장음표시 사용
161쪽
medaeis, quod primam spiralis proprietatem, ex ipsa eius definitione immediate
profluentem contineat. Pappi sensus hie est Si exspirae principio A ad peripheriam circuli ducan urrectae A B C spiralem scam res in B, semper A B est ad BC, ut areus DC ad arcum C MD.
APPLICATIO PA RABOLAESIx p rabola A B E , cuius tan ens
diameter Eo occurrens tangenti in D. . Ducantur autem quotcunque rectae ABC secantes parabolam in B, dc diametrum in
C. itaque punctum A , in parabola, principium spirae A , diameter vero DE perimetrum circuli repraesentat.
Dico A B esse ad B C, ut D C ad C E. Demonseratio.
2 B ducatur diameter GBF, hoc est para. Iela ad DR Peis Archim. de quadripa b. ut G B est ad BF, sie AF ad PE, noe est AB M BC: sed ut G Bad BF, sic DC ad CB Ergo AB est ad BC , ut DC ad C E. Conuenium igitur in hac prima proprietate helix & parabola. mod erae demonstrandum. Huius propositionis demonstratio fetὶ in praecedenti demonstratione inuoluitur. Placuit rameu eam seorsim applicate, quod Pappi sit, re primam spirali prot
spiralium proprietates demonstrantur. Archimedes sic habet: si in spiralem una quidem circumuolutione descriptam a principio spiralis Al rectae quotlibet AB C)cadant quq aequales inter se angulos ID A C, C A C, C A Q contineant; sese mutuo aequaliter hoc est excessu aequali) e cedent. . APPLI-Di d by Cooste
162쪽
quotlibet rectae AB C. Linea igitur DE, repraesentat perimetrum circuru DC D; aequales vero rectae DE panes CC, referunt aestiales anga IOI, siue arcus aequales CC ἰ rectae tandem ΑΒ in parabola quae pro tractae abccindunt aequales partes CC, exhibent lineas AB in spirali aequales angulos siue arcus continentes. ' MDico A E aequalium sui partium continere unam plus, quam secunda contineat AB ; secundam vero AB aequalium sui partium complecti unam plus, quam contineat tertia A B, bc hanc rursum partium sui κώ qualium unam plus continere quam contineat quarta , de sic deinceps.
D Et puncta B clueamur GBII parallelae ad DIE. Quo-L Diam igitur parallelae sunt G BF ad DE, G B est ad ABF, ut DC ad C E. Ied per .Archime l. de quadr parab. etiam A v est ad F E, ut G B ad B F. Ergo A Fest ali F E. ut DC ad C E Patet igitur ex elementis cuni DE sitaequaliter secta in punctis C, etiam EA in punctis P aequaliter esse dilidam. Atque inde ulterius obtectarum G BF aequidistantiam est manifestum singulas ABC lineas a parallelis G BF sectas esse aequaliter. Perspicuum itaque est AE unam plus aequalium sui partium continere quam contineat secunda AB i secundam vero aequalium sui partium complecti unam plus , quam contineat tertia , ω se de caeteris. Sed eum in spirali A D,AB, AB, sese mutuo aequali excessu superent, etiam prima AD aequalium sui partium contin et unam ps.s 'uam secunda AB; Fc haec aeqxia i i sui, AB Zosic de exteris. Et hic igitur symboli east eiralis& Parabola. oderat demonstranduin. ill
163쪽
PROPOSITI Ο VII. Archimedui . applicaturparabou. SI in iridem ex prima reuolutione ortam incidant duae lineat AA B) apuncto quod principium est spiralis, & producantur ad per
metrum utque primi ςirculi in I&Cὶ eandem rationem interse habebunt istae in spiralem incidentes, quam arcus circuli med anter termianum spirae Di& limites linearum productarum in circumserentia factos, sumptis in consequentia arcubus a fine spiralis hoc est quam arcus,
Ex quo sequitur, si centro A per B & H dueantur ei repli FB G,L H quod AL sit ad AF ut arcus D MI ad arcum D MC. H. . ii APPLICATUR PARABOLAE. :
tangat A D, secet vero di meter D Eι iungatur Α E. Expuncto A educantur rectae
AHI, ABC,&per puncta H, B ducantur L H Κ, F B G p
Recta igitur A E circuli di metrum A D. rectet vero AH LABC, ductae a principio spiarae A MI, ABC repraesentant, linea autem DI CE,refert peripheriam DCl ac proinde reeta: DI, DC arcus D M I,D M C exhibent. Denique parallelae L HK, F BG referuue circulos concentricos seu parallelos L H Κ, F B G: Dico A L esse ad A rivi DI ad D C: plane ut in spirali A L erat ad A F.
scutarcus' DMI ad arcum D MC. 'Demon tratio. DEr . Archimedis quadr. parab. ut A L ad LEita ΚΗ est ad HL. hoe est D I ad A I Mut A FUFE, ita GB est ad BF, hoc est DC ad CE: Quare ex eli
mentis patet AL esse ad L F, ut DI, ad IC. Ergqhic etiam conueniunt spiralis MDarabola. Quod erat demonstrandum.
164쪽
Si in helicem in secunda reuolutionesin . cham rectae AQ, ARὶ ceciderint 1 principio helicis, eandem tionem hu- Fiusmodi rechae ad inuicem, quam dicti a cus B XΚ,BXLὶ cum tota circuli sBΚLὶ .
circumferentia simul assumpta habebunt. 7ν Hoc est A Qerit ad AR, utareus B X K x cu tota peripheri a B X KL, ad arcu B XL , Luna cum circumferentia tota BXΚL. ae Ex quo sequitur, si centro A per P dc R
ducantur circuli QM, RN, rectam AM futuram ad AN, ut arcus B XΚ cum tota peripheria ad arcum B XL cum tota peripheria,
APPLICATUR PARABOLAE. in sit parabola ΑΒ E cuius diameter sit
EH, tangens AH, qua bisecta in D , ex D A fac D B parallelam ad HE, iungantur* AB,A E. Pavet, itur ex .primis propocliuius, segmenta . parabo ira A B, B R E F reserra spiralia ordine . iseMi ALBquide referre primum;BREF verδ secondu:Rectatri quoque o B e hibere periphe- .. riam primi circuli. Producatur modo D B in F. ' Quoniam ΑΗ bisecta est in D, etiam A E bise-Cta est)n F. Quare cum per 1. m. de spir. D B sit ad BF, ut AF ad F E, etiam F bisecta est in
165쪽
6νε SP RALIS. AN, ut DR est ad D L. Ergo hie etiam symbolietant spiralis¶bola. Quod
erat demonstrandum.- - .co olgarium. 'c X his perspicuum est,Archimedis m hisemini quod propositioni 13. subiungitur eodemplane discursu posse accommodari.
SI spiralem ex prima circumuolutione ortam recta linea tB Btetigerit in termino spirae B : aliuncto vero quod est principium pirae, quaedam Α Fὶ ducatur ad angulos rectos ei, quae est principium circumuolutionis nempe ABὶ ducta incidet in tangentem,& ipsius quς pars media erit nempe A R inter tangentem & princispium spirae, aequalis erit peripheriae pruni circuli CC. Atque hoc est illud theorema,
quod hactenus Geometrae admia rati sunt. Nos qua ratione conu niat parabolae videamus.
parabola Α o B cuius axis sit A E. tangens vero B A. Ducta deinde' B parallela xi,inserius o u
rat parabolae in B, iure iurqueBE parallela ad B A. Deniq spe
.ripseria circuli directa AB in que multas aequales partes diutidantiu per rectas ADC. I tuetro Propos s. huius, rectae ADC inspirali & parabola similiter ab utriusque perimetro in punctis D, diuiduntur. Ex quo patet rectam BC B, prorsa peripheriam BCBreprssentare circulum *εia, striangulo AB B spiralem, cuius Diuiti su by Corale
166쪽
s p IRALI si principium A, terminus B, a para- nota, cuius item A hst quasi principitam, B autem terminus,aptissi- . . me exhiberi.
Tangat iam parabolam in termino suo B recta B F occurrens axi E A producto, in F, auferet 'haec ab axe producto per 31. I. con. tectam A F, aequalem ipsi A E,hoe est ipsi BC B, qua ostendimus repraesentare peripheriam circuli, plane quemadmodum tangens spiralem in termino spirae Η, auferebat ex eadςm linea aequalem eius de circuli peripheri . Non minus igitur parabolae, quam spirali leonuenit haec proprietas. - 14 erat demonstrandum. , Quod sit A E siue B B aequalis' ponatur peripheriς primi circuli, transferaturq; parabola ADBK. ad partem alteram in H, quod fiet si eae G puncto medio rectae ΑΒ erigatur pro axe GH quaesit quarta pars A E, siue A F.ὶ Aliter, l&fortasse adhuc maior orietur si- μmilitudo. Nam si BF tangat parabolam in B, dico quod abscindat AF aequalem periphyriae primi
circuli. Producatur enim axis G H o in K , eritque per 31. I. con. KG
ut A B ad G B. Ergo F A quadrua Tl - Σpla est axis IH G. sed etiam A E, hoc est ex hypothesi peripheria primi circuli, ex constructione quadrupla
est ipsius HG. AEquales igitur sunt, recta F A, quae aufertur a tangente parabolam, & peripheria primi circuli. Iam sebsumo: atqui recta, quae spiralem tangit in eodem puneto B,etiam abscindit rectam A F aequalem peripheriae primi circuli: omnimoda igitur utrimque similitudo. Quod oportebat ottendere.
LX his sequitur,posito quod recta AF aequalis sit peripheriae axis par bole G H quarta pars ipsius AF , lillam F s spiram & parabolam in e*dem B puncto
167쪽
Archimedui'. cum manifesto 8. paraboti applicatur.
' T s spiralem ex secunda reuolu-α Atione ortam in termino Cὶ t rigerit recta linea , & a principio spistrae. A) ducatur aliqua ad angulos rerctos lineae , quae sit initium reuol
tionisi ipsa concidet in tangentem, di erit recta media, inter tangentem
di principium spirae s recta nempe AS).. dupla circumserentiae secuita
Hoc ipsum modo demonstranduest. quod si spiralem ex quacunque
ci muolutione natam tangat quPdam recta in termino spirae, tum ab initio spitalis ducatur linea recta ad principium reuolutionis, cadet in tangentem, totu plexi erit circumferentiae circuli , quotus est numerus reuolutionis denominatus ab eodem
APPLICATIO PARABOLAE DAx sit spiralis quo tuis reuolu
tionum & parabola, AB L cuius axis sit Ari tangens A E, ex qua sume tot aequales partes AB, BC, CD, DE quot reuolutionibus data spiralis constat, de ex punctis B, C, D, E, ducantur diametri secantes p rabolam iri B, H,L, P, iunganturque Α B, AH, A L, A P, quae producantur in H, L, P. Patet igitur ex propo sitionibus primis, praesertim ex .hu ius, sinsuli segmenta paraboli ea ABF, AHI B, ALM H singula ordine spirali aspacias, singulas vero rectas AGB. ΗΚΗ, LN L, Pis P singulas quoque orditae suo peripherias BG2, H ΚL,LN L,PβP per omnia repraesentare. Deinde punctam Aprincipium spirae; puncta vero B, H, L, P, terminos spirarum B, C, D, Ereferunt. Axis demum AX, qui normalis est ad AE productus exhibet lineam quae a prin cipio spirae ad A E normalis ducitur. Dico igitur, si segmentum parabolibum AHIB reserens secundum jacium Diqiligoo by Corale
168쪽
sΡIRALIS spacium tangat in termino suo H recta HS abscindi AS duplam rectς Η Κ H quae refert secudam peripheriam HKHr& si tertium segmentum parabolicum ALM H reprae se tans rertium spacium in termino suo L tangat L Labscin.
quς reserebat tertiam peripheriam LN L. Atque ita deinceps sem per, &c. Semo iratio.
id est ut A δ ad δL. id est ut AC ad CD. Quare cum AC dupla
sit CD ex constri etiam DL dupla est ipsius L N L. Ergo DNLhoc est A hoc est per 33. . conita A T, tripi est ipsius LN L. Eadem erit ita caeteris demonstratio. Mirabiliter igitur rursem 're, bolizant spiralis d parabola. Quod erat deis
169쪽
PROPOsITIO X l. Anchimedis Lo. mplicaturparabola Si spiralem in prima reuolutione sectam tecta
linea tetigerit non intermino spirae Bὶ acon tactu vero Cin ad principium volutae,recta iungatur AC, tum centro quidem principio volutae, interuallo vero illa iuncta sinteruallo nempe A C circulus describatur i a principio praeterea spiralis agatur aliqua ad rectos angulos et,quq a contacta ad principium helicis iungitur nempe A F, cadet in tangentem CF,I& erit recta CF inter concursum & principium helicis, aequalis arcui descripti circuli, qui intercedit inter contactum d sectione, qua secat descriptus circulus principium reuolutionis , capto in antecedentibus arcu apuncto, qui est in principio circumuolutionis
hoc est areae DI C. APPLICAT io. DAta sit spiralis A C B, & parabola
ACB euius axis sit AH, tangens AB, diameter B B subtensa AB. Fiat ut
inspirali Α D ad D B, ita in parabola A Dad D B, & ducatur D C D parallela B B. Quoniam igitur sui ostendi in i, huius
ADB tam luperiorqueari inserior reprς-
sentat, primamreetam in spitali ADB, quemadmodum recta BB refert peripheriam B B, ita rect D C D refert periphe- tiam D Clo Ex quo iam sequitur arcum D IC exhiberi a recta DIC. Dico igitur si recta quaepiam tangat parabolam in C,abscindi ex axe producto Α F aequalem ipsi, Di C , quae repraesentabat Meum DI C,plane ut in spirali tangens C F auferebat AF aequalem eidem arcui DIC.Demm alio
Ducatur CG parallela ad AB, per 3s .r.Conie. FΑ aequaIises ΑG, hoc est DC-- rursum igitur habetur similitudo. derat demonstrandum. Manifestum Archimedis s. quod propositioni tysubiungitur, eadem prorsus ratio. ne applicandum lectori relinquo.
170쪽
Anckimedu 24. a secaturμυλία Comprehensum a spirali ex prima reuolutione nata & prima linea A Bὶ quae principium est reuolutionis, spadium tertia pars est primi
batur autem parabola axem habens AI ac proinde tangentem AB, ductaque BC parallela axi, iunge A C. Manisellum igitur est ex ijs quq diximus I. 6c 3 proposit. spiralem parabolae segmento ABC, circulum verδ a triangulo A BC reprcsentari. Dico AEC segmentum parabolet rej Ittiam esse partem, trianguli ABC.
Demonstratio. . 'D I secta A B in D; iunge C D, Si due D Fpi rarallelam ad BC , hoc est ad AI. Per s. Ar- 'chim de quad.pa rabol DK est ad KF, vh ARad F C, hoe est ut AD ad DB. Quare cum AD sit par ipsi D B , erit de D K ipsi K F. Ergo per
3. I.Conic. C D tangit parabolam in Q Atqui parabola AEC est duae tertiae trianguli ADC cuius duo latera tangant parabolam, i per propos 137.libri nostri de parabola ac proinde una tertia trianguli ABC, quod duplum est alterius Igitur etiam haec nobilissima spiralium proprietas conuenit parabolae. QMd erat demonstrandum.
PROPOSITIO XIII Pappi M. L . applicatur raboti. PAppus l. . Collectionum Mathemati
carum prop. 2 t. demonstrat n6n talu,
uod fecit Archimedes, totum spacium pirale primum B C F Α B teritam esse partem circuli primi BH i sed etiam ex principio spinae Aducta utcunque A C, & centro A per C descripto circulo ECH,spacium spirale CFAC tertiam esse partem sectoris ΕΗ C.