장음표시 사용
191쪽
magna assimnem homininisuoesint nara Archimede νέκevia incognitionem linea qua perimetro circuti Q ω esset, deuerisse.
192쪽
Di Durhber hieomnu,in decem parara. Prima Derficies exhibet in communes interfictiones , oravi ex ductui recti ei in rem eum : deinde corpor asse producta inter se comparat.' Secundasuperficies contemplatur in communes interfictiones,natas ex auctu plans circulatris in rem eum: es' corpora si roducta exhibet. Tertia iniuersies quassam continet propositiones, rei quis fundamentales. 'ta in comparationem adducit corpora, orta ex Actu rectilunes in remi neu , cum itas quae exsurgunt ex ductu panium circulanum in si, vel in alias circulares.. nta agit de aequationibus dorum, Τμα gignuntur reductu partium circularium, inabra circulares. Sexta a borem continet comparationem corporum ex Actu plani circularis in circulare, cum iis, qua oriuntur ex ductui Trium circularium in Histias, parabobcas, hyperboticas. Septima contemplatur corpora natam ductu plani parabolici in parabolisum. Octaua eorpora huc isque extario pianorum interfidum nata, reducit ad compora determinatam habentia altitudιnem or basim, mi eoru notitia habeatur. Nona ,sim docet σ praxim libri butur ι istique applicat bneares propositiones, panim ex Euclide σ Pavo Alexandrano,pa; eis ex primo Ebro nostro petitas. Decima parabolin exhibet mirmatur quae, quales in cui et ui aptasint, suo loco patebit. v v v v
193쪽
Ponantur superfietes duae ABCD, EFG, aequales habentes aItitudines AREFr quidus proportionaliter seu in eadem ratione diuisis, duetatur ipsis AB EForthogonae N inter se parallelae lH,KG: intelligatur vero plano ABC D,planum. EFG ad angulos rectos imponi , secundum lineas AB, E Fideinde BD, I H, AC .lineas, ductas in EG, KG, FG, rectangula producere quorum bases sint BD', III.
AC, altitudines vero EG, Κ G, FGr patet ex illa tectangulorum constiuction corpus produci cuius basis est rectangulum ABCD M altitudo planum E Griporro ccirpus allud voco, corpus ortum ex ductu plani in planum. quod autem assumam superficies, flesingulas lineas in alias duci ad angulas rectos, id facilitatis causa praecipue laci, &ut certa ac determinata in omni superficietum in inuicem ductu inclinatio seruaretur i unde in posterum diictum omnem superficierum M linearum in se vel in alias, ad angulos rectos fieri, supponam.
i I. Ductum plani in se voco,cu data superficies plana in aliam sibi aesu lem ac similem similiteri constitutam secundum omnes partes,ducitur. EXPLICATIO.
ye A B si perfietes quaenis. eui addatur in directum, aequaIisposita figura BC; corpus igitur ex ductu seperficiei ΑΒ
ac similis simi Iiterque in se, idem est cum Diuitigeo i , Corale
194쪽
eo ore oMo exductu AB plani in planum BC : cuin singulae lineae Am ductae in s e, idem producant, quod ΑΒ ductae in B C. unde definitio haec ferdeum pii
i I I. Ductum plani in se iesum subalterne,foco cum plana superseies du eitur in aliam aequalem sibi ac similem,non similiter tamen constitutam,
Sit ABC triangulum eui adiiciatur indire miriangulum ADC, aequaleae simile, dissimiliter tamen constitutum: corpus ex ABC ductum in se subalterne, voco corpus ortum ex ductu Ag C, in planum ADC, inuersὰ positum: quantum alitem differat planum ductum in se, ab eodem ducto in se ibaltern/, suo Ioco patebit.
195쪽
Supersicies primo exhibet, e 'quales sint determinat, uti es communes intersectiones ortas exsectu re intim re Bliseum: deinde corpora scyroducta interse comparat PROPOSITIO PRIMA. adratum in se ductum, producit cubum.
Demonstratio. QVadratum ABC ductum in se, id est per secundam huius.
quadratiim BE FC, illi aequale Si indirectum appositum, exhibeat figuram BGHON: dico illam esse cubicam. ponantur quotuis lineae KI aequi di- - - stantes AB E. AB Iinea ducta in B E planum exhibet BG HE rectum ad planum B EF C: smiliter KI ducta in I planum producit ILΜQ, rectu in ad idem planum BE FC: normales igitur sunt BG. IL lineae ad planum BE FC, adeoqueb parallelet: dc quia puncta BIC indirectum sunt lineae BG, I Lin eodem nt plano: simu iter R E, M inlines, rectae sent ad planum BE FC ,& inter se aequi di-' stantes, Sc in eodem plano, de quia GB,LI,N C lineae, aequales sunt rectis AB, K Ic ε-- inter se aeqtialibus, aequales quoque sunt lineae G B, LI, N C, 3c puncta ς GL N ia directum: similiter puncta H M o in directum sunt. quare de GH, L M, Noin eodem quoque 4 sunt plano. eadem de causa rectae GH, L M, N O aequales sunt B E, IQ, CF, id est A B, KI, id est G B, LI , NC: quadrata igitur sunt plana GC, GO, H F ac proinde anguli HGB, HGN,GBC. GBE recti sunt: unde corpus GHOPE BC, cubus est; quadratum igitur in se ductum , producit cubum. Quod
196쪽
TRiangulum rectangulum duetum in quadratum eiusdetri altitudinis; producit corpus, habens qi
uas quarum communes intersectiones, lineae sunt rect
' iangulum rectangulu ABC, nductum in rectatagulum, aut ii l
similiter ducta ita I L, planum ae Q 'producat rectangulum IKHL ad bi .
rectos angul*s plano ADEC , lineae igitur FA. KL rectet quoque hunt ad planum A DEC, dc inrςr te parallelae: quia vero F Α aequalis est AB , & IK rectae MI aequalis, ut B A ad Μ L 14-A ad I C, sic b A ad K Ir in directum igitue sunt puncta' FKC: M. FAC superficies plana est. similiter ostenditur , puncta b L.M. G HE esse in directum, Ze GDS uperficiem este planam. deinde quia G D liner qualis in F A, dc Mi ipsi K I aequalis, aequi distane autem F A, R. . ipidis G D, 1 L, rectae F O, RH aequales simi AD, IL,&FG, KH CE lineae meodem sime Hano.'ia'gulum C mmcrangulum,&c. Quod erat demonstrandum.
TRipngulum rectano ulum in seductum, pyramidem producit quae
ad F C .sic L B ad F G: in directum hi i-. indi sunt L C4 de LRC sit perficies est plana: similiter illenilunici reettum est ex EDC exilibere superficiem planam deinde auia L JGF, ΗΚ liticipaequales su ut, de EELU, LG ineae tectς superscies
197쪽
praeter basim quadratam, figuret LED BC PIanae sunt M triangulares adpiinctum C concurrentes, undecu figura pyramidalis est, quae basini habet quadratam.Quod erat demonstrandum.
TRiangulum rectangulum in seductum sub alterne, pyrantidem proseducit quae basim habet triangularem. Demonstratio.
I Riangulum rectangulum A BC,ductum in se subalternὸ,id est in triangulo B C D. figuram producat L BCD. di eo illam esse pyramidalem , quae basm habet triangia rem. erigatur ex B tinea LB , recta ad pla
num Age i Se ΑΒ lineae aequalis e ponam turque quotvis EF G parallelae AB. linea EF ducta in FG rectangulum producitH E F G, rectum ad planum B C D: quare FE, EG lineae quoque rectae sunt , ad planum BCD , ω LB lines parallelae. quia vero LB , FE aequales sunt re ctis AB, E F; ut A B est ad EF. id est B Cad FC, sie L B est ad EF: in directum igitur sunt LAE,C, ω L B C superficies plana est & triangularis cuius Iatera BL M CL. concurrunt in L. similiterostendetur, iam D puncta in directum esse & L B D superficiem esse planam Ac triangularem deutie rem in L: de quia LEC, Lis D lineae emetae sunt de E H aequi diitae F G , adeoque de CD, rectae EII, CD quoque in eodem sunt plano de C L D triangulare planum d sisens in I rq recum illae superficie triangulares sint dc concurrent min L. pyramis est figura L BCD, habens basim BCD triangularem. Triangulum igitur rectangulum ductum in se subalteria, &c. Quod
Γ mangulum rectangulum ductum in se subaltetnὸ aequale est dimidio pyr midis qine resultat ex ducta eiusdem tria guli in se. Dem seratio.
C It triangulum ABC duorum in B C D trian. Ogulum aequale de simile, sit baltemE positimis sitq; FEBC apyramis orta ex ductu ABCuianis guli in seipsum,& D C E B pyramis orta ex ductu ABC in se subalterne. dico pyramide ΑFEBC duplam esse pyramidis CB Eui planum Anuductum in se , exhibet pyramidem,'u dralan AB EF hasim habentem. quia vero angulus ABC tectus assumitur , erit BC altitudo oramidis ex uiangula ABC in se ducto exhibitae ducta
198쪽
ducta igitur diagonali AE, de plano per AE M pulictuin C. erit pyramis ex basi A E B, de altitudine BC, dimidia pyramidis ex Dasi quadrata AB EF dc communi altitudine BC. sed pyramis CEBD, aequalis est pyramidi A BEC, eum basis ΑΒ C , sit aequalis CB D, & altitudo BE, communis: igitur pyramis EBCD,exductu ABC in BCD subalternε positi, dimidio pyramidis AF ECB est aequa- Iis, quae aequalis est pyramidi ex ductu A B C trianguli in se.Quod fuit demonstran
PROPOSITIO UI. Sint ABC, EFG tripngula rectania
gula, inter se similia dcae ualia, di
visis, AC, EG bifariam in I dc M, aiagantur per I & M linea: H l, L N, parallelae rectis B F G.
Dico corpus ortum ex ductu plani cBHl C in se , ad corpus ex ductu PFLMG in se sub alterne, eam habere rationem, quam habent quatuor decim ad tredecim. ' immo Iratio.
Eant lineis HI, BC aequales indirectu IK,CD,
iunganturque KD , item LM lineς aequalis fiat GO, Si FG lineae aequalis MN, iunganturque NO, erit igitur ΜNO G subalterne posita ad LM G F demittantur ex H & L lineae H R, LP parallelae rectis AC, E G: iunganturque RI,
PM. Planum B H IC auctum in se siue in I KCD - P εα - -- aequale est corporibus ortis ex diictu B H R . in VID, HRI in ID. dc RIC ducto in ID, sed. planum B IR ductum in ID, aequale est corporibus ortis ex ductu B H R in I C K. in C K S de in S KD:8c H RIplanum ductum in ID est aequale plano H RI ducto in I C in C K S,& in S KD dein planum RIC diictum in planum ID aequale est plano RIC ducto in I CK, in CKS, & in S KD: igitur planum B HIC ductum in se aequale est plano BHRducto in I C Κ, in CKS, in SKD: de plano H RI ducto in I CK, in CKS, in SED, una cum plano RI C ducto in I CK, in C Κ S, in S ΚD r est autem planum B HR ductum in C ΚS , aequale BΗR ducto in se . Ac BHRin SΚD, quale BHR in seducto, item HRI in I CK, aequale HRI in se, item RICiri CK S, aequale RIC in se,uti& RIC in SKD: dein B HR in C IR dimidium est BHR in se, & HRI in CKS dimidium HRI in se, uti & HRI in SLD, insuper & RIC in I CK, dimidium RIC in sei igitur planum B HI C ductum in se aequale est plano B H R in se ducto bis: plano H RI in se semel,& plano RICin se bis i id est quiuque quantitatibus quarum singuIae aequales sunt BHR ductae in sei quibus si adaMeAsquituor quantitates BHR in I CK, HRI in C RS & in SKD item RIG in I CR quarum singulae dimidium sunt BHR ductae in se; erit
Planum B H IC,ductum in se aequale septem quantitatibus,quatum siligulae aequales iant BHR ductet in se et id est quatuordecimi quantitatibus, aequalibus B HR du- b ,-ctae in se subalterne. Eodem modo ostenditur planum FLMG ductum in sesubalterne,id est in plarium G MNO aequale esse tredecim quantitatibus quarum singillae aequales sunt
F LP siue BU R in se subalterne ductae, nam PI P, in M GR est aequale HBRiri ICK, quae est pars decimaquarta BCI ducti in I CD. Cui si adiungas L FP in 'RON, illi aequale &: FL P in G QD, liabebis duplum B HR in I KC, additis
199쪽
iunxeris PMin MG QA-GOO, fient tredecim .vnde B HIC ductum in se ad FLMG ductum in se subalterile eam habet rationem quam quatuordecim ad tredecim.
PROPOSITIO VII. CInt ABC, EFG triangula rectangula, similia inter se & aequalita diuisit. Α C, E G sit militer in quotuis partes aequales,punctis H,Ι,α
M,N, agantur per H,l, L,M,N lineae parallelae rectis BC, FG. Dico XI planum ductum in se, aequari plano QM ducto in se subalterne, una cum XV Y ducti in sese osterne. idem est de reliquis. Demonstratio.
PLanum XI ductum in se siue in planum I λ, aequale est plano YΙ ducto in I λ,& X UY in I μή una cum X v I ducto in μZλ planum vero Q ductum iri se subalterne,id est in planum NO, aequale est plano RM ducto in No sidestΥΙ in I λ)8e QPR in ΜΤ id est XV Υ in I αὶ una eum υR in SOT id est
X V Y in se sit balterae: tur excessus quo XI ductum in se excedit Q M ductum in se subalterae, est ille quo X vY ductum in se siue in μZλ , seperat PR ductum in SOΤ, siue in se subaltetnε. sed XvY ductum in se superat P R ductum in se subalterne, plano xv Y ducto in se subalterne. igitur planum X l ductum in se superae QM ductum in se subalterne , plano XV Y ducio in is subalterne , siue XI ductum in se aequale est cadM ducto in se subalterne una cum XV Y in se subalterne: Quod erat demonstrandum.
200쪽
QVae hie de diuisiotae Iineae AC vel EG, In quatuor partes aequales dicta sunt, ii extendere poteris ad quasvis sub liuisiones I in partes aequales enio. o lint numero pares - g ti I invitaque linea,vbique enim inuenies funis I damcnthim discursus in demolistratione ex- g 1 IR Plicati. Imo ctram extendere poteris ad E I ipsum triangulum VXY , ducti in se, aA I idem triangulum ductum in se subeotrarie. f
gitione v X Y in se sibcontrarie ducti fiet , aequalitas eum V X Y ducti in se. corolgaris cundum. NOPerae pretium videri r hie adiungere
methodum reperiendi proportionem - inter partcs pyramidis diuisae per interualla es aequalis altitudinis. nam FC pars pyramidis vel coni, habet rationem ad partem pyramidis AG C, quam habet quatuordecim ad duo,sicut propositione sexta huius docuimus:ad cognoscendam autem rationem partis GD ad FE, sic procedatur. suis matur excessus quo FC, excedit AG C, qui estia. Deinde huic excessiti ad ijciatur ipsum PC, iri autem FC I . resultabit numerus 16. tandem denuo I x. addantur, exsurget summa quaesita scilicet, . nam ratio F C ad PE, est ut Ia .ad 38. Quod si vitetius pergere desideras iisdem insiste vestigiis. Rationem enim F E ad HB, eadem praxi repeties sumendo scilicet ut prius excessum quo FEsu rae FC, qui est 1 . Cui adiungatur ipsum F E. quod ostendimus esse 38. resultabit suirui huici summae addam uri 2.&exsurget summa quaesita 74. nam ratio FE, ad HB, est ut 38. ad η. Hanc praxim si continuo obseruaueris, poteris in immensum in indaganda ratione progredi partium pyramidis aut coni, dummodo interualla eandem sortiantur alti.
rotarrum tertium. . . HIne etiam manifestum, pyramidem aut conum qui tali ratione sectus est ut alti tudines continuo aequales sint inter se,non admittere rationem incommensura bilitatis inter suas partes hoc modo sectas. cum enim per numeros continuo reperiatur earundem proportio,fit ut semper parte eam inter se contineant rationem quam numeri ipsi per quos producuntur,inter se sortiuntur.
SI triangula vel rectangula tria eandem habeant altitudinem & bases
continue proportionales: Dico corpus ortum ex ductu primi rectanguli vel trianguli,in tertium,