장음표시 사용
251쪽
, .s- Voniam EB, E A contingentes aequales sunt, rectae quoque, A G, GN aequa cessunt; rectangula igitur HGM aequalia quadratis GN & ΚIL, rectangula aequalia quadratis IN, sed quadrata IN sunt ad quadrata GN ut quadratum F Baa quadratum EB; ergo di rectangula KIL sunt ad rectangula HGM, ut quadra- tum FB ad quadratum E B: igitur IK ductum in I L ad ΗGductum in GM. eam habet rationem quam FB quadratum ad quadratum EB, ut colligitur ex discursu propositionis 1 .huius. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXXIll. 'SVper A B G semicirculi diametro A B, quadratum statuatur D rip sitisque ad A B orthogonis D C H, fiant A C lineis aequales D C ri
di ipsis BC aequales ponantur DCF : diameter autem quadrati sit BLς 3 -- occurreN DH lineis in G. constat, ΑΕΗ, BFH ine parabolas. 'r' ' Dico planum D C ductum in D F, aequari solido orto ex ductis D Gin DE. onstratis. UT AC ad AB, id est ut DR ad DH,
MCD ad BC, id est CD ad DF:& permutando ut D E ad D C. sic D H ad DF, sed est ut DII ad DF, sic iiDF ad D Gi igitur D E ad D C, ut D F ad D G.
unde rectangulum super DC DF aequale est rectangulosis per D GD E: similiter reliqua omnia rectan Ia DC DF, aeqtiantur reliquis omnibus rectangulis D G,DE. 'ε -- ergo eum altitudo AB sit communis, erit DC ductum in. DF aequale DG ducto in DE. Quod fuit damonstrandum.
. PROPOSITIO LXXX l V. HAbeant BCM E parabolae subalterne positet communem axem AL
aequalem lateri recto: ductisque ordinatim Α G, F L, describatur 14- per A Lut diametro circulus MN qui per I 26. parab. totus intra parabo-Ias cadet, iunganturque puncta AF, LG. Dico corpus ortum ex ductu ΒΚ in CD aequari corpori orto ex ductu MCin NE .
252쪽
DLanum BC ductum in CD per praecedentem aequale est ΜC ducto in CE: sed BC ductum in CD aequale est BK ducto in CD , una cum KC duceo in C D: ω MC ductum in C E aequatur MC dueto in CN & ΜC ducto in NE. Igitur ΒΚ in CD cum KC in CD, aeouatur MC in C cum M C in NE. est autem praeterea ΚC ductum in CD ostensum aequale M C ducto in CN, ablatis igitur aequalibus, nimirum KC ducto in CD. de M C ducto in CN, renianebit BK ductum in CD aequale M C duetotaVE. Quod Rit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXX U. Isdem positis demittatur eae G linea GH F parallela&aequalis i Λ L. Di eo M C duetum in E H aequari B C ducto in D E.
Dico magnitudinem productam ex BM ducto in E C, aequari magnitudini ortet ex B C ducto in D E. . Demonstratio. i
Uanum BC due m in planum CE, aequale est B M ducto in CE re M C, ducto in C Et sed MC cluetum in C E quatur BC 4 ducto in CDς igitur BC ductum in C E aequale est Blis ducto in CE, una cum B C dueto in C D. Rursum BC ductum in C E aequatur BC ducto in CD & BC ducto in DE; ergo B M in C E cum BC in CD , aequatur BC in CD cum B C in PE, ablato
253쪽
DVCτUS PLANI PRO FOSITIO LXXXVII. Oculum AB C, orthogonaliter in H secent semidiametri duae B in
Hi descriptoque super AH ut diametro, circulo A EH, ponantur Fotuis diametri D O, Occurrentes perimetro circuli Α E H in E E., ...1, pςrquq rectae ponan ur EGN L, dein HE rectis aequale, fiant -- E, G Κr 'constat ΚΚ esse ad parabolam: perficiantur denique rectan u-la BFIA, HAM. Dico planum D E ductum in E L, aequari plano IK ducto in K M. Demonstratis.
Quoniam ΗΕ lineis aequales sunt RGΚ &ΗD semidiametri aequantiu ΗΒ uue GI; reliquae IK aequales sunt H, ED. quia vero M IM lineis aequites . Ac siue D reaingula IKMaequalia sunt tectangulis D Eo, id est D Eta quare DE planum s ductum in E L aequatur IK ducto in ΚΜ.
PROPOsITI P. LXXXVIII. Circulum AG C, cuius
diameter AC, contingant in A & C lineae CE, AM aequales ipsi AC, d scriptis, per A E C. C M Αἱ rabolis quς verti oes h
eant in Α Ee C. Patet ex parabol. has cadere totas extra cireulu A GC. Dui catur A E occurrens circulo
Λ G C in B, te centro B interuallo B A describatur circulus A H F, liquet hune transire per E & C. Dico IL planum ductum in L Κ aequale corpus producere illi quod oritur ex F G ducto in G H.
254쪽
Dueantur infinitae I FL, G ΚΗ parallelae ad AM CE rectangulis AG C aequan-.tur rectangula super . ΑC de L G r sed CG lineis aequantur , lineae 1.1,ae ipsis AC sunt aequales rectae L Κ: igitur & I L K rectangula aequalia sunt sectangulis AC, LG, hoc est rectangulis AG C. sunt alitem& AG C rectangulis aequa-t 'lia re stangula FGH nam rectangulis F GH aequantur rectangula AGO, autem quia GO, GC aequantur, rectangulis AG C aequali aliint: igitur I LK rectangulis aequantur rectangula FGH. quare IL ductum in L Κ aequale est FG ducto in G H. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXXIX. HAbeant ABC, ADC similes de aequales sectiones conicς commu
nem ordinatim positam A C,ad communem axem B sic ut G F, p, tallelae B D, ab A C biseeenturitum super AC, describatur areus quicunque circularis i H, vel alia quaevis ponatur sectio conica. Dieo FH ductum in se, una cum H G ducto in se,duplum esse corporis, quod oritur ex Hi ducto in se una cum I G ducto insta
QVomam ABC, AD Cumiles re aequales sectiones ponuntur , & recta BD, a. ἡ ν)m si deoque dc illi parallelae bisecantur ab AC: quadrata igitur F H, H G . simul sumpta duplicia sunt quadratorum HI, I G, quare e corpus otium ex ductuse, una cum H Gin se, duplicia sunt eorporis ex III ducto in se , simul cumducto in se: Quod fuit demonstrandum. Duiligod by Coos
255쪽
Dv C TvS PLANI PROPOSITIO X C. SInt A B C, D E F circulis inscripta quaecunque rectangula AC, D Fl
oportet exhibere rationem quam obtinet GH segmentum ductum in segmcntum HL ad L Κ segmentum ductum in segmentum LM. Iminio m demonstratio. Ductis N Rudiametris quae AB, DE lineas bifariam Mad rectos diuidane
in OSc S ; fiant GHI rectangulis aequalia rectangula OPHZ de KLMrectangulis aequalia rectangula super OP M LT: constat AZB,DTE esse a parabolas habentes vertices in X & Y. dico autem GH ductum in HI ad KL ductum in LM eandem obtinere rationem quam habet AX B parabola ad parabolam DYE. Quoniam GHI tectangula aequalia sunt rectangulis super HZde P Ο: GH ductum in VI aequale est HZ ducto in OP altitudinem. eodem modo cum KLM tectangula aequalia sint rectangulis super L Τ O P, KL ductum in L M aequatur L T ducto in altitudinem o P, GH igitur ductum in HI, ad KL ductum in LMeam obtinet rationem quam HZ ductum in altitudinem ΟΡ, ad LX ductum in eandem altitudinem OP, id est quam hasis ad basim, nimirum ΑX B parabola ad parabolam D YE. igitur,&c. Quod erat faciendum.
PROPOSITIO XCI. CIrculum ABC secet recta.quaedam
AB non per centrum ducta ; actaque per B orthogona B C, ducatur E F parallela B C, circulum contingens in F conueniens'; cum ΑΒ linea in E. dein perpuncta B de F ducatur hyperbola BIF , cuius diameter ΑΒ E ad quam EF sit ordinatim applicata.
Dico GI ductum in se aequari H Gducto in G Κ.
256쪽
Ducantur quotemque GHIx parallelae ad EF, BC, quς omne erunt ordina AE tim positae ad diametrum AB E, utpote aequidistantes ordinatim positae ERol ensium est autem lib. nostro de Hyperbola , G H, GI, G Κ esse continuas r igitur , Ex -- . planum G Iductum in se aequatur G H ducto in GK. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XCII. Circulum ABC cuius diameter CE
contingat in A. linea AD eonueniens cum diametro in D ductaq; EF parallela contingenti, per puncta Α & E describatur hyperbola cuius diameter sit C ED , & ordinatim posita ad diametrum A D. Dico corpus ortum ex H G duisto in se aequari quantitati ortet ex Hi ducto in H K. DemonstraIio.
HVcantur enim infinitς HI GK, parallelae ad 3 AD, EF, defendimus lib. de Hyperbola lineas omnes HI, H G, H Κ in continua esse analogia,unde patet. HGductum in se aequati H Idu- .cto in H Κ. Quod fuit demonstranduri.
PRO Pos ITIO X CII I. Circulum E B D contingant duae tectae A B, C D sibi truituo aequidi
stantes, quas orthogonaliter in Α εe C, secet linea AC, per puncta deinde B, D describatur hyperbola cuius axis aequid istet tangentibus AB, CD. Dico F H ductum in se aequari F E ducto in F G. Demonstratio.
Ducantur quotvis FE HG parallelet ad A B. libro nostro de Hyperbolae osten-ε α-- sum est omnes lineas FE, FH, FG esse in continua analogia. igitur ex propos Mo. mp. in sili4e. huius,patet veritas propositionis.Quae fuit demonstranda. Leeee A PRO
258쪽
CIreulum ABF secet reista quaedam AB non per centrum ducta; actisque per A & B orthogonis C A E, o B F ; fiat super A B rectangulum AC DB r de HGL rectangulis aequalia ponantur rectangulai G Κ: facile colligitur ex illis quet in libro do parabola demonstraui, puncta Κ Κ esse ad parabolam. Dieo G H ductum in KL aequari HI ducto in G M
rectangulis aequalia sunt rectan-M------
ter secetin F M H linea ΑΑ;fiantque B AC rectangulis aequalia re,ctangula DA sint autem D D, E E sectiones oppo 3 p quarum cen irrum sit in recta Λ A. 'Dico D A planum ductum in planum BE aequari AB ducto in Ez Demonstratio.QVoniam BAC rectangulis ae- τ α qualia ponuntur rectangula V DAE. AE ductum inse, b aequale - δε
remanebit DA ductum in BE ae- - quale AB ducto in E C. Quod fuit ademonstrandum.
259쪽
C H, circulo vero inscripta sit ellipsis habens centrum commune B& H C axem maiorem: rectis deinde B A aequales quotcunque ponantur orthogonae CAD. patet exa a. de hyperb. puncta DDD esse ad hyperbolam. Dico O A ductum in Α E aequale esse G D ducto in D I. Demonstratio.
Mottae DC oeeurrant circulo in P, & lateri quadrati in G. Quoniam ineat C I aequantur diimetris AE, Ze ΒΑ tineis aequales ponuntur CAD, erunt ΑΕ teliquis aequales 1 Destist vero M F A, Iineis aequHes lineae G D. ergo ID G rectangula aequalia sunt rectangulis E AF id est rectangulis o A E. quare OA ductum in AE aequale est GD iuueto in DL Quod erat demonstrandum.
260쪽
Confert interse corpora nata ex ductuplaniparat uiisparanseuἀ. PROPOSITIO XCIX. ΡAmbolam ABC secet diameter quaecunque B C, actaq; per C o
thogona C Ε, ducatur reeta A B parabolam contingens in Α,aequi- distans autem ipsi CE , conueniens 4; cum CB in B : dein per Α&Cparabola describatur H H, verticem habens in C, α ΑΒ ordinatim positam ad diametrum C B. Dico F G ductum in F I aequari F H ducto in se. Demonseratio.
oveantur infinitae FG Η Ι Κ,parallelat ad C E, ostensum est libro nostro de Papa la, rectas FG, FH, FI incontinua esse analogia: vade perque. huius patet in vG planum ductumia FI aequari FH plano ducto in se. QMdsuit demonstran
Carastarium. ετ tne patet si ex E quoque erigatur diameter.occurrem ΑΒ productae in L,quod - - FG superficies ducta insuperficiem GK aequale producat corpus illi quod oritur ex FΗ plano in se ducto, nam cum IK lineae aequales sint rectis FG, ω FG. FH,FI sine continuae, erunt de FG, FH. GK in continua analogia et undo per ε .huius pater propositum.