P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

381쪽

GEOMETR pCAE. PROPOSITIO XXXVIII.

833SInt duae rationes Α B, C D, quaecunque. Dico rationem ΑΒ ad CD rationem, eandem habere proportionem quam DC ratio ad BA rationem. Demonstratio.

erit aut A ad Ε, ita ratio . -------

ΑΒ ad CD rationem. Α CDeinde ratio B E ad B Α, 'est ψt A ad E: b sed ratio B DB ad E, eadem est eum . --- ratione D ad C ex constructione, ergo ratio DC ad ΒΑ, etiam est ut A ad E. quare ratio A B ad C D rationem, est ut ratio D C ad rationem B A. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO XXXIX.

Ponantur denuo rationes AB, CD. Dico rationem AB ad CD, eandem habere proportionem quam ratio A C ad B D rationem. om Eratio. Parvi D ad C, ita B ad Ε,

erit ut Α ς ad Ε, ita AB ad CD rationem: similiter po sitis rationibus AC & BD, fiat ut D ad B , ita C ad F. Oerit ut A ad F, ita ratio AC ad B D rationem : quia vero Dex constructione est ut D ad C, ita B ad E, erit permutando ut D ad ita C ad Ei sed ut D ad B, ita facta est C ad F, ergo ut C ad E, ita C ad F. sitne igitur aequales quantitates E & Radeostile est Α ad Ε, ut A ad F; sed ut A ad Ε, ita erat ratio AB ad CD rationem.& ut Α ad F, ita ratio erat AC ad BD. ergo ut ratio AB ad CD rationem, ita est ratio AC ad rationem BD. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO XL.

Positis iterum duabus rationibus A B, C D. Dico A B esse ad C D rationem, ut ratio D B ad C A rationem. Demonstratio.

Atio AB est ad CD ratio- C

tionem: sed per praecedentem ut B

ratio DC ad B A rationem, ita ' --.---ui- -in

382쪽

que F media proportionalis inter quantitates. A & E. Dico rationem A F ad rationem F A, eandem habere proportionem quam habet ratio A B ad C D.

monstrandum.

Demonstratio.

D Atio AF ad F A rationem, est

, in duplicata ratione eius quam habet A ad F: cum igitur proportionales ex constructione sine. - ---- quantitates A, F, E erit ut A ad λ ita ratio A P ad F A rationem: est vero b ratio A B ad rationem CD, ut A ad E , ergo ut ratio A F, ad F Α tationem,ita est ratio AB ad rationem C D. fuit de

PROPOSITIO XLII. RAtio AB ad CD rationem, sit ut ratio EF ad G H rationem; vero ut D ad C, ita B ad I, & vi H ad G, ita F ad K.

Dico A ad L eandem obtinere rationem quam E ad K. Demonstratio.QVandoquidem ponatur ut D ad C.

ita B ad I, ergo eratio AB ad CD rationem est ut A ad I. pari modo cum sit vi H ad G, ita F ad K, e it etiam ut Ead Κ, ita ratio EF ad GH rationem. ponitur autem ratio AB ad CD, eandem habere proportionem quam ratio EF ad G H. ergo etiam Α ad I , eandem rationem habebit quam denominator E ad K denominatorem. Iod erat demonstran

dum.

PROPOsITIO XLIII. Sint rationes AB, CD similes inter se quemadmodum & rationes

EF, G H. Dico rationem AB ad C D rationem esse, ut ratio E F ad G H r

383쪽

GEOMETRICAE. Demonstratio. 89 DHREs tam es ara est ut de

mola stratiotie vix indigeat, rationes enim esse simi las, nihil aliud est quam rationes aequales esse aut easdem inter se. Quare cum rationes AB rc CD, similes Ponantur, sibi mutuo ςquales erunt, ob eandem causam aequales

erunt rationes EF, G H. ergo-----

ratio AB ad rationem CD Rest , ut ratio E F ad rationem vi G H.

PROPOSITIO XLIV.

SIt ratio AB ad rationem CD, ut ratio EF ad rationem G H. Dico permutando rationem ΑΒ esse ad rationem E F , ut ratio C D ad rationem G H. Demonseratio.

datarum rationum deno. minatores I, K; L, M. erit ergo denominator I ad denominatorem Κ , Vt ratio MA B ad rationem C D , hoc est per hypotliesim ut ratio EF ad rationem GH. hoc est ut denominator L ad denominatorem M. Cum igitur sit, ut I ad K, sic Lad M , erit permutando I ad L, ut K ad M. Quare Mratio AB ad rationem E Rest ut ratio CD ad rationem GH. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO XL U. Sit ratio AB ad rationem C D, ut ratio GH ad I Κ rationem.

INueniantur, denominatores rati anum E, F, L, M. igitur ratio AB ad C D rationem est, ut Ead F, de ratio GH est, ad IK rationem. v II, ad M, sed ratio A B est ad C D rationem,ut ratio GH ad IK rationem. ergo ratio Ead F, eadem est cum ra- Κtione Lad M. igitur in uertendo est F . ad E, ut M ad L, ergo & ratio C D ad A B, ut ratio IK ad G H rationem. Quod erat demonstrandum. X xxx x

384쪽

syst PROPOR Τ IONALITAT EsPROPOSITIO . XLVI. SI ratio A B est ad C D rationem, ut ratio G H ad rationem IK.

Dico componendo rationem AB cum ratione C D ad rationem C D eandem habere proportionem quam ratio G H cum ratione Iia ad rationem IK. . .

. Temonstratio.

M TNueniantur denominatores harum ra- Ationum esse E, F. L, M, igitur ut ratici AB ad CD rationem , ita E ad F; 8cut GH ratio ad rationem IK, ita L ad M.' quia vero ratio A B ad C D rationem ponitur esse ut ratio GH ad IK rationem, ergo est E ad F, ut,Lad M. Deinde cum sit E cum F ad F, ut L cum M ad in hinc etiam ratio AB, cum CD ad rationem CD, est ut ratio GH cum IK ad rationem I K. Quod fuit demonstran

dum.

PROPOSITIO XLVII. QVod si ratio AB cum ratione C D ad rationem C D,sit ut ratio G H

cum ratione IK ad IK rationem: Dico diuidendo rationem A B, eandem habere proportionem ad rationem CD quam habet ratio GH ad rationem IK. Demonstratro.

onstituantur,singularum rationum denominatores E, F, L, M. Quoniam ra- tio AB cum CD ad C D, est ut ratio GH cum IK ad IK, igitur denomitor E cum F ad F, erit ut denominator L cum M ad M. igitur diuidendo est E ad F. ut L ad M. adeoque etiam est ratio AB ad CD, ut est GH ad IK rati nem. Quod erat demonst.

PROPOSITIO XLVII I.

SItratio AB cum ratione C D ad rationem CD, ut ratio EF cum ratione G H ad rationem GII. Dico per conuersionem rationis rationem A B cum ratione C D esse ad rationem A B, ut ratio E F cum ratione G H ad rationem E F.

385쪽

EXhibeantur . rationum denominatores I, Κ, L, M. Erit ergo I cum K ad K, ut ratio A B cum ratione CD ad rationem CD, hoc est ex hypo. ille si , ut ratio F. F cum ratione G H ad rationem G H.lioc est ut L. cum M ad M. Cum igitur sit ut 1 cum K ad K, sic L ciam M ad M, erit con-itertendo, I cum K ad I, ut Ita cum M ad L. uare Se ratio AB cum ratione CD est ad rationem AB, ut ratio EF cum ratione GH ad rationem EF. Quod fuit demonstrandum.

PROΡOSITIO XLIX. SItratio AB ad rationem CD, ut ratio EF ad rationem GH,&C

ratio ad rationem IK, ut ratio G H ad rationem LM. Dico ex aequali rationem A B esse ad rationem I K, ut ratio E F est ad rationcm L M. . Demoinratio. Uoniam ratio A B est ad rationem ACIMC D, ut ratio E F est ad rationem GH, crit i perinutando ratio AB ad rationem EF, ut ratio CD ad rationem GH. Similiter quia ratio CD est

ad rationcm IK, ut ratio GH ad rationem LM, Erit permittando ut ratio

C D ad rationein G H, hoc est quemadmodum iam ostendi in ut ratio A B ad rationem EF, ita ratio IK ad rationem LM. Rursum igitur permutando ratio ΑΒ est ad rationem I ut ratio EF ad rationem LM. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO L. SI ratio ΑΒ est ad rationem CD, ut ratio Α E est ad rationem CF. Dico rationem A C ad rationes B D & E F eanήem habere pro

portionem.

Demonstratio.

I Tratio AB est ad rationem CD, sic A CV ς ratio A C est ad rationem B D: S ut ratio AE est ad rationem CF, si iratio AC est ad rationem EF. sed ex hy- Rpothesi ratio A B est ad rationem C D,ut

ratio A E ad rationem CF. Ergo ratio AC est ad rationem BD, ut ratio eadem AC ad rationem EE. Quod fuit demonstrandum.

386쪽

PROPORTIONALITATES

Quoniam ratio ΑΒ est ad rationem C D, ut ratio ΑΕ ad rationem C F, erit permutando ratio AB ad rationem A E, ut ratio CD ad rationem CF, hoc b est E erit ad B, ut F ad D. Quare inuertendo & permutando ratio BD aequatur rationi E F. Ergo ratio AC ad rationes BD, & EF eandem habet proportionem. Quod erat demonstrandum . .

PROPOSITIO LI. SI ratio ΑΒ est ad C D rationem, ut ratio EB ad F D rationem:

Dico rationem quoque EF ad B D , eam habere proportionem quam AC ratio ad rationem B D. . Demonstratio. DQVoniam ratio AB est ad AC D rationem, ut ratio E Bad rationem F D. igitur permu- tando ratio Α B ad E Bς ratio- Bnem est ut ratio C D ad ratio- 'nem F D: sed ratio 4 A B ad E B, est vi A ad E. igitur ratio quoque C D ad F D, ei tui ratio A ad Ε, sed ratio C D ad F D, est ratio C ad F, igitur A ad E , eadem est cum ratione C ad F. unde A ad C est, ut Ead F. ergo ratio AC ad BD, eadem est cum ratione EF ad BD. AE ten o Atio AB est ad rationem CD, ut ratio AC ad rationem BD : MHest ad rationem FD , ut ratio EF ad rationem BD. sed ratio AB ex pothesi est ad rationem CD, ut ratio E B est ad rationem FD. ad rationem BD, ut ratio EF ad rationem BD. Propositio sequens ita per se clara est vi potnerit absque demonstratione altum conabimur eam nihilominus hoc loco demonstrare.

PROPOSITIO LII.

Ponantur A B, CD similes rationes, di quaevis ratio EF. Dicoquio ratio ΑΒ ad rationem EF , eandem rationem obtIneat quam ratio C D ad illam ipsam rationem E F. Demoestratio.

A T latvt Fad E, ita Bad G; item ut Fad -- C: L E, ita D ad H. erit itaque ratio AB ad EF, ut A ad G, item CD ad EF,ut CadH. Sed ratio A ad G componitur ex ratione A- -- ad B, hoc est C ad D, de ex ratione B ad GD hoe est Fad E: item ratio Cad H, cornpo m nitur ex ratione C ad D, dc ex ratione D ad H, hoc est F ad E: igitur ratio A ad G. ex V ijsdem rationibus componitur ex quibus omponitur ratio CadH.ergo est vis A ad G, sic C ad H, sed ut A ratio AB id rationem EF, Ae ut C ad H, sic ratio CD ad rationem EF. Aua

387쪽

CEOMETRICAE. PROPOSITIO LIII. 89yDAtis duabus rationibus AB, C D, ponatur & tertia E F similis rationi CD Dico rationem AE esse ad B p,.ut ratio AC ad BD. Demonstratio.

Quoniam rationes CD,E Fpo- A B

nuntur similes siue eaedem, '------m

ratio AB ad utramque, eandem habebit proportionem: sed ut ra- E Flio A B ad rationem E F ita ra - - tio A E ad rationem B F: & ut ratio A B ad rationem C D, ita ratio A C ad rationem BD. Ergo ratio A E ad rationem BF, est ut ratio AC ad rationem BD. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO LIV. SI est ratio A B ad C D, ut A E ratio est ad rationem C F. Dico quod B sit ad D ut est E ad F.

Quoniam ratio AB est ad CD ratio- Αnem ut ratio AE ad CF rationem, ergo ' ratio ΑΒ est ad A E rationem, ut oratio C D ad CF rationem et ratio au- Etem AB ad AErationem, est ut Ead B, ergo ratio CD ad C F, est ut ratio E ad B: sed ratio quoque CD ad CR est ut Fad D, digitur ratio Ead B, est ut F ad D. unde ut Ead F, ita Bad D,&consequen-- ter Bad D, ut Ead F. Quod fuit demonstrandum. .

PROPOSITIO LV. SI ratio Α B est ad C B rationem, ut ratio D E ad rationem D F.

Dico Λ ad C eandem habere rationem quam F ad E. Demonseratio. RAtio AB ad CB, est ut A ad C, devitatio DE ad DF rationem, sie Fest ad E: ponitur autem ratio DE ad D F, eandem h. bere proportionem quae est inter AB de CB rationes: igitur ut A ad C, GF ad D i

IO L V I. It ratio Α B ad C B rationem, ut ratio D E ad F G rationem. Deinde fiat ut G ad F, ita EadH. Dico A C, dc D,H quantitates esse proportionales.

388쪽

PROPORTIONALITAΤEsDemonstratio.

QVoniam eadem est ratio AB ad C B, cum ratione D E ad F G , dem a cum ratio Α B ad C B, sit ut A ad C, erit pariter ratio DE ad F G, ut A--- - est ad C. sedi ratio DE ad F G , est ut Dad Hi ergo ut A ad C, ita est Dad H, proportionales itaque sunt ΑCoc DM. Quod fuit demonstrandum.

PROPOSITIO LVII. SIt ratio Α B ad C D rationem , ut ratio E F ad rationem G H: sit a

tem ratio A ad B eadem cum ratione E adF. Dico etiam rationcmCad D, eandem esse cum ratione G ad H.

I i Demonstratio.

- Nuentis denominatoribus rationum AB, B CD seilicet A M I, item rationum E F,G H---' denominatoribus E & Κ, quoniam rationes V sint proportionales, erit ut A ad I, ira Ead K. itaque cum A ad B, etiam sit ad B, ut E ad F, erite etiam Bad I, ut F ad K. sed ut Dad C, ita est 4B ad I, ergo ut D ad C, ita est Fad K. sed Had Gest ut Fad K. ergo ut Had G, ita D est ad C. Quod erat demonstrandum.

RAtio AE est ad rationem DF. vii ratio AB ad rationem EF i Acratio CG est ad rationem D H . vi ratio CD ad rationem GH. sed ratio ΑΒ est ex hypothesi ad rationem EF. ut ratio CD ad rationem G H. ergo ratio AE est ad rationem BR ut ratio CG ad rationem D H. Quod erat demonstrandum.

389쪽

GEOMETRICAE. PROPOSITIO LIX.

DAtae sint 8. quantitates A, B, C, D, E, F, G, H. Diuo proportionem rationum AE, BF esse ad proportionem rationum C G, D H, ut proportio rationum AB, E F, est ad proportionem rationum C D, G H. Demon atio.

Quoniam a ratio A E est ad ratio- sq. a R rinem BF , ut ratio A B ad ratio '- -

BF eadem cum proportione rationum E F G HAB, EF. similiter quoniam ratio CG est ad rationem DΗ, ut ratio CD ad rationem GH, erit proportio rationum C G, D H eadem cum proportione rationum CD, GH. Ergo proportio rationum A RB F est ad proportionem rationum A B, E F, ut proportio rationum C G,D H est ad proportionem rationum CD, GH. ergo h permutando proportio rationum AE, F 4- BF, est ad proportionem rationum CG,DH ut proportio rationum AB, EF ad ' proporKionem rationum CD, GH. Quod etat demonstrandum.

PROPOsITIO LX. SIt ratio A B ad rationem C D, ut ratio EF ad G H rationem. Dico quod ratio Λ B ad rationem H G, sit ut ratio E F ad D C r

tionem.

Demonstratio.

Cum ratio AB sit ad rationem 24, IO, C D, ut ratio EF ad rationem 'GH, erit φ permutando ratio ΑΒ . ad rationem EF , ut ratio CD ad Τ' 'rationem GH;hoc est ut ratio i H Gad rationem DC. Rursum igitur permutando ratio AB est ad rationem H G, ut ratio E F ad rationem D C. mod erat demonstrandum.

Vod si fuerit ratio AB ad rationem H G, ut ratio E F ad rationem

Dico rationem Α B esse ad C D rationem,ut ratio EF ad ratione G H. D onmatio.

Quoniam est ratio AB ad II G rationem, v ratio EP ad rationem DC : erie permutando ratio ΑΒ , ad rationem EF, ut ratio HG ad rationem D C, tiocesi per 38.huius, ut ratio CD ad rationem GH; permutando igitur mi proposi

tum. ' .

390쪽

PROPORTIONALITATES PROPOSITIO LXI. SIt denuo ratio AB ad rationem CD, ut ratio E F ad rationem G H.

Dico rationem A E esse ad rationem H D , ut ratio B Fest ad rationem GC.

Demonstratio.

ut ratio EF est ad rationem G H, erita permutando ratio AB ad rationem EF,ut ratio C D ad rationem G H. ergo de bratis AE est ad rationem DF, ut ratio CG ad rationem D H. sed ratio CG est ad rationem D H ut ςratio H D ad rationem G C. ergo ratio A E est ad rationem BF, ut ratio H D ad rationem GC: unde permutando ratio A E est ad rationem H D, ut ratio BF ad rationem GC. Quod erat demonstrandum.Hanc quoque per praecedentem conuertes.

PROPOSITIO LXII. SImiles ponantur rationes AB, &CD, α inter ΑΒ, CD ponantur

B D ratio FD ad rationem Η EB. Deinde quoniam . est ut Fad C, sic Ead G, erit permul. ut Fad S sic Cad G : item quoniam est ut Bad E. sie D ad H, erit permut. B ad D, ut E ad Η:sed ex hypothesi ut A,est ad C,sic B ad D. ergo A,est ad C ut A est ad H. Quoniam igitur est ut A ad C, sic Ead H, Λ: sicut paulo ante ostendi, vi Cad G, sic Fad Rerie exaequa.sed ratione perturbata ut A ad G sic Fad H, hoc est quemadmodum antea demonstratii, ut ratio A E est ad rationem CF, sic erit ratio FD ad rationem EB. Quod erat demonstrandum.

Int rursum similes rationes AB, CD,&sumantur quaevis E,& F. o Dico rationem E Α esse ad rationem F C, ut ratio E B est ad rati nem FD.