장음표시 사용
401쪽
AB est ad rationem CD, ut ratio EF ad rationem GH, etiam . ratio AB est ad με- rationem GH, ut ratio CD ad rationem FE. sed ante ostetidi A esse ad I, ut ratio AB est ad rationem G H, ω C esse ad K, ut ratio CD est ad rationem FE. ergo A est ad I, ut C ad K, hoc est ratio AI producta,ut supra demonstraui,ex multiplicatione rationum A B, G H, primae dc quartae eadem est cum ratione CK pro ducta ex multipIι catione rationum C D, EF, secundet ac tertiae. Quod erat demoli- strandum Corosiarium. QVod si tres fuerine rationes proportionales, prima in tertiam ducta idem producet quod media in teipsam. Demonstratio patet ex propositione talia demonstrata si media ratio bis sumatur.
PROPOSITIO LXXXVII. Cl ratio AB ad CD ratio- A
nem quam D E ratio ad ratio- -
Int primo harum rationum termini
ψsex numero, virtualiter cicto Conti nentes. ut in primo inremate, cum ra
tio AB sit ad CD rationem, ut ratio D E ad B F rationem. igitur ratio AB ducta in BF rationem, aequa tur b rationi C D in D E. sed ratio AB in BF rationem , est ς ratio A ad F. ω ratio CD in DE, est d ratio Cad E. igitur ratio A ad F, eadem est cum ratione C ad E. sim deinde ut in secundo schemate octo termini; inuenianturo rationum ΑΒ , CD denominatores Α & G. item DE. BF rationum denominatores D & H. Quoniam igitur ratio AB ad CD rationem, ponitur esse ut ratio DE ad BF rationem: igituri A ad G, habet f., ι.εα eandem proportionem quam D ad H. quare quod oritur ex ductu A in H, aequale erit gilli quod generatur ex ductu G in D. ergo etiam ratio A ad B, ducta in ratio-ς --αnem B ad F, producet aequalem rationem cum ED ducto in D C. componitur s autem ratio AF ex ratione AB ducta in B F, ct ratio Ead C, composita ellex ratione ED in D C; igitur cum aequales sint rationes AF & EC, erit A ad F, ut E ad C. Quod fuit demonstrandum.
HSIt ratio A B ducta in C D eadem cum ratione EF ducta in seipsam. Dico rationem Α D ductam in C B rationem , eandem quoque esse cum ratione E F ducta in se. Zetet et et 3 ---Disitired by Gorale
402쪽
cum ratione AD ducta in C Biat qui ratio AB ducta in CD, eadem ponitur cum ratione EF in se multiplicata;igitur etiam ratio A D ducta in C B, eadem crit cum ratione EF ducta in se. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXXIX. CIt ratio AC composita ex duabus rationibus D E , GH, sitque ratio O A B aequalis rationi D E. Dico & rationem B C aequalem esse rationi G H. Demonstratio. Α . UIatur Gad Η,sic. A- E ad N. erit igi-. B tui ratio D ad N, composita ex ra- tionibus D E , MEN, hoc est ex ra--- tionibus D E , Mu GH, hoc est ex ijsiadem rationibus, ex quibus Componitur ratio data AC. Ergo per principium 3. huius libri rationes AC, D N sunt eaedem,sive Aest ad C, ut Dad P N. Qiloniam vero
ex hypothesi est veD ad Ε, sic A ad B: erit de B ad A. vi E ad D: &iam ostendi ut D est ad N , sie A esse ad C. ergo ex aequo ut E est ad N, hoc est ut G ad H, sic B est ad C. ιoderat demonstrandum.
PROPOSITIO XC.DAta iam sit ratio A ad R,composita ex quotuis rationibur, D E,G H.
403쪽
tio D O componitur ex rationibus D E, E N,N O. lioc est per constr.ex rationibus D E, GH, I Κ, hoc est per hyootliesim ex usi sem, quibus componitur ratio Α O. Ergo per principium 3. liuius libri, rationes Α 4 dc D O. sunt aequales. DeindTMuoniam ex constr. ratio quoqlle o P aequalis est rationi L M, erit ratio D P comis polita ex rationibus D E, GH, I K, I. M sed ex ijsdem ponitur componi ratio A R. si igitur rationes DP, AR aequantur. Quare cum Zc rationes D O, Α Q iam ostenderim esse aequales, per prςcedentem ratio quoque QR rationi o P, hoc est rationi LM aequalis erit. Quod erat demonstrandum.
SIe A ad B, ratio maioris i ii aequalitatis composita ex rationibus C D
& E Fi sit autem ratio CD maior ratione A B. Dico rationem E ad F esse minoris ad maius. SemonHratio. D' at ut C ad D, ita A ad G. M Quoniam ex hypothesi Au
CD Ae EF . ratio item ABCOmponitur ex rationibus A Gω G B. Quare cum ratio C Deadem sit ex constructione Cu ratione A ad G. Igitur ratio F. G ad B , dem est cum ratio- 'ne quam habet E ad F: ratio severo C ad D, Ponitur maior
ratione A ad B, igitur ratio A ad G, maior est ratione Α ad Bi est igitur Gminor quam sit B. Vnde ratio G ad B, est minoris ad maius. quare cum ratio G ad B, ea dem si e cum ratione E ad F, erit quoque tatio E ad F, minoris adinatus. Quod demonstrandum fuit.
It iterum ratio ΑΒ , maioris inaequalitatis composita ex rationibus, C D, &EF, sit autem ratio CD, maior ratione AB. Dico rationem E F minorem esse ratione C D. Demonseratio. 'CIat ut C ad D , sic A ad
LG, ratio AB componi tur ex rationibus A G, G B. eadem quoque ratio AB per hypothesim componitur ex rationibus CD, EF. Atqui ratio C D ex constr. aequatur rationi Α G. ergo ει ratio EF per 8'. rationi
404쪽
cum ex hypothesi ratio AB sit maioris inaequalitatis,pona utque citio CD maior ratione AB , etiam ratio CD, erit maioris inaequalitatis. Atqui per praeco letuum ratio G B, id est EF, tune est maioris inaequat. ergo ratio E Eminor est ratio rua C D.
Atio quae uis ducta in rationem aequalitatis producit seipsam. Demon Iratio. D
T, Ata sitiatio aequalitatis CD, acalia quae uia MA ad B. fiat ut A ad B , sic D ad Ε, per ps
huius ratio CE producitur ex ratione AB ducta in rationem C D. sed ratio CE eadem est -- cum ratione DE si intenim D & C aequales h oeest cum latione AB ex constri crgo ratio A B ducta ita rationem ςqualitatis pro- dueit seipsam. Quod erat propositum. corostarium. T Inc patet rationem aequalitatis in rationum compositione seu multiplicatione a ceteris rationibus componentibu&adiunctam nihil addere.
ter se multiplicatae idem producant, quod rationes CD, E F multiplicatae inter se: Dico rationem AB esse ad rationem CD, ut ratio E Fest ad rationem
I . K CIat ut G ad H, sc B ad I: per s.liurus AB, GEL rationes inter se multiplicatae facient rationem AI. Rursum fiat ut Ead F, sic D ad K. erit ratio CK pr luctum CD,& EF rationum : adeoque ex hypothesi rationes AI, CK aequales erunt, hoci est A erit ad I, ut C ad K. Deinde quoniam est ut G ad H, sic Ba l. I, erit peris. huius ratio AB ad rationem H G , ut A ad I. si iniliter erit ratio ---- CD ad rationem'FE, ut C ad K. quoniam ergo, L M A est ad I, ut C ad K; erit ratio AB ad rationciri H G, ut ratio C D ad rationem FE. ergo de ratio AB est ad rationem C D , ut in M. a ratio EF ad rationem GH. Quod erat demonstrandum.
PROΡOSITIO XCV. Atis quatuor rationibus AB, CD, EF, G H. I Oporteat exhibere proportionem rationum quas producunt ratio A B ducta in rationem C D, & ratio E F in rationem GI I.
405쪽
Constractio demonstratio. UIM ut C ad D, sic B, ad Ι. M ut G ad H,
iic E ad K. per γ s. liuius cri in t rationeSAI, E K, illae, Mias prodiicet ductus rationia in Alue , CI de ductus rationum E F, G H. rationum autem productarum AI, & ΕΚ, proportio habebitur si fiat vi K ad I , sic Iad L, uti parct cxl3.hurus. Factu inest igitur quod petebatur.
PROPOSITIO It proportio rationum A lue,t K, ad proportionem rationum CD, L M, Vt proportio rationii E F,N O, ad proportionem rationum G H, P Q. Dico proportionem rationum G II, D,ductam in proportionem rationii N O, P Q idem producere quod proportio rationum I K, L M ducta in propor: tioncm rationii EF, G H. XCVI.
Demonseratio. DEr 13. huius inueniantur ration lina datarum denominatores R,S : T,U: X, Yta Z, α. Erit ergo proportio rationum A B, I K eadem cum ratione R S, & proportio rationum CD, LM eadcm cum ratione T U, dc proportio rationum EF, NO, eadem cum ratione XY, proportio deniquet rationum G H, P QIadem cum tatione Zα. Cuin igitur qtiatuor illae Proportiones rationum sint ex hypothesi proportionales, ctiam rationes RS, TU, X Y,Zα proportionales erunt. ergo per 36. huius ratio RS in rationem Zα, idem facit quod ratio TU in rationem X T etiago etiam proportio rationum A B, I K ducta in proportionem rationum GH, PO, idem producit quod proportio rationum CD, LM dlicta in proportionem ratinnum EF, NO. Quod erat propolitum. foro trium. QVod si proportio. rationum A B, IK suerit ad proportionem rationum' CD,LM, ut proportio rationum C D, LM est ad proportionem rationum EF,N O. Dico proportionem rationum CD, LM ductam in seipsam idem producere quod pro portiones rationiim AB, IK dc EF, No inter se multiplicatae. Demonstratio patet ex propositione iam demotistrata si bis sit mattir media proportio rationum CD, LM.
406쪽
PROPORTIONALITATES PROΡOSITIO XCVII. DEntur rationes quotcunque A B, C D, E F, G H.
Dico proportionem rationis primae AB ad ultimam G H compositam esse ex proportionibus rationum mediarum. Demonstratio. UIatvr D ad C , si e Bad Κ, ω ut Fad Ei se B ad L: ut vero II ad G, sic B ad M. per 33. t uiuS, ratio C D est ad rationem Α B, ut K ad A:&perean- dein ratio AB est ad rationem E F, ut A ad L. ergo ex aequo ratio CD est ad rationem EF, vi K ad L. Cum igitur etiam sit ratio A B ad rationem C D, ut A ad K, erunt rationes A B, C D, E F quantitatibus A, Κ, L, proportionales S ratio EF ad rationem A B,ut Lad Α: eodem discursu pro babimus rationem E F esse ad rationem GH, ut L est ad M : adeoque omnes rationes datas A B, C D, EF, G H esse proportionales quantitatibus Α, Κ, L,M.Qua re eum ratio Α ad Μ, composita sit ex rationibus AK, KL, L M, erit quoque ratio A ad M, composita ex proportionibus rationum A B, C D, EF, G H. sed ,quoniam ex construct. vi H ad G , sic B est ad M, proportio rationis A B ad G H, eadem, ii hmis,. est a cum ratio ite A ad M. ergo de proportio rationis Α B ad rationem G H est eomposita ex rationibus rationum mediarum A B, C D, EF, G H. Quod erat demon
. Atae sint rationes quotcunq3 AB, CD, EF, G H. Dico ex illis quomodocunque dispositis eandem iam ner produci sitisue componi rationem.
datet eo ordine quo dantur, urratio prima IK sit eadem primae AB, Si secunda KL, secundae CD,&sicdeinceps. Erit ergo ratio I ad N , producta siue composita ex rationibus Α B, C D ERGH eo dispositis ordine quo dandur. Continuentur deinde ratio nes datae in lineis O, P, Q,R, S, sed ordine perturbato, ut ratio quidem OP sit aequalis rationi CD, & ratio PQ rationi Α Β, Δ ratio QR rationi G H,
407쪽
demum Rri rationi EF. Erit ergo ratio o ad S , producta siue composita ex rationibus P, PQ QI R S , hoe est extationiblis datis, sed alio ordine dis positis quam quo sunt datae. co nihilominus rari eiu I ad N, eandem essecum ratione o ad S. Ex construct enim I est ad K , ut A ad B, hoc est ve P ad Or re Kest ad L, ve C ad D, hoc est, ut O ad P. Ergo aequalitate perturbata, Iest ad L, ut o ad ε 3 - Deinde L est ad M, ut Ead F, hoc est, ut R ad St Ac Μ est ad N, ut G ad H, hoc est ut O ad R. Rursum igitur ex aeuualitate pelturbata L est ad N, ut Q ad S. Gareeuci sit aὸ L ut O ad Q . M L ad N, ut Q. ad s , ex aequo I est ad N ut O ad S , siue tatio IN eadem est cum ratione o S. REOd erae demonstran- .dum. . '
moasi alio quovis ordiae fiat compositio, sitiali nihilominus discutis Nopes,
408쪽
Rationum proportiones considerat: maxime secundum rectanguis comparatio qua ni exterminu rationum, termini autem tuumurum Enea.
Ini datae rationes AB, CD. Dico rectangulum Λ Dis rectangulum BC eandem habere proporrionem quam ratio Λ B ad C D. iDemonstratio.
E . clat ut D ad C, ita Bad E. erit . - igitur ratiσ Α B ad C D. ut ΑA ad Errectanotu hautem Α Dindo B C rectangulum habet composi- tam rationem ex ratione A ad λωC ' ' Dad C: est autem Dad C, ut Bad E. quare rectangulum AD ad BC, D habet rationem compositam ex ra tione A ad B, & ratione Bad E. Sed etiam A afl E, habet rationem compositam ex iisdem rationibus:igitur rectangillum Α D ad B C, est ut A ad E. sed etiam ratio A Bad CD, est ut A ad Erigi urrario A B ad C D , eadem est cum ratione rectanguli AD ad BC. Quod ruit demonstrandum.
It quaevis ratio AB,&aliae quaeuis duae similes inter se,nimirum CD, EF. Dico rectangulum AC ar BE rectangulum eandem habere propo tionςmquam rectangulum AD ad BF rectangulum, Demonstrano.n . D Ario rectanguli A C au B E.
νη-- i. A c5poma est ex ratione A ad
B , dc C ad Et ratio quoque rectanguli AD ad rectangulum BF exijsdem componitur: nam ratio A ad B, communis est, ratio veris C ad E , eadem euhypothes est cum ratione D ad F; quare patet rectangulum
409쪽
AC ad BE, eam rationem haFere quam ΑD rectangulum ad rectangulum B F. Quod suit demonstrandum.
SIt A B ratio, ad rationem CD, ut est ratio E F ad G H rationem. Di eo rectangulum AD ad BC rectangulum,eandem habere proportionem quam E H rectangialum ad rectangulum F G. Demonstratio. TIae ut D ad C , sie B d Lerit ergo ut A /d I, sic a rectangulum A D ad rectangu- A . Ium CB. Rursum fiat ut Had n G, sie F ad Κ , erit ut E ad K, se rectanguluEHadrectangu- Elum G F. Atqui ut A ad I, sic s. Ead K. ergo ut rectangulum Α D ad rectangulum C B, sic rectangulum ΕΗ adrectangulum G F. Quod erat demonstrandum.
CD. Atis rationibus A B, C D. Oporteat exhibere quomodo se habeat proportio rationum Λ B, CD ad rationem rectangulorum AB,. lani ultio-Hmminario. Fiat ut D ad C. ita B ad CDeinde ut Bad D,ita fiat C ad F.
Dico proportionem rationum . AB, CD esse ad rationem re
ctangulorum AB &CD, ut F, est ad E.
Αm proportio rationum A B, C D 'per rhhulus pste dem cum timie A RRa λ tio vero quae est in tecreeiangula AB,CD componitur ex ratione A ad C , de ex ratione quam habet Bad D, hoc est quam habςx ex constructiqne C ad F, igitur cum ratio Α ad F, etiam componatur ex rationibus AC Se Cp, ratio revngulorum Α B, CD, eadem est cum ratione AF. sed rario AE est ad rationem A F. veF est ad E per 7. huius. ergo proportio rationum A B, CD est ad rationem rectangulorum A B, C D, ut Fest ad E. Factum igitur est qhod petebatur.
Dico rationem rectangulorUm AP, CB ad rationem rectangulorum G l H eandem habere proportionem quam ratio EF ad LM
410쪽
,eanacria habet pro . portionesti qtiae est inter ta
tiones ΑΒ de C D, similia ter rectangulum GK IH rectangillum est, utratio GH ad IK rationem. n d ptoportici rationum AB, CD ponitur esse ratio dein ue propoliis rationum GH, IK supponitur esse ratio L M. igitur patet ration Em EF esse ad LM tationem, ut ratio rectangulorum AD,CB ad rationem rectangulorum C II Quod erat demonstrandum. i
Quod si ABC de DEF proportionales sint: 1 i . Dico rectangulum A E ad rectangulum D B, eandem l a te proportionem quam rectangulum BF ad rectangesum BC. tD onseratio.
omponitdrisim ratio rectantilli AE aid re ctangulum DB ex ratione A ad B, Mod D. . similiter ratio rectanguli BF adbEC rectangulum, ex iisdem est composita, nam ratio B ad C, est eadem clim ratione A ad B, &ratios ad E, eadein cum ratione Ead D, exhypothesi. M. edm ratio BF rectanguli ad rectangulum EC composita sit ex ijsdem rationibus ex quibus componitur ratio rectanguli A E ad rectangulum D B,patet tectangulum A E ad D B,rectahgulu eandem hiuere rationem quam habet rectanguliim BF ad rectangulum BC : quod
tur rationes AB, EF, dc rationes CD, GH. Igitur racto ΑΒ est ad CD rarionem, ut ratio EF ad ratione' GH: igitur rectangulari AD ad C B, est vi te KQu-lum EHad GR.
Secundo rectangulum AC ad BD, ratiotis; in babat compositam H