장음표시 사용
361쪽
. G E O M E T R I C X. 8 ιtis Euclidis attulimus,de additione intelligenda non est, sed de sola mul
tiplicatione. quod manifeste patet ex ipsis verbis quibus auctor utitur,aς, serens quantitates rationum intcr se debere multiplicari, & rationem ex hac multiplicatione resultantem appellat compositam cx rationibus iis, scilicet secundum quas multiplicatio facta est.
Rationes autem quae assumuntur, ut inter se multiplicatae aliquam generent, vcl similes inter se sunt, ac proinde eaedem nam rario sex ad duo tripla est, non minus quam ratio nouem ad tria, unde consequeliter simiales&eae dein dicuntur: in vel stant diuersae inter se, quemadmodum est d
pla,tripla, quadrupla,&c. Quod si rationes similes stant quae inter se multiplicantur, verbi gratia, dupla in duplam, tunc ratio quae ex duabus illis composita est, duplicata dicitur illius rationis quae filii inter terminos pr
Ponantur verbi gratia . 8I. quot uis rationes similes a .
ad quatuor,triginta ad dem '. 3. II. . 3O. IO. 3. riscem, trium ad unum, &c.
Quoniam hae rationes similes sensiigitur eundem habent dehominatorem sue aequalem, nimirum tria. superponatur itaque denominator vela cuique rationi, quoniam quatuor rationes assumptae sunt,quatuor quoque erunt denominatores. quod si ducatur primus denominator in secundum, hoc est si sat multiplicatio R. per 3. exsurget ratio non cupla,quae superposita rationi quae fit ex 3. n φ.ost endet'. esse demo minatorem ra-uonis quae compositaest ex multiplicatione trium in tria, siue denis mi natore primae rationis in denominatorem secundae, dicetur ratio no cupia esse duplicata eius quam habet ratio nouem ad tria, uel I1. ad 4. Quod si denominator V. multiplicetur ulterius per denominatorem rationis 3 o. ad Io. qui similiter est tria, resultabit ratio cuius denominatorarit χ . diceturq; ratio viginti septupla triplicata rationis eius quam habet ratio nouem ad tria, vel so. ad io. Quod si denuo denominator Nn multiplicetur per denominatorem rationis trium ad unitatem qui est 3. - resultabit ex hac multiplicatione ratio 8 i. quae dicetur esse quadruplicata. rationis eius quam habet s. ad 3. vel 3. ad i. Eodem pacto procede oulteri sis incides in quintuplicatam sextuplicatam rationem. significam. autem hae sormulae loquendi, ut ex ipsis nominibus manifestum est, rationes has scilicet nouem ad tria,duodecimal qua, r , triginta ad dece,& trium ad unum per e mutuo multiplicari, non autem ad se inuicem
addi ut mera fiat aggregatio rationum uplicati igitur ratio non est ratio simpliciter tripla, sed multiplicina per triplam, , ratio triplicata si-'gnificat rationem quae nascitur ex denominatorum multiplicatione bis
Porro si assumantur tres vel plures rationes quae inter se dissithiles sint, quales sunt rationes duorum ad unum, quatuor ad unum. 3c sex ad du', si harum rationum denominatores superponantur singulis rationibus Sssss 3 ' repe-Diu tiroci by Corale
362쪽
reperiemus duplam, quadruplam , de triplam, & ratio duorum ad unum du- in ratione quatuor ad unum, quod si et per multiplicationem denominatoris a. in denominatorem .exhibebitrationem cuius denominator erit 8. ac proinde Ochuplam: ratio veris duorum ad unum, ducta in rationem quatuor ad unum, hoc est ratio octu pla, si ducatur iturationem sex ad duo, quod continget quando multiplicaueris denominatorem 8. per denominatorem 3. prodibit ratio 14. Nullo inodo tamen dici debebit ratio 1 . ad 3 triplicata, rationis s. ad 2. neque ratio 8. ad 4. duplicata rationis 2. ad I. vel 4. ad i. quamuis per accidens nonnumquam id fieri contigerit;illa etenim nomenclatura sol sim conu nit casibus per similes rationes multiplicatis. Quod si quis inter duas . quantitates alias, verbi gratia, in- , ter quantitates 36. 6c 2. interpo- s α. fuerit 31. N . vel plures quo
36. IM . 4. a. cunque Ira io 36. ad L. dicetur coponi ex ratione 36. ad I x. oc ex ratione n.ad 4. & tandem ex ratione 4. ad a. constituantur enim denominatores uti prius factum est, & superponantur singulis rationibus, scilliacet rationi 36. ad I i. quae est tripla, superponatur denominator 3. & rationi similiter i x. ad 4. quae etiam tripla est, superponatur denominatoridem tria: tandem rationi A. ad 2.. denominator a. denominator 3. duinctus in denominatorem sequentem 3. producat 9. denominatorem rationis non cupiat, qui multiplicatus per denominatorem x. raisonis q. ad h. exhibeati8. denominatorem rationis Octodecuplae, tunc apia parebit qualis ratio resultet ex tribus hisce rationibus , per se inuicem multiplicatis. nam denominator 18. ostendit rationem ad ir. dc I1. ad η. N . ad 2. inter se multiplicatas proferre rationem eandem quae estin 36.& 18 enim ad i. eandem habet proportionem quam 36. ad h. Quod autem per numeros hucusque est explicatum, prorsus uniuersale est
in omni genere quantitatum: nam si inter duas lineas Α & B, quotuisA C D A BF D C E G. lineae interponantur CDE, ratio A ad B, dicitur composita ex rationibus A ad C, ducta in rationem C ad D hoc est ex ratione A ad D. ina di ex ratione A ad D, ducta in rationem D ad Ε, shoc est ex ratione Aad Tin tandem ex ratione Α E, ducta in rationem E ad B, hoc est ex ratione Λ ad B. nam si semel admittatur quod ratio A ad C, ducta in t tionem Cad D, producat rationem A ad D, debebit quoque admitti quod ratio A ad D, ducta in rationem D ad E , producat rationem Αad E, de eqnsequenter quod ratio Α ad E, ducta in rationem E ad B,
proferat rationem A ad B, α sic quod omnes rationes Α C,C D, D E, EB, per
363쪽
mam B, atque hoc intelligendum est etiam inquavis transpositione intermediorum. nam si sint aequales F N G, rectis Λ& B, & eaedem lineae CDE interpositae sint inter Fle G, quaenerant inter Α & B, sed ordine prorsus immutato, nihilominus dicetur ratio F ad G, homposita ex rationibus intermedijs eode pacto quo prius,ut rem consideranti saris pcr- spicuum est. & licet haec omnia ex elementis nota esse Geometris debueram supposuisse, paucis ea nihilominus ad memoriam refricandam, praesertim iis qui saepe haec studia cogunturintermittere, adiungere Operri pretium duxi.
PRINCIPIUM TERTIVM. Rationes ex dem rationiblu componuntursiae prori
nes AB, CD,&binae aliae E F, G H. Si ratio A B compositassit, siue producatur cx rationibus E F, G H ; itemque ratio CD , ex ijsdem componatur rationibus E F , G Hirationes datae A B, & C D eaedem sue aequales erunt. Quod si rationes datae sue- sint ΙΚ, LM , quae ira ex - -- ijsdem rationibus compo- P Qnantur, ut ratio I P, sit ea- dem cum ratione L 8c - ratio P Κ, eadem cum ratione Q M, tunc res coincidit cum prop.21. libris. elementorum; erit enim exaequali ut i ad K, sic L ad M.
2-titra rationissue denominator ductus in consequentem ter minum rationisproducit antecedentem. EXPLICATIO. Ata sit exempli gratia ratio A ad B , nempe it. C . ad 3. huius rationis denominator est 4.quidu- Αδε. B 3.
eius in 3. consequentem terminum rationis producit antecedentem, nimirum is . Idem in quovis casu eueniet. hoc princi
364쪽
Frima quidem quae denominatores rationum concernunt exp-ems . Secunda mero desimi btudine rationum,quae vi interprop.rtiones,si ratu diabmmin, ostendimusque omnia quae ratιonidiu quastior termin rum competunt , erisin ramombus proportionum accommodari. In tertia multiplisationem rationum complectimur. In quarta de proportionibus rectangulorum qua ex quarta compositione rationum oriuntur, agimur. nta evero parte ea quae proportionablatibus Geometricis cum Arisbmeticis operationibus communiasunt, evocamus. Sexta denique astemones terminorum proportionabum, ac rationum continuatim. nem, marias amque rationum multirlicationes, complectimum,per quae a liquaria
rem lucem dioisissimis his anfractibus Geometriae dissis praetuM e nobis ita ia
365쪽
Fundamentales propositiones compumturinaturam den
Varumvis rationum possibile est denominatores exhibere. Demonstratio.
RAtio est mutua quaedam antecedentis ad consequens habitudo secundam excensum, Et desectum vel aequalitatem. Cum igitur unius rationis antecedens magis excedat consequens, vel ab eodem magis deficiat, quam alterius rationis antecedens suum excedat consequens , vel deficiat ab eodem , manifestum est unam rationem malo tem minoremue esse altera, Plane ut una quantitas altera maior minorue est. Quale sicuti potest exprimi rectis lineis quanto una quantitas altera sit maiorvet minor, ita etiam rectae linet exhiberi potiuiu, quae ostendant quanto una proportio maior sit vel minor quam altera. Atqui rationum denominatores sunt tales rectς lineae, ut patet ex 2. definitione. Quarumvis igitur rationum possibile est denominatores exhibere. Quod erat demoriurandum. Problematicὸ autem exhibebimus denominatores propocis aluius libri.
Vae rationes habentes commune consequens, eam sertiuntur rati nem quς inter intecedentes terminos reperitur. Demonstratio. SIt ratio A ad B, & C ad Br ilIarum
autem denominatores sint D, dc Et iper quartum principium huius libri, D sductum in B, exhibet Α, similiter E du- ctum in B exhibet C. igitur vi D, ductu in B, ad E. ductum in B, ita est A ad O , sed D in B ad E in B, eam habet ratio. nem quam D ad E. igitur A ad C, eam obtinet rationem, quam D ad E: sed ut D ad E, ita est ratio Α,B,ad rationem C B. . igitur ut est A ad C, ita est ratio Α B ad C B a quate duae rationes commune consequens habentes, &c. Quod erat demonstrandiim.
366쪽
ΗΙnc optimo iure inserte licet in rationibus, quae rectis lineis exprimuntur ita crescere vel minui rationem inter duas quantitates, qualiter augetur vel deerescit altera linearum quantitates expositas exprimens ; hoc est, posito quod rectae Α dc B, denotent rationem inter duas quantitates C Ac D, si adiungatur rectae tineat Α, recta E, a crit A cum Ε, maiorem habens rationem ad B , quam prius habebat A ad eandem B : neque solum maiorem,sed in ea ratione maiorem in qua ratione illi incrementum accedit.b idem intellige de mutilatione lineet Α per ablationem Cuiuscunque tandem particulae; omnis enim linearum variatio praeiudicium natum est adducere cuicumque proportioni aut rationi.vnde merito dicere potamus rationes omnes habentes idem consequens ita crescere aut minui, It augenzur vel mutilantur antecedentes ratio num terminb
LIInc praeterea etiam Constat quod
--- -- Apostis tribus quantitatibus quae. B sint m. continua analogia, nimirum
'- Α,B, C, eac eo quod ratio A ad C, adia . rationem B ad C, sit ut A ad B, Optime sequi, quod denominator rationis dimlicatae, de denominator rationis simplicis eiusdem seriei habeant rationem inter se, quam duae primae quantitates continent inter semihil autem aliud intendimus isto proportionalitatum libro, quam proprietates inuemare quas habent inter se rationum denominatores. Quamuis autem ipsi denominatores in Geometricis exhiberi non possint secundum se;tamen secundum comparatione seu proportionem cum denominatore alterius rationis facile innotescunt. D tis enim duwus lineis D de E fiequis requirat denominatorem rationis D ad Ε, frustra quaerit,cum vel D exhiberi non possit, vel quaevis E . . linea ad eundem denotandum
amanti possit. Quod si vero alia
ratio addatur , dc inquiratur proportio quae intercedit inter F denominatorem rationis D ad -- Ε, & denominatorem rationis G ,- - - Fad G, tun aliquid postulatur quod a Geometria praestari potest, estque ille maxime scopus in quem praesenti libro collimamus, simul cum alijs affectionibus quae materiam hac dilucidare queant hactenus usqueade3 intactam, de alto silentio obuolutam.
PROPOSITIO III. DAtis tribus A,B,Ciungatur quaevis D.
Dieo rationem AD ad CD rationem, eandem habere proportionem, quam ratio ΑΒ obtinet ad CB rationem.
367쪽
DEr praecedentem ratio AB A ad C B , eandem propor- ------tionem habet, quam A ad C, antecedens ad antecedens, C
insuper per eandem proposi- ---
tionem ratio A D, ad C D rationem, eadem est cum ratione A ad C: igitur AD tatio, ad rationem C D,eandem continet proportionem, quam ratio AB ad rationem CB. Quod suit demonstrandum.
PROPOSITIO IU. SIt ratio Λ B ad rationem C B, ut ratio D B ad rationem L B. Dico quantitates A, C, & D, E proportionales esse. Demonstratio
AB ad CB rationem, ita est per secundam huius, A ad C t similiter ut ratio BDB ad EB rationem , ita --- est D ad Et sed vi ratio A B E ad C B rationem, ita ponitur Cratio D B, ad EB rationem: -- ergo ut A ad C, ita est D ad Ei quare proportionales sunt A, C Quod da-
It ratio AB ad rationem CB, ut ratio DF ad rationem ER, Dico iterum A, C & D, E proportionales esse. Demonstratio. Milo A B ad C B, eadem
est cum a ratione A ad C, antecedentis ad antecedens. similiter ratio DF ad 'EReadem est cum ιν ratione
D ad E r sed ut ratio AB ad CB, ita ponitur ratio DF . ad EF. ergo A est ad C. vi Dad E. 4oderat demonis
368쪽
88o PROPORTIONALITATES PROPOSITIO VI. I rationes AB, CD, similes fuerint,&assumatur quaruis linea E. I Dico E B rationem esse ad rationem C, D, ut E est ad A. Demonstratio. D
tio EB ad CD rationem. Quod fuit demonstrandum Quoniam similes ponuntur ra tiones CD , & AB. vi EB ratio ad C D rationem , ita est eadem ratio EB ad rationem ΑΒ:sed per secundam huius, ratio E Bad AB rationem , est ut E ad A. ergo ut IS ad Α, ita quoque est ta-
Ationes duae commune antecedens sortitae, eandem obtinent rati nem quam secundum consequens ad primum. Demonstratio. C Int duae lationes A B, Ac A C.
tecedens A. Dico illas rationen inter se eandem habere propor tionem, qua C secundum c5ὰ- queo , ad B primu : fiat enim ut C ad A, ita B ad D, ratio AB, ad rationem DB, est ut A ad D,sed ex liyp. ratio D B, est rario A C. ergo ratio A B ad rationem A C,est ut A ad D, sed ex hyp tΑ est ad D, sic Cest alta: patet igitur rationes duas AB SIC., habentes commune antecedens,eam inter se rationem obtinere quam ha et C ad B, secundum consequens ad primum.Quod deinon strandum fuerat.
SI proportio rationis AB ad rationem AD eadem sit cum Propo tione rationis A B ad rationem C ad D, hoe est si ratio A B sit ad rationem A D, ut ratio A B est ad rationem C D. Dico Α & C aequales esse quantitates. BDationem vi h A ad C; igitur Α aequatur etiam C.
Quoniam ratio A B ad ADrationem, est ut ra tio A B ad C D, igitur ratio A D , eadem est cum ratione Cad D: est autem ratio AD ad C D
369쪽
GEOMETRICAE PROPOSITIO IX. I ratio A B ad CD, suerit ut D ad B., Dico A & C aequales esse.
D Atio AB ait rationem A D, A B. t a linea D ad B: ratio C Dautem AB, ad rationem CD, est - - exhvpothesi ut D ad Br ergo ut ratio AB ad AD rationem , ita eadem ratio AB ad CD rationem, si ini igitur quantitates inter se aequales Α & C. Quod fuit de-bs.--. monstrandum.
PROPOSITIO X. SI ratio AB ad AC rationem, sit ut ratio AD ad AE rationem. Dico B, C & D, E quantitates esse proportionales. Demonstratio.
' tionem, ς ita est C ad B, similiter ut ratio A D ad AE tationem, ita est E ad D, ted ut ratio A B ad A C, ita est ex hypothesi ratio A D ad A E ra tionem , ergo ut C est ad B, ita . . E ad D. quare inuertendove B ad C, ita DaRE; sunt igitur proporti tales B C MD E. Quod demonstrandum fuit.
Xponantur quae uis quantitates A & B, &duae aliae CD. Dico rationem A C esse ad A D rationem, ut ratio B C ad B D
D Atio AC ad 'A D, est via D ad 1 C, dc ratio BC ad R D rationem. quoqheest ut A D ad C, igitur vi ratio Α Cad rationem A D, ita est B Ctatio ad BD rationem. -dfuit demonstrandum.
PROPOSITIO XII. Atae sint tres qliantitates A, B, C. Dico rationem ΑΗ esse ad A C. rationem, 't ratio C A ad B A. Titit 3
370쪽
8ri PROPORTIONALI ΤΑΤ EsDemonstratio.
portionem quam C ad B, . ratio autem CΑ ad BA . rationem est , ut C ad B. ergo ut ratio AB ad AC rationem , ita quoque est ratio C A ad ΒΑ rationem. Quod filii demonstrandum.
DAtae sint qualescunqtie rationes ΑΒ,CD: fiat autem VtD, consequens secundae rationis ad C antecedens secundae, ita B consequens primae rationis ad aliud E. Dico Λ & E esse denominatores rationum datarum. Demonstratio. Ε ovoniam ex hypo-- -- chesi D est ad C, ve C Bad E, erit inuertendo B . D ratio E ad B, eadem - - cum ratione C ad Drratio igitur AB, ad rationem CD , est ut ratio A ad B, ad rationem Ead Bi: sed ratio A ad B, ad rationem E ad B, est ut e Α ad E , igitur ratio A ad B, ad rati nem Cad D, est veΑ ad Et sunt igitur 4 A dc Edenominatores tationum ΑΒ, dc CD. Quodfuit demonstrandum.
B , DEres duarum rationum A B, & C D. o Atio AB ad Α E rationem Hestvte Ead B, sed ratio ΑRest ex hypothesi eadem cum ratione C b. erso ut E ad B, ita ratio ΑΒ ad CD rationem. iuntigitur E &B, denominato
Ponatur ratio inaequalitatu ΑΒ M altera aequalitaris CD. - Dico rationem AB ad CD rationem, nabere proportionem A ad B, rationem vero C D ad ΑΒ ratione- habere proportionem quam Bia Α.