장음표시 사용
261쪽
SIt ABC rectanguli diameter AC, aescripta
que per Α & C parabola cuius sit axis A B,de ira scribatur & altera pςr AC cuius axis sit C D. Dico E G superficiem ductam in superficiem H Faequari plano Ga ducto in se. . Demonstratio. Γ Vcantur quotcunque EGII F parallelet ad DC,
ΑΒ. Quoniam EF, EI, EG sunt eontinuae, Sc IH Crectae aequaIes rectis 1 G, erunt h& EG , Gl, ΗF ita continua analogia: unde patet ς EG planum ductum in planum H F, aequari GI plano ducto in se. Quod fuit demonstrandum.
SEcent ABC parabolam duae quaevis parallelae AD, BC, demissaque ex B diametro B Κ, fiant inter AK, KD media: E L, dein per B ML parabola desieribatur H Η, cuius diameter B E & E L ordinatim posita. Dico planum FG ductum in planum G I aequari GH plano in seducto.
'T Vcantur enim ad BC parallelae quotula FGHI,eolligitur ex libro de parabo Ula propoctys.F G, G H, G I lineas in continua esse analogia: unde. planum FG ductum in planum G I aequatur H G plano in se ducto.Quod fuit demonstrandum.
' o se ut B F G H eandem habeant altitudinem quam D E, A C: tum ex B & D diametri demittantur B I, B Κ.
Dico I N planum ductum in planum N O aequati M P ducto in P
262쪽
aveantur rectae quotuis LNRO. ΜPSQ, paralleIae ad BF. ponatur inter UGMΗ media IT, item inter ΑΚ, Κ C media ΚV, ω per puncta B, Τ, D, Uparabolae describantur quarum diametri BI, DK, ω ordinatim positae IT, Κ Raerunt illae aequales&similes. quare perpraecedent. GN ductum in N O, aequale est NR ducto in se,&ΜΡ ducto in PQ quale PS in seducto: sed N R ductum in in se aequale est P S ducto in se sunt enim v NR, PS eaedem parabolae de aeque aliq0 t, a nisitur LN planum ductum in planum No, aequatur Μ P ducto in P in Quod 'cit demonstrandum.
PROPOSITIO CIII. Iisdem positis sumatur ex B Ι pars quaevis I cui aequalis ponatur PM& per N. P rectae agantur X Z, Y'parallelet ipsis G H. A C. 'Dieo rursum L N ductum in N Ο aequari M P ducto in P a Demonstratio.
DVctis more solito parallelis infinitis LNR Ο,&Μ ps Q: lineae L N,ςNR,N Ο e 1. siant in continua analogia. Ergo LN ductum in No aequatur NR ducto insereodem modo quoniam Μ P, PS, P unt contin E proportionales, MP ductum in P equatur PS ducto in se: sed NR, PS in seducta aequantur sunt enim N R. Ρ Seaedem parabolae Maeque altae:)ergo LN ductum in No aequatur M P ducto ita PQ, Quod erat demonstrandum.
263쪽
alternῆ positae, ponantur autem & aliae Quaevis duae parabolet aequalesae similes EFG, E GH ad eundem axem subalterne positae. Dico corpus ortum ex ductu parabolae ABC in parabolam AC D, ad corpus ortum ex ductu parabolae EFG in E GH parabolam, rationem habere compositam ex ratione quadrati BC ad quadratum F G, & ex Α C altitudine ad altitudinem E G. Demonstratio.
Diuisis Α C., EG quadrila, actisque per diuisionum puncta parallelis Κ L. ΜN . demittantur eae N Se M ad RL, orthogo M K Q. M S: item dueantne L R, N Tiisdem orthogonter breuitatis autem causa corpora ex ducta mutuo parabolarum orta vocent ut corpora A, B. Quadratum ΚΘ est ad quadratii BC, ut a Ο Α ad C Α , hoc est ex const. vi PE ad GE, hoe est ut quadratum M P ad quadratum FG. ergo&ΚO ad BC. vi M P ad FG, ἐκ permutando Κ O ad M p , ve B C ad F G. Eodem modo ostendam, O L hoc est O R este ad Ρ μhoc est Ρ T vi A D , ad H E. hoc est ex hyp. ut B C ad F G. Cum igitur ratio rectanguli ΚΟ Rad rectangulum MPT
nibus Κ O ad MP. OR ad Prierit hete duplicata rationis B C ad F G: hoe est eadem quae quadrati B C ad quadratum FGr iam autem solidum quod fit ex ductu tectanguli ΚΟ in rectangulu o Radislidum quod fit ex rectangulo M P ducto in reerangulum PT rationem habet compositam ex ratione basis ad basim hoc est rectanguli Κ OR ad rectangulum MPT,&ratione altitudinum OO, Ρ P. Cum igitur re stangula ΚOR,M PT sine ad se inuicem ut quadratum B C ad quadratum FG; M altitudines OO,PP, veA C, E G , quemadmodum colligitur ex hypothesi, hahebit solidum quod fit ex K oin OR, ad solidum ex ΜΡ in ΡΤ rationem compositam ex rationibus quadrati BC ad quadratum FG, dc AC ad EG. similiter ostendam singula reliqua solida facta ex rectanguIis reliquis KO, in reliqoa OR eandem in te rationem Compositam ad singula alia solida facta ex rectangulis reliquis M P, in rectangula reliqua PT. ergo singula solida inscripta corpori Α stitit pibportionalia singulis solidis in-bi .Piπα scriptis corpori E. ergo ut unum ad umim,sic b omnia ad omnia: sed stri ira ostendi v-nius ad unum rationem esse compositam ex racionibus quadrati BC aA quadratum FG, 8c AC ad EG. ergo omnia solida inscripta eorpori A sunt ad omnia iusserimae 43.-solida corpori E in dicta ratione composita: cum igitur . solida utrique corpori rotinscribi possint, ut deficiant a corporibus ipsis quantitate data minori, concluditur eodem
264쪽
eodem fore discursu qua usi sumus in praecedentibus, corpora A, & E in cadem esse ratione composita ex rationibus quadrati BC ad quadratum FG, re altitudinum AC, Ea Sod fuit demonstrandum.
dinatim posita CB , contingat in A linea A F, ducaturq; recta A C. Dico F D superficiem ductam in superfiaciem E G corpus producere aequale illi quod orituro ductu FE in ED. Demonstratio.
Dueantur quotvis FDEG parallelae ad AB, ut CA ad EA, sic GE ad EF: sed ut CE MEA, sie EDeth ad DF; igitur ut EG ad EF, se ED ad DF. unde rectangulum sub EGFD aequale est rectangulo sub ED, EF: ergo F D planum ductum in planum EG aequale V FE plano ducto in planum E D.Quod fuit demonstrandum.
ΡArabolam ABC cuius axis B D & ordinatim posita A C, contingat in B linea EF, occurrens CL A E diametris in E dcri ducantur li
Dico magnitudinem productam ex IL plano duinq in planum L N aequari quantitati ortet ex ductu N M in M H. Demonstratio.
demonstrandum. Dicit hy Cooste
265쪽
at . De Stensae sunt proportionales ΟΙ, I G, GH. igitur cum o G, differentiae aestu Letoa H Prectae quoque OΙ, GO id est VOL, I P id est OK proportionales μ., Q sunt: s ed etiam cum ΜΚ sit aequalis ipsi Ita rectW OΙ,ςI L, LM conrantiae sunt. -- quare o I planum ductum in LM i aequale IL ducto luse. Quini fuit dentonstra in
PROPOSITIO CUI Ii Iisdem positis; i i i 'Dico Go planum ductum in se aequari plano OI ducto in I P.
et,. -M. T Ineae I IG, GH sint in proportione continua Se OG differentis aequalis se HΡ. Ergo etiam OI, OG, I P sunt in proportione continua. Ergo OI in ΙΡ ductum aequatur Go ducto in se.
PROPOSITIO C I X. SInt ABC, B C D parabolae aequales & similes ad eundem axem B C
subalteriac positae, actisq; per B & C tangentibus, perficiatur rectan-gillum EF ducanturque rectae A B, C D. Dico HI planum ductum in planum L M ad G H , ductum in M Meandem obtinere rationem quam HK ductum in ΚM habet ad GK ductum in se.
266쪽
Ectangulum HI LM ad GH MN rectatigulum rationem habet compositam ex III ad GH, id est. HKad GK quia GK, ΗΚ, IKl, proportionaim sunti ω ex ratione L M ad M N, id est M K ad N K lob N K,M K, L Κ proportionales sed ratio quoque rectanguli HKM ad GKN, composita est ex ratione HKad GK, in a. α M K ad NK; iguur ut HI LM rectanguIum est ad GH MN rectangulum,ue HKM ad GKN rectanguluni: igitur vi ex 4. huius colligitur , HI ductum in L Mad GH ductum in MN, est ut HK ductum in K M ad GK ductum in ΚN.Quod erat demonstrandum.
Super recta B B describantur tres parabolae AB , CB, D B, qua
rum diametri per verticem sint continuae proportionales, & B B ordinatim ad eam sit posita.
Dico C B planum duchum in se aequari A B plano duisto in planu B D. B
T Vcantur quotvis C AB D parallelet ad
diametros primo datas. Cum enim dias primmetri per verticem ponantur proportionales, etiam diametri AB: BC, BD erunt continuae et quare C B parabola ducta in se aequalis ΑΒ parab laeductae in parabolam BD. Id fuit demonstrandum.
PROPOSITIO CXI. ΡArabolam ABC cuius axis B D, & ordinatim posita A G contingat in B recta EF occurrens diametris AE, CF in L& F: dein per A MBI item B & C parabolae describantur quarum axes sunt A E,CF Dico G Hsuperficiem ductam in lupet ficiem IK aequari HI plano ducto in se. Fffff , memonDiuitiros by Corale
267쪽
Ducamur ad AC parallelae infinit GHILKM docuimus libro de parabola
- G Η, G I, G M rectas in continua esse analogia: quare cim HI, K M linea: b s D. sint iter se aequales, erunt, GH , HI, IK continuae. Unde per I .huius Pasce veritas propos
Dico corpora orta ex G H plano ducto in IL, iterii ex HI in seipsim, tandem ex G H & M N ductis in I Κ, in continua esse analo a proportionis duplae. Demonstratio.
'Roducamur GM parallelae in N. Quoniam GH, HI, IK rectae in praeceden-λ ti ostensae sunt continuώ,erunt HI quadrata aequalia rectangulis GHI K i sunt autem MN aequalis ipsis GH, igitur rectangula stiper GH MN tanquam unis de 1Κ, dupla sunt rectangulorum super GH IK, id est dupla quadratorum H It rursum cum IL Iines dimicliae sint ipsarum IK, erunt GHIL rectangula dimidia rectangulorum GHI K. hoc est quadratorum HI F: unde rectangula GH, I L quadra. ra HI &rectangulum super I Κ & GH MN tanquam una in continua sunt anaialogia proportionis subduplae. Quare ex discursu s. huius facile colligitur veritas propositionis.
PROPOSi TIO CXIII. Iisdem positis:
Dico corpus ortum ex ductu G M in I K aequari corpori orto exH Κ ducto in se. Demonstratio.
eicet a. O Stensum est in libro de parabolae rectas GH, GI, G M inccintinua esse analor tam gia cum autem MK sint aequales ipsis HI, rectae etiam GH,HI,I K sunt acontinuae. unde&φΙΚ,IMid est KH, G M in continua erunt analogia. ergo per η .e liuius GM ductum iii IK aequale HK ducto in se. Quod fuit demonstrandum. Demon
268쪽
Bisecetur AC in L , positaque per L, linea E BL MN parallela contingenti AD, ponantur ipsi E N infinitae aequidistantes F G H I Κ.rectangulum P HI ad E L Mest ut ΑΗ C ad AL C, rectangulum: sed ut AHC ad AL C, sic GHK rectangulum est ad rectangulum B LN igitur ut FHI ad EL M, sic GHK ad BL M permutando F HΙ est ad GHK vi ELM ad BL N. sed cum aequales de s- miles sint parabolae Se AC in L bissecta sit, rectangulum ELM aequatur BLNxectangulo,ut colligitur ex illis quae in parabola demonstraui: igitur & F HI aequale est rectangulo GH Κ: quare ut FH ad ΗΚ, sic GH ad ΗI, εἴ permutando ac diuidendo ut FG ad GH, sic IK ad III, unde FGHI rectangula aequalia sint rectangulis GHI ergoper 46.huius pater veritas propositionis.
269쪽
Corpora huc que ex vario anorum inplana ductu nat reducit ad corpora determinatam habentia altitud emo' basim. PROPOSITIO CXV. INtersecent sese in D, semicirculi duo inaequales EDF, A DB, commutanem habentes diametralem E A C F B, sic, ut demissa ex D, ad A B nota malis DC incidat in centrum circuli ED F. Ponatur deinde DG aequi- distans EB. Dico corpus ortum ex ductu HI in I L aequari corpori habenti basim IK & altitudinem D G. Demonstratio.
se distans DC quoniam H L hi secta est in K x non bisectaan I, quadrato HKα- quale est rectangulum HIL una cum quadrato IK. sed IKM rectangulum quo- a Crisium que H K quadrato aequale est rectangulum igitur ΙΚM, id est ii IKN vna cum rectanstulo IK,NM, id est tectangulum IKN cum quadrato IK aequale est rectangulo HIL una cum quadrato IK: quate dempto communi quadrato IK manet HIL rectangulum aequale rectangu Io IKN : smiliter omnia rectangula HILe ι. -- . ostenduntur aequari rectangulis omnibus I KN. planum ς igitur H I ductuin in I L. corpus producit quale illi quod oritur ex IK dux in KN, siue in altitudinem D G. Quod suit demoni trandum.
Emicirculum ABC secet quaevis B E aequi distans diametro AC: de ex B ponatur B F normalis ad A C.
270쪽
I N p L A N V M tDico P Iductum in se corpus proferre aequale illi quod basim habet HI & altitudinem B E, una cum H P ducto in se. , DemonstraIio.
DEmittatur ex E linea EMG aequidi stans BF. Ducanturque lineae infinit H P MI, parallelic ad AC et rectangulum HI PM aequale est quadrato PM & rectangulis ΜPH, PMI hoc est H PM rectangulo bis lumpto. addito igitur communi quadrato H P, rectangulum H IPM cum quadrato H P aequale est quadratis I P, PM una cum rectangulo HPΜ bis simplo, sed & quadratum H M id est Pi aequale est quadratis H P , ΡΜ una cum rectangulo HPΜ bis sumpto quadrata, igime HM hoc est PI aequantur rectangulis HIPM, una cum quadratis H P. qirare H Μ sivo P I b ductum in se, cor-H. pus profert aequale illi quod oritur ex ductu HI Lo PM una cum corpore orto exHΡ ducto in se. . .' Grannum. DRopositio haec omni sectioni conuenit: illud tamen obseruandum, ut in ellipsi AC A linea sit axis : in parabola vero dic liyperbola, sit AC una ex illis quae ad axcm Ordinatim ponuntur. vi uni tarmitas in omnibus seruetur.
SEmicirculum ABC cuius diameter AC, contingant in A &B lineae duae AD, BD conuenientes in D, & BD quidem aequidis et AC
diametro: iunganturq; contactus A&B. Dico corpus ortum ex ductu EG in se una eum EF ducto in se, aequo
Jeeste corpori habenti bassim EF & altitudinem A C. Demon alio.
DErficiatur rectangulum D AC.Ducanturque lineae quotula EFGHI parallelae ad A C,D BI. quoniam D Α,
DB contingentes ex eodem educuntur puncto, aequales inter se erui: quaia
re a de A E lineis aequales sint E G, MAE quadratis aequalia quadrata EG. rectangula igitur FE H quia aequantur quadratis AE, etiam aequalia sunt quadratis E G. additis igitur communibus quadratis Eri retiangula FE Huna cum quadratis EF aequalia sunt quadratis EF, E Gi sed F ΕΗ rectangulis una eum quadratis EF , id est una cum rectangulis EF HI aequalia sent rectangula FEI: rectangula igitur FE I aequalia fiunt quadratis FE, EG quare φ EG ductum in se una cum FE ducto in se aequalia sunt eorpori habenti basim EF M altitudinem EI id est A C. Quod erat demonstrandum.