장음표시 사용
81쪽
Cum enim I DN lineae ostensae si at aequales, recta quoque R I sequato ests C, qtiae pere structionem aequatur. DM , vlide eum propontionales Aebio,.-. Q C, GL SC: eamdear quoque continuant arionem QC , GK, D M. adeoque m. segmenta'DMGΚ, GKQ C aequalia sunt.
' 'Adem fieum manente. si DF, FG segmenta fuerint aequalia, se per DF & G lineae B E, B Si de B E quidem parabolet occurrat inponaturque E C aequi distans A B: i . Dico M D G Κ segmentum aequari s mento G Κ QC. . 'Demonstratio. t. Quoniam segni enea convexa DF, FG aequalia ponuntur, concaua quoque se Mgmentae DMFL, FL G K aequalia sunt: unde & tres. MD, FL, GK conti. 4 -- nuae sunt proportionales: sed M IK FL, G Κη quoque sene proportionales: igitur HUMD, KI lineae aequales sunt, & I punctum communis intersectio sineariim EB,DLe,raritia. GK. Quare cumpr Fortionales s sint Ix, ΗΚ, EC: proportionales quoque sunes , ara D M. HK, EC, id ess BM, BK, BC, id gest C in GK, D M. Segmenta igiturhDMG GK C aequalia sunt. quod erat demonstrandum. unde patet punctum ... S commune esse lineis SD, EG B S.
PROPOSITIO CXL v I. EAdem posita figura, ducta sit quaecumque B E occuirens parabolae in E, k hyperbolae in F; ponantur autem EC, FL, D Mae quidistan
Dico segmentum F L QC triplum esse segmenti O MF L.
Demon Datio. Posita D S aequilli stante BC, ducatur B S, occurrens hyperbols in G puncto. per quod recta ponatur GK , occurret illa rectis B E, D S in uno eodemque puncto Ideruntque D M, FL, GK, item D M, G K, C proportionales: quare segmenta DMF FLGK, kVtidc DΜG GK C aequalia statis adita igitur
82쪽
GK QC segmenti im,segmento FI, GK, patet FL C tegmentum triplum esse seginenti UΜFL. Quod fuit demonstrandum - tur per praecedente legmentum H P F L triplum segmqnti DΜs P. est autem B- agmentum a FLIR, a quale segmer Io γε DΜRI; igituri metitum D MRI, una 'eu segmento HPRI , triplum est segmerui Q.- --DMHPugitur H PR I segmentum ςquale sest segmento D M K P ix D K convexum aequale conuexo KL .corollaris . TTIne sequitur: si Di , HI segmenta fuerint aequalia , & per centro Arectae eductae B H Κ, HI si occurrentes parabolae in K dc E, punctis, e quibus rectet ponantiir KL, EC. asymptoto AB aequidistantes re per D . recta ponar DO parallela BC: quod BE, DO KL line in eodem sese decussent punctoo: uti E C, B Ε, D O in punct. Q. Aebi,uetia praecedentis, ex qua demonstratio manifestahit. φ .
Iisdem positis si segmenta AB, B C, hyperbolae ABC inter asymptotos
rectum angulum continentes constitutae, aequaha fuerint, ocecentro
83쪽
nu D, agatur Α D H lini a , parallela asymptoto B C: deinde i
i intersectio-M M , agatur A D H Iin a, parallela aiymptoto B C: deinde quaeui, recta potiatur IK, parallela AB occurrens O H lineae in H, hyperbo. lae in F. Dieo iΚH rectangulum adrectangulum H ΚF, triplicatam habere rationem eius, quam habet linea IK ad H K. Demonseratio. Ectangulum I RH ad Η Κ R
tione RH ad ΚF. sed ratio ΗΚ ad FK b dupιieata est rationis IK ad Hia tntur rectangulum IKH ad ΗΚ F, rectangultura,
- - Compositam habet rationem ex
tatione 1Κ ad Η Κ , & ex duplieata ratione IK ad H Κ: ergo ex triplicata ratione ΙΚ ad HK. Quod fuit demonstrandum.
ine manifestum est rationem IK ad KF, vsse triplicatam et . , quam habet Ix ad HKi sunt enim rectangula IKH, ω HKF inter e 'tunea: IK,NFR.
HΥρerbolam AB, inter asymptotos angulum rectum continentes o sitam, secet tha parabola F Α D, Eabens axem asymptoton p G: si matur autem segmentum hyperbolicum quodcumque ΑΙ, & irer I functumisiameter tonatur FlH, ocelli rens paribolae in H, ex quodsmitatur H G aequi distans E F hyperbolae occurreny stet Bautem aAFB occurrat parabolae in o. denique ex D parallela ad EF,8Emittatur DK, ω DK hyperbolam secet in C. i
Dico segmentum C Κ B G quadruplum esse segmenti s GI M. Demsi stratio i
. . i , tio igitur DK ad HG, tertiae ad
tertiam 4 dupIicata est rationis HG ad IM, id est, I Mad BG, quia eGB, IM, HGlunt continuae: sed rationis DK ad HG, duplicata quoque est ratio sPK ad FG. id est g BG ad CR. ratio igitur BG ad CK, quadruplicata est rationis IM ad BG adeoque & segmentum B G C Κ, i quadruplum est segmenti IM B G.Ouod erat de- Nisi dum. :
84쪽
p Arabola ABC, cuiusaxis An, secet in B hyperbolam EB p,
Mymptoti A D, A H angulupa rectum contineant; di iuuinpto. inter Α, & B, in parabola, ponantus o G E, F G H parallela Myraptotis, iunganturque A E, A s, A F. Dico mixti lineum E A B, duplum esse mixti linei A A F. Demonstratio.
gmentum E D BI duplum est segmenti BIFΚ. est autem EAB- figura aequalis segmento ED BI,&yΑF, aequa- i iis BIFK segmento; figura igitula ΑΗ, dupla est figura: AAp. Quod fuit deam strandum. i
PROPOSITIO CLic Sint Αs,BCasymptoti hyperbola: FE H, an filum rei hirm formana
tes, & parabola deleribatur B DE, cuius axius Q oetune, , hype bolae in E, &per assumptum punctum D in parabola, inter B de E; p nantur per D tacta: FG, HL, aequidistantes asymptotis, EM, EChs. dem parastelς:Dico mixti lineum FD E dupliim esse mixtilinei E D H.
tetidui EDH. Quod fuit demonstrandum.
85쪽
Tisdem positis assii matur punctum D in parte parabolae, quae concaualhyperbolae EHF continetur,ductique ut antὸ DL, DG quae Occuserant hype holae in t F. Dico spatium D EF duplum esse quantitatis H E D. l l . Demonseratio.
SEcet iterum, ut prius, parabola BD E hyperbolam in D, de ex quia busvis punctis E he K, in parabola assumptis, ponantur E A, EC, Κ L, K Masymptotis aequi distantes,secantes, nyperbolam inF, G,O, Dico' spatium EDG ad KEGN eandem habere rationem quam habet quantitas E SD ad quantitatem Κ Ο F E.
. 'Dico rationein NM'ad G C, duplicatam esse rationis Lo ad F A. adeo GM segmentum, duplum segmenti L F.
Demonstrario. 4, 1 MI IT NM. ad GC. M ABC ad B M e sed B C ast B M . dupli tam φ his e tionem EC ad ΚMκ id est lacl LB, fidest LO admiratio igiciat ad GC. duplicataest lationis LOM FI.. quare M gGΜ segmentum duplum est
86쪽
rati ero, quam GC MN segmentum habet ad segmentum FALO.
in ptopotitione ostensum est, segmentum ut igitur GCNMiegmentum adὸ ν --
Vter uβ , O urrepti hyperbolae in D, .ducantur FC, E l parallelaea Improto AB seeantesiarperbolam in H&G. Dico rationem Et ad FC , toties multi olieare rationem DK ad EI.
87쪽
ΑΒ . erit igitii meniam UMNE tertiae a pars segmeti NELC.& GPHos ortia pars segmenti HoIC ι unde proportionalia sunt ses'e':
HBi manifestum igitur est eandem eme rationem figurae DBE ad EB L quae est fiourae G BH ad HBI. Quodsiit demonstrandum figurae G BH ad HBI. Quodsiit demonstrandum.
s Onantur denuo duae hyperbolae inter easdem astmptotos angui gry. rectum constituentes,¶bola Ad C, hibens axem AD octii rat FC hyperbolae in puncto C, per quodagatur C Dasymptoto parillela, quae sectioni B E occurrat in E , iunctaque A E oceurrat hyperbo lae CF in F, & deminatur FH Gri i i Dico HG, ED, FG, CD quatuor esse in continua analogia. ' Demonstratis. prii, opositionem huius 77. minat
Iisdem positis quς prius, expuncto D, in quo parabola BG miriori se'
moni occurrit, demittaturDK parallela a jmptoto. Dico F C ad EI, triplicatam habere rationem eius quam habet Ηc
esth rationis DKaa GI; igitur si LMm dia ponatur inter EI, DK: rectae quoquς s - ELLMMΚ,GI proportionales sunt i dux G: igitur series sunt continuarsi GI, H CEI, π AHI C FC; item GI, D LΜ, EIr habentquς Communem primam G L quare ratio F cad I Ea quartae ad quartam triplicata est rationis HC ad KD, secundae adsecun
88쪽
REctae AH , BC ad angulos rectos se decussantes inserulant tum asymptotis hyperbolae DF, tum axi parabolae ADE, & eius contingenti in A, ducta deinde A Epet D& p, agantur DG, FH parallelae
Dico rationem E C ad FH, triplicatam esse rationis quam habet D Gad FH, siue pMad D N. DemoUratio.
'Stensum est i s. huius segmentum 1 Cp Η tripIum esse segmetui r ADG. igitur ratio IC ad FH, id est AH ad AC , id est FH ad EG, tripli ta est rationis FH ad D G, id est M A ad N Α, id est ND ad MF.
PROPOSITIO CLXII. Ponantur eadem quae in praecedenter sed parabola An E axem h beat lineam AB adueham A E, demittantur FG,DHparallelae AB. Dico rationem l C ad D H,esse duplicatam eius qua habet D H ad F G.
EX E ducitur ELK parallela AC.osten. estprop. praec. ΕΚ ad FH tripliea- tam esse rationis D N ad F M, hoe est P G ad DH. sed ratio ΕΚ ad F M, eadem est a cum ratione E C ad FG, quia ΚC,MG πι-ε -- parallelogramma eandem habet diametra lem; igitur ratio E C ad FG, est triplicata i rationis FG ad D H, atque adeo ratio E C A ω 'Id ad D Η, quadruplicata est rationis FG ad DH. estautem ratio Lo hoe est EC ad DH, duplieata. rationis AC ad ΑΗ, id est D H ad I C i igitur ω ratio DHb iis ad IC, duplicata est rationis FG ad DH, sine ratio IC d D H, duplicata est ra tionis D H ad FG. Qiod demonstrare oportuit.
89쪽
-btim habent admiarumsecant m perbolicam lineam, Uinsam oranariὸw-1Mu , perboiarum qua aetasim rectam eontineant; non quod nus , in sua uersus na sint, o exclaia δε- beant alia hyperbolari quarum asem si contrariorem, aut gidus larem recto nis tu Mn consituunt, sed hoc eo consili a--ψest, in commodior ratio iniretur ex-ρtinodi figuraι O scemata, imo mi eon symmones ae demonstrationes propositionum miηλ sent impedira facilius enim es axem parabola ast toto accommodare quam aliam quamlibet diametrum, Da diuersa semper reis periri riberet, quoties asi toti angulum variarent. Iniarim quorsuo hae materia mergat, saetae colligi ores: inuento nami puncto D intersectionis parabolatam h perbola habereturina γ meaiis duabin, quapostularipossent inter BE, GC nimirum DF: cum ostensum fierisionem GC ad DF, GHicaram esse rationis quam habet DF ad BE: ac proinde ratio. nem GC-BE , ιriplicatam esse BEM DF. quia quis procedendo per rectaν ΑΒ, Β Η, ΗΙ, IK, KL LM, MN, . rerminum hulas progvesonis asignare valeret, problema ga de duab- mediis proponitur expediser, τι piset rem accuratim consideransi. Interim proprietates ab- prsequemur qua non leue ad istud problema soluendum subsidium saxi aliasura.
ΙTerum AB, AC sint axes parabolarum A E D, A F D seeantium hy
perbolam in E & F, constitutam inter asymptotos AB, AC continentes angulum rectum ι demittantur autem ex D puncto intersectionis parabolarum asymptotis atqui distantes DB, DC, E G, FH, L Dico C M, GE, H F,LΚ essequatuor in continua analogia. Demonstratio. Est enim ratio C M ad H F, a id est
AH ad AC,duplicata, H Fad LX, siue C Dr quar segmentum M C H F, duplum est segmenti FH, KL perit'. huius. similiter quia ratio D C ad E G. id est KL ad EG. e duplicata est A Gad Α C, id est . E G ad C M: segmentum KEGL duplum est segmenti ν EG CM; ablato igitur communi FGH F , aequalia sunt segmenta KLHF de E GCM rvnde . vi KL ad FH, ita EG ad C M sed ratio LK ad EG . fidu--- plicata est EG ad MC: igitur ratio ΚL ad EG, duplicata est KL ad ΗF. ergoeratio Κ L ad F Η, eadem est eum ratione F H ad G E: Se G E ad C M. Quod fui edemonstrandum.
90쪽
sed Μu aequalis est D C , ratio igitur Μ o ad GK, duplicata est rationis , z-GK ad NC : adeoque tegmentum M GK iuuplum. est segmenti GKN ν quia veris G NC proportionales sunt/ratio NC - ΕΗ, primae ad I ,....temam, duplicata est rationis EH ad Μ C, tertiae ad quartam: segmentum igitur ι-ΕHNC duplum est segmenti ΜQJHi dempto igitur communi segmento EHGK manet segmento M AH aequale segmentum GKN C. Rursum quia N C, FI, D C, id est N C, PI, Μ et proportionares sunt, segmentum M QII t talaequale est segmento FINC r demptis igitur aequalibus sesmentis M Καμ. GR CN. aeualia sunt segmenta FIGK, ΕΗFI: unde EH, FI, GR proportionale, senti riciderat demonstrandum.
Tlsdem positis iungantur EG puncta linea E G, secante BD lineam in L. I Dieo E.G in L bifariam esse ditiam, item ει sesinentum E F G bifariam per BD. t . Demons ruis. lDVcamur enim ex E, F. G punctis parallelae asymptoto A B lineae Ε Η, rLG Merunt gillae continuae proportiona ex ae pro ei, segmenta concaua E HIRYγε---FIR G aequaliai quare si connectantiar E L FG puncta, convexa quoque segmen- ea EF, FG aequalia erunt quare linea E a ordinatim 1 applicata est ad diametrum μκRae proinde in L diuisi bifillam. Iam eris eum ELLGaequales sint bases,&Υ L P eo in in altitudo triangulorum EF L,LF G, illatriangula aequalia erunt, ac Droinde menta tota Ε L. LFGaequabo tur interser quare kFG segmentum v a fariam diuisum est linea BD. iniae omnia fuerant demonstranda.