장음표시 사용
431쪽
CEOMETRICAE. Demonstratio. DVT A ad B , ita E sat a R
U , cru composita ex duplicata ratione A ad B, tu ex ratione B ad C : ex quibus etiam cum composita supponatur ratio Aad D, erit ratio A ad D, eadem cum ratione E ad He& ratio B ad D, eadem cum ratione Fad H. sed ratio G ad H, eadem est cum ratione B ad C, ex con- siritistione; igitur ratio. F ad G, eadem est cum ratione C ad D. a iam sed ratio F ad c,, eadem est ex constructione eum ratione Ead F , hoe est A ad Bcx constructione: igitur ratio C ad D, eadem est cum ratione A ad B. QIod fuit de
Dico rationem D ad C duplicata esse rationis quam habet B ad A. Semonstratio.
UIat ut D ad B, ita C ad E, A 'igitur permutando Dest ad C, ut Bad E. ergo per is huius C libri, ratio A B ad C D, est ut A DA ad E: sed ratio A B ad CD, - ---- ex hypothesi est ut Bad A; igitur ut B ad A, ita Α ad E, adeoque ratio B Eest duplicata raticinis BA: est autem ex constructione Bad E, ut Dad C: igitur cum ratio Bad Ε, si duplicata B ad A, patet rationem D ad C, etiam este duplicatam B ad A. Vsod fuit demonstratidum.
Atis rationibus AB & CD. Oporteat duas exhibere quantitates E &F, ve ratio A E duplic ra sit rationis BF, ratio vero E F similis sit rationi datae I C. ii ... conari iuro Asininnis. clam proportionales
ABG&CDH. De- 'inde costituantur E Fi Gin eadem ratione in tua. - sunt quantitates H D C. Dico factum quod rein
quiritur cilicet EF rationem eandem esse cu
432쪽
quoque AEduplicatam esse rationis BF. Quoniam AB G & EFG, sunt quanti- -ς tates continue proportionales.habentes G communem primam;igitur ratio A ad Ε, duplicata est rationis Bad Restque ex constructione D ad C, ut Ead F.Quare praestitimus postulatum.
PROPOSITIO C l. III. SInt proportionales quantitates ABC sicut & D B E.
Dico rationem A D ad C E rationem, duplicatam habere proportionem eius quam habet A ad D. Demonstratio. P UIatvt E ad C, ita Dad P.
erit itaque ii ratio AD ad 'si rationem CE, ut A ad F. B deinde quia AC, DE re-
to B, est ut E ad C, ita A ad D. sed vi E ad C, ita quoque est D ad P, ex constructione. Igitur ratio A ad F duplicata est rationis A ad D, hoc est proportio rationis A D ad C si rationem, dupIicata est rationis A ad D. Quod suit demonstrandum.
Si quinque quantitates eandem rationem continuauerint: Dico rationem primae quantitatis ad quintam, duplicatam esse rationis quam secunda habet ac quartam. Dιmonstratio.
i i Donantur quinque quanti---- --- -1 tates A,B,C,D,Eesse inc5- tinuata analogia. Dico rati nem A ad E, eme duplicatam ------ rationis B ad D. cum enim D omnes quinque sint propor-- tionales continuae igitur et iam CBA & CDE, sunt propor- dx .Pνε- tionales quantitates Ergo ratio dΑad E duplicata est rationis B ad D. Quod erae demonstrandum.
PROPOSITIO CLV. SI ratio AB quadruplicata est CD, ratio autem EF, duplicata eiuL
Dico rationem AB duplicatam esse rationis E ad F.
433쪽
94s GEOMETRICAE. . Demonstratio. FIae ut F ad Ε, ita B ad G. Igi- G
tur, ratio A ad G , eadem est a 3 huisa. Citin proportione rationum AB,
EF: sed ratio A ad B, componi- Btur ex ratione Α ad G, G ad B; -- hoc est E ad F, duplicata scilicet Erationis C ad D; igitur ratio Α ῆ ad B, est composita ex ratione A- ad G, de duplicata ratione C ad D; sed ratio A ad B, ponitur quadruplicata rationis C ad D. Igitur ratio A ad G,duplicata est rationis C ad D. quare ratio A ad G, eadem est cum ratione Ead F unde & priis portio rationum AB, EF eadem est cum ratione E ad F. Quare V ratio AB du- ε, ιν s.
PROPOSITIO CLVI. SI ratio AB sit duplicata rationis EF, ratio quoque CD duplicata
eius quam habet G ad H. Dico rationem Α B ductam in C D rationem, exhibere duplicatam eius rationem quae oritur ex multiplicatione rationis E F in ratione G H. Demonstratio. HFIat ut C ad D, ita B ad L 1
eritς igitur ratio AB du- Acta in C D , aequalis rationi-----.
Α ad I. similiter si fiat ut G Bad H, ita F ad K: erit ratio .
ducta in GH. sed ΑΙ ra. Flio composita est ex Α ad B , id est duplicata Ead F, &ex Bad I , id est per constrirct . Cad D , id est per hypothesim , duplieata G ad II.&similiter ratio Ead K, composita est ex ratione Ead F, At F ad K. id est per construct. G ad H. igitur ratio Α ad I, duplicata est rationis E ad K. ergo AB ratio ducta in C D, duplicatam habet proportionem eius, quam continet EF ratio ducta in G H. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLUII. SI ratio AB quadruplicata fuerit rationis B ad C, & BD ratio quadruplicata rationis C ad D. Dico rationem quoque Α ad D, sere quadruplicatam eius quam habet B ad D.
434쪽
-- --- Neponitur quadrui licati
B tationis G ad D, igitur ratio G B ad C est triplicata rationis -- C ad D. sed ratio Α ad B est D quadruplicata B ad C.; igitur ratio A ad B. est duodecuplicata rationis C ad D. sed latio B ad D, est quadruplicata eiusdem rationis C ad D. Igitur ratio A ad D, est sexdecuplicata rationis C ad D, cuius ratio B ad D, estqiuadruplicata: ratio vero sexdectiplicata est quadruplicata quadruplicatae scum quaterquatuor proferant scilceim) manifesta igitur est veritas propositionis.
PROPOSITIO CLVIlI. QVod si inter Α ad B quaeuis duae assumptae fuerint C de D.
Dico rationes AC in CD, CD in DB , idem producere quod ratio bis ducta in se exhibet cuius A ad B triplicata est. Demonstratio.
Α INter A S: B, ponantur duae& F. igitur rationes AE, EF, FB sunt eaedem. sed D ratio AB , componitur ex ra
tur ex rationibus Α C, CR,D B. Diue et ionibns AE, EF, PB. ergo
ratio AB ex tribus aequalibus rationibus, quarum unius es tripiscata, cona ponitur, hoc est ex ij idem inter se multiplicatis producitur. Atqui etiam ratio AB compouitur siue produc propositum. Corodanum. Ceurrit hinc reflexio notatu digna, cur scilicet hucusque in vanum Iaborent' Geometrae in m ceto labiis adinveniendis & in quo dissicultatis carito versetur. Ego sane ex propositione iam allata obseruo inter duas quatitates datas A, dc B, duas medias exhibere, non aliud esse quam rationem inuenite quae bis in se dii ista producat lationem datam A ad B, siue rationem A ad B diuidere in tres rationes ae- qitales,quae inter se multiplicatae producant rationem ipsam A ad B lam vero cum quaevis ratio diuid c possit inqtiascunque & quotcunque rationes, cxquarii inultiplicatione queat producticopia nimirum dc varietas rationis datam rationem pone tium seu producentium,dis'cultate in prς senti negotio eam parit quam superare fi ctentis Geometrs' non potucre : quem χdmodum antem arcum d tum circub non est dissicile in tres partes partiti sine ulla alia determinatione, ita neque rationem intres aliquas rationes quae generent rationem datam nullius negocij est: sed si hoculque Geometrarum industria vano labore tentauit in partes aequales datum arcii in circuli diuidere; mirum videri non debet quod partitio alicuius rationis in tres rationes, quae aequales sint inter se,& multiplicatae inter se rationem datam producant, distic uuatem contineat. Ostendi is quidem facilem Methodum diuidendi ratio
dem in partes aequales si diuisio illό partes consideret qtiae per additionem generant
435쪽
rationem datam, sed postularet etiam praesentis libri materia partiri rationem datam in partes aequales, luς facta multiplicatione inter se exhibeant rationem quam componunt. Sed cogor materiam illam in aliud tempus disterre; cum M valetudo praecipitare cogat quod prae manibus habeo , dc imperium Ugrit illorum quibus obnoxium me fecit religiosa Profecto
Ponantur duae series quinque quantitatum in continuata ratione AB, C, D, E F, G, H, I, K. . Dico rectangulum AF ad ΕΚ , duplicatam habere eius rationem quam habet rectangulum BG, ad Di rectangulum:
Sint duae series trium continuarum A. B, C, D, E, F . . Dico rationem CA ductam in rationem FD, duplicatam exhibere rationem eius quae profertur perductum rationis B A in ED. ι . Demon tratio. iFIat ut F ad D, ita AadH: de vi H , GE ad D, ita A ad G. Igitur ratio, . Cad H est aequalisb rationi CA, - - ductae in F D: dc ratio BG,aequalisi Di E Fest rationi BA, ductae in rationem ED. sed ratio CH, duplicata est rationis B G, nam ratio CH componitur ex ratio-rtibus C Α, ΑΗ choc est ex construct. FDὶ quae duplicatet fiant rationum CD, BG. hoe est VH ex quibus componitur ratio CG. Igitur ratio C A ducta in FE dupli Glaestrationis BA diictae in ED. Quod erat demonstrandi . :
SInt duae series continuσproportionalium eandem seu aequalem habentium primam A. Dico rationem C A ad rationem GA habere triplicatam proportionem eius, quam habet ratio ΒΑ ad rationem FA t dc rationem DA ad. rationem H A triplicatam habere proportionem eius quam habet ratio ΒΑ ad rationem F A. Atque ita deinceps in infinitum.
436쪽
.-D Atto CA est ad rationem GA, ut C ad G, 3c ratio B A est ad rationem Fi, i B-h Cad G, est duplicata rationis B ad F. ergo& ratio cad rationem GA duplicatam habet proportionem eius quam ratio B A, habet rationem F A. pari argumento detinoustrabimus ex iam citatis propositionibus reis liquas assertionis partes.
SInt bini series continue proportionalium A,B, D, P,&c. E, F, G,H,I,&c. sue aequales habeant primas, siue non. Dico nihilominus proportionem rationis C A ad rationem G Ed plicatam esse eius quam habet ratio B A ad rationem FE : & proportionem rationis D A ad rationem H E triplicatam esse eius quam habet ratio B Α ad F E. Atque ita deinceps in infinitum. 'D onstratio. A B C D . PE F
A Ssumat quanti as K aequalis A, dc fiat ut E ad F, sic K ad L, continuetur. queratio KL per terminos KLM No. Igitur proportio rationis C A ad ra. tionem ΜΚ ς est duplicata eius quam habet ratio ΒΑ ad rationem LM ed ratio M K ex construct. est ratio G E, 8e ratio L K est ratio P E. ergo proportio ratio nis C A ad rationem G est duplicata eiusquam habet ratio ΒΑ ad rationem Frupari modo reliquas assertionis partes demonstrabimus.
DAtae sint binae series continue proportionalium communem habemtium primam A. Dico rationem quanarum D I ad rationem secundarum B G, dupliciatam habere proportionem rationis B ad G: & rationem quintarum ERad rationem secundarum B G, triplicatam habere proportionem rationis B ad G atque ita deinceps in infinitum.
437쪽
Iam verὰ ratio D ad M, componitur ex ratione DI, laoc est . tripliciata rationis BG,&ex ratione IM, hoc est per construetionem ratione G B. Atqui rationes B G, G B, componunt siue producunt φ rationem aequalitatis. Ergo ratio DM com-c ponitur ex iaiione duplι cata rationis B G, Se ratione aequalitatis. sed 4 ratio aequa-ditatis in rationum compositione nihil addit. ergo ratio DNI est duplicata rati tris B G. sed ut D ad M, ita ratio DI ad rationem BG ergo ratio D I ad rationem BG, duplicatam habet proportionem rationis BG. Pari modo reliquas Theorematis partes demonstrabimus. Scholion. Etitet in praesenti Theoremate obsiematisne diuersitaου inter rationes plues, rationum ρυρσιMnes. Nam per λ7 libri progressionum Geometricaram ratio DI tripsi-eata est rationis B G, ubi proportio DI, B G,vitiam demonstrauimussiam νυιο-nis BGesidviscarasmiliter rario E Kper 17.progress est quadrubeata rationu B G pro porrisorem rationum Γ, Κ, BG tantum triplicata est rationis BG. tque ita deinceponis iram proponiones rarionum semper unitate minils rationum BG multi licant quam rationes simplura.
PROPOSITIO CLXIV. Sint duae series continue proportionηium, quae aequales habeant pri
sic deinceps. ratio igitur ΒΜ est . prop*mo rationum BG, AZi m ratio ε ιι ώΛω. CN est proportio rationum CH, G B; & ratio Di est pri)portio ratiou0m DI.HC, de sic deinceps. Iam vero quia A est aequa is Z, est lite ut A ad Z sic Gad M. erit G aequalis ipsi M. ac proinde ratio B M aequalis rationi B G. Deinde rario C Neomposta est ex ratione CH, s hoc ess duplicata s rationis B GJ de ex ratione Hhoc est per constructionem iterum ratione BG. ergo ratio CN, hoc cst, ut iam ιυς ostendi, proportio rationum CH, G B triplicara cst rationis B G, hoc est rationis BM, hoc est.ut ostensiatii supra,proportionis rationu B G, Z Α. Praeterea ratio DO, componitur ex ratiotie DI, quae triplicata gestiationis CH, α ex ratione Io, hoc
438쪽
est per construct. ex ratione C H, quae duplicata est rationis a BG. Ergo ratio D Ohoc est, ut ostensiam supra, proportio rationum D I, H C, quintuplicata est λtioni, B G Eodem ratiocinandi modo procedetur in infinitum. Constat ergo Propositum.
Ponantur dirae series quinque continue proportionalium A, B, D, E&F, G, H, I, K. Dico proportionem rationum A F de E Κ duplicatam esse proporti nis rationum B G, D l. D re traim. ABC D EGH
Quoniam rationes AF, BG, CH, DI, ΕΚ sint in continua analogia, etiam rationes AF, CH, ΕΚ erunt in continua, uti facile ex hypothesi 5 49. huius de monstrabitur. Proportio igitur rationum AB, ΕΚ duplicara est proportionis tationum AF, CH. sed ex hypothesi Se permutando , ut AF ratio est ad rationem CH. sic ratio BG est ad rationem DI. ergo proportio rationum AF. ΕΚ, dupli cata etiam cst proportionis rationum BG, DI. Quod erat demonstiandum.
PROPOSITIO CLXUI. Diuisa sit AB in punctis C & D, ut sint proportionales A C, CD,
' Dico rectangulum D AC ad C B D rectangulum, triplicatam his re rationem eius quam habet A C ad C D. Demon atio.
C D 'QVoniam igitur proportionales sunt lineae AC, CD, DR : erit componendo se permutando AD ad C d, ut CD ad DB, hoc est AC ad CD, rectangulum autem D AC ad C BD rectangulum compositam habet rationem ex DA ad CB, hoc est, ut iam ostendi , A C ad C D, & ex ratione Α C ad B D. sed ratio A C ad BD. duplicata est rationis AC ad CD. igitur ratio rectanguli DAC ad CBD. rectangulum triplicata est rationis AC ad CD. Quod erat demonstrandum.
VNde si quis postularet datam lineam AB diuidi in C x D , ut tectar Ium' DAC ad CBD rectangulum datam obtineat rationem , vix aliud ab eo diauersum exigeret qui duas medias requireret assignari inter duas datas. ,
439쪽
SI eandem rationem continuem quatuor quantitates A,B,C,D,8e aliae rursum quinque E, F, G, H, I, sic ut primae Λ, Ε & postremae RI sint
Dico rationem AB quadruplicatam esse eius evius ratio EF est tripli
terponantur tres mediae. ω interter-- - - .
minos seriei E duae mediae: & consta Kbit veraque series tredecim terminis co- . Ptinue proportionalibus, eritque B quinta in uia iuriis Se F quarta in 'a. Prae. teret ' inniam primae Α , E. & vltimae D, I sunt pares, erunt necessario omnes termini utriusvue seriς, alter alteri ae- quales.Ex quo manifestum est rationem A ad B, hoe est primaead quintam,quadruplicatam esse eius evius talis E ad P, id est primae ad quartam est triplicata. Quod erat demonstrandum.
SI eandem rationem eontinuent sex quantitates A,B,C, E,p ερ aliae septem quantitates G, H, Κ, M. ita tamen ut A & G .laequales sint,quemadmodum & F.N. , Dicorationem A ad B sectuplicatameitatem ea rationis, euius ratio G ad H est quintuplicata. . x . Demanstratior terpostis enim inter
Aterminos primae seriei quinque quantitaribus, quae cuin prioribus eandem ra-ioncm continuent, Se simi iter inter terminos singu- his seeundae seriei interiectis quatuor quantitatibus,continui proportionalibus, ex. surget numerus quantitatu primae seriei aequalis nume
ro quantitarum quae in se. t t 'cunda constitutae sunt; cum utraque series triginta 8evia eonstet quantitatibus:Ratio autem A ad B sextuplicata est rationis eius. Euius ratio A ad O squantitatemrm o quantitas magnitudini Rauseaee similiter ultims, DN, stestam quoque estrationem AB sextuplicatam esse eius rationis cuius o ad H, est qui inplicata. Qilod fuit de-mqnstrandum.
440쪽
, PROPOSITIO CLXIX. SI A ad B eandem rationem habuerit quam C ad D,&Ead F, quam G ad H; sit autem ratio A ad B, duplicata rationis E ad F.
Dico A cum eius Dico A cum E, ad B cu D duplicatam quoque tabere rationems quam habet E cum G ad F cmn H. , , i Semon Mio. .
, o niam A ad B , ratio duplicata ponitur eius rati nis quam habet E ad F, α quia ad D , ratio eadem est cum ratione Α ad B, erit M C ad D, ratio duplicata ipsius EaaF, vel G ad B: quia uero est ut Ead F. ita O ad H, de pe mutando, ut E ad G, sie F ad H, erit ut E cum G,ad Ε, se Fcum H ad F, & permutando HE ad F , sic E eum G, ad Fcum Η. similiter est ut A ad B. sie Α eum C, ad B cum Di effautem A min, ratis duplinata ex bypothesi rationis E ad F, quare etiam duplicata erit ratio Α cum C, ad B cum D eius quam habet E cum G in F eum H. Quod fuit demonstrandum. . Sebilo PRout Me ningi mi in duplicata Nais re,iam vi astris e pM-alu -ιωpluata iurauellio Me nisia rari metur H thesis.. PRO P O S ITIO CLXX. SI ratio AB ad CD, sit duplicata EF ad G H.& diuisae AB, C D in I & Κ, propcirtionales exhibeant AI, IB ipsis CK, KD, & similai ter E F, GH diuisae in L & M constituant E L, L F ipsis G M, M H pro
Dieorationem A Iad C Κ duplicatam quoque esse eius rationis quam