장음표시 사용
411쪽
Α ad B, & C ad D, sed ex ijsdeni rationibus componitur ratio rectanguli EG ad F H, cum snt similes rationes AB, EF &similes quoque sint rationes CD MGII. igitur etiam secundae partis demonstratio constat.
PROPOSITIO CVI. Iisdem positis:
ad F C rectangDico rectangulum A H esse ad rectangulum G B, ut Ε D rectangulum
usum. EctanguluDemonstratio. ABDH
Ium AH ad reiangulum G B, rationem habet compositam Ex ration
A ad B, hoc est E ad F, dc ex ratione H ad G, hoc est Dad C i ex quibus etiam C m- ponitur ratio rectangulorum ED, FC. ergo rectangulum ΑΗ est ad tectatagulum G B ut ED rectangulum ad G B. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CVII. Iisdem positis:
Dico rectangulum A G ad B H rectangulum, eandem habere rationem , quam rectangulum EC ad re stangulum FD. Demonstratio.
D Echanguli AG ad B H, ratio est composita ex ratione A ad B, ω Gad Hi ex A illis ipsis autem rationibus componitur ratio rectanguli .EC ad F D, scilicet ex ratione E ad F, hoc est A ad B, & ex ratione C ad D, hoc est G ad H. Patet itaque veritas propositionis.
PROPOSITIO CUI II. Sint AB, C D similes rationes:
Dico quadratum Α, rectangulum BC, quadratum D eandem rationem continuare.
changuliim compositam- liabet rationem ex A ad B, hoc est C ad D, & ex Α ad C, hoe est B ad D : ratio- autem rectanguli BC ad D quadratum, composita ex ijsdem est rationibus, scilicet Cad D,& B ad D, manifestum igitur est rationes trium harum quantitatum esse similes, ac proinde continuari rationem earuudem quantitatum.
412쪽
CInt quaevis rationes A B, C D. Dico quod ratio A B ducta in rectangulum AD ad CB rectangulD C, aequetur rationi quam habet
Demonstratio. DP Atio etenim AB ducta in
-- . - DCrationem eadem est -- cum proportione quam ha
bet ratio A B ad C D ratio-- nerii. Atqui bratio rectangu- Ii, AD ad C B tectangulum eadem quoque est cum proportione rationum AB,CD. Igitur ratio AB ducta in rationem DC producit proportionem rectanguli AD ad CB rcctangulum. Quod demonstrare oportuit.
ΡROPOSITIO CX. Cint proportionales ABC,item D, E, F.
Dico rectangula AF, BE, DC eandem quoque rationem conti-
5 1: ' ctangulun , compositam ha --- - bet rationem ex ratiotre A ad B,& F ad T rectangulum quoque BE ad DC, habet rationem ex indem compositam,nempe ex ratione BC, quae eadem elicum ratione A ad B, ex suppositione, Mex ratione E ad D, eadem cum ratione F ad E. patet igitur rectanguIa ΑF, B E, C D proportionales eiic quantitates. quod oportuit demonstrare.
PROPOSITIO CXI. Sint ABC quantitates proportionales. deinde ut A ad B sat quaevis
rectangulum est ut Α ad B, cum habeat commune basim D. simili pacto ratio rectanguli DB ad BE, est ea quam habet D ad Ε, hoe es h A ad B ex hypothesi. Denique ratio B E rectanguli ad E C rectangulum, etiam est ratio B ad C, hoc est A ad B : sunt enim proportionales A,B, C. igitur rectangula AD, DB, BE, EC continuant eandem rationem A ad B. Quod fuit demonstran
413쪽
I ratio AB duplicata est rationis C D. O . Ib aiknguli A C δd B D sationem triplicatam eius esse quam Demonstratio.
RAtio quippe rectaiigilli A C ad BD
rectangitium , composita est ex rata . -
tione A ad B, hoc est duplicata C ad D, ex hypothesi insuper ex ratione C ad D. ergo ratio rectanguli A C ad B rectatagulum, est triplicata ratio- nis C ad D. Quod erat demonstran in
PROPOSITIO CXIII. st proportio rationum AB, CD ad proportionem r. tio vim EF Ut ut proportio rationum lΚ, L M, ad proportionem rationum'
Dico rationem rectangulorum A D, E H esse ad rationem rectan ou lorum O, ut ratio rectangulorum B C, F G ad rationem rectan gulorum KL, OP. Semonura Io.FIat ut Dad C, sic Bad R, R
fiat O ad U. Itaque ratio ' - - Α R est proportio rationum
proportio rationiarn EF, GH: ratio autem IT est rationum IK , L M proportio: denique ratio N U est proportio rationum N O, P Q. Atqui datς rationum proportiones ex hypothesissent proportionalcs sibi mutuo. ergo etiam rationes AR, ES rationibus I Τ, N U sunt proportionales. Iam vero ratio rectangulorum AD,BC est
VNPO. 4m ut uratio A Heli ad rationem ES. hoe est quemadmodum iam ostendi, ut ratio IT ad rationem N U. Atoui ut ratio teeen ' b in suorum AP, BC, est ad rationem rectangulorum EFI FG, scis est ratio rectan L
Nm Planς discursu probabimus rationem rectangulorum IM NOCI se ad rationem rectangulorum K L, O P, ut tam IT est ad rationem N v ofe- ςς ngulorum BC, FG, ut ratio rectangulorum IM, N Q est ad rationem rectangulorum KL, OP. Igitur vermutancto d ratio rectangulorum A D, E H est ad rationem rectangulorum I M, N ut
414쪽
Exponit ea qua proportionalitatibus communia siunt cum Orithmeticis operationIbus. PROPOSITIO CXIU. 'Ata sit quaevis quantitas AC, utcunque diuisa in B, & alia
x Dico rationem AB ad D, una cum ratione B C ad D, ae- qualem esse rationi AC ad D Demonstratio.
A n C Atto AB ad D, est ad rationem BC ad t AB ad BC. ergo, componendo, ratio ABD ad D, una cum ratione BC ad D, est ad rationem B C ad D, ut A B cum B C ad B C , hoc est ut A C ad B C. Atqui ratio AC ad D, est i quoque ad rationem BC ad D, ut AC ad BC. Ergo rationes ΑΒ ad D, BC ad D, simul sumptae , dc ratio AC ad D , eandem proportionem habent ad rationem B C ad C D. ergo rationes AB ad D, B C ad D, simul sumptae aequantur lationi AC ad D. Quod erat demonstrandum.
Constructio o' demonstratio. A C Cliae datae duae rationes ΑΒ,
termini sint inaequales, A scili- A cet 3c C : 3c similiter conse-
tem exhibere duas alias rationes illis aequales, quae communem habeant terminum antecedentem , fiat ut C ad D, ita A ad E , ratio AE similis erit rationi CD, ac proinde aequalis. ergo rationes ΑΒ & AE, aequaleslunt datis rationibus AB,CD, α antecedens commune habent.Quod fieri postulabatur
Gorteat datas duas rationes ad duas ipsis aequales reducere quςcδne sequens commune habeant.
415쪽
pRopo RTIONALITATES GEOMETRICAE. 117 constructio-demonstratio. D Atae sint rationes A B, C D & A Cfiat ut Dad C, ita Bad E. eri in t ῆ -' - - . igitur rationes CD & E B. aequa η .les inter se et ac proinde rationes EA B, E B, aequales rationibus A B. 'CDt habent autem rationes AB, EB, commune consequens B; igitur exhibuimus 'petebatur.
pROPOSITIO CXVII. DAtae rationis duplam assignare aut dimidiatam, aut aliam in data
proportione. Construa om demonstratis. T Ata stratio ΑΒ, cuius duplam . 'A aut dimidiatam oporteat exi i-- heter fiat C dii pia quantitatis A. Di- Bco rationem C ad B, duplam esse ra----.rionis eius quam habet A ad B : & Crationem B C , dimidiam este eius ------
rationis quam habet B ad Α : nam ratio C B, ad A B, est ut C ad A, est autem C dupli rectae A, igitnr ratio C ad B, dupla est rationis A ad B. Ratio autem Bad C, de B ad A, est ut A ad C. sed Aest dimidia ipsius C; igitur ratio B ad C, est
dimidia eiustationis, quam habet B ad A. Igitur praestitim iis quod requirebatur. eadem praxi dabitur ratio quae ad rationem datam, habeat datam proportionem.
PROPOSITIO CXVII I. DAtis quibusvis rationibus oporteat methodum exhibere qua in Y-
unam aggregandς; fiat in D ad. C , ita B ad G. . Deinde fiat H aeqtialis A dc G, simili s umptis. Dico rationem H ad B, aequa- ilem esse aggregato duarurationum A B , C D i est enim ratio A B, cum G Bex constr. aequalis duabus rationibus ΑΒ , CD. sed ratio Had B , aequalis est rationibus η Α Β & GB. Igitur etiam ratio H ad B , aequalis est aggregato rationum AB, & C D Eodem modo si fiat ut F ad Ε, ita Bad I, & qu ntitas alia fiat qliae aequalis se duabus H dc Ι, tunc ratio ipsius Picum I, ad B, aequalis erit aggregato trium rationum AB, CD, E F, de .sic pergi poterit in aceruando quovis numero rationu. Quods rationes datet commune habeant consequens, cuiusmodi sunt rationes ΚΜ , L M, collige antecedentia in quantitatem unam erit ratio N UM , aequalis ratioti,-hus KM, LM.
416쪽
Atam rationem minorem ex mitori detrahere. Constructio in demonstra tio.. 71 n s Ata sit ratio minor C D , quam ex maior, . .. .- A ratione AB oporteat sit btrahere. Fiat veri D C, sic B ad E. erit ergo ratio E B ean dem cum ratione C D ; & quia ex hypothesi -- ratio CD minor est quam ratio AB, erae de C EB ratio minor ratione ΑΒ; adeoque E mi- .-. nor est quam A. subtrahe igitur Eex A, dc re- siduum sit F. Dico rationem F B,esse residuum rationis AB, post ut btractam ex ipsa ratio- . nem C D. Nam rationes E B, F B a aequantur rationi ipsius E cum F, hoc est ipsius A ad B. Atqui dempta ex rationibus E FB ratione EB, remanet ratio FB. Ergo etiam dempta ratione EB, ex ration AB. remanet ratio FB. sed ratio EB est ratio CD. Dempta igitur ratione CD ex ratione ΑΒ, remanet ratio F A. Factum igitur est quod petebatur.
P R O P O S I T I O C X X. Γ Atam rationem per datam multiplicare.
T Atas rationes AB,C D----- inter se multiplicabi- B mussi fiat ut C ad D, ita BE ad Ε, tunc enim ratio A ad - E, eut productum duarum C rationum AB , CD inter
se multiplicatarum , quem admodum proposit. IS. de a monstrauimus.
Distam rationem perdarum aliter mult pli
rationibus AB , per se mutuo multiplicandis fiat ut D ad C. ita B ad E. Dico Aductum in E exilibere quaesitum. Nam rationum .A B , CD denominatores sunt A At tapet Isaiulus. quare hi inver
se multiplicati exhibent id quod producunt rationes ductae in se mutuo
417쪽
GEOMETRICAE. PROPOsITIO CXX M. DAtam proportionem rationum per alteram rationum proportionem multiplicare. Constructio demonstratio. DAiae sint binae rationes YB, C D , item binae aliae EF, GH, fiat ut Dad . C, ira B ad I, Ee vi H ad G,
ita F ad K. erit itaque ara- tio A ad I , proportio ratio- ratim AB, CD: &ratio Ead K proportio rationum EF, GH : per praecedentem vero nota est methodus multiplicandi rationem ΑΙ per EK rationem. ergo per eandem exhibebitur proportio A B,C D ducta in iaproportionem EF , GH. Quod erat postulatum.
Coro Mium. Non pergo ulterius ad multiplicandas proportiones proportionum: nam illae eum in infinitum possint excrescere,exhauriri nequeunt. sussicit igitur praxim insinuasse quam quis adhibere poterat solleriores multiplicationes prosequi in animum
Atam rationem A ad B, in duas rationes ipsam componentes partiri, quae datam interse habeasti proportionem E ad F. constractio oe demonminis. FIae ut E ad F, sic A ad Di &inter B ac D , media proportionalis statuatur C. Dico factum. fiat E aequalis ipsi C. Quoniam B est ad C, ut C ad D per constructionem , estque E par ipsi C i erit B ad C , ut E ad D. Er--- gobratio ΑΕ, hoc est ratio AC,
est ad rationem CB,ut A ad D, hoc est ex constructione, ut E ad F. ---- sed ratio ΑΒ componitur ex rati6-
nibus A C, & C B. Ergo ratio AB diuisa est in duas rationes ipsam componentes A C, C B, quae datam inter se habent proportionem E ad F. Quod erat faciendum.
418쪽
PROPORTIONALITAT EsPROPOSITIO CXXIV.
OMnis ratio in duas ipsam componentes diuisa denuo coalescit perpartium ex diuisione ortarum in se mutuo multiplicationem. . Demonstratio.
Ε TNter rationem A ad B , interponatur - aquae uis quantitas Caerit4taque ratio Αad B , diuila in duas ipsam componentes, scilicet Α ad C, Sc C ad B, osteiidendum igitur est per multiplicationem rationis B AC in CB rationem , coalescere denuo rationem A ad B. Nam ratio A ad B, composita est ex rationibus AC, 8e C B: hoc est, ut ante propos.7 .docuimus, rati A ad B producitur ex multiplicatione rationum AC,CB are cum rationes AC, CB, sint partes rationis A ad B, ipsam componentes, patet rationem A ad B, diuisam in partes, ex partium multiplicatione restaurari. Quod erat demostrandum.
PROPOSITIO CXXV. Oporteat datam rationem per aliam partiri siue ostendere quoties
C D rationem : fiat ut D ad C ita B ad E. Dico rationem AB diuisam esse per rationem CD. nam toties AB, continet CD rationem, quoties A con tinet E. cum Α dc E. sintde- Itominatores earundem rati'. comitarium. ΗIne manifestum est diuisionem unius rationis per alteram rationem coincidere cum assignatione illius rationis quam continent inter se datae rationes, inuicem diuidendae.
PROPOSIΤIo CXXVI. SIt proportio rationis AB ad CD rationem inaequalitatis .
oporteat assignare cessum quo maior minorem exsuperat.
419쪽
Sit igitur datarum rationum ma- Aior C ad D, fiatqucve Dad C, bita B ad FE: igitur ut est A ad FE, ita ratio Α B ad C D , rationem: F
ponitur autem ratio C D maior ra- ----
tione AB. Igitur maior est quan-titas FE quantitate A. ergo ficta F G aequali A remanebit G E excessus quo denominator FE excedit denomina. torem A. Fiat igitur ut FG ad GR ita ratio AB ad IK rationem. Dico rationem IK esse excessum quo ratio C D rationem A B exceditariam F E est ad FG, vi ratio CD est ad rationem AB. Igitur ut FG ad GR ita excessius quo ratio CD superat AB rationem ad ipsam AB rationem. Est autem ex constr.ratio AB ad I Krationem. ut est quantitas F G ad G E quantitatem. Igitur patet IK rationem esse postulatam.
420쪽
rias proportionalitatum proprietates complectitur.
Atis tribus terminis in continua ratione scilicet AB C. Dico rationem A B dueham in B C, ad rationem C B diicta in B A ratione, eandem esse cum ratione quae est inter A N A. Demonstratio. - CD Atio AB ducta in B C, est ut A ad C. Deinde ratio CB, ducta in B Α, est ra-
tio C ad A. Igitur ut ratio A ad C, ad rationem C ad A , ita est ratio AB, ducta in BC, ad rationem CB, ductam in B Arationem 1 sed ratio A ad C, ad apreri. C ad A rationem, est eadem acum ratione A ad A. igitul manifesta est veritas propositionis.
Intiterum in continuata proportione ABC, A DE. Dico rationem BD in se ductam producere rationem C ad E. Demonstratio. C
B Dducta in se aequalis est rationi Eae F, tertia proportionalis adrectas B, D : erit igitur ratio B ad F, orta ex ductu rationis MI, I in se. sed ratio P C ad E, eadem e est cum ratione B ad F, cum habeant Α,communem primum terminum hae series , igitur ratio C ad E. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO CXXIX. Int autem A B C D , & Λ E F G, continuantes eandem proponi