장음표시 사용
241쪽
oritur ex ductu superficiei G H in L I. Demonseratio. Dueantur liuini GHLiΚ,parallelae ad G BYGFΚ.quoniam rari
GL I rectangula aequalia sunt tectangulis BL Rerunt HL Κ, GLIremn: lanuoque interΣquain ergo ut G Lad HL, sic LKad LI,&diuiden GH ad H L. vi K I ad I L. ergo G HIL rectangula aequalia suot rectangulis H L E
eorpus igstur ortum ex HL ducto in I Κ, aequale est a corpori orto ex GH ducto. in LI. Quod scit demonstrandum.
PROPOSITIO LXIV. SIat duo circuli excentrici A C, D E, ductaq; FF minoris circuli di
metro, agantur per illius extrema contingentes AC, quς producam
tur in B, ut A B C rectangulis aequalia sint rectangula D B E. Dico A D superficiem ductam in superficiem E B aequale c*rpus proserre illi, quod oritur ex Α B ducto in E C. Demqnstratio.
242쪽
Dico corpus ortum ex a D in EC aequari corpori quod oririir est ductu A D in B C.
QVoniam per hypothesim rectangula ABe aequaliasunt rectangulis DBE, eritve BD ad D A,sie BC ad sta etgo de BD ad AD, ve BC ad EC, aequalia igitur sunt tectangula BDCE, rectangulis D AB C. ergo BD ductum in E Caequale AD ducto in B C. Quod fuit demonstrandum.
Contingant sese interius in A circuli duo ABC, Α D Ei ductaque
A E communi diametrali, ponatur BF parallela A E, contingens ei reulum A B C in B , conueniensque in F eum A F contingente in A. Di eo F G ductum in F L corpus proferre aequale illi quod oritur ex F H ducto in F Κ. Demonseratio.
T Veantur sipsi Acὶ infinitae parallelae FGHIR L&lungantur puncta conta-Α At B: quoniam ARPB continentes aequantur, rectet quoque ARFIaequales sunt: unde quia tam GPL rectangula, quam H pK, aequantur quadratis AF,) aequalia etiam existunt quadratis FI; aequalia igitur sunt inter se rectangula GFL,H FK.quare cum AF altitudo sit eommunisὶ FG ductu in in F L haequale est FH ducto in F K. Quod fuit demonstrandum. v
243쪽
Ampilarem contin t comparationem corporum product um ex aniata plani circuliaris in circώlare , cum sis qua oriuntur ex ductu circul ni partium, in MipticM,Parabolicas, Hyperbolisas. PROPOSITIO LXVII. CIrculi ABC diametrum B D oblique secent in G parallelae E Fractis, que per G orthogonis ΚG,fiant E G lineis aequales rectae H G &ipsis GF aequales G l: patet ex illis quae in libro de ellipsi demonstraui, puncta H H, II esse ad ellipsim. Dico corpus ex ductu H G in GI aequale esse semicirculo B A D ducto in se. Demonstratio.
m T. Quoniam EG, GF lineae aequales sunt lineis HG, G1, rectangula UGI aequalia sunt rectangulis EGF id est quadratis RG t quare H G superfletes ducta 1 - in seperficiem GI . . aequale producit corpus illi quod Κ G planum, ductum in se. Quod fuit demonstrandum.
Ιlsdem positis rectae BL,DM quae in B & D tangunt,fiant aequales di
244쪽
IN PLANVM. stoico NG planum ductum in planum Go efferre eorpus aequale illi quod educit H G superficies ducta insuperficiem G l.
Est enim per praecedentem Π G ductiim in GI aequale semicirculo B A D ducto in se i sed semieir lo BAD in se ducto. aequalet est planum N G ductum in Go,, 1.L.M. igitur NG ductum in Go aequale est HG ducto in GI. Quod fuit demonstran
Dico corpus ortum ex ductu GO in MN aequale esse illi quod orib
Quia ex hypothesi BL ,DM aequales fiant BD, erunt 3e GN, GO aequales GD, G B, adeoque rectangula NGΟ aequalia rectangulis BGD. sed ex hypothesi rectangula quoque HGI aequantur rectangulis EGF, hoc est rectangulis BGD: ergo rectangula NGO aequantur rectangulis HGI. ergo vi NGadHG, sie I G ad OG. 3c diuidendo ut G H ad HN , lac GO d o i t unde GON Hiectangula, aequalia sime rectansulis HGo I: M GOb ductum m H N aequalet HG ducto in o I. Quod fuit demonstrandum.
SIt D AE parabolae axis AB aequalis lateri recto, positaque ad AB,per punctum Bordinatim linea DE, ducatur AD,& super ΑΒ circulus
Dico FL planum ductum in L H , aequari Gl semicirculo ducto in
rionantur quotcunque parallelae DB, ostensiimast propos2oI.lib.depata- bola; rectangula omnia FLII aequati quadratis 1 Gligitur per Α . huius paleer FL planum ductum in L H aequari GI lemicirculo in se ducto. Quod erat de monitrandum.
245쪽
Dico FG semiparabolam ductata in se, aequati semicirculo AIB in se ducto una cum triangulo A D B dueto in se. Demonstratio. ΡLanum FG in seductu aequalee, pi,ducto in LII 8 LGducto in se: sed
dumi in L Η aequale est Io ducto in seligitur F G ductum in se aequatur L Ga Gductis in sei unde cilm A A altitudo sit communis de basi, Arporis quod oritur ex P G plano in se ducto aequalis basibus corporuiti productorum ex C G,L G planis in se ductis, erit A D B parabolai4 seducta a qualis semidi reulti A B in se, de ADB triangulo in seducto. Quod erat demonstrandum.
lo Α Fr sint HIL tectangulis aequalia rectangula GIN erunt K Κ, ad parabolam. Dico corpus ortum ex ductu G H, plani in planum IK aequari eorpori ex HI plano ducto in K L.
Quoniam GIΚ re Naia ae qualia sunt rectangulis HIL, erit GI ad I H. ut L Iad I Κ, ω dividendo GH ad ΗΙ. vi I. cadΚIi inde GHRI rectangulis equalia sunt rectagula HIL unde tam AB altitudo sit eommunis, corpus ex ductu G H pla.. ni in planum I Κ, aequale estu' eo,potio ductu HI in RL. Quod erat demonstrandam.
246쪽
IN PLA N v M. PROPOSITIO L X X III. 7CIteulum A C secent parallelae BE inter se aequales, factaque parabola B D producat D B planum duetum in altitudinem B E, corpus aequale illi, quod oritur ex ductu AB in B F. Dieo B D superficiem ductam in superficiem EA aequale producere solidum illi quod emergit ex ductu ΒΑ in D F. Demonstratio.
Planum DB in B E ductum aequale est, BD ducto in ΒΑ &BD ducto in AE similiter AB ductum in B Faequale est AB ducto in BD:& AB ducto in DF, igitur eum DB ductum in BE aequale ponatur ΑΒ ducto in BR BD ductum in B A eum BD ductb in AE, aequatur B A ducto in BD, vn eum B Α ducto iaDFi ablato igitur Ommuni AB ducto in BD, remanebit BD ductum in EA aequale AB ducto in DF. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXIV. SInt AB, BC lineae inter se aequales, ponatur. Ap circulus de D D
parabolai sit autem corpus ex DB basi in altitudinem BE aequale corpori quod emergit ex CB plano in planum B F. Dico D B multiplicatum in F E exnibere quantitatem aeqiualem illi quae exsurgit explano CD ducto in B F.
247쪽
DLanum DB in B Eductu aequale est duobus corporibus, nimirum iIli quod oritur ex D B ducto in B F, At illi quod gignit D B ductum in F E. Similiter & C B ductum in BF aequale est DR ducito in B F,& CD ducto in BFι igitur DB in BF cum DB in FE aequatur DB in BF , cum CD in B F; igitur ablato communi DB ducto in B F, manet DB muItiplieatum in FE aequale CD ducto in B P. Quod filii demonstrandum. a
ducto in HD. id est AB ducto in H Di IC ducto in FH aequari AE ducto it
rectae E E. F F aequalia auferentes sementa Α E,C R descriptis, parabolis G G, H H i sit corpus ex A Educto in E B aequale corpori orto ex EG dueto in altitudinem EΚ de quod sit ex plano CF ducto in F Daequale sit producto ex FH in altitudinem FI: Dico Α Κ superficiem, ductam insuperficiem E G, una eum I C ducta in FH, aequalem exhibere magnitu inem illi, quς emergit ex Α E superficie ducta in G B & H D. D onseratio.
Ostendimus in praecedentibus AK ductum in E G aquati A E ducto in G B; fimiliter de IC in FH aequale esse C Funde patet ΑΚ ductum in EG , una cumi GB M H D. Quod fuit demonstrandam.
248쪽
PROPOSITIO LXXVI. POsiris ijsdem circulis & se
multiplicatum in EB aequale CE in ED. Dieo CA diictum in E Dso proferre aequale illi quod oritur ex ΑΕ ducto in D B. Demonstratio.
OVoniam corpus ex ductu AE in EB par illi ponitur quod oritur ex CE in ED, Vn cum ΑΕ in DB aequabitur C Α in ED , una cum ΑΕ in , . '. a AE tu ED. remanebit C A in ED ductum aequa- Ie AEducto in DP, quod fuit demonstrandum. vera quoque est propositio si DD
Parabola contingat rectam E E.
CIrculum CE, cuius diameter ΑΑ contingat linea D D aequidistans N aequalis diametro Α Α, ponatur autem & ΑΒ parabola transiens contactus. Dueantur infinitaeo CB Α Ε, nor les ad Dico planum D B ductum in Α Β planum masnitudinem exhibere aequalem illi quae emergit ex CB ducto in B E. 'i ἰ . Demonstratio. - AT Ineae D A, C A. BA sunt pro- portionales 1 litur AC quadra tum aequale est reliangulo DAB: id est D Η Α rectangulo una cum qua- Didiato ΑΒ. sed AC quadratum aequale est quadrato AB uni cum rectangulo CBE 3 igitur CBE rectangulum una cum quadrato ΑΒ
ctangulum una eum quadrato ΑΒ i , aequatur AB D rectangulo una cum K quadrato ΑΒ; dempto igitur com- muni quadrato ΑΒ , manet DBAB a rectangulo aequale rectangulum CBE: atque ita omnia rectangula CBE aequaliarunt rectangulis om- vnibus D B A unde cum altitudo A A sit communis, DB ductum in in B daequale est C B ducto in B E. Quod
fuit demonstrandum. Coron m. Ovodsi DD linea, aequidistans diametro A A, circulum non contingae, sed eun dem secet, aut remotior a circulo ponatur. ponantur autem tres proportionales D Α, C Α, Β Α, eadem manebit corporum aequatio, eritque ΑΒ asparabolam, uti lib.de parabola ostendimus.Quod verbo indicasse sufficiet.
249쪽
6o DUC Tvs PLANI PROPOSITIO LXXVIII. Elto A B rectangulum, intra quod eirculus pon tur D E eandem habens altitudinem, dein D B E rectangulis aequalia fiant rectan la. A B C:patet per ea quae in lib.de parabola ostendi,CCessie ad parab Mam. taeo C D planum ductum A in planum B E aequale corpus γ prosecte illi quod oritur ex d A etu B C in E A. . 'A Demonstratio.
I, HVeamur infinitet parallelae BC Ouoniam DBEH DEA. Quoniam DBE rectangula aequalia ponuntur rectan. gulis ABC, est ut BC ad BD, siead ΒΑ.&diuidendo ut BC ad CD, sc BE ad EA. tectangula igit de BCEAialia sunt rectangulis C DBE quare BC planum ductum in planum EA aequa. CD ducto in B E. Quod ruit demonstrandum.
It iterum A B rectangulo inscriptus circulus D E,ita ut A D. B E lineae, sint aequales & circulus eandem habeat cum rectangulo altitudinem ;nt autem proportionales AB, AE,EF,& FD rectis aequales Κ E. Dico planum AF ductum in se, aequale corpus proferre illi quotormi ex FD ducto in D K. Demonstratio.
250쪽
PROPOSITIO LXXX. 1 Isidem positis;fiant AF rectis aequales FL,&ipsis A L aequales BI. Diuo D L superficiem ductam in se aequari F D ductae in L I.
Quoniam FD, FA, FE praecedenti propositione ostensae sunt proportionales. Si FA lineis aequales ponuntur FL erunt& FD, FL, FE proportionales: Acquia L D lineis aequales sunt IE; nam rectis A L aequales sunt BI, ω rectis AD aequales BE recte quoque a FD, DL,LI incontinua sunt analogia i quate DL ductum in se,b aequale est F D ducto in L I. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXXI. Esto circulo ABC inscriptum rectangulum Eo positis F D E G pD
rallelis lateri B C fiant continuae proportionales D E, E G, GI. erit AIBς parabola. Dico corpus ortum ex ductu IE in se, aequari corpori quod formatur ex ductu
ΙG plani in planum I F. Demonstratis.
'C Uoniam ED ponitur rectangulum rectae H C sunt aequales, adeoque 3e aequalia sunt segmenta EG, DF. vade de FD lineae aequales lineis EG: igitur is etiam proportiona Ies sunt I G, I E, I F, quare Ae IE ductum in se aequale est I G ducto in I F: Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXXII. SEmicirculum ABC cuius diameter AC eontingant in A &B lineae Α E, B E conuenientes in E, & B E quidem aequi distet A C: erectaque D centro ad contactum B recta DB , describatur per ABC parabola cuius axis B D, quam in A contingat recta A F iungantur, AB. Dico lΚ duchium in I L, ad H G ductum in G M eam habere rationem quam FB quadratum ad quadratum E B. D d d d d 3 Demo