장음표시 사용
421쪽
PROPORTIONALITAT Es GEOMETRICAE. Demonstratio.
H. igitur ratio B E ducta in C Frationem, essicit ar tionem B ad H, est autem CF ratio duplicata rati nis B E igitur ratio B ad Η est triplicata rationis B ad . E. sed ratio D ad G, similiter est triplicata rationis B E. igitur patet rationem BE ductam in rationem CF,
PROPOSITIO CXXX. Int binae ntinue proportionalium series A, B, C, X, D, E, F & G, H, I, K, L, M r sint autem X & Z aequales. Dico si C, i, K, D sint in continua,etiam B, H, L, E & Α, G, M,F esse
D Atio B H, duplicam est rationis C . hoe est per hypothesim rationis IK sedet γ, - eiusdem rationis 1Κ duplieata est ratio HL, quod H, I, Z, Κ, L, sint in conti ἀφέοua. Ergo B est ad H, ut H ad IA sed 4 etiam L est ad Eva B ad H. euo B, H, L, E sunt in continua. Quod erat demonst. eodem diicuri u ex ijsdem illis propo stiisnibus 26. de a . progressionum demonstrabimus esse continue proportionales Α, G, M. F,& sic in infinitum.
PROPOSITIO CXXXI. Iisdem positis i sumantur B, H, & E, L aequaliter distantes a mediis κα
FIatve B ad H, sie H ad N, erit ratio h Η ad rationem Ηκ, ve B ad N. sat deinde ut Lad H, sic Ead P. erit ratio BE ad lationem H L. in B M P i. ἱς - autem ex conste L est ad H , Ut B ad P., erit mmutando LM Εἰ H H M. . sed tut L ad Eis sie B est ad.H. ergo H est ad P, ut B ad H, hoc estinx coostr.va Hest ad N: aequantur igitur N. de P. ergo BestidΝ,vtBest ad P. Gate cum C C ratio Diuitigod by Corale
422쪽
tatio ΒΗ sit ad rationem H B. ut Best ad N, de ratio BE ad rationem N L,ut Besta lPa erit ratio B H ad rationem HB, ut ratio BE ad rationem H L. Quod erae
DAtae sint binae series continue proportionalium ab uno termino Aincipientium, & aequali constantium numero terminorum. Dico rationem FL, esse ad rationem BG, ut E est ad K, & rationem E Κ esse ad rationem BG, ut D est ad I. Et sic deinceps. Demon auo. MNHOE F DEt 17. libri nostri progres-- tionum ,ratio FL, est quintuplicata ratronis B G. Conis K I. inuetur autem ratio B G pet sex te in S,B, G,M,N, O, P; erit lue ratio BP etiam quin-.tuplicata rationis B G; ac pro- , inde eadem cum ratione F L.
p. WM. sedeatio BP est ad rationem BG, ut a G est ad P. Ergo ratio FL est ad rationem B G, ut G est ad P. Iam vero quia ratio G P est quadruplicata rationis B G: ratiob T PN- quouue E ad Κ, eius sem rationis i BG quadruplicata est; ergo ut E est ad K, si e Gest ad P, hoc est, ut iam ostensium est, ratio FL ad rationem BG.pari argii men to demonstrabitur ratio ΕΚ cssc ad rationern B G , Ut D est ad I : Z: sic deinceps .pa .rgo propositum.
DAtae sint binae series continuo proporitonalium quae primuinterminum communem habeant A. Dico rationem DB esse ad rationem I G , ut C est ad H; & rationem EB esse ad rationem KG, ut D est ad I, & sic in infinitum.. Demonuratio. GHIν Atio DB est ad rationem 4 G, ut ς ratio DI ad rationem BG. sed ratio D, ad rationem BG ut C ad H. Evici ratio D R est ad rationem I G, ut Cest ad K. Pari argumento ostendam rationem EB este ad rationem ΚG , ut D cit ad I. Et sic in intini m. '
PROPOSITI o CXXXIV. SInt duae rationes similes AB , C D ponantur autem qua Qr Α, Ε, F, G,
continu re' andem rationem. inde sint etiam continue proporti6nales C ΚLM, cuiuscumque tandem rationis.c sint autem inter n& G,
duae mediae H de It pati picto sint liner D & M', mediae N & O.
423쪽
G E o M E T R I C AE. Dico F ad I, eandem habere rationem quam habet L ad Ο, & E ad H, eandem quam habet Κ ad N. Demonstratio.
H IG, continuare eandem ratio.
nem in suaserie, igitur ratio AB, triplicara est rationis eius quam habet F
ad I, de pari pacto ratio C D, a triplica ta est i tionis L ad O. sed ratio A B, ea.
DAtae sint tres series continue proportionalium, quae commune habeant principium A. Dico si B, G, M sint in continua, etiam C, H, dc i, O,&E, P dc sic deinceps esse in eonsinua. Demonstratio. B C D E FA G H I K I, M N o P
m Atio CH est duplicata rationis BG, hoc est ex hypothesi rationis G M. At- qui etiam ratio H N est duplicata rationis G M , rationes igitur C Η, & Η Nsunt eaedem, adeoque C. H, N sunt in continua. Similiter ratio DI est triplita rationis B G, hoc est ex hypothesi rationis G Μr sed eiusdem rationis GM etiam triplicata est ratio I O. Ergo rationes DI M IO sunt eaedem. ergo D, I, O sunt in continua. Pari argumeneo demoni rabo E, K, P, 8t F, L. inde sic iti infinitum esse in continua. Liquet ergo propositum. s
STatuantur rursum tres ordines continue proportionalium ab eodem termino A principium ducere; sit autem ratio ΒΜ triplicata rati nis B G. γDico etiam rationem C N Are triplicatam rationis C H, & rationem D Ο, rationis DI, de sie deitae s.
424쪽
Sumatur quaevis trias exempli gratia Eb, Κ, P. Paret ex 27. Iibri nostri progressis num,quoties ratio AK multiplicat rationem BG, toties rationem EP multiplicare rationem B M. Quare chim ratio B M ponatur triplicata ratiociis BG, erit de ratio EP triplicata rationis E C. Quod erat demonstrandum.
o Atio D ad x, est, triplicata tam rationis B ad M. quam rationis p ad H. Ergo B est ad M , ut F adH. Deinde rationes C L. EI sunt duplicatς rationum B M. F H quas iam ostendimus esse easdem. Ergo& ipsae sint eaedem, siue C ad L, ut E ad LQuae erant demonstranda.
SI fuerint quotuis quantitates A, B, C in continua,& assumatur quae .uis plia quantitas Zet , Dico rationes A P. B T, C ta item rationes Z C, Z B, Z Α, eandem
tue AZ, BZ, CZ continuant eandem ra- tionem A ad B. Deinde ratio Z C est ad tationem ZB .vtς B ad ratio ZB . est
propositum. ad ratione E A, ut 4 A ad B ,hoe est ut B ad C. ZC, ΖΒ, ΖΑ continuant eandem rationem B ad C. Constat ergo
425쪽
M GEOMETRIC AE. PROPOSITIO CXXXIX. Polliis duabus A, B, sumatur media proportionalis D. Deinde assis.
matur quaeuis C. Dico rationes AC, A D, CB, esse tres rationes in continua analogia. DemonstraIio. D Atio AC diicta in CB rationem pro- C
ducit , aequalem rationem illi quae ori- tur ex diictu AD, iii DB, hoc est ex du- Α Briurationis AD in ieiplam i igitur sicut se '-- - - - habet ratio AC ad AD rationem , ita Dbqtioqile se habet ratio A D. ad rationem 'C B. iant igitur tres rationes in continua analogia. Quod erat demonstrandum.
Miser D Atio AC ad ADrationem est e ut Dad C. ratio quoque DB hoc est ratio AD ad C B rationem , est ut D ad C: eandem ergo proportionem continuant ratio nes AC, AD, CB. Quod erat demonstrandum.
Int similes rationes AB, C D, & inter .c. III ialis sit E. Denique ponatur quaevis F inter A dc B. ico rationes Α F, C E, FB esse in continua analogia. Demonstratio. Quoniam inter similes . ' σrationes ΑΒ , CD positae sunt F & E quan- F Etitates: itur ratio ΑF est baad CE, ut est ED ad FH, B D sed ratio ED ex consitu. ctione est eadem cum ratione CE, igitur ut est ratio AF ad CR, ita eadem ratio CE est ad rationem FB, continuant igitur eandem rationem ARCE, F B. Quod
C XLI. ΙΝter duas rationes datas A B, C D, mediam proportionalem exlabere.
tum inter E, G media propota t A 'D Oit stionalis sit Κ. 'κ p diam inter rationes datas AB, KCD. Quod sic demonstro. Rationes E F,F G componunt
426쪽
tationem EG, hoc est rationes EF, FG inter se multiplicatae producunt rationem EG. similiter ratio EK cum ratione ΚG componit rationem EG, siue ratio Ex ducta in rationem KG producit rationem KG sed ratio Κ G ex constructione est eadem cum ratione EΚ. Ergo ratio E K in seipsam ducta producit rationem EG, eandem scilicet quam producebant rationes EF, FG, hoc est ex conli ructionera CD. Ergo ratio ΕΚ media eli inter rationes datas AB, CD. Miuer. Atae sint rationes binae AB, 4 G H, inter quas media sit cxhibenda. Fiat ut Had G, sic B ad G I, 8t inter Α ac I mediam fac pro portionalem Κ : tum ut A est ad: ἔπι s. B K, sic b fiat ratio A B ad rationem c CD. Dico hanc satisfacere postu---- lato. Nam ut A ad K, sic per con- D struct. ratio Α B est ad rationem
tio A ad I, sit duplicata rationis A ad Κ: erit quoque ratio A ad I duplicata proportionis rationum AB, CD. sed e 13. Mim. vi AMI, sie ς ratio Α B ad rationem G H. ergo proportio rationis A B ad G H rationem, etiam duplicata est proportionis quam habet ratio Α B ad rationem C D. Ergo rationes AB, CD, GH iunt proportionales. factum igitur est quod peteba
. PROPOSITIO CXLII. DAxis duabus rationibus ΑΒ, CD, tertiam rationem proportiona
lem exhibere. Constructio . ali Uruio. 'A - . - . C Ulat ut C ad D, sic Dad Et ve autem C ad E. se Α fiat M . ad Z. Dico rationem BZ datis -ι. rationibus esse tertiam propo Δ -tionalem. Nam ratio CD ductai iri . in rationem DR , hoe est elleonstruct.in seipsam, producit rationem CE, hoc est ex construct. rationem A Z. sed etiam ratio AB ducta in rationem BZ producit rationem eandem AZ. ergoa rationes AB, CD, BZ sunt in continua analogia. Fecimus erg' quod petebatur Σ' Alio etiam modo licebit demonstrardi ratio in B Z tertiam este proportionalem rationibus datis AB, CD. Quoniam enim per constructionem rationes ΑZ. CE similes me, erit . ratio ΑΒ ad rationem CD, ut racio DE, hoc est ex construa veratio CD, ad rationem BZ.
PROPOSITIO CXLIII. DAtis duinus riticinibus tertiam proportionalem aliter exhibere.
427쪽
ρθ' GEOMETRICAE. Constructis σ demon Mis. D Arae sint rationes binae
AB, C, D. fiat ut Dad C, sic B ad I, ut autem Aest ad I, se fiat ratio CD ad rationem GH.. Dico rationem G H rationibus A B, C D, tertiam esse proportionalem. Nam ratio AB est ad rationem C D, , ut A ad I hoc est perconstructionem ut ratio CD est ad rationem G H.
DAxis tribus rationibus ΑΒ , C D , E F , quartam
proportionalem rationem inuenire.
Flat ut D ad C. sic B ad Κ:3e inueniature ratio GH, ad quam ratio EF eatne 11 ια habeat proportionem quam Ahabet ad K Dieo factum.Nam 4 ratio A B est ad rationem CD, ut A est ad K , hoc est per dii. i.
construi2.ut ratio EF est ad rationem GH. - ia
in animum inducat, continuationem rationum non diferre . con- rinuatione in de qua tractatur in Geometricὐ elementis, iam tres vel Hures quotitates eandem rationem perhilemtur coxtinnare, aes inde existimet, ra-runes e rei esses s, ut eandem in rersi continuent ana loriam ita ut datistrat rationibus quae sint in continuata
marim contingit, squatuor quantitates GHI K fatuantur in continua proportione, menim ratio G ad H, ilis est raetionibus Had I, se I ad K. Verum nulla mouo Meconuenit continuati hi rationum AB, CD, E, F. nam cui . uri vittas H . test es mediapi vortionalis inter infinita binaria linearum sic si se e iam ratio C ad D, potest esse media inire infinita binaria ratioνum etiam di illiniarum inter si, uti ex propositionibus pracedenti sedisses Lectorfactae intelliget.
428쪽
PROPORTIONALITAT EI PROPOSITIO CXLV.
Cum exhoothes rationes AB, BC sint eaedem, item eaedem sint rationes DREF, erit ratio AB, ad rationem BC, Vt ratio DE .d rationem EF. ivtuc permutando ratio AB est ad rationem D E , ut ratio B C est ad rationem E F. sed ut latio AB ad rationem DE, sic est ratio Α D ad racionem BE ; & vi tatio ad rationem E F, b ita ratio BE ad rationem CF. Rationes igitur AD, BE, C F sunt in continua analogia. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXLVI. TNter duas quantitates quasvis A & B, media sit proportionalis C, de
lassumitur alia quaecunqMD . L A in Daeo rationes A C, & C B simul sumptas minorea esse rationibus Α D, D B simul sumptis, adeoque minimas esse omnium rationum, datam rationem A B componentium.
'D Ationes AD, A C, DB reducantur ad rationes DG, EG,FG ipsis aequa-A B las. quae commune habeant consequens' G. Quoniam igitur rationes AD , AC, DB i sunt in esitinua,etiam rationes D G, D E F EG, FG sunt incomimia. ergo e etiatis D, E, F, sunt in continua .Ergo D cum F
maior est qliam E bis sumpta. sed ut D; cum Fad E, bis sumptam, sic est g ratio ipsius D cum F ad G , ad rationem ipsius Ebis sumptae ad C. Ergo ratio D cum F ad G, maior est quam ratio E bH, sumptae ad G. sed ratio D cum F ad G, aequatur rati ibus, D G, FG, hoc est ex vi construct raisonibus AD,DB, ἐκ ratio ipsius E bis sumptae ad G aequatur rationi EG bis, hoc est rationi A C bis, hoc est ex hypothesi rationibus A C, & C B. Ergo rationes Α D, DB maiore fiunt rationibus AC, CB. Quod erat demonstrandum.
SIt ratio AB, ad rationem CD, ut C est ad D. ineo rationem AB duplicatam esse rationis Cin
429쪽
igitur ratio ΑΒ est ad ra- . rionem C D ut A ad E. sed eκ- . hypothesi etiam ratio AB est Bad rationem CD ut E ad D. Ergo A est ad E ut C ad D, -- deinde cuin ex construct B sit D
do Ead B. ut C ad D. isitur tam ratio AE, quam ratio EB eadem est rationi CD Sed ratio AB composita est ex rationibus AE,EB. ergo ratio AB componitur ex ratione C D bis sumpta ergo ratio A B est duplicam rationis C D. O- erat M. monstrandum.
Vbet etiam conuersam huius demonstrare.. Temori ratio.
Ponatur ratio A ad B duplicata E rationis C ad D. Dicorationem --- AB ad CD rationem, esse ut C ad D Fiat iterum ut Dad C, ita B A ad Ε, Mithratio AB ad CD in-tionem, ut A est ad K ratio vero Α ad B composita est ex ratione 1 A ad E. 3t E ad B, hoc est ex con- -- struEL C ad D; igitur com ponatur ratio A ad B, duplicata rationis C ad D, patet rationem quoque A ad Ε, τandem esse cum ratione E ad B , hoc est C ad D. ergo cum ut A ad E. ita ratio AB sit ad CD rationem, patet quod ratio ΑΒ adta. tionem C ri, fit ut C est ad D. Plod iste demonstrandum.
PROPOSITIO CXLIX. Positis tribus quantitatibus A, B, C, & alijs insuper tribus D,E, Fi sitatio A ad B duplicata est Dad E, di ratio B ad C, duplicita E .
ad F. LDico rationem quoque A ad C duplicatam esse rationis illius, quam habet D ad F. a
430쪽
PRobo RTIONALITATE I Demonstratio.
Ponatur inter A ad B, m dia I, 5c similiter inter Bie, media ponatur K. Deinde fiae ut D ad Ei ita F ad G, dc ut E ad F, ita G ad H. Quoniam igitur ratio AB duplicata est
tam rationum AI, IB. quain rationum DE, FG, erunt rationes AI, I B, eaedem cum rationibus DE, FG. pari argumento rationes B Κ, Κ C cum rationibus EF , GH eaedem sunt. rationes igitur A C, D Hexijsdem rationibus squamuis diuersimode dispostisὶ componuntur, ac proinde a aequales, sunt. seὸ ratio D H est duplie ta rationis DF, uti facile deducitur ex constructione. ergo & ratio AC est duplicata rationis D F. Quod erat dentonstrandum. .
- - - π Inc colligitur idem esse pronuntiando dum de quavis continuatione ter B minorum quod praecedenti propositione de tribus est dictum: nam si fiat ratio A
ferri etiam legitime potest, quod ratio Aad I sit duplicata eius rationis quam habet C ad K ouocunque tandem numero termini constituantur. Imo quod de duplicata ratione praeis sens propositio enuntiat,etiam est intelligendum de triplicata , quadruplicata, quintuplicata, & sic de quavis alia multari plicata ratione respectu simplicis ratio- nis C ad D, Dad F, dcc. quod manifesta colligetur si discursus demonstrationis - terminis illisis multiplicationis aptetur.
Sint quatuor numero quantitates A,B,C,D, & ratio A ad D, supponatur compositae esse ex ratione duplicata Α ad B, & ex ratione B ad C. Dico rationem A ad B, eandem esse cum ratione C ad D. G