장음표시 사용
211쪽
CIrculum ABC secet recta quaevis CL non per centrum ducta. Dico AI ductum in I B superficiem producere cylindricam, &communem inteuectionem sore ellipsim. Demonstratio. mucatur pereentritin tecta ΗG paralleIa CL i AK ductum in K. aequale
a 4.βα---ΑΙ ducto in I B N I K, dusto in se, ut patet ex a elementis. ιza ou - ctum in KB. si perficies producit hcylindricas . quarum communis Intersectio in elliptica i eur & ΑΙ ductum in I B, inimirum pars A ducti in ΚΒ superh- , C es producir cylindricas, quarum communis intersectio est elliptica. Quod tuit demonstrandum. Sebobon.
212쪽
CIrculum ABC cuius diameter AC, eontingat in Α linea AD,
quam in D secet tangens DB, parallela diametro A C. Dico F E ductum in E G, superficies producere cylindricas, quarum communis intersectio est elliptica. Demonstratio. D I Eanum FP ductum in E G, at quale est Es aducio in E H, & EF ducto in Ha sed , α - Η
perficies producit cylindricas , communem fuero intersectionem figuram esse elliptieam patet ex Scholio prop. χr. huius, ignur, Ecc. diuit demonstrandum. L f corollarium. tDRopositio quoque vera est, si DΑ linea circulum non eontingat, sed tangenti λ aequidistet: demonstratio fetὸ eadem est cum priori.
213쪽
pi DUC Tvs PLANI PROPOSITIO XXV. Cliculum ABC secent ditae qua uis lineae DC, EF parallelae inter se& aequales; iunganturq; o HDico G B in se ductum , superficies producere cylindricas, quarum communis intersectio figura eu elliptica.
demonstrandum. Demonstratis. . Ducatur per centrum recta H H, parallela DE G B ductum in se , aequale G H ducto in se, M H B ducto' in se, macum G H ducto in H B bis sed tam H B ductum in se b quam G H ductu e in H B, corpus producit cylindricum; igitur GB ductum in se, superficies producit cylindricas. rursum cum H B ductum isse, communemd producat intersectionem ellipsin , exhibebit & G B ductum in ie , ellipsim pro communi intersectione; igitur, Ecc. 4od fuit
SEcent ABC circulum duet quaevis parallelae & aequales lineae C D, E Fr
quas extra peripheriam productas secet orthogonalis quae uis G H. Dico KB ductum in se, superficies producere cylindricas, quarum communis intersectio est ellipsis. Demonstratio. Σ
in se aequale est ΚL ducto in L Bbis.
r corpus producit cylindricum.& LBIs ductum in se superficies producit cy-
in se,superficies producit cylindricas quarum communis intersectio est ellipsis.Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XXVII. SEmicirculum ABC cuius diameter AC contingat in A linea AD,
quam in D secet contingens quaedam D B, parallela diametro A C, iunganturq; AB. Dico E F ductum in G H, corpus producere cylindricum cuius superficies habent communem intellectionem ellipsim.
214쪽
Sit HIR, basis cylindri aequalis
ABC semieitchilo M diametro HI diuisa in I. bifariam, ducatur L K, eidem orthogonaliter fiat au tem L Κ, aequalis RM, de dura. tur LM , erit itaque triangulum ABD aequale LKM triangtilφι cum AD,& DB diquales sint semidiametro C D, ob B D parallelam AC. & Α D contingentem in Αι est autem circulus ΚIH, aequa. lis CB, quare etiam L Κ aequalis DB. Igitur quoniam KM, axi paral- 'leta est, utpote orthogonaliter posita ad LK, erit quoque ΑΒ aequa. L,LM Dueantur igitur No, parallelae III, diuidentvr illae bifariam in punctis P P.Deinde ducantur PQ aequidistantes ΚΜ, erunt illae aequalea PL. Fiat denique sectio per M puqctuni& lineam HI, exishibebitur a IR M S H semiellipsis, eritque LM in plano HIM Si cum sit Κ M,aequalis K L,vri etiam P in
aequalis P L. Isime etiam UR de NS, ipsis P Q. aequales erunt: nam ducta OT quae aequidistet KLetit ΟΤ aequalis OR, cum P L sit in plano eodem cum Ο Υ, de L QEum, TR i& ΟΤ sit aequalis P quare eum sint o R & N S, aequidistantes PQ erit rectangulum N O R, aequale rectangulo EFDG , cum,snt aequales lineae,sed N O,in O R, ductae producunt cylindrum i igituliniam EF. ductae in Ho cylindri porti messormabunt, illam scilicet quam bibet sectio HiMΚ. pare igitur veri sp t
p Ropos ITIO XXVIII. Esto ABC segmentum sirculi quodcunque, quod in B contingat li
Dico F G ductum in s H, eo 'us producere 'lindricurri cuius se
perficies communem habent interiectionem, ellipum.
215쪽
tu corpore orto ex ductu H Gio exductu H G in FH, remanebit H, in Gn orato quoque cylindrica. quod autem curporis huius perficies communem habeant intus io- nem ei lii sim, facilE deducitur ex 2o. Ac χ huius: huius perficies communem habeant intus ionem ellipsim, facilE deducitur ex 2o. 3e 2 huius:
Tna ΚHG ductum in GF, pus est H at in in GL posita LL diametro parallela PB: uti etiam pars est, HG ducti in HL. quod superficies produci; cylindricas, quarum
eommunis intersectio est ellipsis. . . t c
ut B C aeqvidistans Α D . Dim supersiicem E F, ducimin F G, cpus producere cylindricum.
SE circulo' ABC reuingulum inscribatur quodcunque A B C. ii Dieo supersielem D 'ductam in m superficiem; corpus mdu
quale est D Educto in EF, de EG des in
t Νς Ab a se sed DG ductum in se producit 4 corpus cy- 'si. lindricum,& EG ductum inla 'producit py- ramidem, ablata igitur pyramide ex DG d Eho in se, remanebit DE ductum in EF pr ducens corpus cylindricum. Quod idit demonstrandupa.
216쪽
IN PLANUM. LIPROPOSITIO . XXXI. vi It AD BCF figura quaecunque,& ADB, BC quidem lineae si stre-AFC vero quaeuis: dein DF ducatur in se. Dico communem intersectionem haedrarum quae exsurgent ex D Finse ducto, in eodem esse plano cum recta A D B. 'Demonstratio. AT Ineae DF parallelae BC cluet in se, figuras exhibeant DPPE, quadratae igitur sunt figurae DF IE&rectae ad planum B AC ex hypothesi in prima defin.huius. quia vero DF aequidistant BC, plana D FI E, sibi mutuo aequidistant, unde triangula DIRBHC aequissistant; de quia anguli FDI, FID, uti CBH . CH B per
diametros quadratorum ablati, aequales sunt, utpote semirecti, lineae DI, B H . in amisi eodem sitne planor siunt autem extrema diasonalium in eodem plano, in quo sunt ipsae diagonales; igitur Se puncta in eodem sunt placio cum linea A d. od demonstrare oportuit.
217쪽
timuersiles quasdam continetpropositiones, reliquis piane fundamentales quibiu corpora ex ductibus orta inter se comparantur. PROPOSITIO XXXII. E Sio ABC trianguli latus A B diuisum in quatuor partes aequales in punctis F, D, H: ducti , FG, D E, HI, lateri AC parallelis, demittantur ex G, E, I, lineae se M, E N, io parallelae lateri A B. Dico figuras FM, DN, HO, simul sumptas, maiores esse dimidio figurae AB C. Demonnratio.
AB ad HB, sie AC est ad HI, id est ad AO ; sed HB continet tres
partes , quarum ΑΒ habet quatuor ex construet. igitur 3c AO tres partes habet, quarum AC continet quatuor: vii de AC maior est recta AO : de illa maior quam OC: ac proinde HO figura maior triangulo OIC : eodem modo ostenditur DN figuram maiorem esse triangulo NEI, de sic de caeteris. quia vero BRFD aequales simi, parallelogrammum FM duplum est trianguli FBG, id est aequale triangulis FBG,MGE: figurae igitur FM, D N, HO simul sumptae , maiores iunt quatuor triangulis FB G, M GE, NE I, OIC, id est residuo figurae A B C quare & maiores sent dimidio eiusdem. Quod oportebat demonstrare.
pROPOSITIO XXXII l. Esto ABCD figura quadrilatera, laabens AD, BC parallelas inter se ; diuisa autem A B in quatuor partes aequales punctis G, E, I, du-
218쪽
I N p L A N v M. 19 cantur aequἰdistantes uni laterum sputa BCὶ rectae GH, EF, IK,& ex H, F, Κ rectae demittantur D L, HM, FN, KO, parallel lateri AB. Dico A L, G M, E N, i O, figuras simul sumptas maiores esse dimidio figurae quadrilaterae A B, CD. Semonstratio.
rae B D C: figurae igitur S M. T N, V O
multo ora Ores sunt ilimidio figurς BD C: quare addito communi B AD , figurae A L. GM, EN, IO simul sunt piae simimaiores dimidio figurae quadrilatorqA B C D : Quod fuit demonstranduin
PROPOSITIO XXXIV. Esto ABC trianguli latus AB diuisum quadrifariam in D,E, F ι, du
ctisq; lineis D G, E H, FI, basi CB aqiii distantibus, demittantur κ- hae G Κ, H L, I M parallelς lateri AB. Dico corpora orta ex ductu, DK, E L , F M parallelogrammorum in se, plus dimidio compleisti corpus quψd exsurgit ex ductu A B C in se. Demonstratio.
DArallelopi pedu habens basim,quadra , tum lineae E H, & altitudinem EF, ad' paralleloripedum habens basim,quadrarissiineae D G,1: altituditie D E id est E F, eam
habet rationem quam si H quadratum ad
quadratum D G: id est quam quatuor ad unum: nam E H Iinea cum dupla lit lineae D G, erit quadratum E H b quadruplum quadrati I G. eodem modo parallelopi- pedum habens basim quadratum lineae FIN altitudinem FB, ad parallelopi pedum habens D G quadratum pro basi & D E altillidiuem est ut nouem ad unum: quia I I linea tripla est rectae DG: igitur D K , EL, FM , ditiua in se, continent decies α quater corpus trabens basim quadratum D Grealtitudinem D E: Rursum corpus habens basim quadratum D G & altitudinein DE triplum est pyramidis, habentis basin quadratum K Hid est D G& altitudinem DE, sine GK siue DA: igitur D Κ ductum in se tertio continet D A G ductum in se, de EL ductum in se duodecies continet pyramidem habentem basim . quadratum D G dc ED altitudinem, id est duodecies continet GK H diictum in s e : similiter FM ductum in se, continet GK H siue H LI, ductum in se vigesies septies: igitur D L. EL, FM , in se ipsas ductae, eontinent A DG ductam in se qhiadragesies bis.iterum, D H ductum in se sequatur E G ducto in se,& G SH ducto in se una cum EG dhoo in G Κ H bis: sed T G ducti ini in se triplum est ADG siue GK H, ducti in se: addito igitur GK H. licto in te, erit E G dii istum in se una cum GK H ducho in se quadruplum ADGducti in se. de quia EG ductum in G K H aequatur triangulo EG K ducto in G KLI id est A D G ducto in se, triangulo EDG ducto in GK H, id est dimidio ADGin se.totum D H ductum in se, quinies continet ADG ductum in se, cum di- . ' . Z E E a 3 midio
219쪽
midio eiusdem dii min se. Simili ratione procedendo ostendetiu EsHIductum in se, continere DAG ductum in se, teristio sit pravigesies i se F C ductuin in se idem A D G ductum in se continere trigesies octies cum dimidio AD G dum in se. addito ergo A D G ducto in se, totum ABC ductum in se id est ADGductum in se. D H ductiim in se, E Iductum in se, FC ductum in se imul sumpta continent A D G ductu in in se sexagesies sexies, una cum dimidio AD G dum in se. si igitur ab hac summa auferantur D Κ, EL, FM quantitates in seductae,ides quadragesies ἐκ bis ADG ductum in seiresia
duum ablato minus est . igitur, S c. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXXV.FSto ABCD trapezium habens A CB latera atqui dis an tia,diui
seque AB quadrifariam in E,F, G ducantur rectae EH, FI, GK p rallelae Dasi BC, dein lineae demittantur D L, HM,IN, ΚΟ.. Dico A L, E M, F N, G O figuras ductas in se, maiores esse dimidio figuret ABCD ductae in se. Demonstratio.
Est enim figura ΑΒ C D ducta in se adigua
lis figuris AL,EM, FN,Go, ductis in se, item DL H, H MLINK, Ko C in seductis: una cum D L H ducto in altitudines AD, E H, FI, GK, bis: id est PH ducto semel in easdem altitudines simul cum D LII quater in seducto, sed ΑL, EM, FN, GO ductae in se,maiores sent PH ducto in altitudines AD, ΕΗ, FI, GKvnaeum L DHis quater in se ducto, cum altitudines sint eommunes,&AL, EM, FN, Go quantitates singulae maiores sint P H; igitur 3e maiores sunt dimidio figulae ABCD ductae in se. Quod erat demonstrandum.
PROPOsITIO XXXVI. Sit A B C D,figura intercepta duabus parallelis A D, B C habens A B re
ctam & D F C curuam, diuisa, A B in partes quatuor aequales in G, E, L ductisq; parallelis G H, EF, I K, erigantur rectae, HO, FN,KM,CL. aequi distantes ΑΒ: sit autem AD minor dupla secundae GH, de illa mu
Di eo figuras A H O . GFλEΚM , ICL simul sumptas
maiores esse dimidio figurae ABCD.
220쪽
ius esse residuo O H D: similitet ob eandem rationem, GF maius est Uaio levi ;& ΕΚ maius ius. LMF &e. unde A H. GF, E K, IC, fgurae simul sumptae, maiores sunt dimi. io figurae iiiixtilineς A B C D. Quod crat demonstrandum.
continentibus, perimeter vero C D B concaua sit, diuisa autem AB
bifariam in G, ducatur G D parallela A C & D N aequid istans Α B: dein ND bifariam diuisa in H, i ducatur H E se quidistans AC & Eo, ipsi
AB aequid illans,&hoc semper fiat. . lDico rectangula hoc pacto ablata sontinere plus dimidio figurae mixti linet AB C. . .
Visciantur rect ula BG Da HSEIR &c.erunt Ailla aequalia rectangulis AD. NE, O F.S - suta C diuisioneni linearrum per aequales partes: sed MLΗΚ, IM rectat gula maior issint figuris mixtilineis κDG, DEM, E FI, igitur&re ctangula AONE,0F, &c. simul suinpta maiora fiant figuris B d G, D E H, E FI,&α id est residuo figuret mixtilinρφ ABC. at
Dico 'M K,s L, IM, unus simul sum ias maiores esse dimidio si
Dinon ratis. ii : MI Vantitas HK maior est figura H A D; & κ, maior est ipsi DKD desa & m. Otorquiim E LE: patet auxem IS maiorem esse figura MFC, igitur H Κ, GL PM figit si O . an ut sui piae multo stit maiores figuris H AD, DKE, ELF , F MC , id est residuo figurae ABC: igitur & maiores dimidio figuret A B C. x luvoLiuit demonstrandum.