장음표시 사용
341쪽
REctis CB aequales ponantur NM, quas CA diameter bisecet in G, rectis autem BE aequales fiant NO, MK: erunt igitur per praecedentem NCM, OK
erae ac formales parabolae. quoniam tam GH quam MK lineae aequales sitne rectis BE, rectae GH, MK aequales stant inter si': ablatis igitur vel additis Communibus ΜΗ, reliqiis G M, HK aequales sunt sed MGdiniidiae ponuntur ipsarum CB, id est ex cons r. ipsarum H I: igitur 5: HK dimultae sunt HI: quare cum LRK Iinea dii iidens HI rectas bifariam, vera sit parabola, fit HI translatae In NM veram quoque producant paraboIam, patet HLI virtualem esse parabolam.
HAbeant circuli duo concentrici communem diametralem DF r Mex D rectae ponantur D B E occurrentes circulo minori in B , maiori in E punctis, per quq rectae ducantur E G Nnormales ad D pdiame- metrum, cui occurrant in G : rectae autem D E transferantur in E , G di D, BE transferantur in G H, K l.
Dico Hi parabolam es le virtualem. . A .
creentur H I bifariam in L It quciniat igitur DP lineis aequales sin GK norma in tes ad DP, puncta DK K ad veram sunt parabolam.quia vero tam , quatri H G. LI rectae aequales sunt, totv G Ic in L bise- ictae sudi ; adeoque ut ax ad GK. ii e GLest ad GL: quare L L puncti ad veram qu que sunt parabolam. vlterios ponanxur per D dc F contingentes, R R,FT, qua P R& T secetquς iis RT parallela DT tran ferantur autem dimidiae rectarum GK siue D E in G, MN, patet . M O veram estis parabolam. similiter dimidiae linearum III transferantur in P O. v quoniam igitur M oaequales sunt dimidiis GK, rectet xl O, GLdimilliae ipsarum aequales sontiscit de OP, L Hi quoque per constructionem aeqt anthr. reli- i quς igitur GH, M P aequat si int i unde si intelligantur O N fieri ae viales M O rectis,MPN rectangula aequalia fiunt rectangulis GHK, id est per hypothesiam DBE. quia vero rectangula DBE aequalia sunt quadrato contingentis Dbi , rectanguia D BR adeoque e M PN, aequalia sunt ; unde cum ΜM ad veram sint Prabolam, puncta quoque PP veram producunt parabolam. igitur cum dimidis linearum HI translatet in P O formalem constituant parabolam, Ze linea LL bisecans lineas HL vera quoque ostensa sit parabola, constat.HI puncta ad virtualem esse Parabolam G. - - . ii a
342쪽
HAbeant circuli duo excentrici communem diametralem D A Cex A sextremitate diametri minoris circuli) reeti ponantur A B oc- turrentes minori circulo in B, maiori in E: per B vero ducantur BI normales ad A C diametrum,cui oceutrant in G. fiant autem A, B Elineis ae quales GI, & Α Β rectae transforantur in i Dico IK parabolam esse virtualem. Demon alio.
CEcentur IK bitariam in P P, de AB lineae 'transferamur in GO: erit igitur Go vera ac formalis parabola. describatur insa per circulus ALL contingens ABC ilia , concentricus autem circulo D E F, occurratque An lineis in LL, tum A, BL transferantur l
ctae AB, proportionale sunt AL; sed AB l lineis aequatur IK, MAL aequales sunt Rin uitur IK RQ lineae quoque luesic pro- portionales τ' ottensuiti est auteni s Rca γ' parabolam esse virtutilem, & P P formalem; Qigitur cum IK translatae in Go 'Drmalem: R. u i producant.& PP linea, biseeans lineas IK. vera quoque sit parabola, constat Iκ virtua- γ cc - . V lem esse. oderat demonstrandum. . OPR0pos ITIO CCXXXI. '. . iCIbtendat recta AC segmemum ci culi ABC, erecta quoque coii Otingente circulum in puncto A, scilicet Α Ρ,conueniente cum altera tangente B N, quae triuidistat A C. ii Oporteat magnitudinem hibere ex ductu mutuo parabolarum quae quetur corpori sabenti basim P G.superficiem, de altitudinem AC, , tensam segmenti ABC.
343쪽
oveatur recta B E per cent um circuli eui sit aequidistam A D , eonvenlans inria contingente B N. in puncto N. fiant autem rectis A G , aequales rem G PN -ctis autem ΑΙ constituantur aequales I FH.diuisis denique bifariam rectisΜΗ,sa ipsarum dimidijs aequales rectet R L&KR, undem FΜsantaeqqalas LO. imprimis lineas OO. N L L, tare parabolas. Dico in seper corpus ex is o L
perficiei in seipsam aequari magnitudini super basi P G constitui habenuaIina nern parem lineae AC. Primam igitur partem sic demonstro. Ostensum est si CIC Garanslatas in rectas, quae a linea C V incipiunt exhibere para uis utu les insuper etiam demonstraulinus virtuales illas parabolas, si medietas tum applieetur hinc inde ex punctis RR , earim medierates in pundis se .cet L L & Κ K produeere formales ac veras parabolas L Κ. ostendimus pretiereae ctas A G.hoe est G: L adiunctas rectis R L, formare etiam veram parabolam . sent igitur verae parabolae O O, & L K, lineae;primam igitur partem sussiciet rter demonstrausmus. Restat itaque secunda, licet quod magnitudo habens basim P G.8c altitudinem A C. aequalis sit quantitati quae resultat ex ductu plani o L in is dueti: hoe autem manifestum fiet hae ratibne.Dueatur ex quo ais puncto G, recia G O aequidistans Α P. eontingenti, Jc simul ponatur recta A erit itaqlie,ut eradita quadratum AG aequaleetectangulo Q AC. hoc est rectangulo sub A C.posita est autem ex constructione linea F M, hoc est o L aequalia lin προ Igitur si fiat CT parallela AP, OL quadratum ςquale est GPT. tectan o. Bbrem per propositione in quadragesimam quintam hui s libri erit Q Lρum in se cluetum producens molem illi parem quam exhibet basis PR, ducta' aut '
Quoniam demonstratio communis est non silum segmento ABC, verum etiam ΑEC segmento Hinc totam superficiem PG, ductam in altitudinem A C. producere manifestum est quantitatem aequalem illi quet emergit ex plano L O ducto in se, partem scilicet LO, uuae segmento ABC conuenit in semu Itiplicatam aeuuari magnitudiniquae habet basim P G, inrerceptam parallelis, inter N B, A C. eonstitutis partem similiter L O, quae segmento ΑDC convenit in se piam ductam, qualem esse moli priauctae ex basi P G,collocata inter parallelas A C,de E V. modo aequalis utrique detur altitudo Α C.
344쪽
ICIrculum ABC secet per centrum acta rei ha B D, cui statuaturae qui distans AE. Oportet .autem parti cylindri habenti basim segmentum A F E,& altitudinem B D solidum aliud aequale exhibere,quod
gignatur ex duetu parabolicarum partium in se inuicem. Constructis o demonstratis. REistis AF fiant aequales lineae F, G N, in paralIelis FV, secantibus ΑE , ad
recti sangulos; rectis quo Que EF ponantur aequales F, GL, lineae; similiter lineis Α V, aequales statuantur U, G O, uti etiam ectis E V, aequales V, GM, collocentur. Denique quoniam ostendimus lineas NO& LM virtuales esse parabolas,reducantur hae ad formales ac veras KR, P e SS,TT, prout superius explicatum est: ostendendum igitur superficiem ΤΚ, ductam in SP, quae ambae sunt parabolicis lineis conclusae, exhibere magnitudinem quantitati parem illi, quae resultat ex basi segmenti AFE, dc altitudine BD. quod sic constabit. agatur X Taequid istans A C, sed per circuli centrum: iungantur quoque XA& XE, uti etiam AF & F E, triangulum AXE eam rationem habet ad AFE, triangulum, quam habet linea X Z ad FG. perpendicularem ad AE , sed etiam eriangulum AXE ad A FE, triangulum habet rationem compositam ex ratione A X ad A F, dc ex ratione X E ad F Ei, igitur ratio X Z ad F G , composita est ex ratione ΑX ad A F.& ex ratione X E ad FE : sed etiam rectangulum AXE ad re'angulum AFE, habet rationem compositam ex ratione A X ad A F, M ex ratione X E ad F E; igitur etiam ratio rectanguli AXE ad rectangulum AFE, eadem est cum ratione X Z ad FG: rectangulo autem AXE aequale est rectangulum XY , XZ: is urZ X Υ, reclangulum adrectangulum AFE, eam habet rationem quam linea XZad F G, lineam; ergo rectangulo FG, X Y vel B D, aequale est rectangulo AFE, sed lineae AF aequales sunt ex constructione rectis G N, α lineae FE, aequales sunt ex eodem capite rectis G L. Rectae vero- G N, dc G L aequales sit ni quoque lineis S P,ΤK; igitur rectanguli im S P, ΤΚ, aequale est rectangulo FG , BD. quare per propositionem Quadragesimam quintam huius, si1phtficies S P , quam ostendimus parabolis interceptam , diicta in planum T K, quod idem est cum S P,si inuertatur exhibebit corpus aequale magnitudini super basi segmenti A FE , constituis habe ti altitudinem aequalem diamet o circuli B D. Quod erat exhibendum.
345쪽
U Odem prorsus discursu patelat basim G V, ductam an altitudinem diametri B D. . aequalem magnitudinem subministrare illi quantitati quae exsurgit ex ductu plani S Q in sup*rficiem TR. s tenim S Q. &πR, lineae aequales rectis A v. MER ut ex ipsa constructibne,de praecedentium tenore satis manifestum est.
PROPOSITIO CCXXXIII. Circulum ABC, secet linea per cen
trum acta BD, qua diuisa bifariam in E & F, erectisq; ex ijs normaliter ad diametrum rectis EG, FC, describatur L L parabola axem habens B D. Deinde fiant con tinuae proportionales H N,KN, de MN. A Dico corpus resultans ex plano K M,in altitudinem B E , aequari magnitudini
subbasi ΚLi de altitudine B p., Demonstratio.QVoniam eontinuant candem rationem Iineae ΗN, Κ MN, ex constructione igitur quam habebit rationem H N ad KN,eanis . dem habebit HK ad ΚΜ, rectangulum ergo HN,ΚM aequatur HKN rectangulo. demon . stratum est autem rectangulum HKO, hoc est AK aequale esse H P, KL rectangulo, pri positione scilicet notiatesimaseeunda huius libri; igitur rectangulo HP,HL aequale est 1 ectangulum H N,KM. Igitur per quadragesinam quintam huius eonstat pro
Corollarium. Ine manifestum est lineam 11M, non esse parabolam, nisi λαε quis eam etiam virtualis nomenclatura dignari velit, ed quod ad formalem aut veram facile ponsi reduei.si enim fuerint I N, rectae constitutae duplae rectarum ΚN , erit R R eulipsis,ut ex lib.de Ellipsi constat. postis autem tunc tectis I R, aequalibus ΚΜ, erit RR, vera parabola, cum eandem rationem sint habiturae rectae IN, ad N R , lineas quam habent K o ad Ο L, rectas, quare paret R R, non minus fore parabolamquamst ex constructione facta L L parabola.
Circulum ABC cuius contrum D, contingant AE, Cp eductae e tetminis diametri AC , occurrentes E F, contingenti quae aequi distet diametro A C, te per puncta ABC descripta sit parabola cuius apex Broc per puncta AC describatur parabola habens verticem in concursu lineae BD cum circulo ABC , quae producta occurrat contingenti EF
346쪽
Dieo superfi*m L M, d mam in seipsam exhibere corpus aequale ma gnitudini quae basini habet GH, plaάum, εο altitudinem GI.
'Demonstrasis. . , ιOStensiani est secunda propositione de hae materia parabolae virtualis, rectas ΑΚ.KC dispositas ut dividantur bifariam a recta B D, producere parabolam. L. L, O Q. praecedenti quoque propositione demonstratum est lineas Α Κ, Κ C col- Iocatas ex punctis G G, proferre parabolas virtualesHuae reductae ad veras ac formales exhibeant parabolas LO,&MN, habentes PD, axem, latus vero rectum aequale BD. Cum igitur parabolae AB C 3c LL, OO, latus rectum habeant aequale BD , necessarium est ut illae ipse existant de quibus praeceden libus propositionibus mentio facta est. Θ ite, L M, sunt aequales AH , vel κ C, sed quadrato AH, aequale est no I, rectangulupi igitur etiam quit distuli, L M, aequatur AGI retiangulor quamobrem per propositionem quadragesinam quintam huius lib. manifestum est magnitudinem quς fit ex ducto perficiei L M in seipsam aequati corpori sit per basi GH, constituto, At ali studinem nabenti GI, si neam rectam. Quod demonstrandum fuit. .
PROPOSITIO CCXXXV. Ponantur eadem quae insuperiorestemate sunt posita. ' , Dico basin G K, ductam in altitudinem c L , dare molem illi
347쪽
lineis quae sint in continui ratione, hoc est ---- lineis G K, IK, H Κ, erit H H . parabola: Mἰtque AD E iii seductum , ad A BC du- α MI ctum in se,uteit superficies AEL ad superfi- T',s Keiem ACBLA. cum sirperficies ADE i, in vs ducta aequalis sit AHLE diacto in alti u- ς ἔ-- αε- aedinem AF , item ADBC in se, aequale sit Q T lκ superfieiei ALBC ductae in altitudinem AE, Saltitudo autem sit communis. sed silperficies ΑΕ Lad AC BL ς triplicatam habet rationem ΑΕ ad AC: igitur de A DE in se, ad ABC in seductum,triplicatam habet rationem lineae AE ad AC. Qividerat demonstra sum. in I '
SIt linea A B contingens parabolam C A D in vertice A, ponantur axi atqui distantes B E, F C inter se aequales , ' Dico solidum emergens ex ductu G I,in G L, aeqiusti solido resiuita .ri ex mutuo ductu superficierum HK, KM. 's monstratum AE est medias inter GI, G L scilicet G N eme ad eandem parab iam quae est similis C AD paraboleti item lineas quae terminantur in parabola COA, quae est similis C AD, medias esse inteea igitur cumGI aequales sint HO, illae nempe quae aequaliter ab E,& C, distant, quadrata quoque G I, H &consequenter rectangula etiam I GL aequalias e re stangulis ΚHM; ac Prop ςrς ' corpora etiam inter se aequalia sunt quae oriuntur ex ductu superficie- Τ' εν tum G Iin GL, de HKiti ΗΜ. God erat demonstran4um.
. . PROPOSITIO CCXXXIX. Sit parabola ABC, cuius axis AD, &recta AC occurrens parabola:
Dico B D ductum in se, proferre solidum quod ad corpus resulian ductu ED plani in seipsum, habeat rationem quam tria ad duo.
348쪽
' tres continuae PD, BD, ED. similite si fiant tret continuae FI , ED, GD, b eruGG purabola. igitur e corpus cmergens ea sumi cia BD in altitudinem FD aequatur illi qhod fit ex ductu superficiet BD in seipiam. pari pacto corpus qnod eruitur basi GD.ia aiticii dinem FD. aequale est pyramidi quet exsurgit ex BD triangulo in seducto. Igitur ut est superficies EDadsuperficiem GD, ita est co pus ortu in ex ductu B D plani in s , adsblidum quod oti-.tur ex ductu ED in se: sed i up erficies CD cst ad superficiem GD, siue BZ ut tria 'ad duo, tam β BF duplum sit BEi &consequenter ED triplum eiusdems igitur etiam BD in se ad ED sed m, . rationem eandem obtinet quam tria ad duo.t Quod erat demonstrandum.
IArabolet ABC sit axis A D., apex autem A punctum, cui subalter- 1 ne collocetur parabola D EF ad axem D A, &positis duabus aequia distantibus ordinatim ad axem scilicet GD,lΚ, fiant rectangula OP N. aeqii alia rectangulis QPR; sit autem G NI, linea recta,uti de H R K. Dire corpus cx ductusa perfic erum NO, PQ , aequale esse corpori quod generatur explanis inuicem ductis ori QR. Demon iratio.
1Voniam ductum planum PQ in al- plano in planum PQ , &quandoqui- dem solidum habens basim OP. M altitudinem P R, aequale est duabus qualitatibus quae sum ex ductu plani o Pin PQ, Nplani OP in QR planum. est autem solidum ortum ex ductu OP, in P Q. commune utrique: igitur si hoc ipsum.o P in utroque ait seritur, remannunt aequalia corpora, scilicee corpus ex ductu N O, in PO aequale stilido' quod exhibet ductus plani o P, inKER. inod demonstramlum fuit.
Ponantur iteru paraboli sub ialterne A B C, D E F habentes axes parallelos Λ C, D Fi & ducta axibus parallela BK, fiat co rus habens fasim M G , 3c altitudinem. GN aequale solidu quod fit sub basi G Ο & altitudine G P. Dico solidum iactum ex ductu plani M G in O N,aequari corpori exhibit per ductum G Ο in P M planu.
349쪽
Demonstratio. εESt lanuo commtine corpiis exsuperficie M G. in Go. Igitur residua com tini tempto suiu inter se aequalia hoc est PM in G aequale M G, vi ON, quod
fArabolae ABC, DAE sub alternae statuantur habentes AC, DE axes, quos secent ordinatim positae FG, Hii sit autem corpus ex basi LM in altitudinem Mo, aequale solido quod basim habet M N, & alti
Dico corpus emergens ex ductu planorum LM, NO, aequari solido quod sit ex multiplicatione superficierum KL M MN. Demonseratio.
QVoniam corpus ex MN, in aliatitudinem ΚΜ, aequatur solidis duobus, uni quod generatur ex ductu MN in ML,&alteri quod resultat ex ductu M N , L K. Deinde cum soli .ium baseos L M, & altitudinis,M O,aequetur duabus quantitatibus quarum una est orta ex ductii superficierum I. Μ, M N, Sc altera produ icta ex ductu planorum LM , N O. Igitur si commune tollatur corpus virlinque scilicet quod fit ex ductu LM in MN, residuaquq remanent inter se e runt aequalia, hoc est LM in Mo, aequabitur solido, quod oritur ex ductu KL in MN. Quod erat demonstrandum. . . .: 3 .
. PROPOSITIO CCXLII i. .i ': . . Ponantur duae parabolae parallelς A BC,& EZ, diuisus sit commis
nis axis in partes aequales in punctis EFGD, &e. &duetae sint ordi natim ad axem HE, I F, Κ G, AD. .
Dico corpora quae genem. Tantur ex ductu O R in RV,
inter sese este aeralia. . Demonstratis
Libro de parabola demonstra- . tum inuenies quadratum cω tingentis HE, aequale esse cuiuis rectangulo quod fit sub partibus cuiuscunque lineae quae aequidi stet HE videlicet O R RPS X, vel QTY. quare rectangula OR V, aequalia sunt rectangulis P s X, vel Q TY. ergo cum stitudines ponantur R r r r r aequales
350쪽
aequales EF FG, GD parer per propositionem qua tragesimam quintam liuius li. bri eo ora O R U,PS X,de Q T Y,esse inter se aequalia.quoci oportuit demonstrare.
PArabolae A BC, D'habeant aequale latu reinum ad axem constitutum, sintque subalterne positae, quas secent AE, BF ordinatim ad axes constitui it autem CD Iinea aequaliter ab axibus distans;ad quaci collocentur situ subalterno HK lc K M parabolae. Dico Alidum ex ductu plani GH in planum MN emergens, duplum esse quantitatis quae producitur ex superficierum H Κ, Κ M mutua multiplicatione resultantis, siue dico G H ductum in se subalterne producere
duplum eius quod producit H Κ in K M. . Dinon alio.
, T Vctis GN qua aequidissent ΑΕ, gant rectis HI, aequales GP, ω similiter lineis II ' DL M. filut aequite, O N, libro de parabola ostensunt est Κ I, Η, Κ G, & K Κ M.L N esse proportio les lineas. Insuper ostensum v est, si tectis G P, hant aequa-: A1.u e T N O , fiant Ouales LM, denuo lineas ΚI, I H, H P; v KL , L M,
tionalia eme, est autem rectangulum PH, MO quadruplum rectanguli lineae PH, duplς sint KL, Zelmeς MO, duplae linearum I Κ; igitur rectauulum HI, L Μ, quod est medium inter IK L οι P H,M O, dupIum est rectanguli IK L. Quouiam autem proportion es sint lineae G K, H Κ, Ir , κN KM. KL erit vi K G ad GH , ita ΚH ad HI, & vi K N ad N ita LM ad ΜL: proportionalia sunt igitur rectangula GH, MN ita HL LM rectangulum adrectangulum IKL: sed rectangulum HIL Mnupestrectanguli rectangultim GHi Iduplum HKM. Quὸpropter perquadragesimam quintam huius,lolidum ex duα
cierum ΗΚ, ΚΜ inter se multiplicatione. Quod demonstrandum fuit.