장음표시 사용
371쪽
' GEOMETRICAE. 883 Demonstratio.
Fiat ut D ad C, ita Bad E. erit ut A ad Ε, ita ratio AB ad . CD rationem: quia autem ex hy- h polliesi aequales iunt CD, estque 'ut D ad C, ita B ad E, etiam B & ΕE aequales erunt; cum igitur ratio A B sit ad C D rationem, ut A ad CE; erit quoque ratio A B ad ratio---inem CD, ut A ad B. Quod erat D
Secundam quoque partem sic demonstro. fiat ut A ad B, sie C,ad 'F. ergo ratio C D est ad rationem A B, ut b F ad D, hoc est quoniam ex hypothesi C A: D aequantur, in vi F ad C, sed ex constr. F est ad C, ut B ad A. Ergo ratio C D est ad rationem A B, ut B ad λ Quod erat alterum.
denuo ratio inaequalitatis ΑΒ, & sumatur quaevis quantitas C. O Dies rationem AB esse ad CC rationem, ut ratio A C ad rationem B C rationem vero C C ad A B, continere proportionem eandem cum ratione C A ad CB rationem. Demonstratio. PEr praecedentem ratio AB ad C C rationem , est ut A ad B, sed per secun- 'tionem, est ut A ad B, sed per secun---. --dam huius, est ut A ad B, ita ratio AC ad n 'rationem BC. ergo ratio AB sad CC, ra- - φtionem est ut ratio AC ad BC. quod erat primo propositum. Deinde ratio CC ad c
A B, rationem est ut B ad A, per praeceis .i-ν- -----ν
dentem: per septimam vero huius est ratio CC A ad C B rationem , ut B ad Α : ergo vi ratio CC ad rationem AB, ita est C A ratio ad CB rationem. Quod secundo loco erat demonstrandum.
Sit ratio quaecunque A ad B, &assiampta quaeuis C. Dico rationem C A esse ad CB rationem, ut ratiratio BC est ad AC Demonstralis.
RAtio C A ad CB,a est ut B ad A. ratio quoque BC ad AC, est' ut B ad A 1 igitur ratio C A est ad C B rationem ut ratio B C ad A C. Quoi fuit demonstrandum.
372쪽
Dico rationem A ad B, ad rationem B ad A, proportionem habere duplicatam eius quam habet linea Α ad B. Demonstratio.
A A, ita quaedam Cad B,erit igitur per 2.liu- ius ratio AB ad rationem C B,ut quantitas Α ad quanti-Ρ talem C, sed ratio C ad B, ex construa. eadem est cum C ratione B ad A, ergo ratio AB ad rationem B A, eandem proportionem habet quam A ad C: sed ratio A ad C est duplieata rationssis eius qua habet A ad B, ergo ratio Α , B, ad rationem Β, Α, duplicatam habet rationem eius quam habet A ad B. Quod fuit demonstrandum. Oramum T Ine sequitur si AB C tres fuerint proportionales, A ad C , eandem rationem ha-λAbete cum ea quam A B, ratio habet adrationem BA
SInt in continua analogia AB C,D E C. Dico rationem AD esse ad B E rationem ut B ad E. Demonstratio.
Flat ut E ad B, ita D ad Fr erit
aut Α ad P, sietatio AD ad ι- rationem BE , ω quia rario II E AD est duplieata rationis B Ei
-- erit quoque ratio AD, duplicara
rationis PD, ratio autem A ad D. est composita ex ratione A ad F. Et Fad D i igiturri AF eadem est eum ratione Fri hoc est B ad E. Mare cum ratio AD ad BE rationem, eandem habeae proporrionem quam Aad F, habebit eandem quo que quam B ad E. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XX. SIt ratio ΑΒ eadem cum ratione CD , deinde fiat ut D ad C, ita B ad E. Dico A de E aequales essequantitate . Demonstratio.
- Uoniam similes ponuntur ratio-
o e, AB M CD, erit ut A ad B, B----- ita C ad D,&inuertendo ut D ad C ita B ad Α: sed ex constructione fari ' ctum estD ad C,ut Bad E. ergo Vt R-- ad Α, ita B ad E: sunt igitur A M E. B quantitates iniuales. Quod fuit de-
373쪽
Dico quantitates CD, aequales esse inter se. Quod si ratio CD, sit ad A B rationem, ut B ad A. Dico rursum D & C, quantitates aequales esse. memo-ratis. BEC
Sit agitur primo ratio AB ad CD, ut A ad B. fiatque ipsi Caequalis E et erit, ut A ad B, ita ratio AB ad CE rationem di sed ut A ad B , ira est ratio A B ad C D ex suppositione, ergo Ut ratio AB ad rationem CE , ita est eadem ratio AB ad CD i quare cavlem fiant rationes C E dc CD; ac proinde D, ipsi E, hoc est ipsi C aequalis est: quod erat primum. Sit deinde ratio CD ad rationem AB, ut B ad A. Dieo similiter C & D aequa-Ies este quantitates. fiat enim ut prius E ipsi C aequalis, erit ut Bad A, ita ratio CE ad AB rationem , quare iterum ut prius ostendetur C & D , aequales esse. Quod fuit demonstrandum. Haec est conuersa II. huius.
p Ropos ITIO XXII. CIe ratio Α ad B maior ea, quam habet C ad D, & fiat D ad C, ut o B ad E.
Dico Λ maiorem esse quam ut sit aequalis E. Demonstratio. Q
B ad E, ergo latio AB ad C D rationem, est lx ut A ad E. sed ex suppositione ratio A ad B , maior est ratione, quam habet C ad D. ergo A maior est in E , pari E quoque modo quod si latio A ----- ad B, minor fit ratione quam habet C ad D, & fiat D ad C, ut B ad Ε, osten
detur Α, minor esse quam sit E. ' . ν Συή
QVod si quatuor quantitates Α, Β, C, D eandem continuent analogiam: Dico rationem AB ad D C rationem , eandem habere proporti nem, cum ea quae intercedit inter A dc C.
374쪽
C . erat quoque A ad B, ut C ad 6 I , dc inuertedo ut Dad C,ita B ad A. Sed quoniam Α,B, sunt eontinuae ut A ad C, ita per Coroll rs. huius, est ratio A B ad B A, ratione ,ergo ut A ad C, ita quoque est ratio A B ad D C rationem. Uod erat demonstrandum.
D Atis duabus rationibus duas alias rationes exhibere quae communes habeant cum rationibus datis denominatores. construmo σ demonstrauis. inret sint duae quaevis rationes Q.
C D, oporteat exhibere duas rati OL- nςs illis proportionales quae denomina-B F tores habeant eosdem . nat ut D ad C, -- ita B ad E. erit ergo ratio Α B ad C Drationem, ut A ad E. ponatur deinde quaevis F. Dico quod rationes AF,EN- - erunt, quae requiruntur. nam bratio ΑΗ est ad EF rationem vi A ad Ei sed ratio quoque AB ad C D rationem est ut A ad Ε, rationes igitur AB ad C D, reductae sunt ad rationesquς communes sortiantur denominatores. Quod erat faciendum.
Ata sit ratio AB, re quaevis pqnatur C. dieo factum esse quod petitur, nam ratio AC ad B C. est vi A ad B, per secundam huius; eodem modo ratio CB ad C A, est ut A ad B per septimam huius. Si vero petantur rationes quarum antecedens vel consequens commune non sit, in data ratione exhiberi: fiat ut Bad C. ita D ad E. erit ergo ex constr. ratio AC ad DErationem, ut ratio AC ad BC. sed ratio AC ad B C, est ut A ad B. igitur de ratio AC ad DE, est ut A ad B i exhibuimus agitur duas rationes, quae datam continent rationem. Quod erat faciendum.
375쪽
DAta ratione A ad B, & duabus quantitatibus C, Dr oportet exhibete duas alias E &F, ut ratio CD sit ad rationem EF, ut A ad B. Constractis-demon Iratio. Flat ut A ad B, ita Cad BG, ω ut D ad G , ita C Equaeuis F ad E. Dico ra- - tionem CD ad EF ra- D stionem, eam habere proportionem quam continet --
ratio Α ad B, quia enim facta est Fad Ε, uti est Dad G, ratio CD ad EF rationem,eam 3 proportionem habet quam C ad G. sed ratio C ad G, est ea quam ha. a lx ibent datae quantitates A & B, secundum conflauctionem factam. Igitur ratio CD est ad rationem EF, ut A ad B. Quod erat postulatum. Quod si Cad D tatio debeat esse consequens , id est visit quemadmodum A ad B, ita alia ratio G E ad CD rationem; fiat ut Bad C, taquaecunque Ead F. de ut B ad Α, ita F ad G, tunc erit ut A ad B; ita ratio G E ad C D rationem.
PROPOSITIO XXVII. DAeam rectam A B ita secarein C, ut sit A C linea ad C B, ut est ra
tio data DE ad FG rationem. Constructis es monstriso. FIat ut G ad F, ita Ead H, A C B
deinde diuidatur ΑΒ in ' ' ------ C, ut sit quemadmodum D
ad H, ita pars lines A C ad E '
CB residuum. Dico factum . -- ---
quod postulatur. est enim F οper r3. huius libri ratio DE Gad FG rationem ut D ad H. est autem diuisa recta AB in C secundum rationem D ad H. ergo etiam diuisa est ΑΒ, in C, secundum proportionem datarum rationum D E ac FG. Quod erat postulatum.
PROPOSITIO XXVIII. DAta ratione A ad B, lineique C D, E F.
376쪽
onstructis c demoniatio. UIatavi A ad Bata ratio λ a Rad I M diuidaturib C D in G, ut ratio C Uad GD, eadem si cum ratione I ad K, lecta quoque EF in H , ut ratio EH ad H F , sit eadem cum ratione L ad M. Diaco factum quod postulatur.na A est ad B, ut ratio IK. ad rationem LM ex constructione. sed ratio Iad K, est eadem cum ratione CG ad GD: S ratio L ad M, eadem cum ratione EH ad HR ergo ut A ad B, ita estratio CG, GD ad rationem EH, H F. igitur diuisimus lineas CD ME F, prout exigebatur.
P Ropos ITIO XXIX. DAta ratione A ad B, & quantitatibus C & D,oporteat duas exhibere
rationes, quarum antecedentes sine C & D, proportionem autem habeant eandem cum ratione A ad B. C
- ad G,&vt Radia ita D ad E. Dico rationes -- - C G, D E eas esse quae postulantur. quoniam e ratio A ad L. ad ra-- tionem Bad L, est ut A ad B , etiam ratio C G- - utpote eadem per Constr.rationi A L erie: ad rationem B L, ut A
ad si sed ex constructione ratio B L , est ratio D E. ergo ratio C G est ad rationem DE, ut Α ad B: At sent C ac D, termini antecedentes. Factum igitur est quol
oporteat assignare duas rationes quae talem sertiantur rationem inter se, qualem habent A & B, ita tamen ut C & D . sint consequentea
377쪽
Α ad B: Quoniam est ut D ad G, ira C ad F. erit ratis AC ad GD rahonem , a iis ivt est E ad 1 : sed est ut 1 ad Ε, ita B ad A, Minuertendo A ad B, ut Ead F. igitur ratio E C ad rationem G D, est ut A ad Br suntque C & D, harum rationum termini consequentes. praestitimus igitur quod imperatum fuerat.
Ataratione A ad B, & denominat tibus duarum rationum C & D; denique termino E assignare quartum K ita ut ratio data AB ad EF Costremo crdemnaratis.
rationem sit ut C ad D. Porteat primis tetmi-
Inum E esse consequentemr tionis eius, cuius denominator este debet D. fiat ut C ad D, ita A ad G deinde ut B ad G, ita Ead F. Dico F terminu est e quaesitii: csi enim sit ut E ad F ita B ad G, erit per I 3.huius,ut A ad G,lioc est ex construct.ut C ad D,ixa diratici AB ad ratione F E. -MQuod si quaeratur ut E
quantitas Esit antecedens ----
in ratione cuius denomi- B Fnator est D. Fiat A ad G, ut C ad Da 8t ut G ad B, ita E ad F. Dico tussim feci tetminum qua situm, erit enim inuertendo ut F ad Ε, ita Bad G. quaret, denuo, ut A ad G,hoc est ex con- , struct C ad D, ita ratio AB ad EF, rationem. Opolleat ulterius ita dis- D
quantitas E tetminus sit c - sequens illius rationis citius paenominator est C. fiat ut B .
C, ita G ad P. Dico p esse terminum quaesitum. cum enim sit B ad A,Vt est E ad G,iterum ratio F E, ad rationem AB, ς eam continet proportionem quae inuenitur inter F &G: sedquia ut Dad C, itaracta est G ad P, erit inisertendo C d D, ut F ad G. ergo ratio FE ad rationem A B est ut C ad D. Denique labiungemus et- C ' Diam methodum qua quanti- - citas E fiat antecedens illius rationisquet denominatorem L .habet C. Fiat enim ut C ad a
378쪽
inuertendo erit ut B ad A, ita F ad G , proindeque ut prius a erit ratio EF, astationem A B , ut E est ad G , hoc est ex constr. ut est C ad D. Igitur omni ex parte propositionis praesentis intento est factum satis.
Rat ut A ad B, ita quaevis E ad P, inter quas statuatur media proportionalis α- Dieo E, G esse quantitates postulatas. Nam cum E, G, F sint in continua analogia, erit per Corollarium 18.huius, ratio EG ad rationem GE, ut E ad Rhoc est ex constr.ve A ad B. fecimus ergo quodfuerati eratum.
379쪽
Desimilitudine F--um inter nationes existenti
Atae sint rationes A ad B, & C ad D. Di proportionem rationis AB ad CD rationem, composi-ram esse, ex ratione A ad C, & ratione D ad B. . Demonfractio. FIat ue D ad C, ita B ad E. erit igitur, ratio Α B ad C D rationem, ut A ad Ei sedeatio A ad Ε, componitur ex ratione A ad C . & C ad Ε, igitur de proportio rationis AB ad CD rationem
het compositam ex ratione A ad C. ME . i. 'ς 'PROPos ITIO XXXIV. Tndem positis:
I Dico proportionem rationis ΑΒ ad CD raticino φος ς ratione A ad B, & et D .a c. ' φηςm , compostam Demonstratis.
Vae vi D ad C , ita B ad Γ, erit itaque ratio A ad E, illa quam inter se habent rationes AB, CD. sed ratio A ad E composita est ex ratione Α.ad B, ω Bad E, hoc est D ad C, igitur & ratio A - D
Ationum AB,CD denominatores sint E &.F, fiat, ut A ad B, sic Dico Gessead F, ut D est ad C.
380쪽
iores rationum AB, CD : ergo ratio Ev ad F, est. proportio rationum AB,CD: sed. δ proportio lationum A B, C I composis N F . est ex rationibus ΑΒ, dc DC. crgo ratio E' ad F ex rationibus ΑΒ ,& C D composita est. sed ratio EF componitur etiam ct ratio nibus E G, shoe est pet hypothesim A Bὶ de G F. ratio igitur Α B cum ratione DC eandem rationem componit quam ratio AB cum ratione GF; rationes igitur DC de GF, eaedem lant.Qgod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXXVI. Si proportio rationis ΑΒ ad rationem CD , composita sit ex ijsdem
rationibus ex quibus componitur proportio rationis E F ad G H, rationem: , - . . . '
Dico rationem A B esse ad C D, ut ratio E F ad G H rationem. Demonstratio.
FIat ut Dad C, ita B ad Ir &vi Had G, ita F ad K, erit itaque eratio AB ad CD ra-A C tionem, ut A ad I; M ratio E F ad GH ra- -- tionem,ut E ad K, sed ratio A B ad rationem η D CD, proportionem habet copositam ex hy-- pothesi ex iisdem rationibus ex quibuscopo-B G sitam habet ratio EF ad G H rationem rigi-. ' rue etiam ratio denominatoris A ad I, deno-F ri minatorem ex ijsdem rationibus ex quibus ratio denominatoris E ad denominatorem KF eli composita. quare A est ad I, sicut E est aflΚ. unde etiam ratio AB ad CD rationem, eth ut ratio EF ad GH rationem. Quod demonstrandum fuit.
PROPOSITIO XXXVII. SI inter A&Bquiuis ponantur termini C,D. Dico rationem A C esse ad A D rationem, ut ratio D B est ad C d
Demonstratio. RΑtio A C ad AD , est ut D ad C , d otio
autem DB ad CBη rationem, riirsam est, ut D ad C , igitur est ratio AG ad ΑD rationem, ut est ratio D B ad C B tationem. Quod erat de . monstrandum.