장음표시 사용
331쪽
S a DUCTUS PLANIH, rectae ponantur IK aequales A G siue AH , itorinales autem ad BD, aqua bifariam secentur in L I. : fiant deinde lineae Κ O aequales lineis GH, siue H C. Dico puncta B O C csse ad parabolam cuius latus rectum est E C. Demonstratio.
Iuncta AB describatur supet AB H
diametro semicirculus B M A,occurrensu G lineis in M: iungatiturque M B, R H. . quoniam igitur angulus AEn per laypo - thesim telius est , semicirculus B MA transit per E centrum circuli ABC , MM H lineis aequales sunt B M. sunt autem anguli in semicirculo B M A , adeoque Manguli BM H recti. ergo triangula lue MI similia sunt, adeoque quadratum B M est ad quadratum B M , ut quadratum B Had quadratum B H. quia vero anguli ad M, in semicirculo recti sunt,& MB rectae ducuntur ex centro circuli A FG, rectae AG in 11 bis sectae sunt : unde cum I
AG lmeaeaequentur, illarum dimidiae LR,MG aequales fiunt: A quia OK per hypothesim aequantur H G. reliqu* MH, id est, ut iam ostendi, MI reliquis Loaequales sunt. igitur ut quadratum M B ad quadratum M B, sic Lo quadratum est ad quadratum LO: sed ut M B quadratum ad MB quadratum, sic HB qua dratum est ad quadratum H B, id est L B linea ad lineam L B, quadratum igitur LO est ad quadratum L O vi BL linea ad lineam BL , parabola igitur est BOC, axem habens BE, ad quem ordinatim positae sunt L O , E C. quia autem EC, aequatur BE , etiam E C lateri recto aequalis est. Quod erat demon
REchae AC, B M diametri circuli ABC decussent sese ad rectos in
Hι ponantur autem per A, B, C contingentes, & rectae ducantur A G: occurrentes circuli perimetro in G punctis, per quς ponantur El
parallel x ΑC dc aequales lineis G C et lineae vero E L aequales fiant rectis A G, EL. Dico puncta I L ad parabolam esse virtualem. s
332쪽
DRoduc ntur utrimque F G, iqualiter in in& R, ut R Q Iotae insi bissecen- tur, & aequales sint rectis A G,G C: erunt igitur puncta R Q id veram parabolam. auferantur deinde utrimque lineae R T , Q S , aequales G C vel A F: etiam puncta S, B, Τ per prςcedentem, ad veram fiunt parabolam: deinde quia tota RQ aequalis est lineis AG, GC, ω RS aequalis GC, reliqua S R idcti Q T, quia SQ,ΤR aequales sunt in reliquae AG id est per hypotnesim EL aequalis est i sed di EL S aequales sunt G C , adeoque di inter se; illis igitur ablatis, reliquae IL, Σ Τ aequales sunt, sed S TAd veram sunt parabolam, igitur per definitionem huic parti praefixam,& IL sunt ad virtualem: quod autem illius axis,vera sit parabola sic ostendo: secen eur L I lineet bifariam per lineam P ΗΚ, dico P HK veram esse parabolam cuius axis est E P.quoniam enim L I, S T lineς aequales sunt,rectae quoque I O; S N, aequalium dimidiae aequantur. Quare si his addantur EI. Q S supra ostentae aequales, erunt rotet E N inaequales. cum igitur rectet BO, positae lint ad rectam lineam DP, sintque puncta Q ad veram parabolam, etiam puncta OOaerunt ad veram parabolam.
PROPOSITIO CCXVII. ΙIsdem positis: I
Dico planum in ductum in se, aequari plano E F,ducto in altitudinem A C. Demonstratio.QVoniam S ca lineae per constructione aequantur lineis G C, id in lineae AF,quadrata S inaequalia sit ne quadratis A F,id est rectangulis F E U: planu igitur Su i ductum in se, aequale est EF ducto in EU, sue in altitudinem A C. Quod erat de- 'monstrandum;
Dico E G planum ductum in E V, aequari plano T ucto in se.
333쪽
Ectae Τ aequales sunt ostensae rectis A G, quadrata igitur TQ aequalia sunt λ uadratis ΑG id est rectangulis G EV. planum igitur TQ aductum in sem quadratis Ac id est rectangulis quatur EG plano ducto in EU
pROPOSITIO CCXIX. CIreuli ADBC diametrum AB, secet orthogonaliter recta quaevis C D: centroq; B, interuallo B C, siue Is D circulus C E D describa
tur,quem in Esecent quotuis rectae DEF occurrentes circulo ΑΕΒ in F punctis, per quae normales ad A B ponantur F G. fiant deinde D E lineis, aequales L Κ, ita positae via diametro AB bisecentur in G. Rectis autem
D F, aequales fiant K N & LI. Dico IB N puncta,item C Κ L D, ad veras esse parabolas. Demonstratio.
L micirculo constitutus,estque B D semidiameter circuli C E D, linea D A tanget 5 cireulu C E Ddn D. Quare anguli insisteres arcubus D E, aequantur b angulis A D Rarcus igitur DE similes sunt arcubus A F. Ergo subtensae DE subtensis AF, adeoqihmia. de quadrata DE quadratis A F proportionalia sunt : sed quadratum AF est ad quam ια dratum AF ut ς rectanguIum B AG ad B A G. id est vi recta AC ad tectam AG. Ergo quadratum D E est ad quadratum DE, hoc est ex hypothesi quadratum Κ Lad KL. hoe est KG est ad quadratum K G, ut AG ad A Gi puncta igitur Κ ad veram sunt parabolam. Idem eodem discursu ostendemus de punctis Ib. Quod autem puncta II,N Netiam ad veram sint parabolam,sic demonstro. Super B Mescripto semicirculo secante BFin Η, iungantur B H. Quoniam anguli BH Dpositi in semicirculo sunt recti, etiam anguli B H F recti erunt, adeoque aequales.sunt autem & anguli BFD in eodem facti segmento aequales. ergo triangula BFH similia sunt; ergo BF ad BF, vi H F ad Η F. Deinde, quoniam rectς B H ex centro B circuli E R normales sunt ad DE, anguli enim B H D sunt in semicirculo erunt DE bisectς in H. Quare cum etiam KLex hyp. bisectet sicit in G, sintquo aequales ipsis D E, erunt DI aequales LG. Atqui ex hyp. totae DF aequantur totis LI. ergo reliquae H F reliquis G I aequales. quia igitur iam ostendi esse H FadH F. t BF ad BF, etiam GI est ad GI , ut BF ad BF, adeoque quadratum G I aci
334쪽
quad ratum G I ut quadratum BF ad quadratum B F, hoe est ut recta BG ad tectam BG. Puncta igitur II sunt ad parabolam. idem eodem discursu ostendam de punctis N N; Labemus ergo propositum.
PROPOSITIO CCXX. Circulum ABC, secet recta quaevis AC, super qua ut diametro semicirculus describatur ADC : dein ex A rectar ponantur quae uis Α B, occurrentes circulo Α Β C in B, & circulo Λ D C in D, per D normales ponantur E H, aequales rectis A D B. . Dico puncta H H ad parabolam esse virtualem.
Ectae H E producantur in F, ut E F aequales sint A D, erunt per 3 . libri de parabola,puncta PF, ad parabolam Deinde rectis DB aequales sumantur EG: per 3os. libri de parabol. puncta quoque G, G ad parabolam erunt. cum igitur lineqAD, DB, id est ex hypothesi EH, veras produeant parabolas, ex definitione patet H, H virtualem esse parabolam. Quod erat demoliurandum. . '
PROPOSITIO CCXXI. Circulum A B C secet recta quaevis BC, super qua descripto circulo
BF C, ponantur ex B lineae quotcunque B FE, occurrentes qui' dem circulo BF C in F,&ΛBC in E punctis , per quae rectae ponan tur EGI normales ad A C diametrum circuli A BC, occurrentes eidem in Gr salit autem lineae G I aequales lineis B F. . Dico puncta II ad veram esse parabolam.
335쪽
INtestigatituri iungi AE,EC, item FC: quoniam igitur anguli CAE,C BEijsdem msistunt arcubus' CE, anguli C AE, CBE aequales stini. sed anguli AEC, BF in semicirculis A E C,B I C, recti sunt, adeoque & aeqtiales: similia igitur sunt trianis a ro ιoo. gula A EC , B FC: quare ut A E ad ΑΕ, sie FB ad F B et sed A E translatet innot-
niales GI, veram producunt parabolam igitur dc BF in easdem translatae ad veram sunt parabolam.Quod erat demonstrandum.
rens contingenti per C ductae in D: ponanturdeinde ex A lineae A Gquotcumque occurrentes circuli ABC perimetro in G punctis,per quae rectae ponantur HGI, normales ad diametrum BC t fiantque Hi lineat aequales lineis AG. . Dico puncta II ad virtualem esse parabolam. , Demonuram.
IVncta AC describatur super AC ut diametro, Hrevius ΑEC, Oeeuerena lineis A G in punctis K E. quoniam igitur AD, parallela est diametro B C, re C D in C, circulum ABC contingit, recta AD normalis est ad C Dadeosti circulus A E Ctransit b per D. Fiant deinde ΑΕ lineis. aequales Hierunt puncta ΥT ad parabolamo
336쪽
Mam.Fiant insuper lineis A, EG i id est lineis EG qu sunt paries linearum A GJ
aequales NM,NP. crunt turium puncta MM. e P Ρ ad parabolam. quia vero HI ineeqquales sunt AG : N IIT ipsis AE aequales, rectae Τ I aequales sunt tectis Α, GE, id est ex constr.NM; ac proinde II rectae, duplet ipsarum ΙΤ aequales sunt rectis M P. duplis MN igitur cum II lineae translatet in MΡ, vexam producant parabolam M P ι erit II, parabola virtualis, cuius axis est linea T T, quam ostendimus stipra veram esse parabolam.
Circulum A B C secet recta per centrum AC, & altera non per illud AE,&positis DF ordinatim ad diametrum AC fiant rectis AD, atquales lineae D, E G, & D, E H. Dico G H esse parabolam cuius latus rectum est ΑΒ.Demonstram.
Quandoquidem quadratum AD, est ad quadratum AD, in ratione ΑΓ lineae
ad lineam AP. Cum sit FAC, rectangulum aequale AD, quadrato.quia vero ex elementis constat AF ad AF, eandem habere proportionem, quam habet linea AE ad AE. Igitur quam rationem habebit quadratum AD ad ADquadratum, eandem quoque recta 5E habebit ad rectam AE t sint autem EG aequales ex constructio ne rectis A D. Igitur quam proportionem habet recta AE ad AE, rectam,eandem quoque habebit E G quadratum,ad quadratum E G: est igitur G G, vel UH, parabola.quod vero recta AB, aequalis sit lateri recto eiusdem, lac costabit: recta AB est ex eonstructione lineae BG, aequalissigitur BG quadratum ad EG, quadratum talem habet rationem quam habet linea B A ad EA lineam: hoc est quam habet BG, linea ad lineam EA. quoeirea patet BG, hoc est BA,esse latus rectum parabolet GH. Quod erat demonstrandum.
ΡROPOSITIO CCXXIV. Sit in A B C circuli perimetro assumptum quod uis punctum A, ex
quorcetae ponantur quotcunque ΑΒ occurrentes circuli ABC perimetro in B B punctis , per quae rectae ponantur E F, normales ad CD diametrum circuli ABC: sint autem EF, aequales ipsis AB, & in Kadiametro DC bifariam diuisaei iuncta deinde AC, de*libatur super AC ut diametro semicirculus AMC , occurrens AB lineis in M M:
337쪽
8 8 DUCTUS PLAt II fiant autem dimidijs rediarum M B aequales, ΚΙ, Κ O; & E O lineis aea quales O H, denique FI aequales fiant lG: & EH transferantur in MP Q: vi P Q in K diuise sint bifariam. Dico EH, GF, item EG , H F parabolas esse virtuales: deinde ΟΙ, P Q eras esse parabolas. monstratio.
CM, CB: erunt igitur trianm . C MB similia inter se, ut ex elementis patet,vuod etiam ostendimus 1m.huius. CB ad quadratum CB, id est ut CK a linea ad lineam Cia sic Μ B quadratum ad quadratum M B: id est OI quadratum ad quadratum OI.MB, O I lineae per hypothesima quales sunt; parabola est initur vera C Cr
AR, &OI aequaIes M B: sint autem Ac liae bifariam , reliquae E FI aequales sunt,&simul sumptae a ciuales lineis AM: sunt vero Eo lineis aequales O H, ω F I aequales I G , fin-IE
δ' CD, veram producunt v parabolam: igirura: EH, GF trxnsIatae in PO ad Ueram sunt parabolam. ergo E H, F G sunt virtuales parabolet. Cum autem lineae o OII. rectas ΒΗ, ΕΗ & FG, FG bifariam dividant ex hylaothesi, parabolarum virtu Iium axes erunt Iineae O, O,I,I, quas ostendi veras esse parabolas Iterum cum EF lineς aequales sint ΑΒ,&FG ostensae aequales A M. reIisuae E G quales sunt M B, id est O, I, ex hypothesi. similiter H F rectae aequales ostenduntur rectis ΟΙ; igitur cum OI vera sit parabola , puncta E G, H F ad virtuales sunt paraboIas: quod vero P P, Q u quas veras ostendi esse paraboIas. rectas EG, HB bisecent, fac ostendo. quoniam Eo ex hypothesi aequales sunt P .addito vel dempto communi o P, rectae EP aequaIes sunt OK, tot autem EG ostensae sunt aequa Ies ΟΙ; igitur P G reliquet aequales sunt K I r unde E G in P P diuitae
338쪽
iunctis, ponatur per utriusque circuli centrum recta B H, cui parat ' letat ponantur D Q, E S: & D Q quidem versus A; S E vero versus C, o currantquelmeς AC in L & M : per puncta vero D, E ex Λ rectae po nantur ADF, AEG. lineis deinde AD fiant aequales D, LI. dc D F lineis aequales Q,LK. deinde & ΑΕ lineis aequales ponantur E, MO,& ipsis E G aequales S M N:. ostendimus supra puncta
esse virtuales. Dico autem corpus ortu
ex ductu plani IL in L Κ, aequari corpori orto ex ductu O M in MN. Demonstratio. .
PRoductae L I, circulo occurrant in P,8e M E rectae eidem occurrant in F, rectagulis ADFaequalia sunt rectangula ΚLI per hypothesim: similiter AEGrectangulis aequalia sunt rectania gula N M O i sed AD F rectangulis aequalia sunt rectangula PD Q. &AEG rectangulis aequantur FES, rectangulis. igitur PDa. PES equalia sunt rectangula ILΚ, OMN i sed PDd rectangula a qua ne rectangulis FES, modo distantiae a diametro B Η sumantur aequales in rcctangu Iis igitur ILK aequalia sunt rectangula OMNs quai ἡ 'IL ductum in x K b. le est OM ducto tu MN. Quod erat demonstra indum. 'M
INtersecent sese circuli duo ABC AC G in Α & C, si autem's een
trum circuli AC G, iunctisq; AC ducantur ex Alineae AG occurrentes circulo ABC in H r dein rectae AG transferantur in H, ΚΙ norma les ad diametrum BD,a qua bifariam diuiaantur in L Li ipset autem AH transferantur in H, ΚΟ,&in N,IΟ, erunt K Κ, Λ M, Ii, OO, verae
339쪽
a parallelae sint ΗN, CA, igitur rectansulum H N, CA, una cum tectanis gulo CH, N A id est quadrato CH , id est 'HG, aequatur quadrato AH, id , - est Κ Ο ex hypothesi. Igitur Κ o ductum in se excedit ABC ductum in A C quaa-M. . 8 44. litate ΚΜ in seducta. Quod fuit demonstran. m.
PROPOSITIO CXXXVII. HAbeane ABC, DE F circuli duo concentrici communem diam
tralem DF, ductisque ex C extremitate diametri circuli minoris, secantibus C B E, agantur per B lineae orthogonae BGI ad diametrum Α C occurrentes illi in G, dein C B lineis translatis in normales HI, ad diametrum A C,a qua bifariam secentur in Gι fiant BE lineis aequales B, H item I L. Dico tam puncta HI, quam KL ad veras esse parabolas.
340쪽
inoniam Hr lineae aequales ponuntur lineis B C, quadratum Ni ad quadratum H I, est, ut BC quadratum ad quadratum BC , id est ut CG recta advectam C Gi igitur HI uera ae formalis est parabola. Rursum acta per C eontingente OP, patet BEC, rectangula aequalia esse quadrato Co, adeoque Ae intersei sed cum per hypothesim tectis EB , EC aequales sint rectae ΚΗ, ΗL, erum KΗL rectangula, aequalia tectantulis BEC i igitur ΚHL rectangula aequalia sunt quadrato C Ο, aveoque & inter se. unde a KL ad veram de formalem sun αε- Parabolam. Quod fuit demotistrandum. '
PROPOSITIO CCXXVIII. HAbeant AB C.D E F cireuli paralleli communem diametralem DF.
actam per C extremitatem aiametri circuli minoris, tangente C dueantur ex C secantes quotuis CE occurrentes eiiculo A B C in B punctis, per quae orthogonae ducantur ad diametrum Ata fiant autem rectis BE aequales GH, tectis vero CB aequales HI. Dico HLI parabolam esse virtualem.