H, C B, Cierit Ii linea recta per ' V κconuertam propcisit. 's. huius. Fiane ς praeterea rectis C H aequales IK: erunt digitur rectangula H CK aeqtialia qua- dratis C G. igitur Α G G est hyperbo- e . Nula, quod ira patebit, ponatur Μ L aequi- D B πdistans A D. Igitur per I92. huiussi fiant quadrata G aequalia rectangulo I CL, una cum rectangulo HGLK, erit GG hyperbola .: sed quadratum. Hc vo cum quadrato CB, aequa e est rectangylo H CK: hoc in rectangulo HCI. una cum quadrato KI, vel Ho igitur AGF sunt ad eandem hyperbolam. Quod fuit demonstrandum. .
Sit AB axis hyperbolae BC D, cuius E centrum, & axis coniugatusF E, e centro veho E ductis diamEtris E C ponantur C, G H, aequales EC,&axi parallelae. eo B H H fore hyperbolam. Damonstratio. .
Donatur ordinatim I & Ηk. quoniam BCD A Anyperbola est erit AIB ad AI B, rectangulum. vi quadratum C I ad CI quadratum. posita ita- luque B L, quae aequidistet E F, & hyperbola opposita A Μ M; erit rectangulum Μ LC ad Μ L C. ut quadratum L B ad LB, hoc est C I ad CI,qua- M ad; adratum.Sed quadratum E C aequale est quadratis
EI de Ci, hoc est quadrato EB de rectangulo
AIB, una cum quadrato CI: est autem quadratum GH illis ipsis aeuualei igitur ablato commuinni quadrato GL remanet L AN, atatuale rectangulo AIB una cum quadrato CI. erit ergo re- ὰ sciangulum H Co aequale quadrato CI,quoniam XV Krectangulo AIB aequatur MN C tectangulum. quia vero est ut CI quadratum ad CI quadratum, ita rectangulum AI B ad AI B, hoc est M N C ad MNC , erit quoque t elangulum o M H ad OMH, ut rectangulum MNC ad MNC , rectangulum: mg-υ mucrangulum ONUM o NH, hoe est ΑΚΒ a d ΑΚΒ, eandeA ta- αυ-emhabet quam quadratum C I ad CI, Me est, HK ad II quadratues.patet. uixitqBHH esse deandem hyperbolam. PFiutat demonstrandum. :