장음표시 사용
201쪽
Clat AB, CD EF bases eontinue proportionales, rectangulorum vel triangulo rum GH, IKLM eandem habentium altitudinem rilleo planum GH ductum in LM aequale corpus proferre illi quod otitui ex plano I K ducto in se. planu HGductum in L Μ, parallelopipedum producit, habens planum GH basim it altitudinem EF: planum vero IK ductum in se, parallelopipedum producit habens IK basim&altitudinem CD. sed parallelopipeda illa bases habent altitudinibus re- Ciproce proportionales,cum sit ut planum GH ad IK planum, basis ad basim id est,pis AB ad CD, sic reciproce CD ad EF, altitudo ad altitudinem; corpus igitur Or--- M. tum ex ductu HG in L Μ, aequale est corpori, orto ex IK ducto in n. moder x demonstrandum.
HAbeant trapezia tria in eadem altitudine constituta, bases continue proportionales; latera veia quae altitudines terminant, basibus aequid istent, & in eadem cum illis sint proportione. Dico primum trapezium, ductum in tertium, corpus proferre aequato
illi quod emergit ex ductu medii in se. D reseratio.
HAbeant A G B, C ID. ELF trapezia tria in eadem altitudine postea bases A B, CD, EF continue proportionales: latera vero GH, IK,LΜ quae altitudines terminant, aequidistent basibus AB, C D , EF. & iii eadem cum illis sint ratione: dico. G B ductum in L P, quantitatem efferre aequalem illi, quam profert ID ductum in se. productae A G, B H conueniant in N Ze CI, DL in Ο, EL, FΜveto in P. ut GH ad ΑΒ, sic IK est ad CD,& LM ad EP,ex hypothesi. igitur ut AN B
202쪽
. triangulum ad triangulum G NH, sic COD ad ΙΟΚ,&EPF ad LPM: S permutando , conuertando , Nileiatum Permutando ut G B trapezium ad ID, sac GNAtriangulum ad triangulum I OK, &vt ID ad L F, sic ΙOK ad LPM sed trapezia GB, ID , L Fiant inb ratione hasium vel linearum. GH, IK, LM , quς basibus sunt proportionales; igitur & triangula GNH, I OK, LPM sunt ut bases GH, IK, LM: in eadem igitur sunt e altitudine triangula AN B, C OD, E PF. quare ΑNBtriangulum ductiim in triangulum E P F, corpus producit d . ea uale illi quod exsurgit ex C OD, ducto in se. sed eadem de causa triangulum G NH diicti im in L P Μ, aequale est Io K ducto in se; residuum igitur trapeZium A GH B ductum in residuum LMEF, aequalem molem generat illi, quae oritur ex IKCD ducto in Ie . Quod φ
PROPOSITIO X. IIsdem positis iungantur BG, DI, FL. Dico planum A G B ductum in G H Η , & Clo in lΚ D, tandem
ELF dui tum in L MF in continua esse analogia. Demonstratio.
Lanum AGB ductum in planum GHB, pyramidem producit i habentem basim, triangulum GHB, de altitudinem AB: similiter planum I CD ductum in I KD de ELF ductum in L MF pyramides producunt, quarum bases sunt triangula IKD LMF: :,ltitudines vero C D, E P. sed per hypothesim triangula GB H; IN D, L M P in eadem altitudine constituta, proportionalia fiunt i in ratione basium I 'GH, I K, LM,S: A B, C D, EF altitudines proportionales quoque sunt; eandem igitur continuant rationcm pyramides , productet ex AGBin GHB, de Ci Din KD, denique L EF in L Μ F. Quod erat demonstrandum.
Dico planum Α D C ductum in F G H , aequalem proferre maeni. tudinem, illi quae oritur ex ABC ducto in FE H. x xxx 3 Di iliaco by Cooste
203쪽
Lanum AD C ductum in planitin F G Η, pyramidem producit habentem b A sim triangularem FGH, & altitudinem DC. similiter ABC quantitas, ducta in superficiem FEH pyramidem producit, cuius basis triangulum est A BC. M altitudo ΕΗ. sed di pyramides illae aequales stine, eum bases habeant reciproee altitudinibus proportionales: Est enim basis An C ad basim FGH, ut AB ad FG, id est DC ad EH, altitudo ad altitudinem reciproce; planum igitur ADC ductum in planum FGH, aequalem profert molem illi , quae producitur ex ductu plani ΑΒ C in planum FEII. Quod erat demonstrandum.
Si quatuor rectangula vel triangula in eadem constituta altitudine, b les habeant proportionalest Dico corpus ortum ex ductu primς superficiei in quartam,aequari corpori orto ex ductu secundae quantitatis in tertiam. Sem seratio.
o Ectangula vel triangula I,K, Lag, eandem habentia altitudinem, bases A B, CD, EF, G H habeant proportionales: dico planum I ductum in planum Μ, aequa ii K plano, ducto in L. planum I ductum in M planum, parallelopipedum pr ducit habens basim, planum I,&alu tudinem GH i similiter K superiteles ducta insuper.
204쪽
superficiem L, parallelopi pedum pro lucie habens basim Κ, .le altitudinem EFr.sea parallelopipeda illa inter se aequ ia sunt, a cum bases habeant altitudinibus reci- rimi. proce proportionaIes si anthasis Iad basim K est ut AB ad CD, id est ex hypomthesi EG ad GH, altitudo ad altitudinem reciprocein planum igitur. I ductu in in M, corpus producit aequale illi, qum oritur ex duetv K in L. 4od fuit demon
SI quatuor lineae fuerint proportionales ,δe super illis triangula in eadem exstructa altitudine, suoalterne ponantur Dico primum triangulum ductum in quarturn, .aequalem efferre quan- titatem illi, quae producitur ex ductu secundi in icillum . . ' . '- Semonstratio. Cuper ΑΒ, EF, CD, GH lineis
prorortionalibus, in eadzm consti- Amaritur altitudine triangula l . Κ, L,M ;& K quidem secundum, primo liquartum vero M,tertio L si balterno ponatur; dico I ductum in M, aequVi K ducto in L. Triangulum I ductum in Mpyramidem i, producit habentem ba sem triangularem I & altitudine G Hi similiter planum K ductum in L pyramidi aequatur babenti basim K,& altitudinem C D: sed pyramides illvinterses aequales sunt, cum bases habeant altitudinibus reciproce proportionales' corpus igitur quod emergit ex I ducto in M, aequale est corpori orto ex ductu K in L. Quod erat demonstrandum.
d Rapezia quatuor in easem constituta altitudine, bases habeant proportionalesilatera vem quς basibus opponuntur, iisdem qui distent,
di eandem seruent cumbas bus proportionem.
Dico corpus quod exsiargit ex ductu primi plani in quartum , aequari' corpori orto ex ductu secundi plani in tertium.
in eadem at libidine consti- tuta, bases No PQ, RS, TV proportionales, &EF, GH, IR, LM lineas basibus aequi distantes . in eadem cum basibus 4 oportione. dico planum A ductum in planum D, aequarι Bducto in C. pimum A auctum in D, corpus producit habens .hasim planam A,QV altitudinem TU. similitcr B ductum in C, corpus generat hMai bens balim B dc altitudinem T V, sed corpora illa nter se aeqiualia sunt, aquila bases habent altitudinibus reciproce proportionales; planum igitur A ductum iis Daequatur plano B ducto in C. Quod fuit demonstrandum.
205쪽
Superficies contemplatur O' communes interfiectiones natas ex δι plani circulam in rectilineu inde corpora*producta exhibet. PROPOSITIO XV. SEmicirculus ductus in tectangulum eiusdem altitudinis, supersiciem
producit cylindricam. Demonstratio.
SIt ABC semicirculus M ADEC rectangulum eiuslem eum semicirculo altituis dinis. dico semicirculum ABC ductum in rectangulum , superficiem producere . cylindricam. Κ centrum ponatur semicirculi: assumptisque in AC punctis quibus uis Η Η erigantur ex H de Κ, normales ad A C, erunt illae quoque rectae ad planu ADEC , cum ABC ductum in ADEC, ad rectos illi insistat angulos, ex hyp thesi posita indefin. prima huius; parallelae igitur sunt HB, ΚΒ. ponantur deinde iaplano AEC, lateri AD aequidistantes ΚI, HG: &HB, ΚΒ lineae duetae in HG, KI . plana exhibeant HBFG,ΚB FI: quoniam igitur H B, ΚΒ reetet sunt ad planum AEC At HGKI, parallelae, plana quoque ΗΒ FG, KBFI recta sunt ad a 4---- idem planum, de inter se aequid istant; parallelet igitur sunt lineae BF BF: item FG. ' FI quae rectae quoque sunt ad planum AEC, a seoque de in eodem existunt plano. . deinile cum H B, KF lineis, aequales sint FG, GI, & anguli illis contenti recti, iunetis FI quoque, aequales sensiunctis B Κ : sed B K lineae semidiametri sunt se micirculi A BC, adeoq; κ inter se aequales, igitur& IF lineae quoque aequales sunt,& D F E puncta ad semicirculum aequalem A B C:quare Ec B F, aequidistantes H G. adeoque & axi K I supersciem producunt cylindricam.
206쪽
Emici reuius ductus in se, sit perficies duas producit cylindricas , qua rum commvnn intersectio, figura est elliptica. DemonstratIo.
Emicirculus ponatur An Cr dico illum in se cli illum vel in semicirςul uni AE cra illi aequalem , stiperficies producere cylindricas B G, GE: quarum communis intersectio AG C figura est elliptica. facto super AC rectat illo AF C, sivinantur m AC, pu iacta quςuis D, e quibus ad AC normales erigantur DB: Dόnanturque DF in plano Ap C aequidistatues AF. rectae DB ductae in DF luperficiem producunt cylindricam n in igitur Δ BG lineae quae pars sunt B H. ad su-ltitia. perficiem suiu cylindricam. Similitiet ostendet ut G E superfietem esse eylindricadi. quod vero AG C figura sit elliptica , sic ollendor iungantur DG. rectae DB duinctae in se, quadrata generant DB G E quotlim diametri sint 'D G: quia vero quadrata illa, rectasiant ad planum A CP, & AF, DF parallelae lana ABGE aequi distant, Ac triangula quoque D EG par ilei sunt i qm a vero DEG anguli sim troisti, & DE GE lineae aequales , anguli ED G, EG D semirecti sunt: in eodem igitur lunt plano , ς lineae DG : rursum cum D G diametri sint qua- .dratorum DBGE, quadrata DG dupla sunt quadratorum D B : unde ut BD μιιν πῆ κquadratum ad quadratum DB, id est rectanguli ni ADC ad rectangulum iDC, sic D G quadratu A ad quadratum D G . ellipsis d igitur est A GC. voeletur ali 4
tem corpus constans superficrebus B.G, GE; ungula: cuius proprietates, in cubaturam suo loco trademus.
Emicirculo si rectangulum eiusdem altitudinis in girectum ad ij clx leo totam illana quantitatem in se ducham superficies proh ere cy ricas, quarum communisinterfectiqfigura est elliptica.
207쪽
CEmieireulo AC, in directum adijciatur tectangulum CB eiusdem cum semici oeulo altitudinis: dico figuram Α C B ductam in sesii perficies producere cylindricas ΑRFE, uuarum communis intersectio FF figura est elliptica. ct constructio quam indicat ngura.planum A C B ductum in se, aequatur AC ducto in se, de C Bina dueto, una cum AC ducto in Ca bis. sed Α C duetum in se, est HI ductum in HG, & CB in seductum, est paralleloripedum CBDH: praeterea AC ductum in C A bis, est ΑC ductum in C H. una eum H G ducto inΗD; planum igitur ACB ductum in se aequatur H I ducto in se, CB ducto in se , id est corpore CBDΗ, de AC ducto in CH. una cum H G ducto in HD: planum autem HI duetum in se vel in AG superficies producit, cylindrieas I F.FG,& FP communem intersectionem eIlipticam, item AC ductum in CH saperficiem . producit cylindricam AI, tandem ΗG ductum in H D, sit perficiem producit cylindricam G planum igitur ACB ductum in se, superficies producit cylindricas AI FAE GRquarum communis intersectio F s, figura est elliptica.
Emicirculo si tectangulum circumscribatur: O . Dico figuram concauam quet extima semicirculi perimetro &rectis lineis intercipitur , ductam in totum rectangusum , corpus producere habens cylindricam superficiem concauam&extimas tres planas.
batur C A B, dico planum D A ductum in recta gulum C AB, corpus producere habes iaperficiem concauam cylindricam. Rectangulum C AB ductum in se, vel in rectangulum BEC aequatur C D B semicirculo ducto in rectangulum C AB vel CB E, una cum D ΑΩ- perficie ducta in rectan
208쪽
CBD semicirculus luctus in rectangulum C AB vel BE, supersiciem producit cylindricam DF et re u uni igitur planum AD quod semicirculo CBD congruit ductiim in rectangulum C AB vel CBE, concauam producit superficieri cylindricam, quae Us superficiei congruit.
' ΡROPOSITIO XIX. SEmicirculo si rectangulum circumscribatura
Dico figuram concaua in quae ex tima semicirculi perimetro de feoctanguli lateribus intercipitur iductam in se, superficies duas producere cylindricas, quarum communis intersectio Mura est elliptica.
Mmieirculo ABG rectangillum circuna stribatur ADG. dico DB figuram duchain in se, superficies duas cyIindricas producere, quarum communis intersectio figura est elliptica : super D D linea rectangulum ponatur ED E aequale ADG dein EDE, semicirculus inscribatut ECE, patet illum aequari semicirculo ABG, dc D B,D C lineas omnes aequari. Ostensum est prς-terea figuram concauam B D , diictam in ADGrectangulum , exhibere superficiem cylindri eam: atqui BD id est DC . pars est illius rectanguli , etiam DB ductum in DC producet superficiem cylindricam. quia vero DB ad DB, eandem habent rationem quam DC ad DC, etiam DB ad DB, eandem habebunt rationem quam DF ad DF,quq diagonales sunt quadra- torum DB. qitare cum B B CC sint ad eosdem circulos,ex constructione patet , F F esse ad eandem ellipsim, eum DB minor sit diagonale DF.
Ιlsdem positis, si fisura concaua ducatur in suum semicirculum cui congruit, dieo superliciem produci cylindricam. iDemonstratis.
DEmonstratum est DB ductum DK rectangulum, . exhibere superfietem cylindricam. sed D B ductum in B L est pars D B in D K ducti, igit ur etiam D Bia BK exhibent superficiem G cylindricam.
209쪽
Dv C Tvs PLANI PROPOSITIO XX LSIt semicirculus ABB, inscriptus rectangulo ADD , cui aequale sit
constitutum D G ad angulos rectos, semicirculum GFF continens aequalem A B. ducatur autem eo situ A B semicirculus in. semicirculu F G. Dico superficies oriri cylindricas, communem intersectionem CC re ellipticam. Demonstratio.
Dueatur totum rectangulum AD, in DG rectangulum; & ponant ut diagona. les DE. quoniam igitur AD, A E aequales sunt, utpote latera eorundem quadratorum,erunt quoque diagonales D E, inter se aequales, ac proinde triangula rectangula EAD lunt Isoscelia: unde DEa planum est.agatur deinde quodcunque planum KOHM parallelum planis DG Y,DFZ: similiter, diuisa superfiete ΑΑbifariam recta QR parallela ΑΥ, per QR ponatur alterum planum ijsdem D GYDFZ planis aequidilians. Quoniam OK ductu in ΚΜ, aequatur ΚNin seducto ΜNO, hoc est IS in seducto, una cum rectangulo KNO bis sumpto, hoc est rerietangulis N S, IM, simul sumptis. Igitur figurς N KL, S lΤ quadratae sunt, quarum diagonales sunt KI, 1 H. ottensum est autem BD ductum in se e producere superficiem cylindricam, igitur lineae NI, IL, hoc est omnes B C, CF, sunt in superficie cylindrica. Quia vero est ut quadratum ad ON quadratum, hoc est SI, sic quadratum P R ad m, quadratum sillorum nimirum dupla P estque rectangulum v Q X a lVOX, hoc est YRZ ad YH Z . ut quadratum P Q ad ON quadratum, sqqia PQ, ON normales sunt ad V X diametrum in semicirculo V Bκὶ etiam quadratum P R ad I H, quadratum eandem habebit rationem, quam rectangulum YRZad YHZ. quare YPIZ hoc est 4 CC , sunt ad eandem ellipsim: quae exhibet communem intersectionem planorum A B, FG. Quod erat demonstrandum.
aquales C D, videtur prorsus idem cor' debere produci eum isto quod producisur per ductum Α B. inse: longe tamen est diuersum.* enim quadraatum A D, quodHuidar E E linea bifariam lateribin quadrati aquidistans, se deseriptisint aquales semicircusi AB c, C D, o ducatur AB, in CD inpropos. M. poffulabat,orieturriura es iam, Disi ip 3 I by Coos
210쪽
voeauim- hae propositione natam ex AB, d G tacta in C D, reuera aurem ess figura ina ex A B, ducta insupersicum B Di is explicatam H quodsi displiceat haec nomenclarura, vocet- figura F G, dimidium illiin corporis quod oritur ex ductu ΑΒ, insuperficiem Bes .
Int duo circuli aequales AB, CD, sese. tangentes exterius,&ducatur AB, in CD, etiam in eodem stu. Dico superficies produci Cylindricas. Demonseratio. 6iqiligod by Corale