장음표시 사용
151쪽
Sebobon. Nota: propositione hae nos sita reducere tantum voluisse hverbo adparabolas ὶ qai sorta, PM communem cum parabolus axem habent: id est speriatis rectas. illae enim ex parabola producuntur, pe translationem linearum A F Di F, E B : omnes ilia 6 r-boiatilin transuersa- aquale habent lateri recto parabola; adrei cum GEA rectanguia aequalia habeant quadratu AF id eis BE: unde morbola ABC ad toros habet rectum continentes angulum : s quis autem volet reducere h=perbola obliqua ,id est quae orianturo tramlatione quadratorum A REF, in quadrata EB quando AD axis parabola non essed diameter,) is potentias linearum qua ordinatim ad sperbolam ponunιur, tra ferat'. quam materiam ne tinfrsim, stadio ominendam daxi.
' PROPOSITIO CCXLUI ILHΥperbolmn AB C, quae AD axem
habet communem cu m ellipsi ex qua orta est, reducere ad suam ellipsim.
qua oriuntur ismi otos habent acutum ana seontinentes intelligantur enim eirculus ct Ahassem manem habere axem maiorem , ese ad itam orae natim θη a poni. deinde Iubtens angulorum recto ram in circulo transferri in normales ad axem: produ- rens illa parabolam communem tum circulo axem habentem, es υι- rectum aquais diametro cireuli. Ruris
sum subtensa angulorum rectorκm in parabsia ilia, transferantur in redimasimpostar adaxem parabolae, producent ista 'perbotim , habentem latus reansuersum, quale lauri recto parabolae, ex qua oritur; ct ase totos rectum anguism fommantes et iterum subtensa anulorum rectorum in eripsi , ponantur normaliter ad axem. producent in quoque , perlotim , habentem titus transerarum quasi avi eri os . ademese aquais, titeri transuerso seperiati, Mia m disse ex ei cuti, cuivis diameter , axis maior est Hi is quoniam iratur θρerbo, orta ex ista esti , orsinatim posita. minores habetiquam circulus eodem axe Hr--, pater isiis minores quinque esse ordinarim possis inpara- Lia, ex circuo im artas ese musto minores, quam h peristi ex rauisti in straa sed spreM-ia ex parabo e orta, asi totos habet anguiam rectam rvrantem, Visur periati ex enis orta, eundem has seum abera axem, , titus transuersum commune, a jνην nos habes
Imili plane methodo reduc ut parabola: ad parabolas Si circulos E quibus oriunt si tur, modo illae communem cum parabolis aut circulis' eqstibus oriuntur habeant axem, reduci etiam potest parabola ad ellipsim ex qua oritur, uti proposit.333. de parabola ostendi, sed praxis illa requirit translationem linearum secundum potentias.
152쪽
153쪽
quadraturam exhibendam: quae res me no, exiguo temporis i iis ;'Acitum habuist, neque enim rinthae hora, mihι inam km indaure possum, quidmouem Archim dem, perfrauem Meam, eirruli quadraturam indagare: maxime firmisia,eius contingente mu a, sepertam Qquefore lineam rictam , qua tam riuub perimesia, qualuaturationem tontineat. methodia eniis demon Iratιonu, qua Mehimedes in hae materis emitur, isque adeo freta est in inuta , ii mihι nunquam occurrere potuerat, qua ratione Archimessi inciderit , 'reontingentem I rati bnta , deueniri posse ad Deam rem reprriendam, quae perimetro circulisit aequalis; qua etenim ase itaι sentes ,stira eum circulo, maxime si continuntem Mil constris cum peria Metro urea si ante annos circiter miginti quinque,eum in L eculationem,quam eis eare intendo, inlidissem, plane mihi Vinam et erim am me represseina , qua Archimedes adinvenit, circul, perimetrum aequalem esse sineae Q, quam contingens stiriau assignato Ego tenore qui ub eodem aut bore biso aspirati deaurat in , fidas hae opimone mesemouere tonatus est anno vigesimo quinto buu a b , P. Christophoris Grim Verus, P. Ciarii cuius re ego per aliquot annos domesticus auditor fui )mἀπι- au in comes, cuius opera m y lucubrationes, magnum pondus in avictoritatem a qui et iis en sequentem Jeculationem eidem miro evbcueram, tum Furiungeret eum nimis futura H --, quam it Archimedesuppressum eam e luerit, quae pulchritudines sinon excederet,sabem non infimor est Archimedia contemplati ne, quam posteris des ratu taeae naturare mi. bilominus d euster apersuasione mea semoueri mepation tuum igitur benigne Lecto iudicium exstecto in rogo eis bene pressem, quem ubiungemus disius6sintentiam tuam bbere eloquaris , donec ala
tibi vis vel ratio occurrerit, explicanὰ Arebimedis artificio quo connexionemperiri reri circinia, eum tineaper continentem Lymaeia ιnuenta, repererat. Antiquis emmialde solennefuit, artificium ad otionis celare, quo admirabibor euaderet propositionis ieritas, celata mesiodo, quae ad eruae cognitionempe emori viam fecit. In olentum itaquepraesimis partis est,sendere parabolae naturam eandem esse eum natura
154쪽
spiratu figura, Opis ire atra .mur, ab Arebitris in Arab Micra explicatis, repe
Spinar genesium horarata a re nedes in libro destirapanu 'sus definitione ima. est toti iin kano rectibista altero termino iii an et te, aequali celeritate clocu lata redeat deinceps ea induti festa est et simul vero eum line,
in sit. M a Matut pundim pari vclotitate sibi ipsi I secundum et line ina uita, motus imo ab immobili termino i istud punctuitium alii spiralem in plino describeti f
t Ata sit tecta linea AB quae maiiente puncto Arie uni rini celera ath in orbenimoueatur donec in eum locum redeat, a quo moueri caeperat. Eddem veto tempore punctum Apescurra vnsseriti ieeleritareiectam ΑΒ, ita ut A non prius periiseniat in a quam recta A BAltiniam reuolutionem peregerit. Feretur igitur punctum A motis neque recto neque circuluri, sed composito ex utr6que. Lineam compolito suo motu puncti A descriptam, ehini edes sturalem cati Dia si sumatiit B HipnA A aequalis, Ac puhctum B pereurrat restam B Reode tempore,quq manente puncto Α recta Α H in bem stertitur, describetur spira secundi reuolutionis.eundam in modum describetur spira reuolutionis tertiae,quartae atque ita in infinituri Hiamasi raras, Dirines; ad originem parabola ven via , . .
155쪽
re linea ARS, m lente nuncto , moveat ut donec civ fruat rectae
les partes di Assi, quo tempore RG unam aequalium partium rectae A Babsoluit, eodem oli 3miAm abibluat una 'aequinum parti uni rectae B B, N sic deinceps, haec autem uniformitas non sumitur secundum
formitate serundum Issia series se 1 seeundum pamsi spirit 4 a
er motum decurritur. quae partes aequales inter se existunt. Intersi Hunt sope ratio in is uilla fici de As , R. G in puncti, D, D. Dico intersectionibus illamotus miseri iam describi. 1 Q a .: ι monstratio. m ID
G, R Q. vero in P. Et quoniam uni tmi celeritate R fertur per AB rectam, erit squemadmodum ex prima Archi de spirifacile colligesὶ AF ad AB , ut tempus, quo percurritur AF ad rempus quo AB. Rursum quoniam A S uniformi celeritate percurrit B B, erit B G ad B B vetempus, quo percurritur B G ad tempus, quo percurritur B B.Sed AB, B B ex hypothesi percurruntur eodem tempore quod ponatur esse at item A F, BG tempore eodem pertranseuntur, quod ponatur esse β , cum R tectatum perueniat in F,6c Α F S in G, quando se mutuo intersecant in D. ergo tam ΑFad AB, quam BGad B B, est vi tempus α ad QErgo AF est ad A B , ut BG ais BB. Ergo diuidendo AP E ad HB, hoc est AT ad Tn, BGGB, hoc est queni ad moduni pater ex elementic quoniam sunt parallelae I ut FD ad DT.'Deo pet 'λfchimedis de .quadrat. parabolae pui ctum D est ad parabolam. Similiter ostendimiis omnia puncta intersectionum BD D esse ad parabolam. Quod et e
demonstrandum. ' similitudinem pol sc ostendemus: motus rectae ABS per lineam B B, manente pii nuri A n,δ: lepraesentat' motum circuIarem rectae AB qui fit in spirali in is Puncto Α: motus autem rectae RQ perrectam ΑΒ, semper ad B B pa-i . rallelus
156쪽
θε rallelus exilibet fluxum puncti A in spirali perrectam AB, punctum igitur Α in parabola refert principium spirae Αν recta AFB vel AT B, eam quae est prinei- pium circulationis, nempe ipsam AB; linea BGGB peripheriam BGGB primieirculii singulae v ro parallelarum FDT peripherias singulas, quae primo circulo eoncentrica per singula lineae ΑΒ puncta ducuntur; lineae autem ADG. spartes ipsius A Si diametros ADG depraesentant Ex quibus consequens est spiralem piam ADB a parabola ADB, & circulum primum a triangulo BAIadumbrari. . . , i ffusior amice tectoriaminium in ipse ortu, atque mmu vivat quam incanabitis in Ostor arariti.
IIsdem positis, nimirum figura parabolica, sumatur BP , ipsi AB a qualis , ductaque P Η Κ H parallela ad B G B. oecurrat illi in D red a A T BZ infinita, iam congruens ipsi Al B , satque HKA aequalis ipsi PH, de iungatur Α V H. Deinde quo tempore ABHZ, manente puncto Α, inbuetur unif6rmi celeritate per lineam H K H donee congruat rectae A 6 H, eodem infinita illa linea R Q, iam eongruens ipsi Bs, motu semper uniformi & ad rectas B G B, P H parallelo petcurrat lineam B p, doneς congruat rectae PHΚH. Intersecabunt iterum se perpetuo in punctis l. ' ἈDico intersectionibus II, illo motu Ams eandem parabolam contL
ASsumatur quod iis I punctum, eodemquepla dumissa ustendemus esse BO ad OP. hoc est Y V ad vH , ve ΗΚ ad ΚΗ , quo propos. I. ostendimus A T esse ad ΤΒ, ut B G ad GR. Deinde eum Α Y sit ad YH, ut AB ad BP, AB autem sit ad BP, ut PH ad HKM. cum ex constructione tam AP, quam P. KH bisectae sine in B & Hi etiam Α Y est ad YH, vi PH ad A. ΚΗ: sed YHest ad YH, vi H Κ H ad ΚΗ, siam enim ostendi miis dii iidendo Y V esse ad v H,
157쪽
ad KH. quare cum etiam Y vsit ad VH , ut KΚ ad ΚΗ, erit per 24. s. lora AY V ad VH, ut tota P HKHad ΚΗ, hoe est ut O I ad IV. Ergo per 3. Archimed. de quadratura parabolae punctum I, estaei parabolam. Similiter ostendemus de omnibus II punctis.
Punctum quoque B ad parabolam esse est manifestum. nam ΑY est ad YH, ut AB ac B P, hoc est , ut P H ad H, Κ H s quia utraque ΑΡ, P, TH bisecta est in B &H hoe est ut BGB ad BT D nique quod sint ad eandem parabolam , inde patet quod
omnes lineae AG , ΑΙ ex eodem puncto A egrediantur. Vera igitur sunt, quae opori bat demonstrare.
. PARABOLAE.REpraesentat igitur segmentum parabolicum secundum B HY A,s ram ex secunda reuolutione: triangulum vero H AH, circulum secundum recta H ΚΗ perimetrum secundi circuli, B H, YH, BP secumdam in spirali lineam B H referunt.
Quoci si sumpta PS aequali rursum ipsi A B, ducatur parallela S L cui occultat A Y ,HZ in L, & facta LNL dimidia ipsius S L, iungatur
A Xa L; aetum moueri pergant modo supra explicato infinitae illae line R LQ, ΑLZ, suis iterum intersectionibus M M continuabunt eandem parabolam,&segmeptum quidem AH I. X A repraesentabit tertiam reuolytionem r triangulum L A L tertium circulum reseret: Atque ita pr edendo ulterius iuxta methodum iam praescriptam, quartam etiam re quintam reuolutionem,& sic deinceps in infinitum in parabola exhibebimus. a
Quae cum ita sintn6nne iure merit spiralem esse dixerim euolutam sue expansam parabolam ' Verum id planius adhuc fiet ex sequentibus propositionibus; nihil siquidem de spirali vel Archimedes vel Pappys d monstrarunt, quod vicissim in parabola non exhibebimus. Quod priuLquam prosequamur, lubet duobus adEuc sequentibus Theorematis ean
dem analogiam amplius declarare. I , .
158쪽
DAin sit spiralis Α D B, us primus circulus diuisus sit aequaliter in
punctis G, & ex principio spirae ducantur ad puncta G quotuis rectae A G, secantes spiralem in D. - sit praeterea parabO- t m M v I
iameter B B secta in aeque multas aequales ac fruit secta perimeter in punctis G : ducanturque ad
eun f Gi rectae QuotuisAG , ste uum serapolim in D Diso Smnes retus A G
A G in soluin ductae a 'i- iis suo .
159쪽
ς oo SP IRA L. Is diuisa sunt in partes aequales aeque multasὶ ut arcus BG ad arcu reliquum GωGB: hoc est peri'. Pappi l. .ut inspirali A D, ad D G. Ergo a primo ad ultimum in parabola ΑD est ad D G, ut inspirali AD ad D G. Quod erat demonstrandum. Hinc riirssim collige analogiam utriusque figurae: Punctum Α in parabola Principium spirae A. Tangens A B, & subtensa A B. - α Rectam in spirali primam Α Β quare Diameter BB. ita causa est cur littera B bis ponatari Triangulum B AB. e Perimetrum primi circuli BGB. Rectae AD G in parabola 9 Primum circulum.
Segmentum parabolicum Α D B Τ. z Rectas ADG in spirali. spacium spirale primum A B GA.
PROPOSITIO IV. DEtur spirae seeunda reuolutio BI H,fitque secundus circuliis AK Maequaliter sinus in punctis Κ : durantur, rectet ΑΚ secantes Iprura in I.Positis deinde in parabola ijsdemqnς propositione tertia,sumature tangente producta,B P aequalis ipsi Α-ex P duc diametrum P Hic A, cui ATB occurrat in H. Tum H H seea int0tidem aequales,lnpunctis Κ, in quot secta fuit peripheria secunda, ducanturque fandem rectae A K
Dico rursum omnes rectas A K in eadem proportione secari α ν tibS la, & spirali ex secunda reuolutione nata. I .
PEt I ducatur diametet O IV. HΚλ est V ut arcus ΗΚωΚφ ad adicum KsH. similiter enim utraque sunt divisa. sed Κ Κ1 ad II G . ut arcus HKωK ad areum ΚρH, sicut etaliges ex Pappi 19. lib. . idem enim discursus Best pro reuolutione secunda qui pro prima : ergo recta HKλ in parabola est ad Duiligod by COOgle
160쪽
quod erit in memoriam reuocandum cum paulo post ex aequo argumentabimr; Ergo etiam componendo & iiiverten
Producta plures sumantur gquales ipsi ΑΒ, ut P S, dcc. & Z ex puncto S diicta diametro .. o .iS N L, cui A VH occurrat in L, ducantur quotcunque rectet V .
AN, shcantes parabolam it TM M. & diamctri partem L L . in aequales partes in punctis Ne ducantur autε8t in spira reuolutionis tertΜHMMquotuis rectae A N antes similiter perimetrum tertij circuli in punctis , ac secta fuit LL, spiram vero in punctis ΜΜ: 7 Dicorursiim recta'omnes AMNsmiliter aspirali & parabola diuisas esse.Quod simili fere discursia demonstrabitur quo prius. Ex his,similitia litus scema deduco huitisinodi. o Segmentum parabolicum BA YAB. Triangulum H AH. Recta H H. Singulis rectae , B H, Y H, BP. Rechae in parabola AI K. Segmentum parabolicum H LX A. Triangulum L A L. Recti L L. Singulae rectae H L. X L,P s. i , εReci AMN in parabola - a Secundum spirale spacium.
' Periphetiam secudi circuli HΚΚΗ. Rectam in spiri secundum ΒΗ. R Rectas in spini, AI K. i. J Tertium spirale facium.
Tertij circuli peripheriam LM NE Tertiam inspirarectam H L. Rectas ΑΜ N inspirali.