장음표시 사용
171쪽
Hanc quoque proprietatem in parurabola demonstrabimus. sit enim parabola A CD cuius tangens sit AB, diameter B D, ω ducta A C, ex Cdue C E parallelam ad B D.quemadmodum ergo triangulum ABD repraesentat circulum primu ABD, ita triangulum AEF dici poterit referre circulum A EC H,proindeque triangulum A C E repraesentare χ- choren, EI C , ω quemadmodum parabola Α CD refert spiralem B C F Α , ira segmentum paraboli- eum A C G exhibere poterit segme- tum spirate AF C. Quare cum iuxta ea quae diximus prop. praecedenti, triangulum A E C triplum segmenti A C G. Etiam hie symbolizatio est manifesta. Quod erat demonstran
Obseruandum hie est segmenta parabolae Α Β Κ, A H G B, A L O RA Μ P L , repraesentare posse non solum singula volutς spaci , etiam ex pluribus reuolutionibus orta, sed e
iam eiusdem B C D EF spacij spira. lis segmenta , sit ut segmentum parabolae ΑΒΚ respondeat segmento spirali ΑFE , segmentum veris Α Η G B segmento E A D sie deinceps. Hoc tamen ulterius ann
tandum : quando segmenta parabolica referunt iracia diuersesum reuolutionum, simularum reuolutio num peripheriae sue in praecedetibus saepius dictum I repraesentantur i lineis B B, H H, L L, Μ Μ, ipsis vero circulis, ut prop. q. huius diximus, eriangula BAB , H AH , LA L. MAM respondente quando veris segmenta parabolica repraesentant
segmenta eiusdem circumuolati nis, scutante segmentum ABKre- ,
ferebat primum spactum B C D FR'im iam tota parabola ΑΜ O reprae. sentat primum spactum BCDEF. deto um triangulum M ΑΕ totum primum circulum ABK exhibee
a triangulis K AD, GAC, FAB repraesentantur. d hoc loco, quamuis prop.II.huius insinuaverim, placuit claritatis gratia paulo fiasius explicare.
172쪽
da reuolutione descripta & recta lities fecunda, eius qirae est in principio relud lutionis ὁ C ad lecudum circulum, hanc habet ratiot m , qu in habent 7. ad 1,. quae eadem est quam habent haec duo , nempe quod comprehenditur sub radio secundi circuli & radio primi ci culi, & tertia pars quadrati excessus, qho excedit radius secundi circuli , radiutri primi circuli, ad quadratum a radio secundi circuli, hoc est quam habet recta-gulum C AB cum una tertia quadrati B C, ad quadratum A C. ' C. . . Manifesti autem Archimedis, quoniam verbosius est, quatit ut illud libeat describere, sensum paucis reddo esto spiralis &quacunque reuolutione orta DE: eam habet proportionem ad suum circulum E, quam rerctangulum D AE, una cum quadratio Etertia parte ad quadratum AE
FSxo parabola A HM, cuius tangens in Iquotlibet aequales partes in punctis B, C, D, &c. diuidatur; ductis diametris B B, C H H, DLL, E MM, ex A per puncta B, H, I ,M, ad parabolam posita ducantur ABH AH L, AL M. Patet igitur ex saepe iam demunstratis,segmenta paraboli ea A B K, A H N B, ce. singulas reuolutio nes referre, rectas vero B B, H H, L L, &c. repraesentare singulas ordine peripherias,
ac proinde a triangulis A B B , A H H, ALL, AL M singulos circulos exhiberi:
diametris in si irati Λ B, A C, A D E respon
Dico primo segmentum ΑΗN B esse ad triangulum A H H, ut ad 11. hoc est ut rectangulum B A H cum una tertia quadrati B H, ad quadratum AH. ,. Temonseratio.
TVngatur ΒΗ, de producatur. A H, in F, I; Se B B, in QTrianaelum H BAc ut patet ex elementis) quadruplum est trianguli B AB: sed triangulum BABper
173쪽
duodecuplum est segmenti BAK. Et quoniam per s. Archim. de quad. parabi ΒΗ est ad BQ,
ut Ainid QH, hoc est ut CB ad BA, estque A B par B C, etiam B B par est ipsi B Q.: ae
proinde de C H ipsi H H. Mate etiam tria liguld H AH aequale est triangulo HAC. sed H AGT ut iam ostendi, est duodecuplum segmeti A B R: ergo& H AH eiusdem est duodecuplum. Ergo ABII triangulum dimidium ipsius H AH,
est sextuplum eiusdem segmenti. Atqui . ut μ ostendimus in fibro de parabola, .segmentum B HN, aequatur segmento AKB. Ergo ΑΒΗ triangulum sextuplum est segmenti BNH. Ex quo manifestum iam est segmentum parabolicuM AHN B esse ad triangulum H AH vi p. ad I 1.
Fr Dico secundo : quod uis segmentum
rarabolicum verbi gratia quartum, AM P L, esse ad suum triangulu M A M vi rectangulum L AM, una cum Vna tertia quadrati L M, ad quadratum A M.
Producantur ARL in M 3e ΑΒΗ, ΑΗ L, in I, G ω BB in X, iungaturque LM EI est ad I M a. ut ΒΗ ad B X, hoc est per . Archim.de quad. parab.vtΑX ad XM, hoe est ut AB ad B E sed ΑΒ est ipsius BE una tertia EI ipsius EM 1 est una tema. Ergo EI ipsius EM 1 est una quarta. Rursum M M est ad ME, veS L ad L D , hoe est ut M s ad S A, hoe est ut E D ad D A. sed E D est una
tertia ipsius DA. Ergo de M M una tertia est ipsius ME. Ergo MM est unaquarita ipsus M E a. Cum igitur tam EI quam MM eiusdem ME sint una quarta, πιquales erunt inter se, ac proinde etiam triangula bl 2AM, EA I aequalia fiant.Deinde, ut patet ex elementis, triangulum B A B est ad triangulum E AI, ut quadratu AB ad quad. ΑΕ. hoc est ut quad. DE ad quad.Α E,hoc est ut quad. LM ad quadratum ΑM: ergo tertia pars trianguli B A B hoc elesegmentum parabolicum ΑΒΚ, hoc est tui rursum in libro nostro de parabola ostendimust segmentum LMP. est ad triangulum EΑI, ut tertia pars quadrati LM ad quadratum A M.Atqui ante ostendi triangula EAΙ,Μ ΑΜ est eaequalia: ergo segmentum LM P est ad triangulum M ΑΜ ut una tertia quadrati LM ad quadr.AM.Praetere, rectangulum LAM Lest ad quad. AM per ι.ε. ut ΑL ad AMr sed etiam par eandem, triangula AM L, ΜΑΜ sunt ad inuicem ut A L ad A M. Ergo triangulum A M L ad triangulum Μ ΑM est sicut rectangulum L ΑΜ, ad quadratum A M. Quare, eum ante ostensim si etiam segmentum LM P esse ad triangulum Μ AM ut una tertia quadrati LM ad quadratum ΑΜ, erit per 2. .f. triangulum AML cum segmento LMR hoc est totum segmentum parabolicum ΑΜPL, ad triangulum ΜΑΜ virectan. gulum L AM cum una tertia quadrati P M ad quadratum AM, hoc est segmentum paraboIae est ad suum triangulum, ut spira Iespacium ad suum circulum. Quare in hac etiam proprietate pulcherrime iamussim spiralis & parabola stru Iietant. Quod erat demonstrandum.
Archimedis 26 applicaturparaboti.
Comprehensum spacium sub spirali quae est minor ea quae ex nare uolutimae fit, nec habet terminum principium spiralis, dc rectis quae
174쪽
s p i R A L i s. rasa te inis ipsius in principium spiralis ducuntur , ad sectorem habentem radium aequalem maiori earum quae a termin ad principium spiralis ducitur: arcum vero qui intercipitur inter ductas rectas secundum ealdem partes spiralis hanc habet rationem, quam h bent haec duo , rectangulum eomprehensum sub rectis a terminis in principium spiralis ductis , & tertia pars quadrati excessus quo maior dictarum lunoarum superat minorem ad quadratum maioris linearum a terminis ad spiralis principium coniumstarum.
Sensus est, quod ductis a principio helicis rectis A CD, AEF, & centro A per Ccirculo descripto GCO, spirale spacium C AE sit ad lectorem circuli AC G ut rectangulum C AE cum vita tertia quadrati GE, ad quadrarum A C.
& Ε, hoc est peri g. l. . apud Pappum, ut peripheria per o in punctis C; manifestum est sectorem AC G repraesentari a triangulo AC G, uti de spacium spirate ACE a segmento ACQ E exhibetur. Dico igitur iegmentum ACQ E esse ad triangulum AC G,ut recta golum O AS una cum una tertia quadrati OS ad quadratum AO, plane quemadmodum spirale spacium erat adsectorem , ut rei tangusum C AE cum una tertia quadrati G E ad quadratum AC, siue ut redi angulum OA E cum una tertia quadrati GE ad quadratum AO. Proconia structione sume AI aequalem N L, ductaque per I diametro IIJ, per H. S s s s ducatur
175쪽
c86 SPIRALIS. ducatur Α ΗΚ, iungaturq; EC. Quibus peractis eadem ratiocinatione concludetur pro potitum qua in secunda parte propositionis I usi sumus. Iterum ergo conueniunt spiralis& parabola. Quod erat demonstrandum.
A Rchimedis propositio χ8.siiniti lare via applicabitur, cuna enim sector A C G a- triangulo AC G repraesentetur. manifestum quoque est illius partem PC GEatrapezio P CGE, ac proinde segmentiam GE Ca mixtilineo GEGC,8: si gmentum E QCP a mixtilineo EVC P repraesentari.
PROPOSITIO XVI. Archimedua' applicaturparaboti. SPaciorum comprehensorum sub i
talibus & reetis lineis quae in circul tione sunt, tertium quidem secundi duplum est et quartum vero triplum: quin--m autem quadruplu, & semper quod sequitur, secundum numeros qui dein
ceps sunt multiplex est secundi spatij.
sumit hie Archimedes spacia non more solito sed pura prout inuicem non includunt. s eundum igitur spacium hic est, id quoddempici primo superest ex siecundo i tertium id quod demptis primo & secundo de sie deinceps.
Sic loqui voluit Archimedes ut certam numerorum progressionem haberet. Nos haespaciorum acceptione , quamuis etiam in parabola ad unguem conueniat, quod tetrica sit nonnihil de a communi conceptu aliena , hoc loco wraetermissa , ea solum camparabimus quae de spaciis integris, ad sensum definitionis quintae libri spirat. acceptis in hac propositione demonstrantur: cuiusmodi est quod quarum partium primum spacium est a : earum secundum sit 7; tertium r9; quartum 37. dcc. Ex quo deducitur etiam illud, quod quarum partium primum est unum, earum primum cum secundo sit 8, dc tria prima a , dc .prima 64. Quae omnia parabolae ad amussim accommodabimus.
APPLICATIO. DAta sint voluta quotlibet spirarum, de parabola, diameter M E, sub- .
tensa A M, tangens AE in tot partes aequales secta, quot spiras habet voluta: dc ab aequalium diuisionum punctis, ducantur B B, C H H, DLL, diametro parallelae, iunganturque ABH FI,ΑQLG, ARL M. Dico quarum partium segmentum primum parabolae, cum AB E esti .earum secundum AH N B esse χ, tertium 19. quartum 37.
176쪽
4 1 mum ad secundum sit ut . . ad 7. iam osten sini est i demonstratione pro . q.huius.Quod autem tertium sit 1'. sic dena onstro. Producantur C H.DL, in R, S. cx ijs quae sub initium denion strationis pro 2 assertiolic prop. allatqdixi tuus, patet lineas SI , FD. inio MLL,LI omnes inter se aequalcs est e. Triangulum igitist
L A L, est triangulum F A D, sed triangulumlFA P, cum sit ad triangulum BAB in dui dicata ratione DF ad B B , est nun Aplum ipsius B AB, hoc est visi misertu plus egmeti ABRA, utpote p rtis tertiae ipsius B AB i quemadin diim in libro de parabola i demostrauimus: Exigo etiam triangit fui a LA L est vigintis scuplum segimenti ABKA. Cum autu AC iit si ib- sesquialtera ipsius AD, etiam API ipsius Arta, ac proinde de triangulu A H L trianguli LA L sublesquialterum est. Ergo cum L AL ad segmentu A BKAsit ut a .ad r. I. A hi ad A dt , erit ut is ad i. Atqui segmenta H LO, A B K,ve in libro de parabola b Ostetimus, dunt aequalia; Ergo addito ad triangulum A H L, segmen o HI O, totum segmen tuo A HOLA Gad segmentum ABK utiq. ad 3. Resiliter demonstrabimus triangulum NMM,lioc est Ι ΑΕ, esse decuplo: extuplum trianguli B AB, ac proinde triangillum AML et iisdem esse dii odecuplum, hoc est trigecuplos extuplum segmenti A BIN:xui si addas segmentum L M P, quod aequalet est seginento ΑΒ Κ, set segmentu totum AMPLA ad segnientum ABK
:lioc est quatuor Prima sinc ε . . . 'Quare iii his quoque tam multis tamque miris proprietatibus spiralis , de parabola conueniunt. Quod erat demonstrandum. ψ
PROPOSITIO XV M. ' ' Paniret. libri paraboti applisatur. PAppus:Collectionum Mathematicarum
libro quarto propositione vigestiria secun- .da illis quae ab Archimede propositione vigesima septima demonstrantur, noc Hsuperaddidit Theorema; si recta quae est in principio circulationis producta in B, per A principium spirς normaliter diuidatur recta M N, segmenta quoque AF N, AG NH, HAM, MAR
177쪽
APPLICATIO. QVod ipsum in parabola exacte re
praesentatur. Diuidatur parabola 'cangens in . partes aequales ductis diametris C Κ, D L, E P, B B, iunge Α N. AH, AM, AB. Per ea igitur, quae ad pro-iositionem decimam tertiam huius ob-:ruauimus, manifestum est, segmentum
deinceps, repret sentari. Quare cu prop. in. huius osten uim fuerit eam esse segment rum parabolicorum rationem, quae est i tet istud etiam Pappi theorema exacte conuenit parabolae. oderat d monstrandum.
SI in spiralem ex una reuolutione Ortam a principio spiralis recta linea cociderit ΑCr spacium comprehensum sub spirali & linea prima ΑΒ) eam habet rationem ad spaeium eo reheium subprima spiralis parte sAFC de linea incidente, AC, quam habet cubus primae lineae A Bὶ ad cubum lineae incidentis A C. APPLICATIO. Esto parabola A GCD,&ducto ce
tro A circulo rectam A B secante in per E dueatur ECF diameter iungaturque AC et Dico segmentum parabolae ADG. ad segmentum AC G, eandem habere rationem quam cubus A D, ad cubum A F: hoc est quam eubus 3 A ad eubum AR
178쪽
trum ordinatim applicatae. Quoniam igitur r 4.Archim.de quad.parab. parabolae D A K, C ΑΙ sesquitertiae sunt triangulorum D A K, C Α I, para bola est ad parabolam ut triangulum ad triangulum, hoc est, torum est ad totum ut ablatum ad ablatum. Ergo reliquum lumentum D GA est ad reliquum segmentum C G Α , ut totum ad totum siue ablatum ad ablatum. sed cui demonstrat Cla..uiux ex Commandino ad 23.ε. proportio ablati trianguli DAK ad ablatum triangulum C AIcomponitur ex proportionibus DK ad CI, &ΚΑ ad ΙΑ, hoc est ex duplicata rationis DK ad C Iper 2 . I. Conicorum. Ergo proportio segmenti
D GA ad segmentum C GA componitur ex proportionibus DR ad ei, &d plicata rationis D K ad C I. Ergo proportio segmenti D G A ad segmentum C GAtriplieata est ration si DK ad CI, hoe est rationis BA ad A A, vel DA ad F A.
Ergo proportio segmenti D GA adtigmentum C GΑ eadem est quae cubi ΒΑ adcubum E Α, aliter autem pleraque in libro de parabola demonstrata inuenies, sed nolui meis demonstrationibus propositiones Archimedaeas contingere. Conueniunt igitur etiam in hac tam eximia proprietate spitalis de parabola. Quod erat demonstrandum.
EGregia est paraboliae pmprietas
quam prop. s. de quadratura paraboli Arc himedes demonstrat, nos lin hoc libro non semel citauimus. Parabolam tangat Α D, & secet diameter eius DB, iungaturque AB. Ducantur
deinde quotvis FCE paralleis diametro. Erit perpetuo AE ad EB , ut F C
ad CB. Verum, quod Archimedes aut neglexit aut no aduertit, eadem proprietas reperitur extra parabolam. Nam si producatur AB ducanturque diame
tro parallelq F E C, semper A E est ad EB ut FG ad C E. Demonstrviis.
EX A ad unum punctorum C dueatur A G, cui DB occurrat in G P E est ad EC,ut
179쪽
DB ac, BG, hoe est per primam Theorematis partem b Archimede demonstratam vd AG ad G C, hoc est ut AB ad BS Ergo componendo FC ad CE , ut AE ad BE.
f lem in punctis C. Patet igitur ex I9.
Aequi peripheria tota FEG. , re-I . , . in parabola rectae FCE,
i de arcus F C qui extra spiram est is dis FC extra parabolam positae,ari
cus quoque CGF, intra spiramc dens reciae C E intra parabolam.' Constat igitur rursum similitudo. Quae erat demonstranda. Secundam partem sic applicabi- . - InuS. sit spira duarum reuolutio-
j IV st centricae ECK secantes spiram in1A. A j j Ill punctis C. Erit igitur ducta per C
peripheriam secundi circuli, hoc est Vt arcus E IC ad tot m periph
riam E C K. sed B H aequalis est: AB: Ergo B E est ad AB. ut arcus E IC ad peripheriam ECΚ: dein-nertendo AB est ad BE ut peripheria E CK ad arcum EI C. Atqui peripheriae ECK quae totae sunt extra primam spiram, respondent r ctis FEC, quae totς sunt extra parabolam: arcus vero EIC inter AH de spiram secundam positi respondent rectis E Cpostis inter rectam A & secundum parabolae segmentum repraesentans secundam spiram. Manifesta igitur est utriusque analogia et quam vortuit demonstrare. D Mitig d by Cooste
180쪽
s p I R A L I S. PROPOSITIO XX. .PΑrabola: A G B diameter sit A D, ad quam ordinatim duista sit D B,& iungatur A B. Ducantur dcinde quo tuis diametro parallelae E Κsecantes A B in F N parabolam in GiDico ΚG, KF,KE siue CB, esse in continua analogia. Semonstratio.
Ee G&Fordinatim applicetur LG,HFI. Qu0 . - vniam Dis eth ad H F, ut DA ad HA, per a 2. --- i l es. etiam quadratum DB est ad quadratum HS L 'hoc est ad quadratum LG, ut quadratum D A ad , quadratum H A. Atqui pe o. I. conic. DA est ad n P NI τL Α, ut quadratum DB ad quadratum LGl ergo etiam D A est ad L Α, ut quadratum D A ad qua- dratum H Atergo ratio DA ad L A duplicata est S ' σrationis DA ad H A. Ex quo patet DA, HA,LA, ' ae proinde E K, FK, GK esse in continua analo-i δε, gia. Quod erat demonstranduim. . . . ,
lationis ΑΒ ι describantur quo tuis primo citculo B C concentrici, secantes spiralem in punctis G, & ΑΒ - : in K. Dico arcum KMG , circulum
ΡEt G ducatur recta AG C. Areus KMG est ad peripheriam KMGF, ut a reus BC CN ad peripheriam totam BCC , sed arcus BC CN est ad peripheriam BCC , sicut tecta AG ad AC , per i s. Pappi lib. η. ergo arcus G est ad peripheriam RΜGF, ut AG ad AC, hoc est per Pappi H. lib. s. vi peripheria KMGF ad periphetiam B C. Quod erat demonstranduit . Similitudo in eo sita. quod peripheriae parallelae id est concentricae ΚΜ GF telaxarit parallelas KF, KF ut prop. 13. huius declarauimus: in Arcus vero ΚMG qui sunt extra spiram reseram lineas KG extra parabolam et Peripheria denique BC rectam C B , siue Κ E repraesentet.