장음표시 사용
181쪽
sumptis aequalibus Λ F, ΒΚ, ducamur dia
' Dico semper F G, Κ L esse aequales. Demonstratio.
U St GF ad LK, ut rectangulum AFB ad rectan. mulum ΑΚΒ.uti demonstrauimus in libro de a parabola. Atqui rectangula sunt aequalia,cum ex hypoth.ΑF, ΚΒ aequales sint. Ergo dc rectae FG, K aequales sunt.
APPLICATUR SPIRALI.C Umptis in recta AC aequalibus AD , CH, oeentro A per D & H, describantur periph riae concentricae secantes spiralem in G & L. o arcum Go D arcui HL aequalem esse. Demonstratio.
ad LN per i s. Pappi l. i hoe est ut AC ad H C. hoc est quia ex hypoth.aequatur H C, AD,ut CA ad D Α, *d ratio C A ad D Α, componitur ex rationibus C A ad ΗΑ, & HA ad DA: Ergo ratio peripheriae H QLS ad areum L SH componitur ex hisee duabus rationibus C A ad HA, de H A ad D A. Similiter ratio eiusdem peripheriae ΗM,S ad arcum GOD. componitur ex rationibus peripheriae ΗQLS ad petipheriam D G o, hoc est per tr. l. 4. Pappi, radii H A airadium D A M periphetiae DG o ad arcum Go D thoe est rectae CΑ ad Η Α: nam arcus DP G est ad areum GPD ut arcus CBI ad ar. cum BIBC, hoc est peri .Pappi lib. ut AG ad G B tergo componendo periphelia D GO est ad arcum GOD, ut AB ad BG; hoc est ut AC ad CD, hoc est ut C A ad H A. Ex ijsdem igitur rationibus componitur ratio peripheriae H QR S ad arcum L S H, dc ratio eiusdem peripheriae H Q L S ad arcum GPD: quare eandem ad utrum ue arcum peripheria H QL5 rationem habet. Ergo aequalestne arcus illi. Quod erat demonstrandum. Similitucio in eo posita, in veraque figura sumptae fuerunt aequales , in parabola nempε AF, ΒΚ, iii spira AD, CH, peripheriae per D, M H referunt diametros DF, ΗΚ Tam arciis vero GOD, L SH, qui ostensi sunt aequales esse, quam lineae F G, Κ L, quas similiter aequales essedemonstrauimus, intra figuras suas existuntiarincus nempὰ intra spiram,lineae vero intra parabolam.
182쪽
Iisdem positis quae superiori propositione,
Dico D G,G F, L H esse proportionales. Demonstratio.
IAnc propositionem cog orex meis lucubrationibus . demonstrare, eo quod Archimedis non sit illius deis monstrationem reperies propositione centesima septuagesima tibii nostri de parabola.
APPLICATVR SPIRALI.Ιisdem quoque positis in spirali,
Dico semper artus D PG, GOD, H Q Lemein continua analogia. Sinon atro.
AReus DP Gest ad arcum GOD, ut arcasC BI ad arcum B IN C hoc est per 33 .Paphi lib. . ut A G ad GI, siue AD ad DC. similiter arcus H QL est ad areum L S H, ut arcus CIN ad arcum, CN hoe est ut A L ad LN, siue A H ad H C. ergo invertendo arcus L s Hest ad arcum L Q H. ut C H ad ΗΑ, hoc est ut AD ad DC, cum ex poth. CH, AD,sint
aequales) hocest, sicut iam ostendimus ut ancus D P G ad arcum G Ο D : sed arcus H S L per praeced.aequalis est arcui GOD; ergo ediam arcus GOD es d arcum H QL. ut arcus DP Gad arcum Go D. sum igitur tres arcui DPG, GOD, HO L in eontinua analogia. Quod erat demonstrandum. Similitudo in eo pqsita quod arcus DP Gextra spiram , rectam DG extra parabolam i arcu DO G intra spiham rectam GF intra parabolam ι areus denique D Q, iterum extra spiram, rectam HL rursum quoque extra parabolam repraesentent. Gratianum. Εκ postis licet inferre etiam spatium spirali linea & circuli perimetro D B G,re minatum aequari spatio spirali LC & arcu LH clauso : de in hoc symbolizatio perseuerat, nam ΑGRLBK parabolica spatia inter se sunt aequalia.
CIt paraboli ACB, quam subtendat ADB. Ducantur diametri CD, quas hiseca in punctis E. . Dico puncta E esse ad parabolam,quae sit dimidia primae. Titi
183쪽
D Ectangula A DB Inter se eandem habent propolam tionem quam rectae CD. ut . ostendi miis in libro
de parabola. sed rectae ED sunt inter ιe vi reetae C D. clim sint earum dimidiae: ergo Ze rectae E D sunt inter se ut rectangilla. Ergo puncta E sunt ad parabolam per propositda'. de parabola. Quod erat primum. Cogitemur deinde in parabola A C B ductae esse rectae C C , in parabola vero Α E B rectae E E. sic ut utrique inscripta sint trapezia CC DD E E. DD. facile ostendetur quod breuitatis causa hi comitto tot duci posse diametros CD ae rectas EE, ω tot proinde Trapezia inscribi, ut si auferantur, ex utraque parabola relinquantur superficies minores data. Atqui Trapezia parabolae ACB simul sumpta dupla sunt, TrapeΣiorum parabolae A EB simul si imprarum,ut patet ex elementis cum rectae CD duplae sint rectarum s , in ED ergo per ea quae in libro, progressionum demonstrauimus, parabola ACBdumae, . pla est parabolae ΑEB. Quod facile etiam quiuis Geometra Archimedaeo discursu aut Euclidaeo lib.ia.demonstrabit. Puncta igitur Esunt ad parabolam quae dimidia sit primae.Quod erat demonstrandum.
APPLICATUR SPIRAE.TNtra spiralem A E D B ducantur D C, ID C: E C, E C parallelae inter se,adeo
que normales ad rectam C AB, ει bis centur in punctis F, F, I, I.
Dico puncta FRhl esse adspi serra, ouae dimidia sit spiralis primae ac proin- Nde etiam hic taralemcu parabola symbolizare: sed naec secunda spira noti erit circularis, at elliptica. od fit tura sit dimidia spiralis primae eodem modo demonstrabitur quo in parabola. Quod futura sit spiralis elliptica sic ostendo. R ectae D C, D C. E C, E C producanturusque ad peripheriam circuli in G&Mσ& biseca rectas G C in K. rectas vero M C in N. Erunt punctaK, K;E, E ada ellipsim ut colligitur ex Archimed. 1. de conoid. moniam igitur rectet DC sunt ad rectas FC, ut rectae GC allectas KC, nam ex constriictione utraeque bisectae sunt. Erunt perinutando & in uertendo rectae KCad rectas F ut rectae GC ad rectas DC. Similiter ostendemus rectasNC esse ad remst C, ut rectae M C ad rectasE C. habet igitur sese quoad hane proprietatem ellipsis ad spiralem secundam,ut circulus ad primam. Sed clarius adhuc ostendamus propositum. per Archimed.r. de Conoidi circulus G Q est ad ellipsim Κ Κ, ut B Rhoeest
184쪽
s p IRALIS. Est G AM,ad KAN hoc est ut GA ad K A. Quare clim ex si pothesi GAbiseeta sit in K , circulus duplus erit ellipseos, sed etiam spiralis prima
dupla est secund . Ergo ut circulus ad ellipsim ita spira prima ad leculiadam: & permutando ut circulus se habet ad spiram primam hoc est suam, ita ellipsis ad secundam hoc est etiam ad suam , ac proinde sicut circulus
triplus est fu i spacij nempe spiralis jacii , sic& ellipsis tripla erit spiralial pacii sui A l FB. Merito itaque dicetur spiralis elliptica. Quod erat demolistrandum.
PROPOSITIOPArallelogrammum rectatigulum A Ehabeat latera A C, C E similiter diuisa in punctis B, & D , ductisque B Q parallelis ad A H , ex A per puncta D describantur rectae quae parallelis occurrani in punctis G. Dico puncta G esse ad parabolam. Demonstratio.
, o Arallelarum una BG producatur donec Oe-
λ currat ipsi AE in puncto F. AF est ad FE, ut AB ad BC, sed AB est ad BC ut CD ail DE, sum enim AC, E E similiter sectae ex hypothesi. Ergo AF est ad FE . ut CD ad DE; hoc est
quen admodum ex elem. facile demonstrabitur: vi BG ad GF. Ergo patet ex s. Archim. de quadratura parab.pimctum G esse ad parabolam.SinitIiter ostendemus de quibuslibet punctis D. Patet igitur propositioias veritas.
APPLICATIO SPIRALI. XXIV. P Eripheria primi circuli eiusque radius AC similiter sint diuisa in
punctis D, D, & B, B: Ductis autem excentio A ad puncta D rectis A, D, centro A per singula puncta B ducan-sur arcus B G, ea ratione quam figura exhibet, occurreti Us lineis A D in punctis, G: Di eo puncta G ad spiralem esse. Demonstratio.
enim radius A C, Ze periphcria cir- euli similiter sint diuisae in punctis, B,B, α D D, erit ut AB, ad BC,lioc est ut AG ad GD, ita arcus C Dad reliquam periplaeriam D DC. Ex quo patet punctum G adspiralem esse. Similiter ostendemus de reIiquis G punctis. Similitudo in eo sita,quod A spirae principium pucto A in parabola; radius A C, de Titi a periphc-
185쪽
concentrici B G, BG parallelis RG: tectat demum AD in spirali, rectis AD in parabola respondeant ad amussim quemadmodum ad propos. 13. huius docuimus. Conuenit igitur spiralis cum parabola.Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXV. PArabois tangens sit AC, diametri ve
ro illam secantes BG , BG quotcunque. Per puncta G, G, ex A ducantur rectet quae occurrant diametrorum ultimae CE,
in punctis D Dii, et Dico rectas A C, CE similiter esse sectas dc aequales proinde fore omnes Din' s B B fuerint aequales. 'Demonstratio.
TVngatur AE, & parallelarum una B Goecurarat ipsi AE in F. A B est ad B C , ut A F ad FE, hoc est per s.Archim.de quad.parab. ut BG ad GFι hoc est ut CD ad D G. similiter osten-. demus in singulis punctis, B, B & D, D similiter esse sectas tectas AC,CE. Constat itur veritas theorematis.
APPLICATIO SPIRALI. SIt spiralis A G C: & centro A ductet
sint quotcunque concentricae pe
ripheriae BG occurrentes spirali in punctis G, Gi ducantur autem ex A per puncta G, ad primi circuli peripheriam rectae A D, A D. Dico peripheriam D D D, & rectam Α C similiter esse diuisas. demonstratio similis est demonstrationi praecedentist etita ex ipsa generatione spiralis. Simi-itudo in eo sita, quod peripheriae B in concentricae seu parallelς, parallelas seu vdiametros B G. rectae A C,ipsam A C in parabola , & peripheria D DD extimam diametrum C E reprςsentet. Ru sum igitur conuenit spiralis cum parabola. Quod erat demonstrandum. p R O- Duiliaco by Coo e
186쪽
portionales A B, AC, AD,&c. ductisque diametris Bl, CK, DL, E M , &c. iunge A l, ΑΚ, Α L, AM, &c. Dico segmenta omnia parabolica AI, AI Κ, AKL , Α IKLM, AI KL M N, esse continuc proportionalia. Demonstratio.QVolitam sunt in ratione continua lineae AB, AC, AD, &c. etiam cubi harum
linearum erunt in proportione continua.At
qui peO8. huius sEx meta tota parabolica AI, A KI A, A LI A, AMI A, &c. eandem inter se proportionem habent qua cubi AB,AC, AD , ΑΕ,&c Ergo etiam dicta segmenta
sunt in continua. Ergo per I. l nostri progressionii metiam sunt illorum differentiae , segmenta nempe AI, AI K, A KL, Aω LM,&c. Continue proportionalia. od erat demonstrandum.
DAta sit spiralis A INH, cuius li- l
nea, quae est in principio circula- itionis, nempe A H diuisa ct in continue proportionales AB, AC, AD,
Sc. accentro A interuallis B, C, D, E,
F, G descriptis circulis qui spiram se-Cent in I,N,I.,M N, O, iungantur AI, Α Κ, A L, &c. Dico segmenta omnia spiralia AI, AI K. AI K. L, AI K L M,&c. esse continue proportionalia. Demonseratio.
ΡLane eadem quae in parabola seruatis etiatam ijsdem utrobiq; litteris: quandoquidem enim per 29. Arctiim de spirali,segmenta spiralia tota ASI , AKsA , ALBA, A M a A, de c. ut cubi rectatu A Ι,Α Κ, A L, AM,dec. hoc est rectorum AB, AC, AD, AE, dec. situque hi in continua, ob continuam suorum laterum rationem, etiam. dicta segmenta spiralia erunt in continua ration , ac proinde eorum differentiae segmenta nempe A H O α A,A O N 3 A, A N M γΑ , dcc. erunt continue proportionalia. Quod erat demonstrandum . . SymboliZat igitur rursum mirabili ter utraque figura. Nam AK in spirali ipsi AH in parabola siue A P: BI in vero CKR, DLS,&c. peripheriis BI, C Κ, D L, dcc. respondent.Vnde de segmenta scgmentis respondeant necesse est.
187쪽
' O A H. Ducantur diametri B I, C Κ, DL Et quo tuis aliae secantes parabolani in punctis I, K, L, dcc. iungamurq; ΑΙ, Α Κ, A L, A M, dcc. Dico segmenta omnia parabolica contenta parabesar perimetro de recta subtensa, nempe Al, AKI A,Αl A, AI MγA,dec. omnibus triangulis A B i, Α CK, AD L, dcc. esse proportionalia.
Demonstratio petenda ex ijs, quae diximus prop.ra. huius,quaeque sub finem libri de parabola demonstrauimus propositione u6. singula illa triangula esse tripla singulorum 1 gmentorum sibi inclusorum.
APPLICATIO. It iam spiralis AN H; ερ centro
o A ductis quotcunque concentriacis spiralem secantibus in punctis, K, L, M, dcc.iungantur A l, AN, AMA M, dcc
Dico segmenta spiralia Α β LAa I KA, Risi L. A, A SIM 1 Α,&c. ac denuo totum spirale jacium s choribus AB i, ACK, Α DYL, A E Z M, dcc. Et toti denique primo
Demonstratio facilis est ex sis quae a Papinpo l. . prop. 2I. ω ab Archimede prop. 24. demonstrantur: singuli enim sectores tri pli sunt segmentorum spiralium sibi inclusotum; totus etiam pri inus circulus,spiis talis sipaeij totius triplus est.Ex quibus patet propositum.Similitudo etiam ex prop.r3.εe alibi saepius iam repetitis est manifesta: triangula enim A BI, AC R, dec. sectoriabus ABLACK ac caetera cetteris ici utraque figura respondent.
188쪽
pRopos ITIO XXVIII. Sit parabola A G E, quam tangat AC,
secet vero diameter C E , iungaturquo A E. Ducantur deinde quot uis diametri occurrentes parabolae in G; punctis G Gducanturque A G Disit quoque spiralis AGG & primus
circulus CDD, radius A C. Centro autem A ducantur totidem arcus μncen
trici quot in parabola ductae fuerant diametri, qui spirali occurrant in punctis G, & radium AC similiter dividant in planctis B , ut secta fuerat in parabola AC.Denique ex A per G puncta ducantur re chae AGD.
Dico primo omnes rectas A G D in spirali similiter esse diuisis quentia admodum sunt AG o in Haiabola. Di ametrum quoque CE in par la Ac peripheriam CD D mniliter esse sectas, ac proinde lineas C D, D in DE , arcubus CD , DI , DC; esse proportionales, in spitali enim ΑG sunt ad G D , ut A B ad BC. hoe et ex datis, ut AB ad BC in pserabola, hoe est ut A G ad Go, quod erat primum. Deinde petiy. Pappllib. . arcus CDΥ est ad perieneriam reliquam ut AG ad Go, hoc est ut AB ad BC, hoc est ex dati; ut in parabola ΑΒ ad B C,hoc est per x1.huius ut CD ad DE. similiter igitur diuisae sunt tecta CE & peripheria
DD,quod erat alterum e demonstrandis. Dieo secundὁ singulas diametros BG, Bia G, &c. singulis arcubus toncentricis B G, B a G, &c. elle proportionales.
189쪽
s', i R A L I S. Demonstratio.
DRAtio BG ad p. G, componitur ex rationibus BG ad CD Y CD Y ad CDE, ω CDE rid B, G. Atqui ratio AG ad CDY, eadem est cum rationae ABa ad AC: & ratio CD E ad Bia L eadem est cum ratione AC ad ABis.
ergo ratio BG ad ΒωG, componitur ex his tribus rationibus AB a ad AC . μ& CD Y ad CDξ, de C A ad Ba A. Similiter ratio arcus BG ad arcum Bω cicomponitur, ex histribus rationibus. arcus nempe BG ad arcum CD Y, hoc ea te stat ABα ad AC) de arcus CDE ad arcum B. G hoc est rectae AC ad rectatri AB sa Atque hae tres rationes aequantur tribus prioribus; nam ratio ABα ad KC. nspirali eadem est cum ratioue A Ba ad AC in parabola,& ratio arcus C DT ad arcum D Y D ξ per Affert. r. eade est cum ratione rectae CD Y ad rectam D YDadeoque etiam componendo ratio arcus CD Y ad arcum CDξ eadem est cum ratione rectae C D Y ad rectam C D Denique ratio A C ad A B in spirali eadem est cum ratione Ac ad ABis in parabola. Ergo cum ratio rectae BG ad Bai G,ω ratio arcus B G ad arcum BωG exijsdem rationibus componantur, eaedem sunt siue aequales. Simili discursiu ostendam singulas rationes rectarum caeterarum B Gad BG, easdem esse cum rationibus singulis caeterorum arcuum BG ad B G. Quarcidiametri B G, B G, arcubus BG, BG, proportionales sunt: quod erat demonstran
Dico tertio. Singula triangula CAD, DAD , sectoribus singulix CAD, DAD proportionalia esse , triangula enim se habent ut bases CD, DD, & sech res ut arcus C D, D D. Sed lineae CD, DD , ar- cubus per Assert. t. praecedaeunt pro portio hales. Ergo &triangula sectoribus propritionali sunt. . . Dico . singula triangula A A G, B A I,&e. una cum postremo C Asmutis sectoribus B AG, &c. una cum citculo toto primo proportiona-
190쪽
TRiangula B A si, B AG eilm angulum ad B aequalem habeant,ratimem ha
bent adinvicem compositam ex laterum AB, BG , rationibus, ut demonstrae Clauius ad 13. s. Similiter sectores B AG , B AG adinvicem rationem habent compositam ex rationibus semidiametrorum ΑΒ, ΑΒ, ω arcuum BG, BG. Atqui ex hypothes ratio Αα B in parabola ad Αι Η , aequalis est rationi Aa B ad AsB in spirati: fatio item BG diametri ad diametrum ΒωG, eadem est cum ratione arcus B G ad arcum Bia G per Assert. a. propositi praecedent. Ergo ratio composita ex rationibus, ΑαB ad AsB, de B Gad BωG, hoc est ratio triam gulorum ABG, Aa BG eadem est cum composita ex rationibus Aa B ad AsBinspirali, Acarcus BG ad arcum BωG: hoc est cum ratione sectoris Aa BG, adsectorem ΑΒ ωG. Igitur permutando patet triangula singula B AG singulis BAGsinoribus esse ptoportionalia. Quod erat demonstrandum.
Dico quinto. Singula segmenta parabolica quae lineis rei his A G , &euruis Α G G continentur, singulis spiralibus spaciis quae vicissim lineis tectis AG & curuo spiralis ambitu AGG, continentur esse proporti
Nam singula segmenta parabolica per i . huius singulis triangulis . BAG sunt proportionalia. Rursum per eandem singula spiralia jacia singulis sectoribus B AG proportionalia sunt. Atqui per Assere. quartam triangula singula B A G, sectoribus B AG singulis proportionalia sunt. Ergo de segmenta parabolica segmentis spiralibus sunt propor.