장음표시 사용
91쪽
SInx AB, BC axes Marum parabolarum aequalium,angulum rectum continentes, quae&asymptoti sint hyperbolae EFG r punctum autem D in quo patabolet conueniunt; ex quo demittantur DB, DC aequidistantes asymptotii. Dico spatia D EF, FGRGDHinterie esse aequalia. Demonstratu'.
T Emonstratum est quantitatem DPHε adnplam esse quantitatis DEF. insuper ostensum est quantitatem E GD duplam ese DG H. igitur quantitas EF aequalis est quantitati DGH r ac proinde quoniain EDF una eum DFG, duplum est D GH, ecie quoque D EF cum DFGduplum DE P. igitur sunt aequales quantitates DEF, DFG, DG H. Quod fuit demonstrandum.
Dico spatia similiter aequati intersequae residua sint nimirum EBAR FAGRGACH.
. Demonstratio. : IT Rrode parabola propos 13 ostensum est AFDC parabolam conuexam duplam 3 esse concauae A ADFAr similiter ΑGDR conuexam duplam esse concaua ' A C D G Α: sunt autem ex hypothesi aequales parabolae A P D C, A G D B, residuα igitur ABDF , AG DC aequales quoque sunt : quia vero tam ΑFDB cit ΑFDGA duplum est ΑGDC , & rursum AGDC cum AF DG Adulum AF DB, tresquantitates ABDF, AF DG Α, AC DO 'quales sunt: sed per praecedentem aequales quoque sene AF D, DFG, D n G, residuae igitur aequales sune AB EF, AFGA, AGH C. Quod erat demonstrandum.
SEcet parabola BED, hyperbolam GEH ut
prilis inter asymptotos Α B, B C constitutam lin E,& ducta B D hyperbolam secetin F , para bolam verδ in D, ex D vero dueantur D G, Phrparallelae asymi totis. Dico quantitatem mixtiluaeam DEF, ex parabolica; hyperbolica & recta constantem, dimidiae parti fisurae DGE esse aequalem vel quaris: parti figurae DEH. . ' l Demonstratfo.
92쪽
cantur asympiptis ι erunt triangula' ΚΒ, ILBinter se aequalia, ae prostitie totae z ε . sparabolae EBK,BLI aequales erunt.quia veto EM,M Iς lineae aequales sunt EMB b,... n. triangulo, B MI aequatiir med etiani segmenta i convexa EF M, MFI aequanturi igitur etiam pars parabolica BEM, parti parabolicae M BI est aequalis, estque se. gmentu insiyperbolicum EF I, bifariam diuisium diametro B, igitur sublatis se duri gmentis hyperbolicis aequadibus remanent quantitates mixtiImeae EF B, FBI ex parabolicis hyperbolicis & communi recta estormatae inter se aequales: & quia para. la BED B aequalis estparaboIς B ID B. igitur etiam mixtilineum EF mixtilineo DFI est aequale: est vero mixtilineum DEFID aequale DGE, igitur pars DEFD dimidia est figurae D GE, Sc quartae parti figurς DEI H aequalis. Quod filii demonstrandum.
PROPOSITIO CLXIX. . SEcet parabola ABC constituta ut prius, hyperbolam in B, & ducta
sint AC, AG occurrentes hyperbolae in r& H, tandem demittantur C F G M asymptoto parallelae. Dico partem mixtilineam GHIC esse mixti linei CGKL quatis parti aequalem. Demonstratio.
Ust enim BGH aequalis iquartae parti Gn per propositionem price dentem, quemadmodum Per eandet'θ tium C BI quartaest pars quantitatis C B est autem AIC G,H A quarta e pars CFM Gi & H Α Η, qualitas est quarta pars quan . , ..d. timiis KΜFL, igitur G HIC spatium,spatij GΚLC quartet parti existet aequale. - - - 4siit demotistrandum. t in 'L V .
Cine AB, Α C axes parabolarum A G D, AID ad angulos rectos 'DB, DG parallelis, axibus, actaq; AD ponatur
93쪽
'stendimus libro de parabola . IRFΗ,F E tres esse in continua ratione. Osten visum insuperest FH, FG, FE esse continue proportionales. Igitur cum sint haeseries trium continuarum habentium primam FB communem, ratio tertiae I ad tertiam FH, duplicata est eius quam habet secunda FH ad secudam GF.igitur tatio GF ad I F,quet est composita ex ratione GP ad HF: &ex ratione H F ad IRuς duplicata est lationis GF ad ΗF, triplicata est rationis GF ad HB. Quod
PROPOSIT IO CLXXI. Constituantur axes A B, A C parabolarum A E D, A D G eontinen
tes angulum rectum, &ducatur Ao inter illos axes tamquam
a ,mptotos collocata hyperbola Ire occurrens AD, in Κ, & recta ECasymptois aequidistans occurrat sectionibus parabolicis in E & G petquae puncta agantur A E, A G occurremessigi i hyperbolicae in pun
Dieo segmentum IA K tertiam esse panem segmenti IAH , siue dimidiam F A H. ' . Demonstratio.
ud GC , esse triplicatam eius quam habet ratio EC ad FG unde ratio FC ad GC , est duplicata rationis E C ad FC. sed ratio FC ad G C, eadem est cum ratione Κ N ad R N,& ratio E C ad F C , eadem eum ratione IS ad TS, igitur ratio MN ad RN , duplicata est rationis I β ad T S. led ratio K N ad R N, dupli
Stensui. est praecedemi propositione ratione ECDisiti od by Corale
94쪽
HYPERBOLA, eati est . rationis N HILO, gitur ram N ad
IS ad T S. ratio vera.IS adigitur
REctcae AB, BC ad angulos rectos collocatae ponantur, quae sint a symptotili perini e M DU &Metpzrabolliriun BE D, B pDi sit hue EF asymptoto A B pa Allela, per cuius extrema agantur B E G.BFEducatur' B D. t Dico figuram G BD, figurae DB H dimidiam esse. ' Ait Demonstratio.
NL proportionale sint de ratio Gas ad P Μ duplic re j tar tionis lGMad Dia ob eandem cavstm. Igitur etiat ratio D L ad HR. duplicata est rationis G M ad .να . Igitur perficies v DL RH dupla est, plani GMLD, hoc est DBH, quantitas dupla quantitavi DBG. -
PROPOSITIO CI. XXIII. - . a re V
QVod si manentibus iisdem recta F Q constituatur parallela BC de
agantur lineae B QT, B F H. Dico segmentum D Budisimidium fore segmenti DB T.
aequidistentasymptotoisc, appare- Q u
95쪽
var proponitu soli inobismata, M.
Atarum syperbosarum conuexarum exhiberet rationM.
sitisque axibus BG, ΕΙ, agantur per G 3e I contingentes GL , MI et dico N X G hyperbolam esse ad hyperbolam OTI, ve LGB triangulum ad triangulum ΜΙ E. fiat enim ut BG ad GH, sie EI ad IK, M poe Η Ν Κ, ordinatim ponantur lineae ANH, D OK, iunganturque N G,ΟI, BN, EO. Quoniam' est ut B G ad GH , se EI ad IX , quadratum L G t id est rectangulum AN C, est ad quadratum AH ut ΜI quadratum sid est restangulum D O F) ad quadraturia D Ri & permurando ut AN C rectangulum ad rectangulum D O F, sic quadratum AH ad quadratum DK : reliquum igitur quadratum Nn est ad quadratum OK,ut ΑN C rectangulu ad rectangulum D O F. id est quadratum LG, ad quadratum MI. quare NHlinea, est ad LG Iineam, ut OK ad MI. est autem ve BG ad GH , ite EI ad IK , triangulum igitur Io Kest ad EI Mitriangulum, ut G NH ad BGL t & veEIΜ, ad BGL, sie IOΚad GNH: sed etiam vi EI ad IK , sic EOI triangulum ad triangulum I OK, ω ut BG ad G Η,sie BN G ad G NH. igitur & E OI ad ΙΟ Κ, triangulum est, ut BN G ad G NH, aevi I OK ad G NH, sie EOI ad BNGr quate Sc EOI ad BN G est, ut EM Tad BL G. vlterius, bisecentur OI,NG, In alis, positisque ordinatim SR,. QP, ducantur E T S, B X in & Τὸ X γ ordinatim ad axes B G, EI ; ponantuτini oper ΖΟ, ω Τ, α I item UN, λX, β Gatqui distantes asymptotis BC, EF. erunc Σητε. ni in ream N U,λX,βG, quam αI,ωΤ, FZ o continuae proportionales; unde MNA, XE, GL,item Do T Y,MI quoque in continua sunt analogia: &M Iad Do in duplicata ratione ΜΙ, ad YT; uti LG ad A N, in duplicata ratione L G ad X: quia vero DK est ad MI, ut AH ad LG, de OK ad MI, ut NH ad LG, teliqua D O est ad MI, ve N A ad LG: igitur de YT ad MI, ut a X ad L G. MDj0itirco by Corale
96쪽
ME ad YE. id est IE ad δE, ut L A ad a B, id est BG ad gγ. est autem etiam vi EI ad I R, sic B G ad G p, quia I Κ, GH in P de R, histe stae sitnt, ex con structione; igitur & Bν ad γ P, ut Evδ ad δ R, id est B X ad X Q, ut ET ad Τ St& B Q ad 4X, ut ES ad 5 st, sed ut E S ad ST , sic OEΙ triangulum est ad triangulum IT O, & ut B Q. ad X Q, sic N B G triangulum est ad triangulum N X G, triangulum igitur BN G ad N X G, est ut EOI ad OTI triangulum, repermutando O TI ad NX G, ut O EI ad N B G. id est vi EI M ad BL G. per
ante demonstrata I similiter ostendemus, si residuis legmentis OT, T I, item NX, X G etriangula inscribantur maxima: triangula segmentis OT, TI inscripta, esse ad triangula segmentis NX, X G inscripta, ut EMI triangulum est ad triangulum . s. BL G. Quod cium fieri possit sine termino, constat. segmentum 1 To esse adsegmentiam G X N, ut EMI triangulum ad triangulum B LG: additis igitur trian-- M. gulis N GH, O R I, quae proportionalia ostensa sint triailsulis B LG, EΜI, patet
semi hyperbolam NX GH esie ad semihyperbolam OTI H, ut BL G triangulum ad triangulum EMI: quod propositum fuit.
PROPOSITIO CLXXV. ΗΥperbolae a8 eandem applicatae diametrum & communi gaudentes
transdersa, eandem inter se habent rationem, quam ordinatim positae eandem habentes altitudinem.
C It AB diameter transuersa communis hy- perbolis B G D, B F E: positaque ordinatim ad BC diametrum, linea EDC,bisecetur BC in FI , S: HGF ducatur aequi distans EDC, iungamurque pumaa B D, BE, FE, FB , GD, GB : .ut AH B tecta ligulum ad rectangulun A C B, sic H G quadratum ad quadratum D C, ω FH quadratum ad quadratum EC: igitur MHG lineaeli ad DC lineam, ut FH ad EC, Nut DC ad EC, sic II Gad HPHed ut DC ad AC, sic HK eli ad IIJ, recti; igitur H G, FH proportionales sunt Hia, HI .r quare ut HG ad H F , se GK residuum ad residuuin FI: est autem ut GK ad FI, sic BGK triangulum ad triangulum BFI: adeoque&B GD ad BFE, triangu Ium igitur BGD ad BFE, triangulum est ut G H ad F H, id est ut DC ad EC : similitet si residuae B H, H C bissecentur, M a sectionum punctis ordinatim ponantur lineae, fiantque triangula vi prius,ostendetur triangula residuis segmentis v GD inscripta, esse ad triangula segmentis BF, F E inscripta, ut DC linea est ad lineam ECi quod cum semper fieri possit, hyperbola d DC est ad liyperbolam BEC ut BDC, triangulum ad triangultim BEC, id est DC linea ad lineam EC, hyperbolae igitur ad eandem applicata di
metrum , dcc. Quod erat demonstrandum.
97쪽
CIiit A B C, D E F asymptoti lay- perbolarum o PQ,NST, positisque axibus BO, EN ducantur O G,N K aeqitidistantes asymptotis AB, DE: dico spatium infinitum inter asymptotos ΑΒ C MhyperboIam Ο Ρ insonstitutum. V ad spatium infinitum hyperbolet concauae N S i eam habere tationem, quam o B G trianguIum habet ad triangulum NE K. fiant continuae proportionales B G,AH, B I,B C, dcc. factoque ut B G ad BPq, sic EΚ ad E L, continuetur ratio E Κ, E L in M, & F, eriganturque H P, IQ, C R, c. item LS, MT, F v. &c. aequi distantes asymptotis AB, DE. quoniam
igitur B G, 3 H, B I, BC propontionales sunt, M OG, PH, Qti R C aequidistant asymptoto A Baequalia sent segmenta PG, Q H. R I,8ec. sine termino sic continua. ta : similiter aequalia sent seli en-ta NL, SM,Tp sine termino ; segmenta istur O H, PI, C,Scc. in infinitum simul sumpta,id est tota hyperbolaeoncaua O PQ sine termino producta, est ad se-aiis. D. gmenta infinita N L,S M, T F.5 c. in infinitum, a vi segmentum O H ad segmentum N L, id est b figura OBP ad figuram SEN. vlterius positis per N dc O, con-b ... h. tingentibus O/Nα, ducantur illis parallelae per S & P , lineae Zβ, γα ut B G-- ad B H, ideste H P ad OG. sie net hypotheum est E K ad E L, id est S L ad N K. ς' sed ut OG ad PH, sie Oδd ad Pia, & ut NK ad S L , sic Nα est ad SZ, ut igi-οδ adpω, sc N is ad SZ, est autem ut οδ ad ω P, sic es B ad δB, id est 1 Bade 4.ώ-ia. OB, 3cyt Naad SZ, sic ZEad αE, id est is E ad NE, igitur ut OB ad γ B, sic NEada E, & E Nα triangulum ad itiangulum Eis Z, ut Bo, ad Bγω triangulum: sed est quoque triangulum BHad triangulum s PB, ut αN E triangulum ad triangulum Z SE, quia igitur At αNE triangulum est ad residuum triangulum S βE, αδ B ad residuum triangulum P γ B, he vi δο B ad αN E, sic P γ B ad Sc E. sed ut Βοδ triangulum ad triangulum FNα, se spoγ segmentum ad segmentum ui S NS, residua igitur figura P OB ad residuam SEN, est ut triangulum . OB ad MN Ε, triangulum, ia est ex ante demonstratis triangulum bi P B ad triangulum g - - Z SE, id est ut ante ostendi BP H triangulum ad triangulum L SE. id est ι B O G triangulum ad triangulum ΚNE. Unde cum ostensum sit liyperbolas concauas, BO PQR , EN STV in infinitum productas illam inter se obtinere rationem, quam uurst PB O, S EN, patet esse ut BO G triangulum ad triangulum ΚNE,sic BOPa. hyperbolam concauam ad hyperbolam EN S T. Quod erat postulatum.
Yperbolae communem habentes diametrum transuetiam , ordinatim positas ex ijsdem erectas punistis, habent proportionales;&cOn-
98쪽
commune ita metrum transuersam . .
AF, ad uam ex iisdem punctis I, G Or- dinatim ponantur I DB, GEC, dico ID, G E proportionales este I Η, Π C et cum ienim quadratum iu sit ad quadratum S
tionem quadrata BI, C G patet ID , EG quadrata proportionalia esse qua ain I B, C G, adeoque & lineas, lineiς proporta onales,quod erat primum. Sintiam ID, GE lineaeptoportionales rectis I B, C G ; dico hyperbolas ΑΒ C, ADE communem habere transuersam diameisum F A. sit enim F Α illameter hyperbolet AB C.Aerit igitur ut quadratum IB ad quadratum C G, sic FΙ Α rectan. sutiam ad rectangultim FG A, sed vi IB quadratum ad quadratum C G, sic ID quadratam ad quadrarum EG ex stupposito , quadratum igitur ID ad EG, quadratum est ut FIA, rectangulum ad tectangulum FG Ar quare F Α quoque di moerest hyPerbolae ADE. Qii oderat demonstrandum. T μιν his exigere videtur, utpausi fusius expilaemus in quibus Linuisads h pernum F mitam eon at, δι metas d crimen pis di erravidotur interse hverbolica se Mnes dignesi queat. Enimuero plurimi perse sumsibi habent, in erentiam intersectiones sinu, que Moviagam me es indeterminum, inpraeter communeratiquas proprietates in quibus ingui'erboo conροηιunt, qu/ωμνι dia erri comisgata assuetoli, titerare in sinarimposita, ct husmisia, nusia postformamimentia, qά. atia ab altas diro iuri sed nor
Druntur : nam inter Elguses non ess maius distrimen, ac circulum, quam inter , perbolas r periatur et Er uti circuisu ARC cum quavis elli comparari potes, secundum oriunatim positas, si1bret secundum rasionem B F ad E F, mel GF, dummodo proposita qua--uu esi sis ad unamsibi similim qua em Α C habeas aqualem reducaturi ita quoque omnibus h perbosic id commune est : quod quo melius asequi valeamus comparabimus h perιoiam AB C. cuius Ur oti,
rectum continent angulum Greuti
mur ps ita ara Est προ- ritur. eodem seorsus tenore inb perbolis contingit, aram quadra F si, vel G E, eandem interseser-
99쪽
fruuntur vortionem, vi inter quadrata B E exseror, dummodo ad amdem Hametram applicentur: quodpostes ride quavis sperboia,severiore pro stionem demonstratum. quocircaueris existimo esse manifestum qua ratione daram perboiam eum qua- alia quis conferre valeas, eademsilicet axi utendo, qua cum ellio I hane compararionem instituerer, cum Vse circati ,plaribus non exsimo me eam rem inculcare debere, praesertim cum istiqui. busdem seria haeribiumremansieris, sola praxi quamproposuimus bifacturisis Mis.. - PROPOSITIO CLXXVII L
hyperbolae similem alteram construere quae datum habeat
agem transuersum. - . i. . Constructis e ' monstratis. SIc ABC hyperbola, εerecta data EF,opo tet ad EF layperbolam ponere,similem dat et ABC: sit ABC hyperbolae axis AD ad quam ordinatam applicentur B fiantque ut DAMAN , sic EF ad FH, & ex H normales erigantur H G, proportionales BN patet FGGpuncta esse ad hyperbolam similem AB C , κFE eiusdem esse axem, datae igitur hyperbolae.&c. Quod erat faciendum.
PROPOSITIO CLXX1Xe Iisdem manentibus figuris, propositum sit datae hyperbolae similem exhibere,
superdata recta. Constructis Salimnstruma.
O erbola data sit ABLt recta vero data se OK, oportet super o Κ hyperbo-A AElam constituere similem hyperboIae B A L. Fbperbolae B A L axis ponatur DA dc ad illum ordinatim linea CIL, diuisaque bitariam in M linea O Κ, erigatur ex Μ normalis ad G Κ, linea ME, ut Obi sit ad ME, sicut C Iad IDrtum EM secetur in P & H, sicut ID secta est in Α de C. fiatqi vi EMFrectangulum a1 quadratum OM, sic EΗFrectangulum ad quadratum GH, patet O GFΚ ego adhyperbolam similem B ΑLi datae igitur hyperbolae, &c. Quod erat faciendum.
100쪽
DAtas duas hyperbolas diuersae maegnitudinis axes habentes , redac re ad hyperbolas similes eandem diametrum obtinentes. c., buttio es demonstatio. - ' ' , HAbeant ABC, EFG hyperbolae inaequales axes DB, H F; oportet ad axium alterutrum , puta H F applieate thyperbolam similein A B C. ponamur in ABC hyperbola ordinatim lineae O T. MV, AX, MDB. DT,DU, di c. lineis, - μ- proportionales fiant H F, HR, HS,HZr Aae Ponantur', ordinatim in hyperbola E F G, ilineae N R,LS,EZ. deinde fiant BR, QS, I Z. lineae proportionatos OT,M V, MAdii quoniam igitur H Z linea in F, R, Sdiuisa est ut DX in B, T,U,X. patet recta-gulis D T B , D V B , Sic. proportionalia esse rectat,gula HRF, HS F, dcc.' sed GD T B, D U B rectangulis proportionalia Rsunt quadrata O T,M V, A X, id est per iis 3 Sc54ructioneni quadrata P R, Q S,lZ,qua- υ drata igitur RA S, IZ proportionalia . , sunt rectangulis D T B, D V B, &c. id est i R F, HS F, dcc. quare puncta I, P ad Hyperbolam sunt euius axis II F. quod autem I Q P hyperbola similis sit A OB r sic ostendo inrelligantur iungi puncta O B,MB,M item PF, QR P, patet ex constructione triangula o TRMUR item MOB similia este triangulis P R F, Q S F. PF quia ex iisdem rationes habent compositas: quare cum operatio alla in utraque hyperbola sine terminio continuari possit, ut figurae omnes hyperbolae ABC inseriptae, similes sint figuris inseri-rtis hyperbolae IF K, paret ex Archimede ΑΒ Ca F Κ hyperbolas esse miles. secimus igitur, quod erat postulatum.
PROPOSITIO CLXXXI. DAtis asymptotis, exhibere hyperbo
lam, quae perdatum intra asympto- A
tos punctum transeat. γ I , constructis aedemossistis. HA sint asymptoti AB. BC, de intra illa , , i λ
punctum D. oportet exhibere hyperbolam, quae per datum punctum D transeat, natur per D linea Α C pertingens utrimque ad asymptotos, a quae in D bissecta siti illique atquidistans Ponatur GH : de CD quadrato , aequalia fiant rectangula GF H, GEH rerunt F, D, E, Puncta ad hyperbolam .cuius asymptoti sunt AB, A C. datis igitur asymptotis, &c. Quod erat facien