장음표시 사용
281쪽
PRoducantur HEI parallela: in K, L, M, qUoniam GN. GP, GF proportionales sunt MCF B parabola, rectae ' L H, LE, L Κ proportionales stant: quia vero II E lineis aequales sunt EI, rectae quoque , L H, H E. IK proportionales erunt. quare ς Κ I ducti im in altitudinem L Hcorpus profert aequale iIli quod oritur ex ductu HE in se.
PROPOSITIO CXXXIX. SIt AB axis parabolae A F E , aequalis la
teri recto ; positaque ad illum ordina-. Y, . A tim linea E B; super ΑΒ ut diametroa circulus describatur A C B qui ψ totus cadet intra parabolam, circulum hunc contingant linea CG aequi distans AB,
l. Dieo G L planu ductum in G I, qu ri FG plano ducto in altitudinem A B. Dem seratio.
Dueantur ad ΑΒ parallelae infinitae GFILII, iungatur item ΑΕ. Quoniam
AB aequatur lateti recto, lineae EB, B Α' aequales sunt & DB quadratum, uuia vero GC contingit semicirculum super AB latere quadrati descriptum,ex elamentis patet illam a diametro quadrati A E bisecarit adeoque rectam A E transite per C punctum contactus. Se quia AG, - contingentes aequales sunt , aequales quoque obtriangulorum similitudinem erunt AG, GK: unde AG quadratis id est
quicti, GK cilia sunt rectangula I GL. sed &GK quadratis aequalia quoquci ε . - sum, rectangula FGH trectangula igitur FGH aemia sunt rectangulis I GD planum igitur FG g ductismin altitudinem AB vel GH qquale corpus producit, 'illi quod emergit ex IG ducto in G L.
PROPOSITIO CXL. SIt rursum parabolae FF axis A C aequalis lateri recto & super AC
diametro descripto circulo, contingat eum A K. Dico planum F E ductum in E H gignere aequale cylindric quadra ti, cuius basis B E, & altitudo A C. Dissiligod by Corale
282쪽
lateri recto equalis est, lineae EFa aequales sunt AB , per hypothesim vero BC lineis aequales sunt EB H, rectangula igitur FEH aequalia sunt rectangulis ABC id est , AC , BErectangulis ergo e planum FE ductum in planum EH aequatur quadranti B E ducto in altitudinem AC hoc est quadranti cylindrico , 'cuius basis BE, altitudo AC. Quod erat demonstrandum.
Dico EF ductum in FH aequari, parti eylindricet quae basi constat BI, & altitudine A C. Demonseratio.
R Ectangula FEH aequaliαsunt tectanguIis H FE una cum quadratis FEr sed A FEH rectangulis etiam aequalia ostensa sunt rectangula ACBE rectangula igitul AC BE aequalia sunt rectangulis H FE una cum quadratis FE. Rursum rectangula AC BE aequalia sunt rectangulis ACBI, ACIE, id est rectangulis AC BΙ vnacu rectangulis AC IE,id est EAC,id est quadratis AF, id est quadratis E E aequalia igitur sunt I FE rectangula una esi quadratis FE reetangulis A CBIuna cum quadratis FE:quare demptis communibus quadratis P E,rectangula H F Esequalia sunt rectangulis AC, BI. Vnde planum Hs ductum in F E eorpus p ducit aequale plano BI ducto in planum E Κ , hoc est plano BI, ducto in altitudinem A C hoc est portioni cylindricet cuius basis BI altitudo A C. Quod erat de
PROPOSITIO CXLII. SVper AC quadrati latere uno AD , descr-ptus sit semicirculus Al D:descripice quoq: sint parabolς similes de aequales AEC, D FB
habentes apices in A & D,& communem axem A D aequalem lateri recto, totus igitur circulus intra AE parabolas cadet. Dico corpus ortum ex ductu H F in GE, aequari corpori quod oritur exductu FI in altitudinem A D. Demonstratio.
Γ Veantur infinitς G FE IΗ parallelet ad A B x iunge A I,C I. reetae A I aequales sunt H E, & DI rectae aequales sunt HF:est autem A D lines aequalis H G cum AC quadratum sit, igitur ut D A ad AI, sic GH ad HEt sed ut AD ad AI, sic. Da est ad III, igitur GH ad EH, si e I I ad I H, id est FH ad I H; Uper conuer-
283쪽
versionem rationis HG est ad GE vi H F ad I F, rectangula igitur FIGH; PH GE aequalia sunt quare planum HF in GE, AEluatur FI plano ducto in altitudinem H G hoc est AD. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXLIII. HAbeant A B, B C parabolae aequales ac similes & situ subalterno pota
stae, communem axem G H lateri recto aequalem, positaque Κ Gordinatim, super axe G H ut diametro circulus describatur F D, qni totus cadet intra parabolas ut patet ex ι 16. parabolae. Dico AB parabolam ductam in parabolam B C aequalem esse semicylindro cuius basis semicirculus F B & altitudo G H. Dem Hratio.
ri' omplerectangulum BC , ΒΚ, ductisqtie infinitis AFBDCK, iunge pun- - cta GF, H F ι H D. Goniam GH axis parabolarum aequalium AB, B C , lateri recto aequalis est , lineis GF i aequales sunt ΑΒ, delineis H D, id Mas est lineis H F aequales BC. rectangula igitur ABC aequalia sunt rectangulis G FH id est ii GH , FB e sed recta lagula GH, FB aequantur rectangulis FB Κ, cuin enim H G axis parabolarum sit aequalis lateri recto, HB est aequalis ipsi G Κ, hoc est rectis BK. ergo rectangula ABC aequantur rectangulis DBK. parabola igitur AB ducta in BC parabolam, producit corpus, aequale illi quod fit ex ducta plani FB in planum B K, hoc in semicylindro cuius basis est semicirculus FB altitudo GK, hoc est GH. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXLIV. SIt AD axis aequalium ac similium parabolarum subalterne posita
rum, lateri suo recto aequalis: descriptoque super AC ut diametro, circulo L ΑΚ, qui totus intra parabolas cadet, ponantur ex Α &D, Ordinatim ad A D axem linea: A F, D C. Dico quantitatem totam E B ductam in se, corpus producere aequale cubo cuius basis est quadratum lineae AD, una cum cylindro cuius basis est circulus L ΑΚ,&altitudo ΑD.
284쪽
bis iumptis. igitur EB ductum in . . ra . se, aequale est HI ducto in se, id est ' ccubo , cuius basis est quadratum i '
DC, id est AD quadratum & BG plano diicto bis in GK planum. . id ei
PROPOSITIO CXLVI. TIsdem positi si ' . I Dico planum Κ L ductum in altiiuginem I G aequari, L M plano
ducto in se. εDemonstratio. Ioniam ex sypothesi est ut AG ad I G, sic EF ad FG, diuidendo est ut HI
G a EF ad FG , proportionaIes igitur sunt E F, F G, GI: Si hquia AED parabola est,ptoportionales h quoque sunt KL,LM , M O. quare 1 KL 'diictum m M o siue GI aequatur LM dacto in se.Quod erat demonstrandum.
285쪽
parallela ponatur diametrus DF, iunctaeque A E qua uis IK aequississet, occurrens D G F lineae in H: fiantque GH, GF lineae proportionales lineis GD, GL: deindeper ΑLE puncta parabola MM describatur cuius axis sit L G. Dico N O superficiem ductam in planum P X, corpus proferre aequale illi quod oritur ex ductu MN in altitudinem O P. Demonstratio.
Ducantur quotcunque rectae MN o P X, parallelae ad L F. ut GH ad G F , sie D G est ad G L per hypothesim, diuidendo igitur ut GH ad H F,sie GD est ad D L. ergo L D G H r ctangulum ςquale rectagulo D G Η Πquia vero ALE parabola est, rectangula a quoque M N O P aequalia sunt rectan--ι. gulis N OP X. planum igitur MN ductum v in OP velici altitudinem GH Σ-qirato est plano N O duaciis PM
metro quae DI, LΚ latera ad angitios sece erectos , ponatur per CContingens C Α, occurrens DL, IK lineis in A&B :.deinde per IED puncta parabola describatur DNEI habens axem E C. Dico PQ superficiem ductam in planum QR corpus proferre aequale illi quod oritur eae MN ducto in altitudinem FC. Demonstratio.
DVcantur ut prius quotcunque rectae MNO PQR parallelae ad EC. vi EF est ad N O, sic ς DFI rectangulum est ad rectangulum Do Ι; sed ut EF ad NO,sic EF C rectangulum quoque-d rectangulum NO R, vi igitur DFI rectangulum ad rectangulum DOI , sic EF C rectangulum est ad rectangulum NOR: de permutando ut E FC ad DFI rectangulum, sic rectangulum N OR ad Do I rectangulum. aequantur autem rcctangilla E FC, D FI, rectangula igitur N o R, D OI quoque aequalia sunt, Mquia DOI rectangulis i aequalia sunt rectan*vIαMO in rectangula MOQ, NOR aequalia fuci iaquare Moest ad NO, ut OR ad Ο dc e uerrendo OM est ad N M ut o R ad Q. R: rectangula igitur Μ N O R aequali αsunt rectangulis ΜΟ QR ergo ΜN planum ductum in altitudinem RO si tam Fae quale est planoavo, id est PQ ducto in planum QR. Quod erat demo - strandum.
286쪽
teri parallela una IEF, fiant proportionales IE, EF, FG. Deinde per puncta CG A describatur parabola, cuius axis sit GK. Dico FI planum ductum in se corpus proferre aequale illi quod oritur ex ductu G H in altitudinem EI. Semon ratio.
Dueantur inore solito lineς quot-
eunque GFEIH ,& quoniam unae G F, F E, EI, ex hypothesi sunt in continua, estque G G parabola, etiam . reliquae omnes GF . FE, EI erunt in continua. Componendo igitur ut G E sunt ad FE, sie HE sunt ad I E et de alternandove GE ad EH, sic FE ad EI i Mcomponendo ut GH ad EH , hoe est F l, si e FI ad Eii quadrata igitur FI aequantur rectangulis GH, LI. Ergo i planurii FI ductum in seqquatur plano GH ducto in planum EI, hoe i Ar est in altitudinem EI. mod prat demonsi andum.
PROPOSITIO CL.CIreulo ABC inscriptum sit sectangulum AC ductaq; B C lateri pa
rallela H F D. fiant proportionales H F,F D, o G F G aequalis fiat Fl. Tum per puncta BGA, BIA describantur parabolae,quarum axes sint F G, FI. Demum rectangulo A C, adiiciatui in directum aequale rectangulum A N. Di eo MK planum ductum in altitudinem H F ἡqualem exhibere molem illi qui producitur ex ductu NP in P L. Demon Irrum. .
Dueamur infinitae lineς N O p QK I M parallelet ad B C. Quoniam OO,ΚΚsunt parabolς,&HFFD,D G sunt ς proportionales, etiam L Q QP, id est M L PO proportionales erunt. igitur componendori ORad P in sic M Q ad Q L.sed, quia parabol OO,K R similes sunt M aequales, rectet K Q aequantur rectis OQ. ergo vi K QAd P Q ic M Qad QI. Igitur permul. vi K O ad M sic P sit ad GL, I i i ii noci
287쪽
hoe est ex hypothesi Nai Ergo inuestendo M Q ad ΚQ, ut KQ ad Pin. ω ., conuerte iido ut M in hoc est LP ad M K, sic N Q hoc eit Q L ad N P. igitur' rectragula MK, M. aequantur rectangulis L P,ΡΜ; ergo planum M Κ, ductum in planum LO hoc est in altitudinem H F, aequatur plano NP ducto in planum P L. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLI. C rculus ABC idem habeat centrum cum rectangulo DF EG,& latera quidem D E FG circulum contingant in Α & B: fiant propo tionales D E, D A, D H; actam per centrum recta QS parallela ad DE, de occurrente circulo in P & C, fiat ut Q S ad QC, ita QP ad QRt tum per H, R puncta parabola describatur L L L habens axem RS. Dico corpus habens basim L N& altitudinem FG aequari corpori or 'to ex ductu plani M K in O Demonstratio.
Ducantur infinitae KLMON parallelae ad DE, FG. posita constructione hy- . . potheseos, singulae KN, sunt ad singulas KO, vi K M singulae ad singillas KL, ut facile deducitur ex ijs quae in lib. de parabol. demonstraui. ac proinde rectangula NKL aequantur rectangulis OKM. ergo i KL ductum in altitudinem KN id est FG aequatur mi ducto in KO. Quod erat demonstrandum.
t PROPOSITIO CLII. si dem positis:
Dico M K ductum in se, corpus proferre aequale illi quod oritur ex duehu LM in altitudinem DE. Demonstratio.
EctanguIa LΚN, ΜΚ O praeeedenti propositione ostendimus esse aequalia: igi- tur ut ΜΚ ad LK, sic NK ad KO, de conuertendo MK ad ML, ut NK ad NO rectangula igitur KMNO id est quadrata M Κ, aequalia sint rectangulis L M, c 1. --.ΚN. ergo LM ductum in altitudinem ς Κ Nid est D E aequale est M K ducto in se
288쪽
ctangulorum, circ*l, aescribantur CD, Hir ductisque parallelis Α E D B tantque C Α D rectangulis aequalia rectangula B A E, & G F Krecta ngyta aequali .r tangulis I FI, patet ex illis quae in parabola demonstraui punctatM E quatit Κ esse ad parabolam. Dieb Α C duetum 'in se ad F H ductum in se illam obtinere proporti nem qu e ea inter superficies E C,Κ H.
Demonseratio. .. I. OVoniam rectangula B AE, aequantur rectangulis D AC, emine AC ad ΑΕ, ut ' AB ad AD: M conuersim AC ad EC, ut AB ad DB, rectangula ergo AC, DB, is est, quod rςctae AC, DB sine aequales, quadrata ΑCdaequantur rei hangulis E C,AR. Corpus igitur ex ductum plani AC in seipsum aequatur corpori nata ex EC ducto in ali studinem AB. sivi iliter ostendam FH ductum in se aequati ΚΗ ducto in altitudinem F G. ergo AC ductum in se et ad FH ductum in se, ut EC ductum in AB ad KF ductum in FG: hoe est quoniam altitudines ex hypothesi sunt aequales, ut bases EGE REI, KH. Quod erat demonstraadum.
289쪽
Docuitatis litavi parabola posita paret a vii hoe Meo est constituta quod omnia rectangula QRS, aequaliasntrectangula FRII mirsivit Pt ramo Q RF cum lineis RH NRS.q re diuiden l. t R. inad QRIraeir quoque R H recta ad lineam HS aeproinde componendo eam habet rationem R S ad HS , quam habet RFad FQ, igitur rectangula Rs,QFaequana sunt rectangulis R F, H S. Dare erit corpus constans altitudine quaesit aequalis rectae IN sue R S, de basi Q F ruperficie, aequale illi magnitudini quae profertur ex multiplicatione figurarum leu superficietum R F de H S imer se. quod oportuit demo
Esto B E rectangulum de circulus descriptus A C, transeat per extrema lateris E Et fiant autem ABC rectangulis aequitia rectangula EBD Dieo AB ductum in E C corpus proferre aequale parti cylindrictiquae basi constat, A D & altitudine B E. Demor atio.
Dueantur lineae infinit B ADEC in parallelae lateribus rectanguli quoniam ABC rectangula aequalia ponuntur rectangulis E B D, ut A Bad BD , se EB ad BC e Ee diuidendo ut BA ad AD, sic BE ad E C, aequantur ergo rectangula B αι C, rectangulis A D, B E igitur Anductum in EC corpus producit quale illi quod oritur ex ΑD basi ductain altitudinem RE.
SIt iterum A B C D rectangulum de per extremae lateris A B circulus descriptus transeat occurrens C A, D B lineis in E de Fr fiant autem H G L rectangulis aequalia rectangula I G K. Dicit
290쪽
1N SPLAN Vindico planum H I ductum in G L, collus producere aequale illi quod otio ex L Κ basi dueta in est dinem' GL
ΡROPOSITIO CLV M. CIrculum ABC, contingant in B, D punistis lineae B G, A G H.D H,
de G B, H D quidem aeqcidistent& AGH ad easdem sit normalis: rectae vero AGH parallela ponatur BF, fiantque E G, E B, E Κ, & F HF D,F L proportionales dein per Λ punctum contactus ducatur IA Caequidistans E Κ, occurrens circulo Α Β C in C, α per Κ, C, L puncta parabola describatur L C Κ. , 'Dieo O M planum ductum in M P , aequalem illi proferre magnit dinem, quae oritur ex M Q plano ducto in altitudinem MN.
NM Q aeritata iunt O M P ut si essede stravi Elanum igitur M Q ductum bin a cho in planum M P.. Quod erat demonstrandum.
Dieo Noductum in M P corpus proferre aequalex baῆ P Q ducta in altitudinem M N. I iiii 4ioniam EG, EBER, , circulus rectangula, icitur ex iis quae in lib.de paraboIa demin- altitudinem MN aequale est Molplano da-