장음표시 사용
351쪽
O Stensum est continuare eandem rationem lineas KL,LM MO. Igitur si adda- . intur LM media tertiae MO, orietiar SN, quae cum MO, OL- exhibebit tres apis rhλproportionales. si iniliter ob eandem causam continuabunt eandem rationem PH, HI, GK; ergo rectangula PH,MO,&HG,ΜN cum rectangulas GKN, erunt in continua analogia.Quod erat dei non strandum.
Grosiarium. Hinc colligi poterit MN in GH, planum multiplicatum idum exhibere quod lit duplum corporis orti ex ductu stiperficierum mutuo MK, KH: nam IKI..HKM & G KN, sunt proportionalia Deinde M PH M MN, GH eum NKGsint proportionalia; igitur IKL ad PH in MO, habet duplicatam rationem eiusquam habet HKMad GH, ductum in MN, cum primus terminus si e communis in duabus illis serie bus trium continuarum.sed ratio IKL ad PH, ducti in Mo, est unitis ad quatuor, ut constat ex discursii praecedenti demonstratione facto: igitul ratio HKM ad HG, in MN, est ratio unius ad ἀuo, cum ratio quadrupla iit duplae rationis duplicata.
Int parabola: ut prius constitutae subalterne A B C, ADE, sintq; AC, o C Baequales inter se,uti & A E,ED ac proinde GE, quadraturia, de ΑCD, subalterne adiiciatur in EFD. Deinde fiat semicirculus ΑGC. Dico corpus exortum ex ductu HL in L Κ, aequale esse semicylindro super basi Gl di: altitudine AF. Demonstratio..PRaecedenti prepositione demonstratum est solidum emergens ex ductu HL In LK. duplum esse solidi quod gignitur ex ductu HI in L M,bsed talidum ex ductu b Pistια Hl in L M, aequale est semicylindro stiper basi GI,Scaltitudine I M. Igitur cum HK sit aequa Iis AF, quae dupla est ΑΕ, vel IM, manifestum est corpus ex HL in L Κ, aeqitale esse semicylindro GI, baseos, de altitudinis ΑF. Quod erat demonstran
352쪽
SVb alterne constituantur parabolae A B C, D B E ad axem communem AD, intersecantes se inpuneto quodam B, a quo demittatur B R aequidistans axi Α D, facta autem B R,aequali F Λ,ductaq; ordinatim F H, ponantur HI, Lia quae aequid istent AD Dico solidum productum ex ductu superficierum E N, O P aequari eo pori quod resilitat ex ductu planorum R,R S.
Demon alio.QVoniam aequales sunt D G Ac A F, igitur ve AG ad A V,ita es DF ad D Τ gitur ut linea BG ad Um est FH ad ΤM,3equi ave AF ad .AT, ita est D Gad DU, igitur ve est FLad TR ita est GB ad VS, hoe ςst ut O Tad Prita est RV ad SU. ergono P ad PT, ita est RS ad SU. quare cum sit H Fad TM,ve BG ad .prit quoque N Tad ΜΤ, ve est RV ad Raeconsequetuer ut M N ad N T. ita QR ad R v. de quia est MΤ ad SΤ, ita quoque QU ad Premo ut est Μ N ad QR, ita est R S ad o P; igitur rectangula MN, o P, de QR S aequalia sunt.proinde per s. huius solidum ex ducta M N in o P. 'aequatur corpori ex ductu QR, in planum R S, producto.Quod erat demovistandum.
353쪽
Necestas es misitas proportionablatu Geometrica.
Vniam in hodemiamdum, σ impersectam esse Geomerme fiumiam, multis argumentu ostendi possis , adeo diatores exquirere qm notia: tiam rerum suo labore exciadant quas in sinu suo ampMsima mastitatis
recondων tenes: inter ceteras mero partes quae necdum prias runt ianumerari merito pote ars ea omnis qua rationum proportiones continet, sum expluat quo Geometricis contemplasionibus instruire queat. Antiqui Geome tria cultores proportionum eam particulam prosecurasunt, qua rationes si lis inquatuor maxime termιnis,m duabus scilicet rationιbuae constrientes,considerat; proportio--χυιheet omnem tamquam minus cratilem respuentes, qua rationes eoiecteretur qua ibi Merarisuis non eo emrent. Vnis mirum etnderi non deber A ad FLviendas extraorduanas docustates non satis nasisi adnuenerint in Haementis communi Geometriae Ho adaptatis. Haec consideratio aeu multumque me su*ensim te-umt, derimnendis nouis adiumentiae cogitationes iniecit. Mirabar pri, tota ob atione intersa sidere eas geometria partes quae rectumeis tremmaritW c ' Paeuritas mel moris clauduntur,it impermum communicarronis intersico er predae erant tot tamque prae tantibus ingemis q- cuculabimaramurat secura sat unisummo labare,nec minore industris, quae opta sue se cara ritu is rei manas eausas excutiens mis iliam reperirepotui quae melisur moment--ret Tandem incuti in quandam Jeculationem qua dureum rerundam incuruorumpamus e ferebam cum partibus duorum restibneorum, oe animaduerti raraonrbus conuenire partes zmmae curuι cum partιbus aberius curui; simibterpartes C tuae rectitora conuenire eum parratas alteriin rectilinei, in quiam rationes communes eseum eorum isterse'restit eorum interse. μνω Hscursia ex tot terminis copulatis formandi exemplo neque in Geometricis, quem ina alas entia exfrabat magno du er conamine ιntendere debui eis ita miti ea in re sat sererem, i a co
354쪽
μεμπια id sim praestarem.conabor r dem binium conceptum M scematibi exprimere. Sint duo eurua A . B ,. comparanda cum duobis rea lineu C-D ,sintque partes euruorum E, F o GH proportionales partiatas rem eorum i , Κ ι L, M, hae lege t ra tio F-, eadem sit eum ratione Κ -I: ratio simulare Had G, eadem cum ratione Mad L,sic tamen trano F ad Eb, nonsi mitis rationi H adG, reconsequenter ratio Κ ad Isit dissimilis rationi M ad L, atque talis ratio
comparandi reperiatur in omnisubdiuisione pamtium cui arum quantitatum cum partibvssubdiuisis quantitatum rem earum: hine bquido
apparet necessanum fuisse rationem excogitare, quasermari posset distursis qui loco quatuor te
minorum proportionabum teretur octo termi
nis, ita mi legitime inferri poset, ficus babet, ratio F .ut E, adrationem His G, itasib Ibet ratio ΚώI, ad rationem Mad L.atque hac ratio distur eo lectitur dure F
urationum eombinationes, modo diuersitas assumpta in antecedentibus, assignetur etiam in consequenti δ: inde diuersibμα etiam quantitates interst eo aratae, ostenduntur certam obtinere raπιonem, eum qinbusvis duabus quantitatibu mori legesseruentur adtalem discursum eonemnandum necessanae. ad odum
355쪽
PROPORTIONALITATES GEOMETRICAE. 3s
PRIMA. Proportionalitatem voco roportionum rationem.
, rationibus similibus, atque adeo necessariis quatuor saltem vi - tuales terminos eam requirere. Proportionalitas igitur com sic ratio proportionum, duas minimusti fomplectitur proportiones, quocirca octo terminos postulat: nam ratio inter duas consistit quantitates , proportio inter duas rationes versatur, quare quatuor membra requirit. Proportionalitas igitur duas proporti nes complexa , octo membra scu reminos exigit: quatuor scilicet rati nes, quarum singulae inter duos terminos constitutae sunt i vel duas proportiones, quarum singulae quatuor permiuos sestem vitruales complectuntur,Exemplo facilius res innotescet. Sint rationes quatuor
A B,C D, E F, G H, duo termini
A B, de C D similes si fuerint rationes , proportione constimenti
ita ut dici quinto A ad B, ita Cad D, vel ut L ad F, ita G ad H. Veru quatuor rationes A B, C D, EF, GH, proportionalitatem constituunt; quς sic efferri debet quemadmodum est ratio AB, ad C D rationem , sic est ratio E Fad rationem GH ι non tamen hoc ita est intelligendum vi casu quo dissimiles snt rationes A B,C D,& E F,G H proportionalitas non existat, plurimae enim rationes, inter se dissimiles,sunt proportionales, ur patebit ex s. parte huius libri,& quibuscumque quatuor tationibus expositis, rin mari potest proportionalitas. Posito enim i,denominatore rationis A Bi
di rationis CD , ipso Κ; ερ reliquarum EF, G H, ipsis L εc M : ρο-
terit dici proportio rationum AB, CD ad proportionem rationum EF, GH, est ut ratio I K ad rationem LM. quae consideratio non parui ponderis existimanda est,scopus enim in quem collimat totus huius libri decursus, in eo maxime consistit, vi tationes dissimiles, ad vium Geometricum reuocau possint: nam in Geometricis proportionibus ab antiquis auctoribus, similitudo rationum ista fuit adhibita; ita ut arsumentum a proportione nullum posset proferri, quod similes rationes non contineret Auxta definitionem ipsim proportionis, a veteribus nobis relictam; quae
356쪽
ss8. ' P R O P Ο R T 1 D. N A D. I T A T E S . quae rationum similitudo appellatur. ex quo satis apparet, Geometriam hucusque, quem adrnodum circaevarias materias ita quoque in ea quae proportiones considerat, mutilam remansisse ; tanquam sit rationum di similium proportio, ad Geometiarn non spectare r. Conabimur itaque hoc libro disti millimas etiam rationum proportiones ad Geometriam reuocaret qui usus maxilite ad sulisse magnitudinis consideratjones conducit, utinam Geometriae studiosi vastitatem Oceani Geometrici perspectam haberent, non haererent in elementis Iusque deque in uertendis, o ut dici solet, de charta in papyrum transferendis.
m D E F I N I T I O I I. Rationum denominatores voco, quantitates qua mutua habitudinev sua exponunt ualis ipsas interrationesproportio intercedat. - EXPLICATIO.
A , T Atae sint rationes A ad B, C ad D, & sint totidem
HB - I lineae, I, & F, quarum ratio exprimat proportio' nem rationis ΑΒ, ad rationem C D; hoc est, sit quem- C admodum linea E ad lineam F, ita ratio A B ad ratio-'6- nem CD r has lineas, E rumirum dc F, datarum rationum denominatqres appellabimus. Porro conte*Ulationem eam omnemque circa rationum proportiones denominatoresq; versatur, ad veram pertinera Gemmetriam, de qua demonstrationes illa suas non secus ae dρ simpluibus quantitati, mirrare possit ripa controversiam esse debet: quae res vici rius intelligatur scien)um est, non solum lineas, superficies,& corpora, ad Geometriam spectare; sed omne id cui conuenit eadem ratio propter quam vel lineae, vel superficies, vel corpora a Geometra tractari possint: lineat nim, superficies, & solida, fion minus ad physicam contemplati 'nem, imo Metaphysicam pertinent, secundum considerationes ungulis
proprias, quam ad Geometriam; quae in lineis,superficiebus& solidis nuhil aliud contemplatur, quis diductionem quantitatis, secundum qua,
lineae inter se comparant ur,autisuperficies, aut solida, quatenus una maetitor vel minoraltera ,auialteri est aequalis,aut una per alteram multiplic est vel inuleem una alteri addi, aut abalia demi potest. quae omnia circa aequalitatem aut inaequalitatem versantur. unde omnes res physicae, prout huic considerationi sunt subiectet, ad Geometriam non miniis spectant, quam tres primariae species quantitatis r nam temporis duratio, motus assectiones , ponderum momenta, &s excetria alia , secundum eastem considerationes, Geometricis Theorematibus subiecta sunt. Quare cum rationes quantitatum inter se partim sint aequales, partitu inaequales, ac proinde una alteri aequalis, alia verὁ maior, aut minor altera. cum ratio minor a maiore tolliqueat, & ratio per rationem multiplicari, & ratio rationi adiungi, Se necessario concluditu etiam rationum notitia , ad
357쪽
GEOMETRICAE. i MyGeometriae scientiam plane speetare. Difficultas tamen quam Geometrae huc usque inuenerunt in assignandis denominatoribus rationum, ita eos terruit, ut neminem huc usque reperire potuerim, qui huius menti nem faceret: nonnullos, eosque paucos reperies, qui tractarint de den minatoribus rationum rationalium, quae existunt inter terminos, qui Arithmetice exprimi possunt,qui tamen ulterius materiam hanc prosequi abstinuerunt: neque sanc immerit3. quis enim non haereat,si ab eo postuletur, denominatore rationis cuiusuis, scilicet quae inter datas quantitates Α & B consistit, exhiberi r nam iure merito ---- responsi loco subiun- B gςt, rationis denomi- --
gratia C ad D, adsera- E FLur, cum qua prima Α o x ad B , conferri queat, - - ut vere inquiri possit, i 'qualis ratio exsurgat inter denominatores .
tiones ipsas datas AB ' .α C D, quo facto ap
stulatum fuisse, exhiberi denominatorem rationis A ad B. Deinde si ratio A ad B, ad rationem C ad D, perhibeatur esse ut E ad F, ita ut denominator rationis A ad B, sit E, Se denominator rationis C ad D, sit F, si quis producat alijs tetminis rationem G ad H, si1milem rationi E ad F, tunc denominatores rationum A ad B, de C ad D, erunt G,& H, non mimis quam E & F quare postulanti sibi exhiberi denominatorem rationis AB, non minus satishet, proserendo quantitatem G, quam E. Unde merito talis quaestioquemuis Geometram percellere nata est. Conabimur itaque praetenti libro aliquid lucis adferre,pro tenuitate nostra, huic materiae. in quasi quid fortasse Lector adhuc desideret, dignabitur meminisse nullas scientias a primo inuentore perfecte traditas fuisse. Ne tamen difficultates iam propositas insolutas praeteream,respondeo verum esse,si ratio,quq in numeris exprimi nequeat,solitarie sumatur,denominatorem eius exhiberi Geometrice non posse. Quod si binae vel plures fuerint datae rationes, assignari poterunt iuxta lentum desinitionis nostrae singularum denominatores, qui nimirum demonstrent quales inter rationes ipsas proportio intercedat. Atque hoc non tantum i duabus certis lineis praestabitur, sed a quibuscunque alijs, quet prioribus propor- Sssss tionales Diqiligod b, Cc oste
358쪽
8 o PROPORTIONALI TAT Estionales existunt. Nihil igitur est cur Geometra percellatur , quod eiusdem rationis cum altera ratione comparatae, plures denominatores exhibeantur, si iuxta definitionem a nobis positam, probe intelligat denominatorum ossicium non aliud esse, quam ostendere qualis inter rationes datas proportio intercedat: id quod non magis per certas lineas E & F, quam per quascunque alias eandem cum ipsis E, dc F, rationem obtinen
P R I N C I P l V M P R I M V M. Einitia nitum is eadem Vecie quantitatus oportio. EXPLICATIO.
Tonnulli reperiuntur,qui postquam quadraturae circuli multum,sed I vano successu insudarunt, Geometras reliquos a problematis illius inuestigatione terrere cupientes, ne forte illis interiores haberentur, tu tionem plane iiii possibilem asseruerunt, laoc solo fundameto innixi, quda curui&recti proportio nulla esset. In gratiam illorum, quamuis princi lium a nobis politum explanatione non egeat, paucula nihilominus hoe oco praemittenda censiti; neque enim haec ipsa assertio vanitate carere videtur, quippe si theorematis nomine prosertur, immerit ὀ postulant ei fides ut habeatur,cum demonstrationis Geometricae nucleo non excludatur. mod si vero principii in demon si rabilis serie contineri postulent,potiori iure nostrum quod posuimus principium, id sibi vendicat. quis enim
neget parabolam curuam figuram 8 imo tali inflexione inclinatam quae in suis partibus longe dissiciliorem contineat curui rationem quam circulam res, quae ita inter se sunt uniformes ut qui una norit, omnes tene reliquas perspectas habeat,atque inter se comparare queat, non minus ac Geometrae linearum rectarum inter se rationes contemtiantur: parabolae autem ambitus seu perimeter in suis partibus usque adeo multiformem complectitur varietatem, ut nullum naehenus authorem repererim qui de com-
Iaratione illarum partium inter se au sus suerit vel mentionem facere.Ni-ilominus nemo inficias ibit recte ac Geometrico discursu ab Archimede parabolae cum quadrato assignat messe rationem; vana igitur prorsus est naec assertio, quocunque tandem modo intelligatur. quia vero tantum sunt tres species quantitatis, linea, superficies& corpus; hinc principium nostium de tribus illis hoc sensu volumus intelligi, ut omnes lineae siue rectae fuerint, siueinflexae; similiter & superficies seu curvis clausae fuerint terminis, siue rectis quemadmodum & corpora seu planis superficiebus
terminentur,seu non planis, inter se comparari queant secundum rationes quae quantitatibus conueniant.
Quod si quis disputationem in medium proferat qua nonnulli non infimae sortis Geometrae disceptarunt de angulo contingentiae,an ille scilicet secundum quantitatem cum angulis rectilineis secundum aliquam Proportionem coferri possit,responsi loco repono quod anguli sue rectilinei Disiligod by Corale
359쪽
GEOMETRICAE. 8 Ilinei fuerint, siue curui, siue mixti, non alia ratione ad quantitatem spectent quam secundum spatium quod continent, siue illud planum fuerit, siue solidum, secundum quod inter se non minus comparari possunt qua alia quaevis superficies cum fit perficie, aut corpus cum quavis solida magnitudine: angulus enim in recto sui cum Philosophis loquarὶ non est quantitas, sed quantitatis in obliquo;siue aliquid est ad quantitatem pertinens. unde secundum naturam suam excludi debet a veris speciebus quantitatis. Quod si enim inter veras quantitatis species angulos admiserimus, incidemus in labyrinthos, quibus Geometriae principia se destruant necesse est. quod ut manifestum fiat, sequentis propositionis demonstrationem considerandim pono.
Contingat AB, duos circulos se contingentes in B, exhibentes angulos con tingentiae A B C D, A B E F., Dico hos angulos esse in ter se aequales. Demonstratio.
TLIae enim sunt dicendae aequaIes quantitates, a Aquibus in infinitum partes demi postunt inter se zquales: sed hoc fieri potest in angulis dictis. quod sic ostedo. Diuidaturiemicirculi perimeter BD Hbifariam in D , & ducta B D Oecurrat circulo BFG, in Pigitur angulus DB H aequalis est an gulo FBG. eadem operatio fiat de arcu BCD: biseeetiirici licet in C,3c ponatur recta BG, it que etiam angulus CBD, aequWis est angulo ABF: sed hoc in infinitum fieri potest,igitur quantitas anguli HB CD semiperimetri cum diametro aequalis est quantitati anguli GBEF semiperimetri BFG, eum diametro BG. Quare etiam residui ansuli contingentiae qui complent rectum angulum sunt inter se aequales. Hine consequitur doctrina quae plane destruit Geometriae principia,quod scilicet totum sit parti suae aequale.nam angulus G BEF pars est anguli HBCD. Pluribus rem hanc proinqui abstineo, quod instituto nostro parum conueniat. Priusquam nihilominus concludam,memineris velim non flustra additam in principio posito particulam,m eadem specie q-nritarat; lineae etenim cum superficiebus aut solidis nec comparantur,nec comparari possunt a Geometra, uti nec saperficies cum ulla solida magnitudine.
360쪽
Druutris invespluribinquansitatibu/,ratios rimaad ultimam corala pomtur ex rationibus mediarum,sime prima quantitas ad ultimam his det nationem qua oritur ex denominato ribus mediarum rationum
intes multiplicatu. EX P L I C ATIO. Q Vod principium etsi verissimum sit, & a magnis Geometris. , non
semel usurpatum, non ramen usque adeo omnibus arridet ut eius demonstrationem non requirant. ego vero censeo cum omnibus Geo
metris tamdiu inter principia esse censendum, donec alicui ratio occum rat hoc ipsum Geometrica demonstratione inter Theoremata reducem di . nec mirum cuipiam videri debet principium hoc communi greg 'rioque Geometrarum vulgo non ita cognitum, ut requirere videtur principiorum natura ; pauci etenim sunt ex ijs qui rationum compositiones, diuisiones, multiplicationesque considerant, ea scilicet Geometriae parte contenti quae elementis vulsaribus continetur.
Sed quoniam toto praesenti libro de rationibus sermo habendus eskoperae pretium me facturum existimaui si aliquanto diffusius atque ubernis de rationum compositione disputarem.
Rationum compositio ab Euclide hunc in modum definitur : Fiatis ex ration biu componi datur, ei m rationum qu-titates inter se muli beatae aliquam
Caeterum duplex modus assignari potest componendi rationes,qui terque usitatus est in Geometricis. Primus, quo linea trium exempli gr. palmorum dicitur composita ex tribus palmis. Sectandus, quo quadratum quod aream nouem palmorum complectitur perhibetur com' positum ex multiplicatione longitudinis trium palmorum in tres palmos latitudinis: atqui hi duo modi ita inter sedisserunt quemadmodum discrepant inter si,additio,&multiplicatio. ytoq; horu modoru etiam rationibus conuenit nam si quis tres rationes inmedium adducat,duplanimi tu, tripla & quadrupla, & aliam requirat quae his tribus aequalis existat ortam ex sola additione inter se datam rationum illi fatisset, si trium harum rationum denominatores ut unam summἱ addanturn ouo pacto ratio non cupla Aerget. Quod si autem rationem requiras rei ultantem ex multiplicatione harum rationum, inueniet longe diuersam ab ea quae per addi tionem producitur. denominator enim primae rationit harum trium qui est duo,ductus in denominatorem secundae, scilicet tria, producet sextuplam rationem, cuius denuo denominator sex ductus indenominatorem ruatuor tertiae rationstruarum trium exhibebit rationem vigesies qua- ruptam, quae longe alia est ab ea quae per solam additionem earundem trium rationum est producta. Verum definitio praesens quam ex elementis Dissiligo ooste