P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

391쪽

CEOMETRICAE.

Demonstratio.

RAtio E A est ad ratio- Cnem EB, Pr B ad A, A Fhoe est ex hypothes ut D - ad C, hoc est ut ratio FCad . rationem FD.igitur permu- B Drando b ratio E A est ad rationem FC , ut ratio EB ad rationem FD. Quod eraedemonstrandum.

SIt ratio AB ad rationem CD, ut ratio E F ad rationem GH. sat d iode ut D ad C, ita B ad I, & vi H ad G, ita F ad K. Dico rationem A B esse ad E F rationem, ut ratio F Κ ad BI. Demonstratio.

Quoniam ratio ΑΒ est ad CD rationem, ut ratio EF ad GH, igitur e ratio A ad I, eadem est eum ratione Ead K: ergo per 62.huius,utratio A B ad rationem EF, sic ratioF Κad rationeipBI, Rum erat demonstrandum.

PROPOSITIO LXV. SIt ratio A B ad rationem E F, ut ratio C D ad G H rationem, sitque

Α ad B, ut C ad D. . Dieo esse E ad F, ut Gad H. si vero sit A ad E, ut Cad G. Dico B ad F eandem habere rationem quam D ad H. Demon iratio. DQVoniam ratio A B ad EF ponitur esse ut Atatio C D ad G H rationem,erit igitur ra- tio ΑΒ ad ratione C D, ut ratio EF i ad GH Mrationem. ergo cum sit ratio A ad B eadem Aquae C ad D, erit & ratio E ad F, eadem cuma ratione Gad H. Quod erat demonstrandum. Secundam quoque partem sic demonstrabimus. quoniam est ratio AB adtationem CD ut ratio EF ad rationem GH; erit etiam per 3. huius ratio AC ad rationem B D, ut ratio EG ad rationem F H: M permutando ratio A C est ad rationem EG, vi ratio BD ad ratidnem FH. sed ratio AC eadem est rationi EG, cum ex hypothesi A sit ad E, ut C ad G. Ergo de ratio B D eadem est rationi P H, adeoque&ratio B F, eadem rationi DII, hoc est B est ad F, ut D ad H. Quod erat secundo loco probandum.

392쪽

so PROPORTIONALITAT EsPROPOSITIO LXVI. SIt ratio Α B ad rationem C D, ut ratio E F ad rationem G H, & ratio B I ad D K rationem, ut ratio F L ad rationem LI M. Dico esset ad K, ut L est ad M.AE Demam ratio.

Voniana est ratio A B ad ratio-

rationem, id ratio A ad C, eadem rationi Ead G, igitur B est ad D, ve F ad H : est autem latro B I ad D K rationem, ut ratio F L- - ad HΜ rationem, & est ostensum Besse ad D, ve Fad H, igitur ratio I ad K, eadem est cum ratione L ad M.

PROPOSITIO LX VII. Sint quantitates A, B, C, D, E.

Dico proportionem rationum D A, C B, ad proportionem rationum EA, CB, esse ut Dad E. Demonstratio. .

FIat ut B ad C, ita A ad F, ratio

igitur DA, i ad rationem CB.est ut D ad F, ratio quoque E A ad ra---- - tionem C B, cst ut E ad F. ergo viii ratio DF, ad EF rationem, ita pro-- α -- portio rationum DA, CB ad proportionem rationum E A,U B: est autςmeratio DF ad EF, Vt Dad E.igitur proportio rationum D A, CB ad proportionem rationum E A , CB, est ut D ad E. Quod fuit demonstrandum.

DAtis quo tuis pari numero rationibus.

Oporteat rationes exhibere quae continentur inter rationum d intum denominator .

constrato σdemonstratio.

DAtae sint rationes AB. CD, EF, GH qua

-Tum denominatores sine

Ι, Κ,L,M. satvt M ad I., ita Κ ad P. Dico I ad P. rationem esse eam quae postulatur. ratio enim I ad - P exhibet a proportiono quam rationes continent IK ω LM. qui termini ex constructione sunt denominatores rationum datarum AB, CD, EF, G H. Igitur manifestum est rationem Iad

393쪽

l GEOMETRICAE.

ad P eam esse quae doceat proportionem quam continent inter se denominatores rationum datarum. Quod quatuor assumpserim rationes, eo feci consilio quod eo eo numero suis cien ter praxis colligi possit de quouis numero rationum qui parsit. nam si numerus rati nu impar fuerat, antecedens remanebit sine consequente: quod per se est manifestu.

bROPOSITIO LXIX. DAtis tribus rationibus quibuscunque ΑΒ,CD, E F & quantitate G.

Oporteat inuenire quantitatem H, ut sit quemadmodum ratio A B, ad rationem C D, ita E F ratio ad rationem G H. Consis Ao os demonstatio. EIat vi D ad C, ita Bad K: de

M per 3t. huius , ita ueniat ut quantitas H,ut sit quemadmodum A ad K, sic ratio EF ad rationem GH. Dico factum nam ratio A B est ad rationem CD, ve . A ad K , lioc est ex Constructione ut ratio E F ad rationem G H. Si volueris quantitatem da tam G este consequens rationis quae sits , simili discursu per 3 t. huius habebitur intentum.

PRopo SITIO LXX. DAtae situ tres rationes Α B, C D, E Fι & alia quantitas G.

Oporteat autem determinare quantitatem ut proportionum AB, CD, ad proportionem rationum EF , GH, datam rati obtineat I ad K.

ratio rationem

- UIat ut D ad C, se B ad

L. erit ergo b proportio rationum AB,CDeadem Acum ratione AL. Inue-B-niatur e dcinde quantitas C 'M , sie vi ratio AL sit ad - rationem EM, ut I ad K.

Demum fiat vi M ad F, sie Ι- ΚG ad H: eritque inuertendo H ad G, vi F ad Mi ac proinde proportio rationum EF, GH eadem est cum ratione EM. Quoniam igitur proportio rationum AB, CD eadem elicum ratione A L, proportio rationum EF. GH, eadem est cum ratione EM. estque per constructionem ratio A L ad rationem EM, vi I ad K: e iam proportio rationum AB, C D, erit ad proportionem rationum EF, G H , ut Iad K. Factum igitur est quod petebatur.

394쪽

ρού PROPORTIONALITAT EsPROPOSITIO LXXI. SIt ratio AB ad GH, ut est ratio DE ad KL rationem. st insuper

ratio BC ad Hi, ut est EF ratio ad racionem L ad M. Dico proportionem rationum AB, D E, esse ad proportionem rationum B EF, ut proportio rationum G H, KL ad proportionem rationum Hl, LM. Demonstratio. N

FIat ut Ead D, sic Bad N, Scut L Fad E. sic Cad P. ut vero Lad K, sic H ad O , ut demum M

F ad L, sie I ad Q uoniam ex hypothesi ratio A B est ad rationem GH, ut ratio DE ad rationem

' Κ L, erit pernuitando. ratio A Bad rationem D E,ut ratio G H ad

. rationem KL. ergo, Aest ad N, vi K ad O,lioc est ratio AN quatur rationi GO. eodem modo ostendam rationem BP aequati rationi H ergo ratio ΑN est ad rationem G O, ut ratio B P ad rationem H in & permur. ratio AN est ad rationem BP, ut ratio Goad rationem H Q. sed per Is . huius proportio rationum A B,D E eadem est cum ratione AN,&proportio rationum BC, EN eadem cum ratione B P: item proportio rationum G H, Κ L, eadem est cum rati ne GO, proportio denique rationum HI, LΜ eadem cum ratione H Q. ergo proportio rationum A B, DE est ad proportionem rationum BC, E F, ut proportio rationum G H, Κ L, ad proportionem rationum HI, L M. Quod erat demonstran

dum.

DAtae sint tres rationes AB, CD, EFι denominatores autem A B,C rationum, quantitates G dc H aDico si quantitas I sit denominator rationis E Frespe u G denomInatoris rationis A B, etiam erit eadem quantitas i denominator ratio sEF respectu H denominatoris rationis C D. Demonseratio.

QVoniam ponitur G denominator rationis A in respectu H denominatoris C Drationis,lgitii rut ς C Dratio ad rationem AB , ita denominator H ad denominatorem G; cumque statua- G H tur rationis AB denomina -- - -- -- tot G, respectu quanritatis I, . quae est donominator rati rinis EF, erit quoqMut rati AB ad rationem EF in denominator G ad I denominatorem. ergo ex aequo erit vL . ratio

395쪽

tatio C D ad rationem EF, ita denominator Had I denominatorem. Quare MI denominator erit rationis EF respectu H denominatoris rationis eius quam ha - hec C ad D. Quod fuit demonstrandum.

It ratio A ad B maior ratione C ad D ἡ & se matur quaevis alia ratio E ad F. Dico rationem A B ad rationem EF, maiorem habere proportionem quam ratio C D. Demonstratio. FIat ut Dad C, sic B ad G, dc ut Fad Ε, sic BadH.

erunt per Is. huius A & G, denominatores rationum AB, CD, itemque A & H , denominatores rationum AB, EF. ergo per praecedentem G de H, sunt etiam denominatores rationum CD, E F. Iam vero quia ut ratio A B est ad rationem C D, ita est A ad G, per definitionem a. huius,estque ratio ΑΒ maior ratione C D, ex hypothesi, etiam A maior est quam G. ergo A maiorem rationem habet ad H , quam G ad H. sed ut A ad H, sic ratio AB ad rationem EF, dcve Gad H, sic ratio CD ad rationem EF. Ergo & ratio AB ad rationem EF maiorem habet proportionem quam habeat ratio CD ad rationem E F. Quod erat demonstrantium.

PROPOSITIO LXXIV. QVod si ratio AB ad CD rationem, proportionem habeat maio

minatores rationum A B,C D. item A & H denominatorcs rationum A B, E F. ergo b G &H sunt denominatores rationum C D, E F. Iam vero quoniam est ut ratio AB ad rationem C D, eita A ad G,&vt ratio EF ad rat nem C D, ita Η ad 'G, estque ratio Α B ad C D rationem in maiori, quam E F ratio ad rationem C Dῆ erit quoque A ad G, in maiori quam H ad G.ergo A denominator rationis ΑΒ maior est quam H denominator rationis E F. ergo ratio a AB malor est ratione E F. Quod ii M. erat demonstrandum.

396쪽

PROPORTIONALITAT V Μ. GEOMETRICARUM

De rationum multiplicationestu compositione.

Ationum mustipluauionm a composuione non disserre seris arbitror, s in-Eiget, qui non ignoret definitiones xlibri is elementorum, eaque legerit quae in secundo principio huius tari exposumus. Iuuat tamen, quando sepius deinceps id a me. mi debe Lectora Nerbo ino memomam refricare.Data sint tres quantitates A,B,C, auiplures: Di- si cimur ergo, rationem AC er componi ex ratiouibus i ,---, A B, B C, o produci ex iistim rationibus inter simu C t ficatu, ac proinde rarionem omnem roduci ex mul- ripiscarione earum rationum, quaei am componunt.

PROPOSITIO LXXV. DAtae sint rationes A B, de C D. Fiat ut C ad D, ita B ad E.

Dico rationem AB ductam in rationem CD producere rationem A E. D reseratio. DDo Ationes ΑΒ, B E componunt ra-- tionem AE. sed ratio BE est ratio CD ex constructione. Ergo ratio A B cum ratione C D componit ra-- tionem AZ ergo ratio AB ducta in rationem CD producit rationem AE. Quod erat demonstrandum.

- corosianum primum. A C TIInc facile deducemus eandem. -- rationem produci ex ratione A B in rationem C D, quae fit ex ra-Ε F eione CD in rationem AB. fiae - - enim ut C ad D, sic B ad E : M veA ad B, sic Dad F. igitur per s. ratio AB in rationem CD, facit rationem AE,& ratio CD in rationem AB facit rationem CF. Atqui rationes A E CF eaedem sunt.Ergo, flee. quod autem rationes A CF sint eaedem, sic ostenditur. per constri

serenirium sicundum.

Atis duabus rationibus A B, C D,exhibebimus rationem quaeproducitur ex ea Utione AE ducta iurationem CD. Fiat

397쪽

Fiat enim ut C akl D, sic A ad E, Dico rationem AB ductam in rationem CD producere rationem AZ Demonstratio patet ex praecedenti.

PROPOSITIO L X X V l. DAin sit quae uis ratio A ad B.

Dico rationem AB duetam i a rationem B A producere rationem aequalitatis. Demonstratio.

Quantitati A aequalis assumatur quantitas oratio A ad C componitur ex ratione AB, & ratione B C, hoc est ratio A ad C, producitur ex multiplicationetionum AB, S BG sed ratio BC est ratio B A, est enim C aequalis A. Ergyratio A ad C etiam producitur ex multiplicatione rationum A B, & BA. sed ratio AC est ratio aequalitatis; liquet ergo proposituni. '

PROPOSITIO LXXVII.

CI inter A & B quiuis ponantur termini C, D. Dico AC rationem ductam in C B eandem producere quam rDiio A D ducta in D B rationem. DDemon ratio.

o Atio A ad B, componitur ex rati -- nibus AC M C B, hoc est i produ- citur ex rationum AC & C B multi- . plicatione. Eadem quoque ratio A ad B, Componitur ex rationibus A D, 'D B: hoc eit producitur ex ductu rationum A D,D B. Ergo ratio A C dinsta in rati nem C B, eandcm producit rationem quam ratio A D ducta in rationem D B. roderat demonstrandum.

PROPOSITIO LXXVIlI. DAtae sint quatuor quantitates A, B,

C, D.

Dico rationem A C duetam in ratione B D eandem producere rationem quam ratio A D, ducta in rationem B C. Demonstratio.

UIat ut B ad D, sic Cad E. Ergo per n. huius Αad Ε, producitur ex multiplicatione rationum AC &BD. Dcinde quia est ut B ad D , sic Cad E , erit permutando B ad C, ut Dad E. ergo ratio AD ducta in rationem DEidem producit quod r.itio AD ducta in rationem BC. sed ra-A C

itio e AD ducta in rationem DE producit rationem A E. ergo & ratio ΑU ducta iι in rationem BC producit rationem AE, sed hanc etiam producit ratio AC, ducta in rationem BD, ut ostendi supra. Ratio igitur AC ducta in rat sonem BD, idem producit quod ratio AD ducta in rationem B C. Quod erat demonstrandum. ZZZZZ 'corat

398쪽

PROPORTIONALITATES

Corollarium.

A LI incoquitur datis tribus quaiatitatibus A, C, D. quod ra. . is Latio AC ducta in rationem CI , Producat idem quod ra- . tio AD ducta in rationem aequalitatas. Suinatur enim B, ae-C qualis C, per 78. ductus rationum AC, B D producit idem -- quod ductus rationum A D, B C. Atqui rationes AC , A D. D iunt rationes A C, C D sest enim Is inlualis C:ὶ eigo ductus rationum AC, CD idem producit quod duehus rationum A D, B C, hoc est ratio A D ducta in rationem aequalitatis.

p ROPOSITIO LXXIX.

Ιisdem positis:

Dico rationem A B ductam in rationem C D , idem producere quod ratio AD ducta in rationem CB. Demonstratio. Λ TIat ut C ad D, ita B ad N a ergo ra-.-----x tio AB ducta in rationem C D, producit rationem A N. rursum fiat ut A MD, sc B ad M. igiti ira rationes AD, CB- intei se multiplicatae producunt rationem C M. Iam vero quoniam rationem A C. C componunt tarationes AB BC, qua A D. ---- - D C rationes ; idem producent rationes AD, D C inter se multiplicatae quod rationes AB,BC. sed per construction. ratio D C est ratio N B, de ratio AD eii ratio B M. ergo etiam rationes N B, B Mide producunt quod rationes ABBCsed ratio. nes AB, BC producunt rationem A C, de rationes NH,B M producunt rationem NM rationes igitur AC, NM iunt eaedem. Igitur permutando etiam rationes AN, C Meaedem sunt.Atqui supra ostendi rationes AB, CD producere rationem AN, rationes vero A D,C B producere rationem C M.ergo rationes A B, C D idem producunt quod rationes AD, CB. moderat demonstrandum.

PROPOSITIO LXXX.

Iisdem postis:

Dico idem produci ex multiplicatione rationum A C B D, quod sit ex ducturationum AB, CD,& BC bis sumptae.

VI at ut Bad C, sic Dad E, ratio A ad E , componitur ex rationibus ΑΒ, BC, CD, DE, hoc est, quoniam rationes BC, DE, ex construct.tunt eqdem, ex rationibus AB, CD, de BC bis sumptae. ergo ratio' A ad E pr ducitur ex ductu rationum AB, C D, dc BC bis sumptae. sed ratio

399쪽

GEOMETRICAE. 9 II A ad E, etiam coponitur ex rationibus AD & DE,hoc est ex rationibus A D BC, ac proinde ratio A ad E. producitur ex ductu rationum A D. B C. Idem ergo producit duetus rationum AB, CD, 3 BC bis sumptae quod producit ductus rationum AD, BC. sed per s. huius ductus rationum AD, BC idem producit, quod ductus rationum AC, BD. ergo ductus rationum AB CD,& BC bis sumptae idem producit quod drictus rationum AC, BD. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO LXXXI. Sint duae qxraeuis rationes A B, C D.

Dico proportionem rationum AB,CP esse eandem cum ea quae oritur ex multiplicatione rationum AB, DC.Demonstratio. UIat ut D ad C, sic B ad E. Epatet ex 7 . tridus rationcm cAE produci ex multiplicatio -- -- ne rationum AB, DC. Dein - - - de per Is. huius ratio A B est 'ad rationem CD, ut A ad Ε, ac proinde proportio rationum AB, CD eadem est cum ratione ΑΕ. ergo proportio rationum A B, C D eadem est cum ea quae fit ex multiplicatione rationum A B, D C. Quod fuerat demonstrandum.

pROPOSITIO L X X X II. Ata sit quae uis ratio A ad B. oleo quod ratio AB ducta in se, duplicata sit eius quam habet

A ad B. Demonstrat

VIant pro potiionales A, B, C. erit a ergo ratio A ad C, illa quae fit ex AB ducta in B C, hoc est in scipsani. sed ratio A ad C duplicata est eius quam habet A ad B, igitur ratio A ad B, ducta in se ipsam duplicata est rationis A ad B. Quod erat demonstrandum.

ΡROPOSITIO LXX XLII. RAtio A ad B similis sit rationi C ad D.

Dico rationem AB ductam in DC, producere rationem aequalitatis. t. t

Demonstratio. I , inoniam ratio AB smilis est rationi

C D, erit in uertendo ratio B A fimi Iis rationi DC. quod ergo fit ex multipIi- . Catione rationis A B in rationem B A: fieetiam ex ductu rationis AB in rationem 'D C. sed ex ductu rationis Α B in ratione B Ab producitur ratio aequalitatis; ergo Se ex ductu rationis AB in rationem D C, producitur ratio aequalitatis.Quod erat de. monstrandum.

400쪽

F, dc C ductum in B, producat G. Dico rationem A B ad C D rationem, esse ut F est ad G. Demonstratis.

Κ ut D ad B, ita C ad K , etit' A itaque a ratio A B ad C D ratio. - nem , ut A ad K, ratio vero A ad L, B D composita est ex ratione A ad C, cit C ad K: ratio quoque Fad G,com- posita est ex ratione A ad C,S Da iB quia A in D produxit I , C in B produxit G: igitur cum rario D ad B, sit ex construct. eadem cum ratione Cad K. erit ratio Α ad K, ex ijsdem rationibus composita, ex quibus ratio F ad α, componituri ergo h A est ad K . hoc est ratio A B est ad rationem C D, ut F est ad G. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITI Q LXXXV. Positis quatuor terminis AB, CD. Si A ductum in D producat E

quantitatem aequalem F, qui fit ex ductu C in B. Dico rationes ΑΒ & GD aequales esse seu similes. Dem Gratis.

ΡΞr praeced. ratio AB ad rationem C D. est ut E ad F, sed Ead Fratio aequalitatis est , climaequales sint ex hypothesi: igitur ratio AB aequalis est seu similis rationi CD. Quod erat demonstrandum. Corotarium.

HIne si AB, CD similes norint rationes, A in D producet idem quod C in B.

PROPOSITIO . LXXXVI. DAtae sint quatuor rationes proportionales A B, C D, E F, G H. Dico ex prima AB ducia in quartam GH, idem produci quod

ex ductu secundae CD, & tertiae E F. Demonstratio.

FIat ut G ad H, sic B ad I: M ut Fb ad P,

ita D ad K. erit ς ratio AH ad rationem H G ut A ad 1, ratio CD ad rationem FE, ut C ad K. Rursum quoniam est ut Gad Η ,sie B ad I, ratio 4 ΑΙ producitur cx mulistiplicatione rationum A B, G H. Et quia est ut E ad F, sic D ad K, ratio CK producitur ex ductu rationum EF, CD. Deinde quia ratio