장음표시 사용
231쪽
A Κ C quadrata Η Κ in se ducta inscribuue parallelopipeda quoru m bases sunt quadrata RH, aequalia tostendi supr*2 re ngulis basibus GHI , alfitudines vera KN aequales item altitu)lnibus GL. ergo omnia parallelopipeda inscripta corpori A F C E aequantur omitibus parallelopipedis inscriptis corpori Α Κ C, dc hoc semperc5tinget, u ram negas corpora A F C E, A KC aequalia esse, necesse est altetsi ille sit minus. mnatur prim6 co Uus Α K C esse minus corpore A F C E quantitate qua, quam unismus T Quoviam liquet e propositione a. huius , ductis sempee pluribus ac pluribus parallelis G ΚΗΙ, tot tectangula L H, H M iniet ibi posse planis CF A, C ΑΕ, ut parallelopipeda quae ex eorum mutuo ductu inscribuntur coria poli Α FCE deficiant ab ipso cor re AF CE quantitate minori quam fit data quantitas Z, qua ponebatur descere corpus AK Cacorpore AF CE, manifestum est parallelopipeda inscripta sorpori Α F C E sore tandem maiora corpore ΑΚ C. sed parallelopipeda inscripta corpori Α F C E aequantur, ut ostensim supra, totidem parallelopipedis inscriptis corpori A K C.ergo etiam parallelopipeda instripta eo pori ΑΚ C, maiora sunt ipsis corpore AI C pars toto. Non-igitur corpus ΑΚ minus est corpore AF CR Eodem modo demonstrabitur corpus A FCE non esse minus corpore AKC neutrum igitur altero minus est. ergo necesse est ut sint aequalia. Quod erat demonstrandum.
Huiusmodi propositionis applicationes lectori deinceps faciendas relinquam. ne ipsus ingenio videar diffidere.
SEmicirculum ABC cuius diameter A C eontingant in Α ερ B, lineae AD, BD,& BD quidem parallela ipsi Α C, conueniat cum AD in D. Iunganturq; puncta A, B. Dico Α D B triangulum ductum in se aequale esse plano B n ΑF ducto in planum ADBH C. Demonstratio.
'Ucantur quotcunque rectae EFGH. A paralIelae ad tangentem BD , qu*.
ut patet ex elementis, recta est ad AD.
Triangula AE G. Α D B sunt similia, e go quadrata A E sunt ad quadrata EG, vi quadrata AD ad quadrata DB. sed ruadrata A D, D B aequantur, ergo dc qua-
rata ΑΕ, - est rectangula FE H, aequantur quadratis EG. Cum igitur tria plana
232쪽
plana BDAR BAG, ADBHC, communem habeant altitudinem An, &re ctangula FE H quorum latera sistit in planis extremis, semper sint aequalia quadratis Esi plani med ij; per As.liuius plana extrema BD AF, ADBHC, in se mutuo ducta, aequamur plano medio, triangulo BD A ductoin se. Quod erat demonstram
Corollari in . Ex discursu demonstrationis patet etiam partiale planum EsF A ductum in pIa, num partiale EFICA aequari triangulo EGA ducto in se.
PROPOSITIO XLIX. Contingant se exterius in Α semicirculi duo A EB, AFC , erect b
ex A tangente AD, ducatur tangens FDHE minorem semicirculum in F. Dico planum H G ductum in planum Gl , aequari plano ΚG ducto in planum G L. Demonstratio.
Tunge AF, apteturque inter AB, GE, recta Ao, aequalis AR aequalesio. AEnu sunt anguli OAD, DAF: iunt autem anguli ad D recti & AD linea ecim. munis; triangulum igitur OAD aequale est triangulo DΑF: quare OAD trian-σulum ductum in se, aequale est triangulo DAF ducto in se, sed η ΟΑD triangum ducto in se aequale est H G ductum in GI, 3eb FAD ducto in se aequale est GK ductum in GL. igitur H G ductum in GI aequale in GK ducto in Glta Quod nil demonstrandum.
CIrculum ABC euius diameter A C contingat in B recta quaevis EB conueniens cum diametro AC in E, ED aequali EB duc tur recta B D. Dico E B D triangulum ductum in se aequale esse corpori orto ex du
233쪽
Ducantur quoscunque F ΚΙΗ parallelae ad AC, cum BE, DE ex hypothesi A sint aequales , Ob triangulorum limilitudinem, aequantur etiam B RFLadeoquo semper quadrata BP hoe est squoniam BF tangens est rectangula KF AEquadratis FI aequalia sunt.Igitur per s. huius planum KR KF ductum in sanum FH, FH aequatur triangulo EBD ducto in se.Quod erat demonstraudum.
SInt duo circuli concentrici A B C, D E F; minorem D E F contingant in E & D rectet duae parallelae A B, H C, iungantur, A H. Dico corpus ortum ex ductu plani Gl in I L pIanum aequari corpori quod exsurgit ex ductu EH rectanguli in se. Dinon Iratio.
I Vcantur quotcunque lineae G MI Nae, patet . rectangula singula GIL aequa Uri quadrato tangentis A Rhoe est quadratis singulis MN, MN, ergo b corpus f ctum ex ductu plani G I, VI in planum I L, IL , aequatur rectangulo EH in se du
cto.Quod erat demonstrandum. . -
PROPOSITIO LII. CIrculum ABC secet utcunque recta AC, actaque per A recta AL
quet circulum contingat in A, ducantur lineae A C parallelae B contingentes eundem circulum in B conuenientes j cum A Linia dein rectae ducantur Α B, B C. Dico planum E F ductum in quadrilaterum G H aequale esse F G ducto
234쪽
niam AL , BL lineae circulum contingunt, & illis E F GI aequidistant,constat ex elementis E R E G, EI lineas esse proportionales,& ABC triangulum i sceles. unde F G, HI lineae inter se aequales sunt, per Is. igitur libri de progressionibus etiam proportionales sunt EF , FG,
G H ι Quare E F ductum in G H. aequale est F G ducto in se.Quod suit demonstrandum.
Contingant se exterius in C duo circuli aequales ABC, CDE ductaque B D aequi distante diametris ACE quet circulos contingit in B & D, iungantur B C, CD, di diameter ducatur B F M. Dieo G H ductum in I K aequale esse corpori quod exsurgit ex HI ducto in se. . Demonstratio.
'Veantur quotcunque GH IKL parallela ad BD, ACE,&a contactu pona λ tur diameter ΒΜ. iungaturque MC , quoniam in BD, A C parallelas incidi on C, erit angulus C B D par angulo B C Rδc ob eandem causam angulus C D B parangulo MCF, sed anguli MCF, BCF faciunt rectum: ergo &anguli C BD, CDB
faciunt rectum. ergo angulus BCD rectus est i est autem & BC M tectus, ergo MC, CD sunt una recta linea. Deinde cum BD tangat aequales circulos, par erat B diametro B M. ergo ob triangulorum similitudinem etiam GL par est G M. militer cum PC, FB sint aequales, etiam GH, GB aequales erunt. ergo rectangula HGL rectangulis BGM hoe est quadratis G1 semper sunt aequalia. Itaque inm-Per G H, GI, G L sunt in continua ratione: ergo cum tectae K L aequentur lineis HI, ctiam GH, HI, IK e sunt continuae,adeoque rectangula nania GH, IK, quadra- eis. iurisoninibus III aequalia sunt. ergo i triangulum GH, GH ductum in planum IK aequatur plano HI, III ducto in se. Quod erat demonstrandum.
235쪽
Emicirmillim ABC cuius diameter AC eontingant in Α & C liisneae A D, CE, ductaque quavis ABE quae circulo occurrat in Bagatur per B linea CBD occurrens AD lineae in D. Di eo triangulum FG, ductum in triangulum FH corpus producere aequale illi quod exsurgit ex ABC semicirculo ducto in se. Demonstratio.
Hucatur enim quaevis KN , parallela 4 contingenti AD quae occurrat ABH, ε CD, Α C lineis in N, L, Κ: triangula igitur C R L, ΑΚN similia fiunt, ut patet ex clementis. unde KL ad KC, est ut ΑΚ. ad KN,&LΚΝ rectangulum aequale rectau-guIo ΑΚ C, id est quadrato ΚMι rectanguin a igitur H FG aequalia quoque sunt quadratis FIr quare FG ductum in F Η eorpus generat, aequale illi quod oritur ex ABC semicirculo ducto in se. Quod filii aemonstrandum.
ΡROPOSITIO LU. CIrculum ABC secet recta quaeuis ΑΒ non per centrum ducta, tis. que per Α & Borthogonis AE, BD quae ΑΒ rectae sint aequales,
Dico F G supersciem ductam in G H , corpus formate aequale illi quod oritur ex L G dueto in G Κ. on ratio.
Cuper A B ve diametro, semicireulus deseribatur BIA de ducantur quotcunque a 47. - LGIN parallel ad BC, Α E. erit igitur a FG ductum in GH, aequale BIA, .,... . semicirculo ducto in se. sed bBIA ducto in e aequale est LGductum in GK eum omnia rectangula LGK, ςqualia sint rectangulis BG A, hoc est quadratis GL igitur x FG ductum in GH aequale est corpori quod oritur ex L G ducto in GK. .
236쪽
B E conuenientes in E, de B Equidem aequidistans sit diametro A Ct dein iuneta A B ducatur quae uis G H Κ L parallela A C c ccurrens eirculo in H & L, rectae verὁ ΑΗ in Κ, 8c ex A per Ade L dueantur lineς Α Η, Α L occurrentes E B rectae in I&F. Dieo M N superficiem ductam in superficiem aequalem esse corapori orto ex ductu N O in M Q. non tio./ e '
DVeantur quoteunque rectae MNOP QR, ad A-κ g. ωniam ΑΕ, B E lines eirculum contingunt,etunt inter se aequales 1 uni se ob simili liisdem trianguine n de GK aequalis rectς AG, quia vero GH, G Κ, GLeontinua proportionales sunt, estque ut GH Mi GK, sic MN ad MP; de vi GK ad G M MPadM Raetiam M M P,M R mtinuet sunt proportionales sed , MΟ,MP.MQ proportionales sunt, & MP media communis utrique es t ugitur NM Rrectangulum aequale est remngulo OH inde ut ΜWad Μ Okllo M ad MR, ae diuidendo ut MN ad N O, sic M Q ad Q Rr ac proinde omnia rectangula sub MN, QR aequantur rectangulis omnibus sibNO, o Q. Quare MN ductum m QR a aequale est N O ducto in Μ Q, Quod erat demonstra in.
Figuram ΑΗ . parallelis F G, Hl, terminatant, secent lineae quχcian que CC, D D, E Q Q, B s. dein Α c ductum in C B exhibeat co
237쪽
pus habens basina Κ & altitudinem CD in DB aequale sit ma- .gnitudini habenti basim N & L M altitudinem, eorpus quoque ex ductu D E in E B quantitatem proferat habentem basim o dc altitudinem LM, tandem E Q in QB aequale sit cor poti habenti basim P dc eandem cum reliquis altitudinem i simili modo nil eorpus habens basim R At S Taltitudinem aequale illi quod oritur ex ductu B mn Q A, de quanti habens basim v de S T dtitudinem , producta se ex QE in E Α : sim ED in D A generet eo os habens basim X Ae S T altitudinem dc D h C Α, corpqxessol neteuius basis sit Y 8t altitudo reliquis aequari, 'ico comus habens bases ΚN Q P Ac altitudinem LM χquile esto. illi quod bues habet Y X V R, de altis inem S T. . .
Ostensum est in libro deIinearum potentiis, prop. 6r. eiusque Corollarioi rectan gula A C B,C D B,DE H, Era B aequalia ene rectangulis: B Q. A,QEA,ED IUD CA,igitur corpora orta ex ducta AC in C B , ex C D in D B , item ex D E in E B, & E Q in Q B, hoc est per hypothesim corpus Μ L Κ N O P , aequale est corpori TSRUXY, quod per hypothesim aequatur illis quantitatibus quae oriuntur Oxductu BQ in Q A, E in ΕΑ, item ex ED in D A, de ex DC in C Α .Quod suit demonstrandum.
238쪽
' tactu piris- cireuiarium inatas circi tares.
Esto eirculo ABC cuius diameter AC inscriniurii triangulum rectangulum ABC, dueanturque rectae D p G E normalis ad diam
. Diuo DF dvehunt in F E, eorput producere aequale illi quod exsurgit ex ABC semieluido ducto in se , minus Α Η C triangulo ducto in se. Demonstratio.
Quoniam D F E rectangula una eum qua dratis FG, aequalia sunt vadratis D ta. igitur DF didictum in FE vnaeum FGducto in se aequale est D G ducto in se i igitue si a D G ducto in se auferatur FG ductum ...
in se , fesiduum DF ductum in FE qu in i . . . -
est A B C semicirculo ducto in se, minus superfiete FG id est trianguo A BC ducto iusti Quod fuit demonstrandum. . . a c. t
HAbran cireuli duo sese interserantes ΑΒ C, OBE dumetias indirectum positas AC, DE,&bunctum intersectionis B, Et quo ad diametrum normalis demittatur B s, fiantque G HIL M parallelae D C
Uccurrentes circulis in G H L M.
239쪽
TNtesIi Murenim ad BP deseriti quadrans BKΚ , erierem Ar sumi in superficiem IM , quam GI superficies ducta in I L superficietis .ΙΚ ductae in se i igitur HI ductum in I M aequale est Gr ducto in II
DLinum GHductilm in HL aequale Est uti ducto in se, quia GHI tectango la aequalia sunt rectangulis ΒΗ D. idest quadratis ΜΗ. similiter GI in I L aequale est IK ducto in se; intur ut ΜΗ guctum in se ad I diictum in te, ue GH ductum in HL ad GI ductum in Ita QMd erat demonstrandum.
- ouales. ducantur deinde diametri
cta . normiti OL, fiat illi aequalis Q P normalis.
esse UX ducto in XZ. - . DemonDisitired by Corale
240쪽
rhucantur quotuis RST, VXZ parallelae ad
Quoniam HI, BN lineae contingentes sunt & aequales , quadrata quoque dimi
diorum H L, B E slim aequalia. sed RST rectangula aequalia sunt quadrato B E, & VXZ rectan. gula aequalia quadrato HL: igitur RST rectangula aequalia sunt rectangulis VXZ: unde eumoltitudo sit eadem nam P QAqualis est L O, R Sductum in ST aequale est V X ducto in XL. Quod fuit demonstranduna.
CIreulum ABC secet recta quaevis A o non pet centrum ducta, diuisasti; AD in partes quotuis aequales in GG, agantur per C rectae E H, D H parallelae contingenti A K; N L F, D C parallelae ad Α Β orth gon et ad A D lineam: dein ex Α demittatur A O normalis ad recta E HrDico planum A E D ductum in planum A B C D secundum parali las L H esse ad LG planum ductum in GH secundum parallelas L GH