장음표시 사용
121쪽
tione uniuersalius placet proponere.Triangulo ABC inscribatur quodlibet parallelogrammum DEF. Deinde ponatur Quaevis recta linea ex puncto E,scilicet EM.& ductis G K quae atqui distent Bri fiat rectangulis G HI una cum quadrato, i Κ aequale quadratum G L. Dico DLL esse hypetbolam. Dramnstratio.
uisa in. PΡ ut est divssa EF in punctis ΗΗ. fiant quoque rectangulis GHI qualia P in quadrata, erit N o parabola r assumpta denique tecta R S quae aequalis sit C M, diuidatur RSinae T. Vt est diuica EF vel NO in punctis Prierunt rectis I K aequales rectae Rae, cum se FE ad EII, ut CN ad SKistave FB ad FH,ita est ex constr. S Rad RVigitur S R est ad R Τ. vi CH ad IK. aequa Iesigitur sunt RT MIK, cum SMCM aequales .positae sint, itaque rectis P Q, fiant aequales Τ V. etiam RTV pa Ma erit, , eum sit R T ad R T. N P ad N P. tandem si fiant rectis R Uaequales UT X,cerit R XX hyperbola. igit tectangulum GHI hoc est quadratum T V una cum quadrato IK. hoc est R Τ producet hyperbolam.sie iraque recta Y R latus transiterium hyperbolet R X α&fiat ut RS ad RY, ita EF ad EZ. Dico rectas GL aequales rectit TXetina earum quadrata aequalia sint, etiam esse ad hyperbolam cuius diameter D B, esseque GL, GL ordinatim ad DB positas. Erit enim ut YTR rectangulum ad recta gulum YΤR hoe est ut quadratum X Tad quadratum X T, e est ut quadratum GL ad GL, ita tectangulum ZHE ad rectangulum ZHE, hoc est , si intellis tur Da tinea aequalis lineae. Z E, rectangulum a G D, ad rectangulum α G D. ita. DLL'est hyperbola,&linea GL ordinatim applicata ad Da Hine quadrata aequalia rectangulis G HI, dc quibuscumque quadratis IK producent hyperbe, .lam, modo quadrata IK inter duas lineas CE, ME quemcumque angulum com nentia parallela sint posita. Quod uniuersaliter placuit demonstrare. .
PArabolam ABC secet quaedam recta A B, ductis deinde parallelis
CE fiant rectangulis CDE aequalia quadrata DF. Dico BFF e se ad eandem liyperbolam cuius AD B diameter est. Diuiti eo by Corale
122쪽
ostensum est reetangulum BDA ad BD A. rectangulum eandem habere ta, Melonem, quam rectangulum CDE ad CDE 'rectati gulum: sed quadratum DF est ad DF; quadratum ut rectangulum C DR ad CDE, rectangulum: igitur etiam quadratum DP ad DF, quadratum rationem continet eandem cum rari ethctanguli ADB ad ADB, rectangulum .est itaque BFF hyperbola uilod. filiit demonstrandum. '
ducta autem per G, Iinea DE parallela CF, ponantur per D & E, lineae DO, EP contingentes parabolam: quoniam igitstr GC vel GF quadratis ,aequatia siunt quadrata ΚΗ, vel HI; sine autem HK quadratis aequalia quadrata CH, una cum rectangulis KCI; quadratis vero GC aequalia sint quadrata C A , HG r demptis eommunibus quadratis C H, aequalia remanent rectanguIa KCI, quadratis HG:igirqx vi H G quadratum ad quadratum H G, id est OD quadratum ad quadiatum OD , sic K C L rectangultim ad rectanguluin KC I. quia vero OD, AP contingunt parabolam, ut OD R quadratum ad quadratum OD, sic O CP rectangulum est ad rectangulum OC P , reliquum igitur ROI rectangulum ad RoΙ, est ut qua- dratum OD, ad quadratum OD. quare voppositae sectiones sunt KK, II. - . Nnnna .PRO-
123쪽
rant parabolae in E Ei pot3antur A K, B G parallelae diametris. fiant tandem inediae proportionales inter ED, DM,icilicet DF. Dico B F C esse ad eandem hyperbolam... T Demonstratio
Pri 'puncta E E ducati-- tur parallelae EI ipsi h Α , quae lineam BG duoctam ex B parallelam axi secem in G, G. fiantq; in ter I G, G E mediae proportionales HG.erit haec parabola prout lib. dep rabola a7s, demonstratuo , . est, igitvr ut quadratumi GH ad GH, qua istum,
B G. sed quadrato H G aequale est IG E reetangulum, hoc est LEGaloe est A Dis igitur ut ADB rectangulum ad rectangulum ADB, ita est BG linea ad lineam BG. hoc est D E recta ad restam DA: sed ut DE ad DE, ita rectangulum E DMad ED I reet angulum; igitur BD A rectangulum est ad rectangulum BDA, vaest ED MYeetangulum fid rectangulum EDM. est autem EDΜ rectangulo aequale quadrithun 'DR, ex ipsi constructionetigitur ut BDA ad BDA, rectangolum, ita est quadratum DF ad DF quadratum. Quare liquet BF C esse hypemolam euius diameter ΑΒ est transuersa. Quod oportuit demonstrare.
PROPOSITIO CCXXIV. Sit parabolet ABC axis BD ad quem
ordinatim iit constituta A C, cui sit aequidistans E F, ductisque Gl parallelis ad axem,sant rectangulis HG laequalia quadrata G Κ. . Dico Κ Κ esse ad eandem hyperbola. Demonseratio.
cIam GK lineis aequales GL , & AE aequalis EUi ponaturque V M aequidistans A C. Quoniam rectangulis H GΙ aequalia suut quadrata GK, hoc est rectangula LGK., de quadrarum GI, aequatura rectangulis HGIN GIH simul sumptis i de idem quadratum G I hoo est tectangula MGI aequentur quam dratis GK, Ac rectangulis MLI id est MLI. igitur rectangula MLI, hoc est L I aequalia sunt rectangulis G IH. est autem HI, linea ad lineam H I.ut rectangulum AIC ad AI C. rectanguIum, igitur etiam MKI rectangulum est ad rectangulum MKI ut AIC , rectan- gulum ad rectangulum AIC; puncta φ ergo Κ Κ sunt ad hyperbolam. Quod fuit demonstrandum. PRO-M 'EL
124쪽
D E aequales lateribus rectis I ό singularum irarabolarum.' M J I QDico E E puncta esse ad P
eandem Hyperbolam cuius asymptoti A D, A B.
D Ectangit Inmenim CR DE, requato est semper eidem a quadrato A P. unde urmomnia rectangula ADE imhrseiant aequalia. quare EE puncta sunt ad ean-b M. Minb hyperbolam, cuius asymptoti sunt AD, AB. Qsod fuit demonstrandum. ρομ ε
FIat vi E p ad F G , ita B D. diameter transue se hyperbolet ABC ad LK. N ponantur EI, D& GH quae aequidlibent A C. quoniam EF ad .PE eam rationem habent . quam M B ad ML, ιυμ uerit quoque MI ad HB, ve M Had ML. ac pro- - Z uinde vi MI acli IB, ita ΜΗ adHL. M conse- γquenter ut MI ad MH, ita I B ad HL. sed ΜΙ - , τα cons ructionetigitur vi , Bad HL, ita est BD ad LK.east rectangulum P IB est ad rectangu- sum DI B, ut est rectangulum K HL ad ΚΗ
rectangulum. nam rectangulum BIO ad B ID, rectangulum habet rationem c positam ex ra. Mone
ratione DI ad DI, hoc est ΚH ad ΚΗ. est au- . , i . tem quadratum I E, ad I E quadratum virectan- fgulum DI B ad D IB reetangulum, quoniam supponitul DB transuetia diame ter hyperbolae ABC ιν igitur etiam reetangulum Κ H Lad ΚHL, rectangulum est ut quadratum IE ai I E, quadratum,hoe est quadrarum HL ad Hia quocirca L G est hypetbola. QAod fuit demonstrand inι . i
125쪽
AB diimeter transuersa hysin Hlae B C D ilductisque ordinatim et fiant GF ad FG, ut CF ad F C. 1 mi' Dico B G G esse ad eandem hyperbo iam cuius transuersum latus est A B. nDemon in o. ita
QVpniam ex suppositione A B est diameter
transuersa hyperbolae BCD, igitur vi FC ad ED, quadratum, ita est rectangiduin ΑFst, ad AEB tectangulum. ergo ut quadratum GF ad ΗΕ quadratum,. aea quoque est AFB rectangulum adrectangulum ΑΕΒ. igi-it B GH hyperbola est cuius latus uanther sui est ΑΒ.i QAod demonstrandum fuit. -
PROPOSITIO CCXXVI M. SInr AB, CD diametri coniugatae hyperbolae B E F & diametro AB fiant kquidistantes C E. Deindo fiat vi C E ad FI F I ita CG ad H LDico IGG esse ad eandem hyperbolam. Demonseratio. i
FIat rectae OK aequalis ON r ω ponantur GL, IL parallelae CD, quemadmodum etiam EM & F M. quoniam BEF p,nitur hypeih cita cuius transuersa diameter A B , erit ΑΜΒ ad Α- , rectangulum urinquadratum E M ad F Μ quadratum, hoc est i equaaratum G L ad 1 L qu dratum. est autem CE ad OB, ut CG ad OK; igitur esto Lad OK; ut O M ad OB: &OK ad KL. OB ad ΒΜ; &NK ad KL, ut Anad B Mi denique de N L ad L M, HAM ad M B. quare rectangulum A M B ad Α M B,rectangulum est ut rectangulum N LK ad N LΚ rectangulum. quare cum sit rectangulum AMB ad ΑΜΒ, reactangulum ut est quadratum ΕΜ ad F M, quadratum,hoe est GL quadratum alquadratum IL, etiam erit rectangulum M LΚ ad N LK, rectangulum ut quadra tum GL ad I L quadratum. igitur manifestum est ΚGI esse ad eandem hyperboalam cuius diameter transirersa est NK. Quod fuit demonstrantam. '
SIt hyperbola AB B, cuius axis AD: ductisq; ad eandem ordinatim tectis B C, fiant lineis A B aequales lineae B, C G. Dico A G F esse ad eandem hyperbolam cuius axis est A D.
126쪽
tres quantitates in continua analogia
CH, C B, C i erit II linea recta per conuersam proposit. huius. Fiane praeterea rectis C Hae quales I Krerunt igitur rectangula H CK aeqtialia quadratis CG. ii tur AGG est hyperbo-l , quod ita patebit. ponatur Μ L aequi- distam A D. Igitur per 392. huiussi fiant quadrata C G aequa Ita rectan-gido I CL, una cum rectangulo HGLK, erit GG hyperbola : sed quadratum. Hc VRacum quadram CB. aequale est reetangulo H CK: hoc est rectangulo HCI. una cum quadrato KI, vel HG igitur ΑGFssint ad eandem Moerbolani. Quod fuit demonstramlum. .
Sit A B axis byperbolae B C D, cuius E centrum, & axis coniugatusF E, e centro verὁ Ε ductis diamόtris E C ponantur C, G H, aequalea EC, Maxi parallelae. meo B H H fore hyperbolam.
A hyperbola est erit AI Bad ΑΙΒ, rectangulum. vi quadratum C I ad CI quadratum. posita itaque B L, quae aequidistet EF, & hyperbolaopposi ta Α Μ M; erit rectangulum ΜLCad ML C. ut quadratum L B ad L B, hoc est C I ad C I, quadrattam. Sed quadratum E C aequale est quadratis EI de Ci, hoe est quadrato EB α rectangulo AIB, una cum quadrato CD est autem quadratum GH illis ipsis aequales igitur ablato communi quadrato GL remanet L AN, aequale rectangulo AIB vna cum quadrato CI. erit ergo rectangulum H Co aequale quadrato CI,quoniam rectangulo AIB aequatur MNC rectangulum. quia uero est ut CI quadratum ad CI quadratum, ita rectangulum A I B ad AI B, hoc est M N C ad MNC, erit quoque t elangulum OM H ad OM H, ut rectangulum MNC ad MNC , rectanginani:
127쪽
Int AB, BC asymptoti hyperbolae DD. verδ BH, renantur F G aequi distantes asymptoto A B: fiant praeterea rectis p D aequa-HG. ' . Dieo G G hyperbolam esse habentem A B, B H asymptotos. Demonstratio.
. PAret denaonstrario ex eo quod quenta. Mi modum omnia parallelograisma BFD a. λ sunt interie qualia sic quoque aequandite ut . . inter se parallelogramma B HG. Igitum . . . t aa π Q ';. - eo si DD hyperbola habens . a*mptotos AB, BC, etiam eadem de cauci' si G Ghyperbola futura est habens astin Μ, ptotos AB, B H. Quod fuit dem6nstran
quidistent EF. Ductaverὁquauis diametro BD,fiant EG illi parablelae aequalesque lineis E RDico G G esse hyperbolam cuius asymptoti AB, B D. m Bratio. , ' l
PROPOsΙTIO CCXXXIII. Int AB, BC asymptoti hyperbolae D D ; positis DE parallelis
128쪽
cuius asymptoti sunt A B, B C. Demonstratio. Quoniam D D hyperbola alym
ptotos hahet recias Α Η,B C. 3e rectae DE asymptoto AB sequidia γ estant igitur parallelograinina GDE haequalia sunt interse sunt autem pa- Jrallelogramma GFEsimiliter inter L staequalia cum sint composita ex ijs. dem rationibus ex quibus parallelo- Ex gramma GDE sunt eomposita, igitur etiam suot FF. ad eandem ius asymptoti sunt A B, B C. od fuitdemonstrandum. '
ΡROPOSITIO CCXXXIV. SInt A B, B C denuo asymptoti hyperbolae D ni ductis
metris B D fiant B E ad B E, in radem ratione cum linei Dico E E esse ad eandem hyperbolam cuius aiymptoti sugkT. ζζώβ: F qv--θ p to BC aequidistentietit itaqueman
129쪽
' a biis' 'quadratis GF aequalia tectangula G1. N. erunt NNL in recta linea, igitue cum rectangula N LG, aequalia sint quadratis GF, addito quadrato AG. hoc est GL totum rectangulum N GL. aequale erit quadratis A G, GF, hoc est quadrato. AF, hoc est GH quadrato. igitur cum GH inedia proportionalis sit inter N MG L, ad ii hyperbolam erunt AH H. Quod erat demonstrandum. coralia Mn. v X e structione facile patet, hyperbolam H H ortam ex translatione linea. rum Α EMedinatim positarum ad axem ellipseos,latus transuersumhabere aequale tellipseos AB. l
nec una ex coniugatis aequalibiis, sed intra illas & axem sita sit,ordinatim aure ad illam positis B E fiant quadratis rectarum A E,A Biimul sumptis aequalia quadrata DF. Dieo ΛF F fore ad eandem hyperbolam. Semminatio. CVnt enim quadrata rectarem AE . AB simul
l insumpta aequalia quadratis AD, BD bis sumptis, sed AD,DB quadrata, transsata in quadrata DP. F producunt hyperbolam,uti ex praecedenti constata igitur AFF ad hyperbolam sunt. Quod ruit do
inter axem maiorem es Hametros coningar- '
sti sita es: quis rane e drara πῶυ impostarum,psera
130쪽
ellipsim contingens aequidi statis it denique possitis ΚΗ quae rectae AB sim parallelet, hant rectangulis C RI aequalia ΚΗ quadrata. Dico HHD esse ad eandem hyperbolam cuius axis FE.
Etenim rectangulum FEL ad FKL, sieuta rectangulum DEDiaden I ctangulani rei ur quadrFu'βDad ΚΗ, eam habent rationem quam rectangulum FEL & FKL , igitur LHD est hyperbola cuius latus transuersum LRQuod uiti ei astrandum