P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

291쪽

QVoniam NM QIectangula qualia sunt rectangulis O I P, ut MN ad Molle M P ad Min. de diuidendo ut MN ad N O, sic M p ad PQ: rectangula igitur MN PQ, aequalia sunt rectangulis NORM, M NO planum ductum in ΜΡ, aequatur P Q basi ductet in altitudinem eras demonstrandum.

CIrculum AR C contingant in A, B, C punctis lineae tres AD, DE, EC: de AD, CE quidem aequid istantes sint, DE vero ad illas nota malis, ponatur autem & ED lineae aequi distans FG faeiens DFG E re Elanglilam fiantque proportionales FD, AD H D; item E G, E C, ΕΚ:α per H, B, K puncta, parabola describatur. Dico L M planum ductum in M l, corpus proferre aequale illi quod exsurgit ex N O plano ducto in altitudinem L l: . -

Vcantur quotuis numero rectae Lo NMI parallelet ad DR Quoniam m. 3 ΑD. H D proportionales iit,&HOBΚ parabola & AN BCctansula OLI aequalia sunt reistangulis N LM ut ex libro de parabolatas umgitur quare ut LO ad LN, sic LM ad LI, & conuertendo ut LN adori . LI ad ΙΜ, rectangula igitur L NMI aequalia sunt rectangulis ONLΡMON basis ducta in altitudinem L. I aequalem illi producit magnitudinem in Murgit ex ductu LN plani in planum MI. Quod erat demonstrandum. Propositio quoque veta est si F G linea ipsi D E aequidistans circulum contulat: dc prorsus eadem demonstratio est.

quidem Emicirculum contingat in B: santque proportionales E D. ED, BD,LD: dc per L de Α parabola describatur habens verticem in A. Dico F Κ planum ductum in altitudinem F G aequari F H ducto in HG.

292쪽

Demo ratio. Dueantur infinitar FKHI G parallelae ad AC: Quoniam ED, BD , L. D proportionales sunt, MANL parabola, rectangula KFG aequalia sent rectangulis H FI id est F H G, ut in lib.de parab.osternili;pla. num igitur FK ductum in altitudinem FG, corpus producit aequale il-Ii quod otitur ex ductu FH in HG. Quod erat demόnstrandum.

DAta sit semiparabola A BC, cuius axis AB, ad quam ordinatim posita sit CB, completoque rectangulo A B C F, iungatur C A. Dico triangulam E Κ ductum in altitudinem aequari parabolae ductae in seipsam. . Demonseratio.

oveantur quὀtcunque numero lineae G D E K parallelet ad C B, rectae G R,D K, i, - - ΕΚ sunt in , continua analogia. ergo quadratis DK aequantur rectangula rab. GKE. Ergo EΚ triangulum ductum in altitudinem GK, id est C B, aequaturς pa-xabolet ductae in se ipsam.Quod erat demonstrandum.

Dico planum E D ductum in altitudinem C Raequari plano GDducto in planum parabolicum D Κ. Demonstratio.QVoniam test ut GK ad DK, sic DK ad ΕΚ, erit conuertendo vi K G ad 4 F. GD, sie KD ad ED. Ergo rectangula ED, KGaequantur rectangulis KDG. ergo ED e ductum in altitudinem ΚG id est BC, aequatur plano GD ducto in planum D Κ. Quod erat demonstrandum.

293쪽

DAta sit rursum semiparabola cuius axis AB, & ordinatim ad axem posita C B, completo, rectangulo F G, ducitur A C. Dico planum FD ductum in altitudinem AB secundum parallelas FG aequari triangulo F E ducto in se secundum parallelas F E:

Demon iratio. DVeamur infinitae FDEG, rectae FG, FE, FD sunt in continua proportione. Quadraiis ergό FE aequantur rectangula DF G. Ergo, FD planum ductum in altitudinem FG id est ΑΒ, aequatur triangulo FE ducto in se. mod

erat demonstrandum.

PROPOSITIO CLXIV. IIsdem positis: I Dico F E planum uctum in planum E G, corpus proserre aequale illi quod oritur ex ductu ED In altitudinem AB: intelligo rursum ductus secundum parallelas

po EG factos. Demonseratio.

T vcmtut Iineae quotuis numero FD EG parallelae ad AB , libro de parabola FD, FE, FG lineas continuἡ esse proportionales r igitur GE est ad DE, ve GF ad FE, rectangula ergo GEF aequantur rectangulis DEFG.quare F E 4 planum ductum in EG aequatur ED plano ducto in altitudinem F G id est AB.

PROPOSITIO CLXU.

Sit ad ΚΒ E axem parabolae CF ordinatim applicata HI,erectisque exH & l axi parallelis HA, i D, perficiatur rectangulum, iungantur H Κ, lΚ. Dico AC planum ductum in planum CD, aequari plano Ac ducto in altitudinem AB.

294쪽

Dueantur lineae rectae infinitae ACGBLFD parallelet ad HI, libro de parabola ostenclimus B AG rectangula vati rectangulis C AF id est AC Di 'μ' ergo planum AC dinum in CD aequatur AG platinducto in altitudinem AB.

PROPos ITIO CLXVI. Iisdem positis:

Dieo C G ductum in altitudinem Λ B aequari A C ducto in C B; &Λ C ductum in G B, aequari C G ducto in C B. Demonstratis.

Quoniam AB, CB, GB'proportionales sunt, ut AB ad C B,fie e A C ad C G, :planum igitur CG ductum in altitudinem AB, aequatur AC ducto in CB. M'

Rursum ut AB ad CB, id est CB ad G B, sic AC ad C igitur CG ductum

PRO Pos ITIO CLXVI I. Ii qm positis: Diuo plana A C, AB ducta in planum C G aequalem illi proferte

molem quae oritur ex ductu planorum C G, C B in A C planum. Demonstratio.

T. st ΑΒ ad CB, ut i CB ad G B. Ergo conuertendo ut BA ad CR. sic BC d 1-, -- ad G C: Ee eomponendo ut BA eum C A ad C Α, sie BC cum GC ad G C; Tectangula igitur super A B, A C Ac C G , aequalia sunt tectangulis super C B, C Gee A C. ergo A B, AC plana ducta in planum C G, aequalia uni planis G B, C Gductis in planum AC. mod erat demonstrandum.

PROPOSITIO CLXVIII.

Iisdem positist

Dico plana AC, AB ducta in CB,eorpus proferre aequale illi quod oritur ex ductu planorum C G,C B in altitudinem A B.

295쪽

Ostensum est praecedenti propositione A B cum A C esse ad A C, ut B Ceum C G es ad C Gi igituro: AC cum ΑΒ est ad AB, ut CG eum Caaa CB. quare AC, AB plana ducta in CB,corpus proferunt aequale illi quod oritue

ex ductu planorum CB,CG in AB altitudinem. - -

perfice rectangulum AD ECι, ducantur deinde per Α & C extrema ordinatim ad axem positae, mingantes A G,CN-Dico L Κ planum ductum in altitudinem HI aequari L H ducto in se. Demonstratio. l 'PRO POsITIO CLXX. EAdem iterum ponantur quae prius: ducaturq; zC- Dico A D pIanum duaum in se, aequiri A K diicto in K u. Demonseratio.

DVcantur rursum ad EF p tallelae infinita: AΚDB libro de parabola ostendi Α Α D, ΑΙ, hoe est'in contino a esse analogia: ergo quadra ta ΑD aequantur rectangulis A ΚΒ, planum igitur AD ductum in se aequatue ΑΚ ducto

296쪽

i N P L A N v M. i PROPOSITIO CLXXI. SIt AB axis parabolae A C Κ, de ad illum ordinatim applicata ΚΒ;pe fecto autem rectangulo AB Κ, ductaq; ΑΚ, fiant G F rectae aequales C E & parallel ad Κ B. Dico planum G C ductum in se aequari F C ducto in altitudinem G D. Demonstratio.

T Ineae GD, CD, ED sunt proportionales: sunt autem GF aequales differentiis: H ρε- MCE, ergo etiam i FC,F Esiue GC GD in continua sunt analogia. Ergo quadra- i. o. , ta GC aequantur rectangulis FC,GD. Ergo G G ductum in se aequatur FC ducto rim. in GD. Quod erat demonstrandum.

PRO Pos ITIO CLXXII Iisdem positis r

Dico E D pl. Dico E Dplanum ductum in CF aequari EC ducto in se. Semonstratio.QVoniam ED, CD, GD proportionales sunt, M EC differentiis aequales p6nuntur F G; rectae quoque . E D, C E, F C proportionales sunt: rectangula igi- atur FC, ED aequantur quadratis C Et quare ED planum ductum in CF φ aequa-e s. cur EC plano ducto in se.

. PROPOSITIO CLXXIII.

Dico C E ductum in altitudinem G D, date corpus aequale ma- .gnitudini quam efficit ductus siperficierum G C.& C D in se inuicem . . Temonstratio.

Quoniam eandem rationem continuant recta: D E, DC, D G; igitur quam rationem habent D C lineae ad C E, eandem quoque habent DG rectae ad rectas G C. quare DC, GC rectangula rectangulis C E, D G, aequari debent. Ergo CE, superficies in altitudinem GD multiplicata, parem exhibet magnitudinem illi quς -- . producitur per ductum mutuum planorum G C, C D. Quod erat demonstrandum.

297쪽

CIrculum ABC, seeent aequales diue parallelae lineae AB, DC, tu ctisque Α D, B C ponatur quaevis E F aequidistans B C, posita deinde G Κ IH diametro, parallela A B, fiat vi H Κ ad ΚI, sie K G ad Κ L, denique per A, L, D, puncta parabola describatur, habens apicem Dieo M S ductum in altitudinem Tx aequari V V in Ux

Demonstrano. ponantur infinitae M sΤY UX, parallelae G H. Quoniam est veΗΚ ad KL

sic KG ad KL, rectangulum HKL, aequatur IΚGrectangulo.quia vero ALDa ν. parabola est, Ut L Rad ST , sie AΚD rectangulum est ad rectangulum ATD, sed ut L K ad SIMe quoque est LΚH rectangulum ad rectangulum S TX, igi tur ut ΑΚ D ad A TD tectangulum, id est ut G K Iad M TV. sic LKH ad S TX,&permutando ut GK I ad L ΚΗ, si e M TU ad ST X t sed LΚH rectangulum aequale ostensium est rectangulo GKI: igitur & ST X rectangula aequalia sunt tectangulis ΜΤU, quare ve Μ Τ ad S T . sic TX ad T v. & conuertendo ut Mae id est Y V, ad MS,sie TX ad vX: unde YUx rectangula aequaIta sentrectangulis MS TX, planum igitur M s duetiam in altitudinem T X , aequatur Υ v in V X. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO CLXXV. SIt ABCD rhomboides, includens circulum EFG quem in pun

ctis tribus E, F, G contingat: factis autem proportionalibus A B, A F, Al: CD, CG, CK describatur per I, Ε, Κ parabola cuius diameter sit Eld parallela AB. Dico corpus ortum ex ductu L N in L O aequari magnitudini qui oritur ex ductu LM in altitudinem EH.

298쪽

iN PLANUM. Demon tratis.

M parabola est, rectangula P LM aequalia sunt quadratis L QE quia vero S C, C G, item E A, ΗΑ contingentes aequales sunt, quadratis Lia aequantur ν quadrata EL, id est rectangula OLNa igitur de OLN tectangula, aequalia sunt rectangulis P LM. quare LM ductum ς in LP siue in altitudinem EH aequatur ducto in Lo. Quod erat demonstrandum.

PROPOsLTIO CLXXVI. Esto super A B C D rectanguli latere Α D ut diametro descriptus se

micirculus AED, cuius centru M, ex quo recta erigatut MoLΚNaequidistans lateri A B, describatur autem parabola quaecunque AGDoccurrens M N Iineet in O puncto, quod eiusdem vertex sit, fiant deinde tres proportionales N M, Κ M, L M, Dico E H semicirculum in seductum ad G H pati bolam ductam in altitudinem A B eam habere rationem quam habet L M linea ad lia

Demonstratio DNeribatur per A, L, D puncta parabo Iahabens apicem in L. erit igitur H P parabola diteta in altitudinem A B, aequalis . ΕΗ semicirculo in se ducto: sed P H ductum in altitudinem AB ad GH in eandem ductum altitudinem, est ut PH parabola ad parabolam GH, basis ad hasim; igitur MEH ductum in se ad GH ductum in altituis ditiem ΑΒ est PII, parabola ad parabolam GH, quia vcro P H, G H parabola: communem habent subtensam A D, illam inter se sortiuntur rationetn, quam LM ad O M t igitur & EH semicirculus ductus In se ad GH parabolam ductam in altitudinem ΑΒ est ut L M linea ad lineamobla

299쪽

circulus, ducatur autem tota illa fisura in sero portet exhibere magnitudinem illi aequalem quae notam habet b sim & altitudinem datam. conmuctio sedemonstratur.

D Ata sit altitudo BF, in directum posita eum ΑΒ: perfecto autem tectangillo DBFG,LΚ M rectangula aequalia fiant quadratis I Κ, csistat B MDesse . para bolam. Deinde quadratis HK aequalia fiant rectangula LKN, patet ex elementis N N esse lineam rectam. denique rectangulis subdupla HK Ae rectis KI, aequalia fiant tectangula L Κ,N Or constat ex illis quae in libro de ellipsi demonstraui, puncta OΟ esse ad ellipsin. Dico igitur corpus ex ductu OM basi cognita in B Faltitudinem datam aequari HI ducto in se. HI ductum in se sunt HI quadrata, sed HI quadrata aequalia sunt quadratis HK dc KΙ, una cum rectangulis ΗΚΙ bis sumptis:quadratis HK autem aequantur ex construct. rectangula LKN,de IK quadratis aequalia sunt rectangula LΚM per constiuctionem ι rectangulis item HKIbis sumptis id est rectangulis subduplis HK dc rectis KI, aequantur rectangula L R N O, igitur H I ductum in se,id est quadrata HI aequalia sunt rectangulis L ΚMid est 1 M dueto in adtitudinem Κ L. de rectangulis L Κ N id est N K in altitudinem LK, vi secunt rectangulis L KNO , id est N O ducto in altitudinem L K. id est HI ducto in se, aequatur OM ducto in altitudinem datam BF siue L Κ.exhibuimus igitur corpus, &c. Quod erat faciendum.

PROPOSITIO CLXXVIII. REctangulo A B inscriptae sint parabolae duae CEG, C ΚG habentes

verticem in C : B: C Κ G quidem axem habeat C A, parabola vero CE G axem CD. Iungantur autem CG puncta.

Dico ΚΒ planum ductum in triangulum F Λ simul eum A E in F B, aequari magnitudini quae basim habet E F & altitudinem AB.

300쪽

IN PLAN v M. Demonseratio.

PLanum EF ductum in altitudinem AB , id est re- ctangula omnia AB , aequalia sunt rectangulis EF AF & EF B, id est EF ducto in ΑΓ&EF ducto in FB : sed EF in F A, aequatur 'AE in F B: &EFin FB v aequale est KB in F Α. igitur EF ductum in altitudinem AB, aequale ΑΕ in F B, & ΚB in F Α. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO CLXXIX.

SIt B C quae uis sectio conica; N

illiusque axis FG ad quem or- Σidinatim posita sit A D: actaque Eper F contingente FH , occur- Erant illi, erectae ex Α de D lineae Est qui ditantes axi FG. EDieo B C planum ductum in aealtitudinem AD una cum EB ducto in se, aequari EC plano ducto in se. Demonstratio.

r Vcanturquoreis AC, &per C rectae ponantur CBE parallelae AD, quadra. Mium AC eaequale est rectangulis AD BC, Α BDC; id est AD BC rectangu- .lo una cum quadrato Α B: est autem quadratum AC aequale quadratis A E, E C: --ώλι. igitur quadrata AE, EC aequalia sunt quadrato Α B, id est quadratis AE,EB una δ' eum rectangulo A DB: ablato igitur communi quadrato ΑΕ, manet rectangulum ADBC una cum quadrato EB, aequale quadrato EQ igitur B C ductum in altitudinem AD, una cum EB in seducto, aequatur plano EC ducto in se. Quod erat

demonstrandum.

AB axis parabolae A CI, aequalis lateri recto: fiat autem saper A Bo quadratum A B,EF, & per Α & F parabola describatur ΑGF, aequalis AC IB habens verticem in F i recta vero FB producta occurrat para