장음표시 사용
141쪽
Int AB, BC asymptoti hyperbola: DD. ducta verὁ BH, ponantur F G aequidistantes asymptoto A B: fiant praeterea rectis F D aequa-HG. ' . Dico GS hyperbolam esse habentem AB, B Hasymptotos. Tran seratio.. PArer demonstratio ex eo quod quemd-M4 ' A modum omnia parallelogramma BED
sunt interse aequalia,sic quoque aequaneue i. ri i . inter se parallelogramma B HG. Igitudi M. O i sau. . t cum cac eo sit DD hyperbola habens s. i et i . asymptotos AB, BC etiam eadem de ea αn si GGhyperbola futura est habens asym . plotos AB, BH. Quod fuit dem6nstra
quidistent E F.Ducta vero quavis diametro B D,fiant E G illi pares.lelae aequalesque lineis EF. . Dico G Gesse hyperbolam cuius asymptoti AB, B D. m Itinatio. , ' s
--- lel 'grainina BPH. am Ii,biniae. se, quὲmadmodum etiam parallelogramma E GIi inar G inemolitae ihine asymptotia . A RB Dconstitata. Rima fuit demonstrandum.
PROPOsΙTIO CCXXXIII. SIne AB, BC asymptoti hyperbolae D D ; positis. DE parallelis
Aymptoto A B, fiant FE ad F Ε, in eadem ratione eum rectis D Ead DE. Dico
142쪽
cuius asymptoti sunt A B,B C. Demonstratio.
ptotos hahet rectas A B,B Q 8erectae D E asymptoto Α B aequidistant,igitur parallelogramma G D Eaequalia sunt inter Τestitit abiem pa rallelogramma GFEsimiliter inter se aequalia Cum sint composita ex ijs dem rationibus ex quibus parallelo- -
PROPOSITIO CCXXXIV. SInt ΑΒ BC denuo asymptoti hyoerbolae Dor ductis insuper diametris B D fiant B E ad B E, in e dum ratione cum lineis B D ad B D. Dico E E ' ad eandem hyperbolam cuius asymptoti sunt Λ B, BCi
R Σ Σ Σtiis. η quκ asymptoto BC aequidistent erit itaque trian-B EB si , triangulum ve est triangulum DFB , ad DFB trianis uia duplicata ratione laterum hi molog i hyperbolam quae asymptotos AB, BC cΣ-munes habet eum hyperbola D D. Q od fuit demonstrandum . .
Intellipseos extremae diametri AR maior, minor CD, positis a
143쪽
Et ipsi AB aequalis B L, ductaque ΑL lineas GN sera in punctis fiant
quadratis GF aequalia tectangula GL N. erunt NNL in recta linea, igitue cum rectangula N LG, aequalia uni quadratis GF, addito quadraeo AG. hoe est GL totum rectangulum N GL . aequale erit quadratis AG, GF, hoc est quadrato AF, hoc est GH quadrato. igitur eum GH media proportionalis sit inter N MG L, ad , hyperbolam erunt Α HH. Quod erat demons dum. Gratiarium. v X eonstructione facile patet, hyperbolam ΗΗ ortam ex translationei linea. rum A E,ordinatim positarum ad axem ellipseos,latus transuersumhabere aequ
nec una excaniugatis aequalibus. sed intra illas & axem sita sit,ordinatim aute ad illam
ostiis B E fiant quadratis rectarum Α Ε,Α Bimul sumptis aequalia quadrata DF. Dieo AF F fore ad eandem hyperbolam. Traminatio.
Cunt enim quadrata rectarum AR , AB simus silmpta aequalia quadratis AD, BD bis sumptis. sed ΑD,DB quadrata, transsata in quadrata DF. producunt hyperbolam,uti ex praecedenti constata igitur AFF ad hyperbolam sunt. Quod fuit domonstrandum. Seboian. PMm. asm innuiniis e , AC --errum 'e A inter axemmaurem O diametros coniugatae aq--ου es: PM tune si rara ordinaιimpostarum, ρο-
144쪽
ellipsim contingens aequidistans it denique positis ΚΗ quae rectae AB sint parallelet, hant rectangulis C RI aequalia ΚΗ quadrata. Dico HHD esse ad eandem hyperbolam cuius axis FE. i Demonstratio.
ontingat ellipsim recta A B ariCD parallela, quam orthogonalL
145쪽
rinatur quicunque circulus ΚLMquem contingae N L & recta N O normalis ad O M parallelam N L . dispescat rectam O M secundum rationem A C ad CD. diuisa deinde No in pP, ut est diuisa DE in P fiant quadrata PR aequalia rectangulis S PQ ostedimus puncta LRResse ad eandem hyperbolam. quia vero esto Κ ad ΚX, ut AC ad C Z, erit quoqu
. . SV ad G Τ, ut demonstratnm est libro a xi . de ellipsi. Igitur ut SV ad GT, ita PS ad FG. itaque rectangula GPH simi-- lia rectangulis SP igitur ut rectangula GFH ad SP inita quadrata FI ad PR quadrata.sunt autem LRR . ad hyperbolam: itur etiam BII suntia hype bolam. mod filii demonstrandum.
PROPOSITIO CCXXXIX. SInt AB, AC semiaxes ellipseon C ΑΒ , sicut ΑΒ prima aequalis sit
A C, & ex B rectae erigantur B D, parallelae A C , aequales autem l
ellipi on aequales sum, recta sumta ABD singula aequaliaestat, qua diato AC adeoque de inter se. unde punω DD ad hyper lam sunt, cuius asymptoti AC, AB.
146쪽
Posita A A linea, ocetur rectis. e -BB, CC parallelis: inter rectas x Aveto A B, B C in prima figura mediae ponantur BD. In secunda ve-rd de tertia inter Α Β, Α C, mediae ponantur AD parallelae inter e se. Dico in prima figura parabolam oriri, in secunda. ellipsim, et x circulum, in tertia denique ς hy- perbolam. quarum demonstrati ines suis locis cum expositaesint stu- ;stra repetendas Cens ., i
in directum adiungatur Fadiatum etinet tectangulum I
omatiar Ese i rubina euius ρxis EF, aequalis parabolae A B B id est habens latus aectum axem Eviale lateri recto axeos B B, M I B, aequalis sumatur PN quae in no parabola Maum applicetur ad axem EF sumptaque FL aequali I Cc, inmut MN et i M uidistantes Ria PE: eriei tur NL rectangulum M alta tectangalaiΗciti R quadrata aequalia quadratis BC. vlterius si inter P aD inodis poni intestig stur, producent illae parabolam aequalom EG G, idaeain: BBr hoc est parabolam producent hab tem ad axem' latus rectum aequile erite axeris BR. restans la igitur P Q o parabolat' produmne Aa B. sed vino rectangula una cum qu dratis R,quadrata producunt PR quae ordinatim Hlatine in parabola,EGG oaxem EF, quadrata igitur Α B, una cum quadratis arabolam producunt E G p.Quod erat demonstrandum.
147쪽
DAta sit parabola A B C, M susdem xlutulin s hyperbola Α D
habentes comesunencaxem AF, ad quem ordinatim politae snt Dico quadrata BF, FD simul sumpta producere hyρὸrdolam.
rinatur ex A linea AG occurrens FD lineis in . Ga Sc AG parallela H H, - .F G H rectangula aequalia sint quadratis FD: patet H Ii esse in directum fiant '' - iterum FB quadratis aequalia rectangula GFIt constat quoque II esse rectam lineam. deinde IK rectae aequales fiant F Gi patet & Κ x esse tectam lineam . rectangula igi ur IKF aequalia sunt quadratis BF. ik IKFΗ rectangula aequalia quadrails FD a unde IR H rectans la aequantor quadratis B F. FD. si autem ITH. rectangulis aequalia ponantur quadrata KL, punct ΚLI. ad hyperbolam sunt,igitur si BF, FD quadratis aequalia ponantur quadrati, patet illa quoque esse ad hyperbolam. Quod erat demonstrandum. '
Ponatur ellipseos axis maior AB, ex centro D, post iis quotuis diam tris DE, fiant E parallelae DC diametro coniugatae AB de fiant rectis DE, aequales E, FG. et Dico G G esse ad eandem hyperbolam cuius centrum D. Dinoobatio.' Rant tectis FG aequiti pia
L de describatur circulus super axe A B, Sc perficiatur quadratum NM, erit itaque rem liim I EL ad I EL , rectans stim quemadmodum est rect-- lum ad 'QEP, rectaris , D BIumhoe Estri quatiatum FR. ad. FE quadratum. unde ut est PE quUratum ad quadratum FE, ita similiter est HGN t ctangulum ad tectangulaHGN'cum ex constructione DE: si et O. . aequales FG vel FK . α DI aequales F H vel FN, estautem quadratiun Disi i in ' by Cooste
148쪽
quadratum FE ad PE, qu dratum g tectangulum' AFB,ad AFB rectangulum, ε.: msoe est RHO ad R H O : igitur GHK reehingulum est ad rectaugulum GH ut rectangulum RHO ad RHo rectangulum. ergo G G , Κ Κ sunt setaiones voppositae habentes centrum D. Quod fuit demotistrandum.
PROPOSITIO CCXLIV. I Vbet propositionem praecedentem nonnihil aliter demonstrare. Demonstratio.
It itaque ellipsis ABC cuius centrum D, axis maior A B, minor D C : cui parallelae ponantur FH: M rectis D E fiant aequales E, F G, M E, F I. Dico G G , II esse oppositas se
ctiones, quarum Centrum D: ponantur H H,
L C axi parallelae: erit itaque quadratum DB, l l l laequale quadratis EF, FD, igitur etiam qua- AAdratum FG ijsdem aequabitur et ablato igitur communi quadrato EF , remanebit rectangu-ham GEI, aequale P D quadrato. unde ut est FD quadratum ad FD quadratum , hoc es hquadratum G M ad G M quadratum, ita est rectangulum GEI ad G EI rectangulum, est autem& HEL rectanπlum ad HEL, re- - -ctangulum id est E HK ad E HK, ut quadratum FD ad F D, quadratum siue UNad HN quadratum,igitur& GHI rectangulum reliquum ad rectangulum GHI est, in quadrarum PD ad FD quadratum; snam GEI rectangulum aequatur re ctangulis GHI . de HEL ὶ igitur ur rectangulum GHI ad GHI, ita FD quadratum ad quadratum FD , id est HN ad HN quadratum a quare GG, II iune. oppositae sectiones, quarum centrum est D punctum. Quod suit demoustran-
Onatur AB axis maior ellipseos, cuius centriam Ct assummo vem puncto quodam D in axe AB, quod inter centrum C& punctum to-onstitutumst, ducantur ex eo rectae DF. punctis quoque FFsar F Rordinatim ad axem A B.fiant aute rectis D F, quales F,G H,U L
Iieo puncta H H, II esse ad hyperbolas oppossitas.
149쪽
Α Cta per D recta AK normali ad A B, ponantur per E & x inlatentes ellipsia1..c rectae ELAEL, occurrentes rectis GH,in N Et M a conueniene igitur EL, KL i in puncto . quodam L, quod in A B producta est, quoniam rectis D F aequales positae sunt F,GH,& RGI, igitur quadrata FG, GD aequalia sunt quadratis HG, hoe est reetangulis H FI, una cum quadratis P Gunde ablato communi quadrato P mremanet ΗFI tectangulum aequale quadrato GD: quare ve est quadratum G ad GD quadratum id est NE quadratum ad quadratum NE, sic rectangulum H FIad H FI, reet ngulum. est autem ostensum NFMi rectan tum esse ad rectangulum N FΜ ut N E, quadratum ad quadratum N E 3 residuum igitur tectangulum H NI ad HNI est, vi quadratum N E ad N E quadratum. igitur per conuersura huius erunt HH, II sectiones oppostae.Quod demonstrandum fuit.
SIt ellipseos ABC, eus D; adumpto autem in axe puncto E inter
cum & verticem ellipseos Α,ducantur ex E ad perimetrum ellipseos quotcunque EF ι&per F rectae ponantur F, G Η, normales ad Λ C de aequales Ep.
Dico B H H, esse ad eandem hyperbolam. Demonstratio.
NX soco D, erigatur ordinatim ad axem DPN & per F de N, contingentes ponantur FM,NO. diuise deinde bifariam ED in I, ponatur IK parallelas , , , DF, occurrens contingenti FΜ in L. quoniam igitur D focus est ellipseos, AeIK, E B normales ad A C, rectae D Κ aeqitalis , est I L, prout contingenti occurrier sed DK tectae aequalis est E K, cquia ED in I bissecta est; rectx igitur AK, II. aequales sint di sed per hypothesim rectae E K aequalis est IL, prout occurrit figurae ΑΒΗ. punctum igitur L communis intersectio est figurς BHH de lineam IK,FΜ: fiant deinde GH lineis, aequales GY : erunt igitur H G quadrata aequalia quadratis M G, una cum redina gulis H MΥ: quia vero rectet E F, per hypothesim . aequales sunt GH, Et DF aequales ipsis G M, quadrata EF, DF aequalia lunt qua-ν dratis
150쪽
γlis aequalia fiant i drata, i proclueent l,
illa parabolam, & si parabolet illi adda- 'i 2'mJ tur ED quadratum; producet ς illud una I lcum parabola , paraboIam ι igitur 3e I
MPO rectangulis aequalia fiant quadra- Ita, producent 4 illa liyperbolam , quae addita parabolae , quam V M Y produ- Icit : generabit Rhyperbolam , igitur si H P Y rectangulis , s cluet aequalia sunt i . H M MPUὶ aequalia fiant quadrata, I ael ρY.eroducent illa quoque hyperbolam: eui si addantur quadrata PG , producent illa Osimul f eum hyperbola,hyperbolam. sed H PY tectagulis -a cum quadratis P G, q4 aequalia sunt quadrata H G, id est RF. quadrata igitur EF hyperbolam produ- Cunt cuius ordinatim ad axem pissitae sunt EF, id est GH : hyperbola isitur est ΠΗ, Υ T
PROPO si TIO CCXLVII. HYperbolam ABC cuius a is AD communis est parabolae ex qua
orta est, reducere ad parabolam.
Positis ad axem AD in hyperbola ordinatim lineio RE; fiant EB lineis aequales AR dico AFF esse parabolamquς produxit hyperbolam di ABC : ponatur AG latus transuersum hypera xbolae; quoniam igitur ABC hvperbola orta ex m
parabola communem cum illa habet axem , re-
elangula GE A aequalia. sust quadratis BE, id . -Sest per construct. quadratu AF, id est qua/ratis 'ALEF: ablatis igitur communibus quadratis ΣΑ Ε, manent G AE rectangula aequalia quadra- ' χ tis EF r unde ut AE ad AE , se pE quadra- Dxum ad quadratum FEis dc eadem ex qua orta el