P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

311쪽

' Epetariar praecedentis figura quoniam Ag, AC, AD sunt in conti-I nua, & E D aequales sunt B C, rectet A B, B C, C E sunt in continuata. proportione; igitur rectangulum sib AB & C E aequatur BC quadrato. unde per propositione a uniuersalem solidum exsurgens explani ΑΒ in C E ductu, aequatur figura: RIidae quet fit ex BC superficie in seducta.

312쪽

E A, ergo alternando B A ad B C , ut E A, hoc est B C, ad D C sunt itaque tres proportionales AB, BC, CD. estque AC aequalis EB ex constructione. nam centrum Fcommune est& parallelogrammo AB &CE circulo per propositionem duodecimam libri de progressionibus Geometricis, etiam A B, B E,E D proportionales sunt. Omnia igitur rectangula ABED aequantur quadratis B E. Igitur per 'propositionem ' uniuersalem planum AB ductum in ED, solidum format quod corpori aequatur ex ductu plani B E in seipsum ducto.

PROPOSITIO CXCIII. Decimatertia eiusdem libri

APPLICATI O. SIt F A A parabola cuius axis F G & contingens s B,ductaque F H po

natur G H quae ςqui distet F B, conueniens cum F Κ in id communi intersectione: erunt itaque '' proportionales lineae BA,BΚ,BI. Vnde si 1 Mab. fiant rectae B C, C D aequales rectis B K, BI, erunt similiter proportionales A B, BC CD: denique si ponantur D E quς sint aequales B C, erunt per 33. progress. semper AE, E C, C D in continua analogia, quocirca per propositionem uniuersalem erit solidum emergens ex ductu planorum e i. . Α E in C D, aequale corpori quod oritur ex ductu E C in seipsum. M mmmm 2

313쪽

APPLICATIO.

tendae recta Α Aquendam arcum circuli ID Κ Ac super ΙΚ de. selibe circulum G G,CO: ductis, parallelis infinitis G D, quae nor. males sint ad I Κ, fac A B aequales A L. erunt itaque L Α hoc est A Bὶ ARADtres lineae in continuata proportione: diuisis autem rectis B D bis riam in F F, erit F p arcus aequalis arcui I B Κ : εe quia G C circulus est. hine G A normales ad diametrum IK aequales sunt rectis A C. Ergo saeris. progress. FG, F B, FC sunt semper in continua. Quare solidum quod fit ex ductu FB in seipsum, aequatur solido quod gignitur ex planis FC, FG inter se multiplicatis.

314쪽

r diametro NN circulus de-N P ad rectas Donatur parallelogrammum N R,&super diametro Nix feribatur N factis deinde tertijs proportionalibus N R, N exsurget parabola P P, ut suo loco ostensum ' est, eritque ratio Σ' P ad QR, eadem cum ratione quam continet NP ad N Q. sunt it que H ol, L M aequales & similes superficies supersciebus N P,N N R. Dico igitur ex sensu propositionis uniuersalis Q. huius planum P Rcirculai ductum in supersciem circularem OI aequale solidum proferre magnitudini emergenti ex basi P Q in altitudinem L M, simul cum magnitudine orta explano H K in QR planum.

PROPOSITIO CXCVI. Sexagesimiquinta es 2 bbri. Ontinuae proportionales sint AB, AC, AE;& ex BC sumi possit

dis BD aequalis AC. Dico rectangulum sub BA N CD, AE tamquam una linea constructum aequari quadrato A D.

315쪽

DUCTVs PLANI APPLICATIO. Sit parallelogrammum A B,

cui inscribatur parabola A C habens axem A A, ductil*parallelis ACBis ponatur B DR par ac similis parabola: AC,&, fiant BA, AC, AE proportionales; erunt igitur per os . progr. x omnia rei tangula super AB, dca CD AE, qualia quadratis A D. Corpus igitur ex plano B A insuperficies CD & Α Ε geni-' v tum, ' aequatur solidae magnitudini fictς ex plani A D ductu in seipsum.

PROPOSITIO CXCVII. Sexagesima quarta eiusdem libri. A C s D B i

C Int tres lineae in continua analogia A B,B C,C D i & diuidatur C DO bifariam in E. ' a Dico quadratum A E aequari quadratis A C, E B. sAPPLICA.TIO. REctangulis F C cuius diagonalis G G inscribatur parabola A A cti iussit axis IH Κ. ductis igitur parallelis F C, erunt tres lineae C A , C G,

'' ζ' Cp proportionales. sant autem CE, EI aequales rectis CG,CF, erunt itaque A C, C E,E I, proportionales. fiant insuper rectae I B aquales C E. Igitur per propositioncm decimam tertiam libri de progressionibus Geometricis erunt proportionales AB, B E, EI. quod Ii vero dividantur bifariam rectae E Lerunt D D ad lineam rectam, ut patet ex elementis. Ita- que per ε . progress. omnia quadrata A D aequantur quadratis A E, DB 6

. mulsumptis.

Dico solidum ergo ex ductu supersciei AD in seipsam aequari magnitudini

316쪽

' is p LAN via. s Ignitudinibus solidis quae resultant ex ductu plani A E ins simul cum eo quod fit ex ductu superficiet D B, in seipiam. PROPOSITIO CXCVIII. Sexagesima tentia eiusdemum C D B EDAtae sint tres continuae proportionales AC, CD, DE: & D E bis secta sit in B. Dico quadratum A B aequale esse quadratis A D, C B. Ap PLICATIO.

REctangulo CG, super eius CC Iatere tamquam diametro in

scribatur semicirculus CD , ductisque parallelis, fiant propb tionales GC, CD, C F,erit FF parabola,ut suo loco demonstratum est; εον - igitur si fiant rectis CF aequales CA, lineis vero CG aequales DE, erit 'A A parabola & E E stinicirculus. unde etiam propὁrtionaleoAE,C D, D E diuisis denique rectis DE bifariam in B B, erit B B semicirculus moniam igitur omnes AC, CD, DE sint continuae& DE bisecantur in B per 63 progressomnia quadrata Αα aequantur quadratis omnibus A D CB simul sumptis. Quare per propositionem uniuersalem sepius citatam,solida magnitudo producta ex ductu A B plani in seipsum, ςquatur solidis quς emergunt ex luperscie AD in seducta,simul eum eo quod fiea plano CB in seipsum ducto.

317쪽

DOnarur parallelogrammum ΑΒ, cui inseripta sit quaevis linea CC. t Dico parallelogrammum A B multiplicans seipsum, conficere soludam magnitudinem parallelepipedain aequale solidis quae fiunt ex superficiebus AC, CB seipsas multiplicantibus, simul eum corporibus quae

exsurgunt ex multiplicatione mutua planorum AC in CB bis sumpta. Nam si ducantur parallelae A CB infinitae, omnia quadrata ΑΒ, aequantur quadratis omnibus A C,C B una cum rectangulis omnibus Α C B bis. sumptis. res igitur ex propositione nostra' uniuersali est manifesta.

PROPOSITIO C C. R ista se sic Hamentorum.

Si rem lecetur in aequalia&non aequalia, rectangulum sub inaequali. biis sumbolis totius comprchensum, una cum quadrato quod ab in tei medix lectionum athuale est hi quod a dimidia describitur quadrato.

ra circulus ponatur CD. planum A D multiplicans, DB formare solidam magnitudinem una cum corpore quod gignit C D seipsum multiplicans, aequalemqsa - . t titati Disiligod by Corale

318쪽

1N P L A N V M. 81ytitati quae fit ex C A superficie ducta in seipsam. Ductis enim AC DBpa. rallelis more solito, erunt omnia redhangula A D B una cum quadratis C D aequalia quadratis CB. Ergo ex prop. 46. uniuersali liquet propo

situm

PROPOSITIO CCI

Sexta secundi elementorum. 'Cl recta linea bifariam secetur&illi recta quaedam linea in rectum ad-ijciatur. Rectangulum comprehensum sub tota cum adiecta, una cum quadrato quod fit a dimidia aequale est quadrato a linea quae vim ex dimidia tum ex adiecta componitur tanquam ab una descripto.

APPLICATIO. Circulum AB secent duae a quid istantes EF, GH, ad quas per Cen

crum agatur orthogona C C, cui statuatur quae uis aequi distans o D. Dico solidae magnitudini quae fit ex multiplicatione sit perficiei AD in in planum D B, una cum quantitate quam producit C B seipsum multiplicans, aequari corpori orto ex ductu C D in seipsum. Ducantur enim parallelae quotcunque ACB D: liquet omnes AB bisecari in C, adiectauque singulis esse rectas B D. Omnia igitur rectangula A D B cum quadratis CB aequantur quadratis CD. Quare ex propos ' uniuersali patet propositum.

PROPOSITIO CCII. Decima librisecundi elementorum.

SI rechaginea secetur bifariam, ad ijciatur autem ei in recham quς piam linea Acta: Quod a tota cum adiuncta, &quod ab adiuncta, utraque simul quadrata duplicia sunt eius , quod a dimidia de eius quod a composita ex dimidia ii adiuncta tanquam ab una descriptum sit quadrati. Nnnnn Λ λDiqitigoo by Corale

319쪽

ΑΡPLICATIO. SEmicirculos A A, B B contingant parallelet E F, G H; & C C diuidat

bifariam rectas A B parallelas ad E F, & ponatur D D diameter semicirculi B B. Dico ex vi propositionis nostri uniuersalis, duas lidas magnitudines factas ex multiplicatione superficierum AD, DB in seipsas duplas e L. se magnitudinum solidarum quae oriuntur ex ductu planorum A C Din seipsa.

Sl recta linea in partes inaequales secetur: earum partium quadrata aequalia sunt rectangulo quod bis dictis partibus continetur una cum quadrato eius lineae qua maior pars superat minorem.

APPLICATIO. Circulo AB inscribatur rechangulum

Dico solidas magnitudines, quae resul rant ex ductu superficierum AC , BC in scipsias, aequari magnitudinibus quae proferuntur ex multiplicatione planorum A C in C B bis sumpta, una cum parallel pipedo quod fit ex multiplicatione C Dparallelogrammi in seipsum. Ducantur enim quotcunque A C D B parallelse, patet Α C aequales esse D B,adeoq; C D differentias esse partium A C,C Bι semper igitur quadrata AC, CR aequantur re elangulis ACB bis sumptis una cum quadratis CD iuxta Commandi-bu -- ni Propos. iam allatam. Unde per huniuersalem nostra patet propositu.

Quia

320쪽

I N P L A N V M. si Quia vero propositioncs aniliae ex ijs quas Pappus Alexandrinus posteris reliqui nostro instituto non parum inseruiunt,hinc etiam nonnullas ex illis secernere placuit,quas libro septimo collectionum suarum inseruit, ut doctrinae auctuum Geometricorum eas aptaremus.

PROPOSITIO CCIV. Vigesi tertia librasipti PappiaAuxand ini

describantur AB, CD:&semicirculum DC secet E E. Dico quantitatem solidam quae sit ex superficie AC in CD ducta, aequari solidae magnitudini ex plano quae emergit ex planis A E,E D se mutuo multiplicantibus & solido quod nascitur ex ductu plani BE in E C. Ductis enim parallelis infinitis A DCED, erunt omnes AB, CD aequa-. 'les.Ergo iuxta Pappi demonstrationem omnia rectangula A C D aequantur rectangulis A ED, BE C. Ergo ex uniuersali' nostra liquet proposi

tum.

PROPOSITI OCCV. Vigesima quanali septimi Pani Alexandrini.

A B C DIisdem positis:sit punctum E extra lineam A D. Dico rectangulum B ECaequale esse rectangulo AED & rectangulo BD C