장음표시 사용
301쪽
ii D v e T v s P L A N Ioportet exhibere corpus cuius altitudo sit Λ E. aequale magnitudini ex ductis C D in D G. . Constactis . demonmmo.
cuper ΑΒ ut diametro semielaeuius ὀeseribatur ARBr eadet ille intra . parabo. . . um ΑCIt dico autem CK ductum in altitudinem AB, satisfacere problema- rio parabola CD ducta in quadratum D H, aequatur CD in D G,&b CD in GH: e .. . ed etiam CD in D H, aequatur CK in D Hς de KD in D Hligitur CK in Dinaequalia sunt CD in D G, & CD in GH i sed KD in ΑΕ, siue KD ductum in D H, aequatur CDe parab lae ductae in GH parabolam: residuum igitur CK in D H, vel in altitudinem Ariaequale est CD parabolae ductae in DG exhibuimus igitur corpus i&c. Quod erat
302쪽
Praxis huius libri de Hunorum inter se ductu multiplicatione.
V ex toto huisu bbri decursu, stu aperte relli possit methodiu, quam obstruare debeat v, qm inius ahως bbra se exercere de eratι nihilominiu haπpocas prvossiones sibi tingere decrem, maioris lucis ergormia enim linea recta,'undum rigampropositionem,siue notam,sive m- , e nitam ae potest, qMn, secundum eandem durasionem ,setasi ira post huius b-bri argumento. quod quoniam multu paradoxι loco habendum rei timarem, operae pretium, imo necessiriumauri, Pinum hanc adiungere, eetu hoc ipsim luce clarus inno-tefiat, in Geometri uias Oceaxum patentissimumsiti detectum agnostant, missmio posse concredere , mel tenuissimo umbo minissentiae elementorum pes asium babeant.
Sint tres lineae proportionales AB, AC, A D. Dico rectangulo sub media AC & aggregato extremorum DA, ΒΑ aequari recta ulum sub extremis D A, B A bis sumptum, una cum . rectangulo sub differentiis BC, CD comprehense. Demonstratio.
ulat EA aequalis AB. Quoniam DA, CA, B A sunt proportionales,erit diui-Vdendo DC ad C A, ut CB ad BA. ergo rectangulum D c, Α B aequatur rectangulo ACB. Ergo rectangulum DC, A Bbis,aequatur rectangulis ACB,LC, AB. Addito igitur comm lini rectangulo C A B bis sumpto , rectangula DC , A Bbis, C AB bis,lioc est rectangulum D AB bis, aequabitur rectangulis AC B, D C, . i. s. min. AB, C AB his, sed duo huius s*mmae rectangula C ΑΒ , ACB v aequantii r qua adrato ΑC. ergo rectangulum D AB bis aequatur quadrato AC cum tectangulis C AB, D C A B. quare utrique lummae addatur rectangulum DC.B, erit rectangu lum D A B bis cum rectangulo D C B aequale quadrato A C, & rectangulo C AB id est C A E, una cum D C, A d, D C B rectangulis: hoc est quadrato A C, Ss tectangulo CAE, una cuili rectangulo DCA siue ΑCD. sed quadrato C A, 8etectangulis CAE, ACU aequatur rectangulum AC, ED, hoc est redhangulum super ΑC δέ AB, AD tanquam una recta; ergo rectangulum sub AC & AB, AD. aeqtratur rectatagulo DAB bis eum rectangulo DCB. Quod erat demonstran
303쪽
34 DvCTUS PLANI APPLICATIO Ductui planorum in plana.
SVbtendat A A linea arcum quendam circuli; & super Λ Adiametru semicirculus CC describatur, ductis normalibus ad FG infinitis E A BC D, fiant rectis Α E aequales A B. Igitur erunt.eae AB, hoc est: Α E,AC AD proportionales , quoniam E A D rectangulis aequantur F Α G rectangula, hoe est AC quadrata. Quare per praecedentem propositionem rectangula sub ΑC , ED aequantur rectanguliso AB siue DAEbis sumptis una cum ' rectangulis BCDi colligitur ergo ex propositione uniuersali a huius libri,corpus ex ducta plani AC in superficiem ΕD , aequari solido quod fit ex multiplieatione superficiei AB in E D bis una cum quantitate quae resultato ductu plani B C in CD. quare propositionem aptavimus adductum planorum inter se.
A C D E BSEcta sit AB in C iuet D media & extrema ratione proportionali , &CB composita ex altera extremarum dc media bifariam secetur in TDico CE quadratum rectangulo DEA aequale exsurgere.
. Irculum CC ad extremitates ME E diametri contingant duae 4 rectae , quas secet A A parallela ad E E,ductisque A C, E B parallelis ad A tangentes infinitis, fiant rectae AB, 1 BD rectis AC, CD proportion tes, erunt h puncta D D ad parabo
Dico semicirculi planum C E in se,aequari plano E D ducto in E A.
304쪽
I N P L A Nav M. . tryQuoniam enim rectae AB in C in D diuisae sunt extrema ae media ratione
proportionali: es Cacompositae ex alterae extremarum de media bifariam iliametrosecantur in E; erunt per ε .prop. libri nostri de lineis, rectangula omnia D EA aequalia quadratis CE. Ergo per propos uniuersalca qiiς est huius libri s. planum DE ductum in E A aequatur plano semicirculi CE ducto in se. Duilibus ergo applicauimus theorema propositum. verit m eadem opera Corollarium propositionis quintae libri de Iineis breuiter ac-
Primo infertur B D C rei tanguluin rectangulo A D E aequari. unde concludimus planum BD iactum in DC planum, solidum constituere quod sit aequale corpori producto ex AD lbperficie ducta in planum DE. Secundo infertur BAC rectangulum rectangulo EAD esse aequale,& conse- . quenter exlege ductuum asserimus corpus exsurgens eic ductu plani BA insuperh-ciem AC, aequari solido quod tesultat multiplicatione plani EA in planum A D.
PROPOSITIO CLXXXIII. 2 inquagesima quinta eiusdem lubri
CSl AB linea diuisa fuerit utcunque in C be. D. Dico ACB, CDB rectangula aequalia esse rectangulis BDA, DC A.
APPLICATIO. Ponatur exempli gratia circulus A D,quem tangant G H,E F parallelet inter se, in punctis E G ; dc iuncta E G ponatur F B H quaevis linea,
ducanturq; parallelae infinitet AC DB, perss. libri delineis omnia rectangula ACB, CDB aequantur omnibus rectangulis BDA, DCΑ. ergo secundum sensum propositionis uniuersalis ' corpus ortum ex superfici bu, A C, C B simul cum illo quod si ex ductu plani C D in D B, aequatur solidis duobus quae oriuntur ex planis B D in D A, dc D C in C A. quare hanc etiam propositionem aptavimus nostro instituto.
305쪽
SI fuerit vi A B ad B C, sie A D ad D F, & B C lineae aequalis E P. Dieo ΛBDE rectangulum aequale egerectangulo CBD. APPLICATIO.CIrentum B Feuius diameter D contingant aequidis antes a termi nis diametri DD erectae, quas secet A Λ parallela D D, ductisque A B C D F parallelis ad tangentes, fiant ut A D ad D F, sic A B ad B C, siue ut AD ad AF, sic AB ad Α hoc est,fi intrectangulis FAB aequalia rei tangula DA C: erita ergo CC parabola. positis deinde FE aequalibus BC, erunt etiam DE aequales DC: unde consequenter E E etiam parabola est. Quoniam igitur omnes Pralleis Α F,ita iunt diuist in punctis B, C, D, E, F, ut AB, BC proportionales sint ipsis AD, DF; & FEaequales existant ipsis BC : per 36. libri nostri primi, omnia rectangula Α B, D E aequantur rei tangulis CBD. quare solidum emergena ex ductus.. -- ΛΒ in D E, ' aequatur solido quod fit ex ductu CB, in BD.
SI fuerit ΑΒ recta diuisain C le D, ut AC, DB lineae sintinterse η- quales: Dico CB quadratum aequari quadrato AC, una cum rectangulo ABCD. AN
306쪽
commune centrum inm circulo quam parallelogrammo.
Dico denuo corpus ex ductu ΑΒ plani in CD, una cum quantit te quae resiuitat ex ductu superficiei AC in seipsam, aequari solido quodnaditur ex plano CB , in seipsum multiplicato. Ductis enim paralelis A C D B, manifestum est eas omnes ita secari a circulo in punhis C, Cα D, At Λ C aequales sint DB; omnia igitur restiuigula A B, CD, mi cum quadratis Λ C, aequantur quadrati CB per 3 .prop. libri nostridelineis. unde per uniuersalem. propos huius hortuiquet propositium a
guinquagesima octaua eis libri.
A B D C r, Si fuerit AD linea diuisi in B S C ut ABGolineae sint aequales, se matur autem inter B & C punctum quodvis EDico A E D rectangulum aequale esse rectangulis C E Α,E A s.
APPLICATIO. Constituatur parallelogrammum Α D,ducti se parallelis A D infinitis,
lineae AB fiant aequales CDi denique ponatur quiuis arcus E E.
307쪽
cundum tenorem uniuersalis propositionis suo loco demonstrat .
corallamum. π propositio 'uod in plerisque etiam sequentibus erit obseruandum) amplis .infimi usus est.nam E E linea qu uis esse potest quemadmodum de lineae B B C C. m 'aeqliales sint ΑΒ, CD. Insuper ex eadem propositione consequitu solidaquet proferuntur ex ductu mutuo planorum CE, EA,&EA, BA aequalia esse s blidis quς fiunt ex ductu mutuo planorum B E,E D, & ED, C D, quod liquet ex eo quod rectangula AED rectangulis DEA sint aequalia; rectangulis autem AED aequalia sint C EA,BΑE rectangula,&similiter rectangulum DEA aequale est rectan- y gulis BED, CD E. Igitur, etiam solida ex superficierum ductu qualia existunt: nimirum corpora ex planis CE in ΕΑ ω ΒΑ in ΑΕ, corporibus exsuperficiebus B E in BD & CD in D E producta.
308쪽
M N P L A N PaM. APPLICATIO. Constituatur verbi gratia circulus D B intraparallelas parallelosrammi A E, & adijciatur quaedam linea C C. Dico solida quae nascuntur ex ducta. AD in D
o G - Α C D E F RSI fiterit ΑΒ linea diuisa in quinque partes aequales punctis C, D, E, F, & ei quaevis in directum adijciatur G A. Dico G D quadratum aequale esse quadrato A G, una cum rectang
309쪽
dem altitudinis cum diametro circuli GG, diuisum patallelis CC.D D, E E, F F 'in quinque aequales partes. Dico superficiem G D in te ductam exhibere solidum aequale corporibus quae hunt ex A G in seducto simul cum eo quod rinillat explano G Cin CB planum. Ductis enim infinitis parallelis G B, erunt semper quadrata G D aequalia quadratis G Α una cum rectangulis G C B. itaque per O .huius patet propositum.
PRO Pos ITIO CLXXXIX. Sexagesima ima eiusdem bisi.
A C D E BSEcentur AB in quotuis partes utcunque C, D,Ε, &e. Dico quadrata A C, CD, DE, EB simul cum rectangillis ACB, C D B, D E B bis sumptis, aequari quadrato A B.
APPLICATIO DOCTRINAE DE DUCTI Bus.
PArallelogrammo AB inscribatur CD circulus,&ponatur quiuis ariseus E E rubtenses a recta B B. Dico solida ex multiplicatione singulorum planorum A CD, DE. EB in se, simul eum illis quae emergunt ex ductu AC in CB, Ee Co in. . DB, ac D E in EB bis sumptis, aequari parallelepipedo quod gignitur ex parallelogrammo AB ducto in Hipsum. Ductis enim parallelis infinitis
310쪽
pROPOSITIO CXC. Vndecima libriprogressonum cymmetricarum. 'SI A B, A C, AD in continua adalogia,&minori disserentiae BC
fiat aequalis D E. Dico C E,C D, A D esse etiam in analogia continua. APPLICA T I O. .
SIt semicirculus B B, D D eiusque diameter p P, ductis. Fo , P b
quae bifariam secent peripheriam semieireuli, ponantur Rangentes OA, FA. Dico planum C E ductum se planum A D aequari plano CD ducto in seipsum. Ducantur enim infinitae A BCED parallelae ad FP. patet E D aequales esse BC. Quare cum AB,Α AD pera sint continuae, etiam C E. a Exit C D, A D . erunt continuae. ergo per s. fiuius patet propositum. τοῦ