장음표시 사용
221쪽
tem DC altitudine in partes quot uis aequales, in punctis L, M,N, ponantur L H, MI,NΚ, CB parallel; AD, Occurreiues curuae lineae in G,F, E punctis per quae ponantur rectae o R, PS, QT, parallelet DC Dico rectangula OL, PR, QS,ΚT, aequalia esse rectangulo AL, ii-
Uoniani per hypothesim aequales sint lineae UL,LM, MN,NC, Hest OG P P, Q Α, Κ B rectangula duo oti P R Hualia sunt rectangulo PM, similiter. rectangula tria oI, P R. Q S aequalia sunt reamngulo QNi de OL, P R Q S, K Trectangula sinini sumpta aequalia sunt rectangulo KQQuod erat demonstrandu'.
PROPOSITIO XL. Iisdem positis sit o D linea minor sit A O.
Dico rectangula A G,H K l E, dcc. maiora esse dimidio figurae eo cauet D A B. Demonstratio.QVoniam AO linea per hypothesim maior est o D, rectangulum quoque A Gmaius est dimidio rectan ii A L quia veris ora PR, Q. S. ΚΤ rectangula per praecedentem aequalia sunt rectangulo Ati rectangulum A G, quod maius est dimidio AL, maius quoque est triangulis OD PGF. Q FE, KEBi adeoque inulto maius mixtilineis O D PGp. QF Ε, Κ E B t. additis igitur rectangulis H F. Iri lce. patet illa simul sumpta cum Α G rectangulo, maiora esse dimidio figurae con cauae DAB. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XLI. EAdem posita figura si A in o D lineae' aequales sinci Dico rectangula GM, FN,EC simul sumpta maiora esse dimidio figurgo BC.
222쪽
ΡRoducta GR. pertingat ad NE in Z. Quoniam igitur AO, ODIineat aequ Iessunt, rectangulum L Ο id est GM dimidium est AL 3 duo igitur rectana gula GM,RN aequalia sunt toti AL; sed Α L rectangulo aequalia sunt rectangula OL. PR, 4S, ΚΤ, igitur 3cilla quoque aequantur rectangulo GN r ergo de GN maius est conuexis figuris DGL, GFR,FES, EBT; additis igitur renduis rectangulis FZ,EC, rectangula GM, F EC inseripta maiora sunt dimidio figuret conuexae DBC. Quod erat demonstrandum.
Dico tot posse rectangula concauae & conuexet inscribi figuret,quq aequalem habeant altitudinem,ut residuum relinquant,da o minus. Demonstratis.
Ata sit quantitas α : dein toties sit ividatur D C linea, in partes aequales donee sub BC basi de altitudine N C rectangulum sit minus quantitate α : tum per puncta diuisionum lineae ponantur parallelae BC, occurrentes concatis figurae in punctis G, F, E, per quae lineae ponantur aequidistantes D Ci erunt igitur per 3'. huius, rectangula omnia OL, PR, Q S, KΤ simulati mpta aequalia rectangulo KC, adeoque de minora quantitate data α, sed OD G, PGF, FE, REB residua fi- Durae concauet minora sint rectangulis OL, PR, QS , ΚΤ : mulio igitur minora sunt quantitate data α. similiter ostenditur , ablatis ex convexa figura rectangesis G M, PN, E C, residua relinqui, data quantitate miniaa.Quae erant demonstranda.
DAtae sint figurae concauae aut conuexae ABC, CBD communem habentes altitudinem BC, normalem ad subtensam A CD.m Dico tot illis inscribi posse rectangula EP, F Q, G R: ES, F T, G vinaequalis altitudinis & basibus in directum positis, ut si h cin se inuicem
duista auferantur ex cuneavis ABC, CBD etiam ductis in se inuicem, . relinquant quantitatem data minorem. Aaaa a Duiligod by Corale
223쪽
Crituatur solidum ouodvis T ex 41 huius,figurae 'ABD inscribi possunt tot rectangula, ut ijs ablatis ea figura ABD plana residua B HE, PHI, IK.RCA.LBE, MLS,NΜΤ, DN v sint quouis dato plano minora, ae proi e fieri a se Doti poterit, vi residua illa plana dempto I. B H,sint dato plano minora. Inseribi igitur poterunt figuret Α Η D tot rectangula vi iblidum, quod fit ex ductu planorium B HE, PHI,QIΚ,RΚΑ, in figuram CBD minus sit dimidio solidi Z . item6ue solidum quod fit ex ductu planorum M L S, N M T, D N V in rectangula E RF o. GR nunus sit dimidio solidi Z:aeptoinde ut utrumque simul sempitim dato solid; Eut minus. Iam vero AHEC ductum in C ELD, aequatur planis BRA, PIRPHI duetis in C ELD,&rectangulis RP, PQ, GR ductis in C ELD. sed te viangula EP, F R ducta in C ELD aequantur ijsdem rectatigulis ductis in rectangula E S, FT, G V, una cum ijsdem rectangulis ductis in plana M L S,N Μ Τ. VND.uue una cum planis M LS,NM T. V NDductis in rectanstula EP,FΟ.GRCELD aequatur planis R K A OD . P III, ductis in CELD. Be rectangulis EP, FQ. GR, ductis in rectangula ES. PT, GU. vn eum planis MLS,N MT DN v ductis in rectangula EP, TO.GR sed tota fisuta ABC ducta in t oram CBD aequatur AHEC ducto in C E L D, S: H B Educto
224쪽
iuicto in E BL , ergo figura tota ABC-m totam CBD aequmue planis RK Α, QI PHI, HB E, ductis in eoiani figuram C BI, rectangulis doctis insectangula una cum planis MLS,NM T. DNV ductis an rectangita AP, E in
GR. Ergo si rectangula ducta in rectanguis auferantur ex toto: ABC ducto in roiatum CBD, resiluum erit id quod fit ex ductu planorum RK A, VIM PHI,HBAin figuram CBD, una cunἰvo quod fit ex ductu planorum MLS,NMT, BNUin rectangula EP, F . GR. Atqui supra ostendi figura: ABD inscribi posse torrectangula , ut ouod fit ex ductu planorum RK Α, QIT,PHI, HBE, in C BD, una cum eo quod fit ex ductuplanorum MLS,NMT,DNU in rectangula Eri FQ. R sit minus dato solido Z. inscribi igitur possunt figuris ABC, CBD toe
rectangula, ut si haec ducta in se invicem auferantur ex tota ABC ducta in totam CBD, relinqtiant quantitatem data minorem.Quod erat demoustrandum.
DAta sit figura quaevis siue concaua siue convexa AB F, terminata rectis lineis B F, A F angulum rectum continentibus. Dico huic inscribi posse tot rectansula, O H, PI, &e. ut si ea in sed cta auserantur ex figura in se ducta, rei inquatur quantitas data minor. Demonstratio.
Flaurae ABr,apponaturaequalis & smilis figura BF C, communem tabemastis rudinem BF,&subtensam FC,subtenis AF indirectum, huic instrabantur totidem rectangula SH, VI, 8ce. quot inscripta vis figurae ABF, de sunt eius militudinibus ac basi sindirectu positis.Mamsestum igiturest,ex definit se hvius Aa aaa x figuram
225쪽
figuram ABF duet in seipsam, nihil aliud quam duci in figuram BFC, sibi ex
nil r. similem & aequalem r rectangula item huic inscripta o H, P I, &c. in seduis m, nihil aliud esse, quam ea duci in tectangula βH, VI,&α reuocatur igitur haec Proportio ad pHCecentem,ex qua proinde eius habetur demonstratio
226쪽
DAt aestu figuraequaevis concauae aut conuexae ABC, CBO subab
terne positae, communem habentes altitudinem BC.
Dico illis tot inscribi posse rectangula H F,l G t &c.S RT G,&αὶ aequalis altitudinis & basibus in directum positis, ut si haee in se inuicem
ducta auserantur ex totis BAC, CB o etiam ductis in se inuicem, relin quatur quantitas data minor.
Tatuatiir quodvis solidum Z. Manife- stum est ductis parallelis HEL, GNea paruas abscindi posse ex figuris ABC,
GC N, ut sol illa ex eorum ductibus mutuis nata minora sint simul sit meta quaeutique proposita quantitare, puta dimidio dati so- Iidi Z. similiter patet huius, figuris
RHEG, GELN inscribi posse tot rectangula . ut ijs ablatis , residua ΚI Q, IH P, L SM, MYN dato quovis plano
sint minora, ac proinde ut solidum quod
fit ex ductu planorum RI Q , IH . in
GELN,unicum selido quod fit ex ductu planorum L SM, MTN in rectangula H F, I G, minus sit quavis proposita quantitate, puta dimidio solidi dati T. Inseribi igitur possunt figuris ABC, CHO tot rectangula, ut solida quae fiunt ex ductu planoram AKGC. HBE in plana CGN. . B ELO . ω ex ductu planorum KI Q. IH P, in planum ELNG, ω ex ductu planorum L sM , MTN in rectangula H FIG,h est ut solidum quod fit ex ductu planorum Α Κ G C,K I-HP,H PE, in figuram totam C B Ο, una eum solido ficto ex ductu planorum L SM, MN Tin rectangula H F, 1 G, sit minus dato se Iido Z. Iam vetὁ eodem discursia quo v-stasiani in praecedenti, ostendam ΚHEGauctum in GELN aequari planis i 1 in . - . . IHP doctis in planum G E L N, yna eum planis L S M, M T N ductitan rectan Dra iis, I G, ac rectangulis insuper HRI G ductis in rectangula SRT G. sed tota figura ABC ducta in totam CBo aequatur ΚΗ EG ducto in GELN, ac planis AKGC, H BE, ductis in plana CGN. EBLO. Ergo figura tota ABC ducta in rotam CBO, aequatur planis AKG ΚIQ. ΙΗΡ, ΗΒ E, ductis in figuram totas x o, unicum planis L SN, MN T ductis in rectangula H F. I G, ac rectangulis insuper H F. I G ductis in rectangula sF, T G. Quare si ex figura AAC, ductata figura Cao auferantur reetangula ducta in rectangula, retiduum erit solidum Α a a a a 3 quod
227쪽
haec solida, ut supra demostraui simul sumpta minora esse possunt dato solido Z. ergo 6guris ABC, CB o inscribi possunt tot rectangula, ut ii haec in se mutuo ducta avis ferantur ex ductu totius in totum , relinquatur quantitas data minor. Quod erat demonstrandum.
c Ini ABC, CB D figurae, quarum una convexa, altera Concaua; po sitae autem sint subalterne vel non subalterne.' Dico utrique tot posse inscribi rectangula H F, IG, Κ C i L F, M G,NCὶ ut illa ducta in se mutuo plus auferant 1micio totius ducti in to
DTmonstratio primae figurae eadem est eum M.vel .secundae verbeadem cum praecedemi.
PROPOSITIO XLV. DAta sint tria plana BAC, BEC, BDC qualiacunque, communem
habentia altitudine B C: positaqι B D normali ad B C,du cantur iuli infinitae, hoc est quotcunquel aequidistantes. ΑΚ ED, quae occurrant communi lineae in punctis ΚΚ, planorum vero perimetris in punctis A A, EE,DD. Si ΑΚ, ΚΕ, Κ D, sint continue proportionales, siue, quod idem est, si quadrata ΚΕ, aequalia sint rectangulis ΑΚ Di Dico planum ΒΛ C ductum in planum BDC, aequari plano BEGducto in se.
228쪽
Vctis lineis ARDA paralIens ad BC, inseribantur planis BAC, BD Cm-
finita rectangula KF, KF: ΚΗ, ΚΗ. diictis item lineis EG figurae BEC infinitas militer rectangula inseribantur KG, Ko. Rectangula KF, ducta in rectansuta ΚΗ . corpori quod fit ex ductu plani BAC , in planum BDC inscribunt infinita Drallelopipeda , quorum bases sum rectangula ΑΚD , altitudines vero AF , AF siue D H, DA. Similiter tectangula RG , Ru ducta in se : eorpori quod fit ex ductu plani BEC in seipsam inseribunt infinita pa- rallelepipeda , quorum bases si int quadrata ΚΕ , ΚΕ , altitiaines GE , GRAtqui ex hypothesi. rectangula AND semper aequalia sunt quadratis KE. Ergo parallelepipeda inscripta corpori facio ex ductu plani BAC in planum BDC aequales bases habent basibus parallelopepedorum inscriptorum corpori genito ex ductu plani BEC iis seipsum. sunt autem Et altitudines AF altitudinibus si G aequales. Ergo omnia parallelopipeda inscripta corpori genito ex ductu mutuo planorum B AC, BD E, aequalia sunt omnibus parallelopi pedis inscriptis eorpori producto expIano BEC ducto in se. Cum igitur in propositionibus proxime p cedentibus demonstratii in sit parallel6pipeda illa iramme multiplicari morpora ipsa quibus
inscribuntur exhauriant,hoc est ut ex ijs ablata relinquane qualitatem data qualibet minorem .psa etiam corpora inter se aequalia esse neeesse est. Uberiorem Mias rei demonstrationem ritus Geomerea non requiret. 6 ea en rigari geometrieo per omniasti at id laeum Meuratius demonstrabim- hune in mo--. Si corpus genitum ex mutuo duehu planorum BAC. BDE, non sit aequale eo
poti quod At ex plano BEC in se ducto , necesse est alterutrum esse minus altero. Ponatur primo id quod fit ex ductu plani BEC in seipsum esse minus altero quantitate aliquiqwani vocentus C. Brevitatis etiam causa corpus natum ex ductu plani BE C. in se iocemus corpus B EC. & corpus factum ex ductia mutilo planorum
B A C, B D C, eulpus A B C D appelletur. Ex propositioni us proxime praecedensetibus patet figuris B AC, B DG tot inscribi posse rectangula ΚΚ, Κ F, ΚΗ, Κ H,ve
ea in se mutuo ducia inscribant eorpori ABCD tallelopipeda, quae deficiant ab ipsi eorpore i cui inseritiuntur , quantitate minori quam sit data quantitas T. ergo hallelopipeda inscripta mori ABCD malo a sunt corpore BEC sed paralle- .loripeda inscripta eorpori ABDC supra demonstrauimus aequalia sempet esse totidem parallelopipedis instriptis eorpori B EC.ergo parallelbpipeda inscripta corpo ri BEC etiam maiora sent ipso corpore BEC, pars toto, quod est abiurdum. Non igitur eorpus B EC miniis est corpore ABD C. Eodem modo demonstrabitu teorpus AB DC non esse minus corpore BE C. Neutrum igit ut aliuto nilnus est; aequalia igitur sint necesse est. iod erat demonstrandum. a PRO,
229쪽
Ata sint quatuor plana BL C, BAC, BEC, BDC qualiacunque, I communem habentia altitudinem B C: positat normali ad B d canturilli quotcunque aequidistantes L ΑΚ ED,quq commiani altitudini occurrant in punctis perimetris vero planorum in punctis LL, A A, EE,DD. Si ΚΕ, Κ Drectae proportionales sint rectis Κ Α, Κ L,siue quod idem est) si rectangula L Κ E aequalia sint rectangulis Α Κ D: Dico eorpus genitum ex mutuo ductu planorum B L G, B E C, aequale esse eorpori facto ex ductu mutuo planorum B AC, BD C. Eodem prorsiis discursu demonstratur quo prima pars.
230쪽
In compinationim adducit corpora fria ex ductu recti ei in rectunneum, cum istis qua oriuntuin ex ductu partium circuli in se vel in
Circulum ABC, cuius diameter AC, contingant A, C redi
A F, C E aequales dimetro AC, iunganturque FC, AE., Dico ACF ductum in ΑCE aequale esse semicirculi, A B C du
cto in se. i ' . Γ vcantur quotcunque rectae GK, HI, parallelae ad AF . CE. Quoniam triangula FAC, GH C si ni similia, & ex hypothesi EA, AC aequales sunt,
etiam GH, H C aequales erunt. Eodem modo HI. HA probantur aequales. Ergo rectangula GHI aequantur rectangulis AH C, hoc est quadratis ΚΗ. cum igitur tria plana CFΑ,CKA, CAE communem habeant altitudinem A C, N: rectangu-Ia AHI quorum latera sunt in extremis planis CFA, CAE, aequenturquadratis plani medij CKA, constat ex s huius corpus ortum ex ducta plani CF Aia planum C AE aequari corpori quod fit ex ductu plani C Κ A in se. Sed Aee minis horeve o p mois pracedentu propositisse uniuersia demonstrisis deinceps applicari debeas. Vocemus autem breuItatis gratia corpus natum ex ductu plani CFΑ in planum CAE, corpus AF CE r corpus vero natum ex ductu plani CΚΑ. inset, appelletur corpus ΑΚ C. Ducantur GL , IM ; KN , parallelae ad AC. Rectan. gula LH ducta in rectansula H M inscribunt corpori ΑFCE parallelopipeda