P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

271쪽

SEcet Α Β recta non per centrum ducta, circulum FI actisque per A MB normalibus DB, C A, ponantur CD, H H aequi distantes ABi sievi corpus habens basim E G dc altitudinem G H, aequale sit corpori orto ex F G ducto in GI. Dico FG duchum in HI aequari EF ducto in G H. Demonstratio.

planum E G ductum in CH aequale est EF ducto in GH una cum FG ducto

in GH: item FG ductum in GΙ aequatur FG ducto in GH de FG ducto in HI r est autem per hypothesim EG ductum in GH aequale FG ducto in GI.aeia quantur ergo EF in GH, cum FG in GH, ipsi FG in GH, cum FG in HI. ablato igitur communi corpore orto ex ductu FG in GH, planum EF ductum in GH aequatur FG ducto in HI. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO CXIX.

CIrculum E BD, secent vel contingant: aequales duae Se parallele E st, FD, quibus aequaliter in A dc C productis, ponatur AC normalis ad A B, CD de super A C arcus describatur circularis H H aequalis arcui EΚF i diuisis deinde bifariam A E, CF recta II, parabola desicribatur L L: sit autem corpus ex IL in altitudinem I G aequale corpori quod fit ex duehu IK in I M. Dico corpus ex ductis IK in LM aequari corpori quod fit ex GH in I L.

272쪽

plano diacto in I L aequantur corpora orta ex ductu GH ia I L . dc ex HI in XL; 8c IK plano ducto in IM , duo aequantur corpcira, nimirum ex ductu IK in IL, & IX in LM i igitur eorpora duo ex GH in IL, & ex HI in IL, aequalia sunt duobus corporibus ortis ex ductu IK in IL, 3c ex IK in L M. sed corpori ex HI ducto in I L aequale est corpus ex K I in I L ccum III, IK lineaetex hypothesi deducitur,aequales sintὶ reliqua igitur duo corpora nimirum ex ductu GH iii IL de ex ductu IK in LM aequalia sunt.

PROPOSITIO CXL X. Positis ijsdem areu bus circularibus CC, A A, & parallelis lineis D D, si B, AEB, CF D: sit corpus ex AB in B H aequile corpori ex ducta G B in altitudinem BD, sit autem G G linea recta. Dico D C in B G ductum, proferre corpus aequale illi quod oritur ex A B in G H. - Demonnratio.

PLanum AB in B H aequale ponitur GB ducto in BD. sed ΑΒ in ΒΗ, aequatur ΑΒ in BG, & AB in GH. similiter GB in BD, aequatur GB in BC, vel in BA cum CB, B A aequales sint line in una cum G B in DC; igitur corpora duo, ex DC in BG,&ex CB in BG, ςqualia sunt duobus corporibus, eκΑBin BG,&ΑBin GH: ablatis igitur aequalibus ni mirum AB ducto in BG. M C B ducto in B G, remanebit D C in B G aequale A B in G H.

273쪽

rectae, deinde D B ductum in .stitudinem B C aequale sit A B ducto in B E. Dico magnitudinem ortam ex ductu D A in B C altitudinem aequari ΑΒ ducto in C E.

a hypothesi corpo- .ra orta ex DB in BC.

g nt parallelae F C, F C quas secent Iines CC,EE, D,

F F. supponatur auteCD ductum in DB aequale F D ducto

in D E. Dico etiam FB ductum in altitudinem E D ςquari corpori orto ex ductu CE in D B.

PLanum CD duetum in DB, aequale est C E dueto In DB una eum ED ducto in D B: item planum ED ductum in D F aequatur E D ducto in D B, una

cum Dioi i

274쪽

eum E D ducto in B pr aequalia autem per hypothesim sunt corpora orta ex ductu CD in DB, ω ex FD ducto in E D; ergo CE in DB, cum ED in DB aequatur ED in DB, cum ED in B F: ablato igitur communi corpore ex ductu EDin D B, manet FB ductum in altitudinem ED aequale C E ducto in D B. Qilod

erat demoustrandum.

PROPOSITIO CXXIII.

CIteulum DE secet recta quaevis BA: per cuius extremitates,norm les ducantur perficiaturque rectangulum A A, B B; quod ductum in trian ulum BC, quantitatem exhibeat aequalem illi quae oritur ex ducta DB in B E. Dico AD planum ductum in BC proferre corpus aequale illi quod exsurgit ex ductu D B in C E. Demonstratio.

Cupergetes AB ducta in quantitatem BC, aequatur AD superfieiel ductae in BC vna eum DB ducta in BC. item DB planum ductum in BE, aequatur DB ducto in BC, de DB ducto in CE: est autem per hypothesim, AB planum ductum in planum BC aequale DB ducto in B E, ergo ΑD in BC, cum DB in BC, aequatur DB in BC, cum DB in CE: ablato igitur communi DB ducto in BC, manet Α D ductum in B C, aequale D B ducto in C E.

lela lateri C C, quς dc circulum contingat in A, describatur arcus E E aequalis arcui A A contingens rectam C C: ponatur autem AC ductum in C B aequari A D dueho in D B. Dico corpus quod fit ex ductu plani o A in altitudinem DF aequa ri corpori quod profertur ex ductu

275쪽

mmonstratio. Ranum D A ductum in DB aequale est D A ducto in DF , una cum D A ducto in F B , id est una cum C E in ΑCr item AC ductum in CB , aequatur ΑC ducto in CE, una cum AC ducto in E B: aequalia autem sunt Perhypothesin corpus ex ductu A D in D B, ω eorpus ex ductu A C in C B , ergo D A in DF, dc CE in AC aeqirantur AC in CE, de AC in EB; ablato igitur eommuni A C ducto in C A manet D A ductum in DF aequale AC ducto

p ROPOSITIO CXXV.

TNterseeent se utcunque circuli duo aequales ABC, BCD in B &C IActaque per B tangente A B, iungantur B C, & ex B ducatur Ο Β omthogona ipsi B C, cui aequidistantes ponantur quot uis MN R:&per totidem N, I H parallelae contingenti ΑΒ. Dico corpus ex duetu HN, NI secundum lineas FN I parallelas ipsi A B, aequale esse corpori ex ductu, NI secundum lineas parallelas ipsi OB in altitudinem OB. Demon batio.QVoniam Π I. R I lineae commune ponuntur habere punctum N, rectangulit UNI aequalia sunt rectangula RNI, id est R, NI M OB, cum OB, R N. ta lineae, aequas sim: igitur H N ductum iis Net aequatur R, NI ducto in altitudi-

'PROPOSITIO CXXVI.

276쪽

I N P L A N V M. IF dein quotuis dueantur GG parallelae ad A B, occurrentes EF lineis in G: dc EIF rectangulis aequalia sani rectangula G IH. Dico corpus ex H F plano in altitudinem G I aequari magnitndini ortae ex duetu superficiei G E in I F. Demonstratio. A N

QVoniam EI P rectangulis id est rectangit lis AIB aequalia sint rectangula G IH eruiit puncta AH . v ad parabolam: ulterius G I est ad si EG, vi IF adHF, adeoque & pc i

GE ad GI, ut FH ad I F: unde FHGI rectangula aequalia si int di. ixectangulis G E1Fr & cum altitu v - - ω ido omnibus sit eadem erit b H Fdu- .ctum in GI altitudinem aequale G

monstrandum.

PROPOsITIO CXXVII. Circulum ABC secet recta quaedam AG parallela diametrGCD,

erectaque ex K centro orthogona KLT describatur per CLD ellipsis contingens circulum in C & D, dein ex C & D tangentes erigantur occurrentes lineae A Gilliusq; parallelis in De R. Dico corpus ex ductu QF in F R, eam habere rationem ad corpus ex

ductu . G in G R, quam habet L Κ ad T Demonstratio.

Eulo RFin Vnde parallelopipedum tis g

habens basim rectangultim RG inde GU altitudinem ad parallelopipedum habens basim rectagulum RFin V I: - φει altitudinem F U est ut G V ad F U, hoc est ut T Κ ad LK. similiter oste- erita demus infinita parallelopipeda inscripta corpori nato ex mutuo ductu planorum νων κι G, GR esse ad infinita parallelepipeda inscripta corpori genito ex ductu mutuo planorum Q F,FR ut ΤΚ ad LK. ergo, uti facile deduci potest Ze discursu s. huius, magnitudo orta ex ductu .F in F R ad quantitatem ortam ex ductu Q Gin GR, eam habet proportionem quam habet L Κ ad T Κ. moderat demo11serandum.

277쪽

SIt ΑΚΒ parabolet axis CD aequalis uteri recto centroq; D interuallo

DC circulus describatur cuius diameter AB patet ex I I. Parab. Parabolam cadere totam intra circulum perficiatur rectangulum, sub bali Α Β&altitudine DC.

Dico semicirculum IH ductum in se, corpus producere tequale illi quod oritur ex ductu HK parabolae in altitudinem CD. Demon natio.

. . ,-DVeantur ad EA vel CD parallelae infinitae GIΚH. Iabro de parabolaxosten sedimus II K, HI, HG, lineas esse proportionales. igitur i, H Κ ductum in H G. u D C aequatur H I ducto in se.

PROPOSITIO CXXIX.

Iisdem postis

Dico I K planum ductum in altitudinem CD vel in rectangulum H G, aequari Gl ducto in I H. Demonstratio.

i. H K, I H, Gis proportionales ibnt,ve GH ad ΙΗ, sie GI est ad Ici c igitur e M GI ductum in IH aequatur IK ducto in altitudinem CD.

PROPOsITIO CXXX. SIt EF parabolet axis A A, par lateri recto; super quo descripto cire

lo B qui totus intra parabolam cadet) ponatur L A ordinatim. a ν.wa, quae eae qualis erit mi A A. Completo igitur quadrato A G , iunge L D. ductisq; rectis infinitis, parallelis ad L A, fiat rectangula B A C, aequalia rectangulis G A K. erit ΚΚ parabola. Dico E B ductum in B Faequari DK in G A ducto.

278쪽

Demonstratio.

QVadrata EA hoe est rectangula

E A aequalia sunt rectangulis EB F, una cum quadratis BA. id est tectangulis B AC. item G AD rectangula aequalia sunt quadratissiAE. aequalia igitur sum G AD re sictangula, rectangulis E BD una cum rectangulis BAC. rectangulis autem GAD aequalia sunt rectangula GAK, GAD K ; rectangula igitur G ΑΚ, GAD K aequalia sunt rectangulis EB F, B AC et ablatis igitur aequalibus ex hypothesi rectanguIis BAC, G ΑΚ manet tectangulum EB Faequale rectangulo D GA. ergo planum EB Muctum in B F , est aequale D Κ duaq in altitudinem GA.

iuncta ΛΒ, deseribatur super BD ut diametro cireulus BED. , Dico F E planum ductum in planum E G, eorpus proferre aequale illi quod basim habet triangulum ABD & altitudinem BD. Demonstratio.

D Vcantur quotcunque rectae N FKEMLI HE. parallelae ad A C, agantur per B 8e A

contingentes quae conueniant in

O: positisque N FI parallelis

AC, fiant proportionales NI, EI, LI, item NI, F I, KI: erunt AKB, DI B parabolae. secet ut deinde BD bifariam in inponaturque Vquid stans AC, occurrens parabolis in R T, semicirculis autem in S 8t V , ducaturque recta A B , quae circulo E E, derectae M M oceurrit in eodem puncto S, veracile demonstrabitur quoniam ΑΚΒ parabola est, a propor- t 7 δ' rionales sunt lineae PQ, PS, PT: est autem PQ in S bisecta, recta igitur PS in TY quoq; bisecta cit: de S I dimidia est ipsius S P,hoc est S Q. quia vero P a S O, ROe proportionales sunt, M S Q dimidis P inrecta quoque R d dimidi iast so .sae 'quales igitur sunt Τ S, RQ quoniam autem LI est ad Ro, H DI B rectan tum ad rectangulum D QB id est A M B ad Α S B rectangulum, M ut A M B rectangulum ad rectangulum A S B sie s M K linea ad lineam T S, erit ut L I ad R sie M K s p ad TS, id est Rinaequales igitur sunt lineae LI, KM, ulterius cum FG in Idiuisa sit bifariam & non bifariam in E quadrata FI equalia sunt rectangulis FE G,una cum quadratis EI, id est squia NI i, I, LI sunt continuae una cum NI rectangulis id est quia LI, K Maequantur) rectati gulis NIKM. sed FI quadrata quoque aequalia sunt rectangulis N IK, qumlNI,FI, KI sint proportionalisl rectangula igitur NIKςqualia sunt rectangulis PEG.&NI M. rectangula autem NIK aequalia quoque fiunt rectangu lis NIM, NIΜΚ, igitur NIM, NI MK rectangula aequalias in t rcctangulis N IMK,FEG. dempto ergo communi NIM Κ, resi uia NI M. FEG rectangula aequalia sunt Q. planum igitur FE ductum in EG aequatur MI triangulo, ducto in quadratum N Iadest in altillidinem BD.

279쪽

Isdem positis: in KL corpus producere aequale ini

x Dico planum Η Κ ductum

quod oritur ex IK ducto in altitudinem DE veI L H. Demonstratio.

. aequatur IK ducto in altitudinem ED Vel LΗ. i. . . t . .

SEmicirculi Α BD diametti AD, BF ad angulos insistant rectos adescriptoq; simet A D basi rectangulo minorem habente altitudinerret quam sit B F, hant proportionales F E, F B, FM:-A, F, D puncta . . parabola describatur habens axem FE.j, Dico ductum in se, aequale corpus proserre illi quod emergit ex Lia parabola d cta in altitudinem l .i Semonstratio.

Ducantur infinitae. ΚIHL paralleis Ed Ep. quoniam F E . FB, F M proportionales sunt,& AEC parabola est, rectet quoque KI, H, KL Proportionales sunt. quare . Η Κ sumteirculus ductus in se aequatur L Κ parabolae ductae in stitudinem I K.

280쪽

Dico planum L H ductum in altitudinem IK aequalem proferre molem illi quae exsurgit ex HI ducto in HK. Demonstratio. : ,

Quoniam proportionales sunt L Κ, H Κ,recta L. H est ad III ut L Nad ΗΚ,. id est HK ad I K. Quare rectagula L H,I K aequantur reiamigulis H I,H R quare L H ductum in altitudinem IK, corpus producit aequale illi quod Oritur ex ductu HI in HK. i t

QVadranti circuli A C H inscripta sit parabola A D H habens apicem

in Α : iunctaque A H, ponatur contingens parabolam in A in qua sum pro quovis puncto B ducatur BC D EFI. Dico BC planum ductum in B I aequari BD plano ducto in altitudinem BF. Demonsratio.

Ducantur more selito quo tuis BC DEFI separallelae ad A a b quadratis B E aequalia sunt rectangula D BF, sed EB quadratis id est ut iam saepius ostensum est quadratis A B, a qualia sunt rectangula CBIrrectangula igitur C BI aequalia sunt rectangulis D B F: MB C ductum in B I aequatur D B ducto in altitudinem B F.

Iisdem positis:

Dico DB ductum in DF aequariCD plano ducto in D I. Demonstratio.

D Ectangula BFD aequalia ς sunt quadratis CF : quadrata vero FC AE aequaIta sunt rectangulis CDΙ una cum quadratis DF , rectangula igitur BFD id est BDF rectangula una cum quadratis FD aequalia simi rectangulis CD I una eum quadratis FDrablatis igitur communibus quadratis DF, rectangula CD I aequalia sunt rectangulis BDF. quare & D B planum ductum ein DP aequatut CD ducto in D I. moderat demonstrandum. i

PROPOSITIO LXXXVIII.

Emicirculum secet recta quaedam CD aequid istans diametro AB: eductaque ex G centro normaliter GF quae GD lineae occurrat ici

N & perimetro circuli in P; fiant proportionales G N, G P , G F: εc per C F D puncta parabola describatur C Κ F D et ductis deinde H E lineis infinitis ad PN parallelis fiant his aequales EI, E I. Hhhhh i. Dico Diu tiroo by Corale