P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

441쪽

vnde in AI ad C Κ, ita AB ad CD. Eodem modci infertur esse EL ad G M, ut est EF ad GH r est autem ratio Α B ad C D. dupli ta rationis EF ad GH: igitur etiani ratio AI ad C Κ, duplicata est rationis E L ad G M. Quod fuit demonstrandum.

Quod in scholio praecedenti dictum est deMy. intelligi etiam voluimus de praesenti theoremate.

p R o P O s I T It o CLX XI. SI ratio A ad B, duplicata sit C ad D, ratio quoque C ad D duplicata rationis quam habet E ad F. Dico rationem A ad B, Auidruplicatam esse rationi: E ad R. Demonstratio.

ΙNrerponantvvinter A&B tres Iquantitate quae eu A N B, sine in eontinua proportione titillemia G, Τ, & IIgitur ratio A ad B,duplicata est rationis A ad H. sed ratio Α ad B, ponixnr duplicata rationis C ad Diisitur ratio Cad D, estgadem cum satione A ad H. Cum ergo ratio A ad Η. Aduplicata sit rationisA ad G, ctia . D. Iam ratio C ad D, est,plicata .iplicata rationisin as a sed ratio C ad D, ex hypothesi etiam duplicata est rationis E ad F. igitur ratio Αad G, eadem est cum ratione Ead F t est autem ratio A ad B, quadruplicata rationis A ad G. Igitur etiam ratio A ad B, qua- .druplicata est rationis E ad F. Quod fuit demonstrandum. Selabo.

PROPOSITIO CLXXII. Sst ratio 4 ad B, dupli eata rationis B ad C, Beratio B ad C, duplicata rationis C ad D, &ratio C ad D, duplicata rationis D ad E, di se

consequenter in infinitum. Oporteat ultimum siue minimum terminum exhibere scilicet F, huius progressionis in ins-nitum protenta. - - omminis oe a Ustrario.

Ia Ο ama solutum reperies libro quem praemi- si mustae hyperbola propositione r33. vii &alia plu- ira huic simi Ita.'

442쪽

Pagina 'r3. propos 7. alaseeunda figuraquantitates inD aequales essest ebent, uti Sc quantitates BAE:id enim poscit hypothesis r in contextu quoque addenda quaedam verba & errores litterarum trigendi. ergo linim z r. ι - . ici ' sumantur deinde claritatis causa in se- eunder D mate quantitares D,D N B,B, o ' C qquales tari oriamur octo termini,licet de-D monstratio iam posita etiam hic valeat, cum hypothesis quoad rem eadem sit,placet tames aliam subiiriere 'dae utrique eases anseris uiae. Inueniantur rationum AB.CD de .. -- nominatores A Et Ritem DE. BFrationum H denominatores D de H quoniam igitur ra--- - - - - tio A B ad C D ratisnem, Vnixur esse, n,. A i. ratio DE ad BF rationem: igitur A ad G habet eandem proportionemqnam Dep. a. ad H. quare quod oritur ex ductu Ain H, aequaleerit illisquod generatur du M. Gin D. euo etian ratio Aad B, ducta in rationem BURproducetim ualem rationem ei, quam pinducit ratio CD ducta in rationem D Erigomponitur autem

sue producitur ratio AF ex ratione AB ducta in BFra mem de ratis C ad rieomposita siue pmducta est ex ratione CD ducta in rationem DE. igiturcum sint 4- rationes A B. BP eaedem cum rationibus CD, DE, erit . Aad Rut Eadc. -- fuit demovit antam. r i

443쪽

QUADRATURAE

LIBER NON US.

De Cylindro, Cono, Spham Sphainoide, sutroque Conoide Parabolico S Hyperbolico.

Rasinii bbro viam tandem magis propinquam sterno ad quadrariviras. cum enim per reductionem cybndri circulam ad abud corpus illi aequale conemur quadraturas assequi, eundem prias ΘΓndrum oportuit aevidere inquassam partes, quarum praecipua illa est, quae generaturstitionese tapex Hametrum baseos cybndrica , μι non parallela: σfrustum quidem tab fictione ablatum mngulam appellabimus, quod gulare mam non Usque adeo re=uat. Poriami ungulam, eius partes sectionibus ad axem cylindri aequissistantibus decussas adparasielepipeda reducemus . Indricam praeterea gulae superficiem ad quadratum aut rectangulum ιssi aequale reuocabimuL. rebqua ex partitionum argumentis plemus intelligi poterunt.

D E F. I N I T I O P R I M A. VNgula cylindrica est cylindri portio, abscissa plano per aliquam ba

sis cylinὸricae diametrum transeunte, semicirculo, semiellipsi, de parte superficiei curus cylindricae contenta. Eius imaginem habes passim in figuris huius libri expressam . & proxime quidem in figura propositionis 6. in qua portio cylindri, quae continetur semicirculo FCG , semiellipsi FDΚG, di superficie curua cylindrica D F C G, ungula est.

DEFINITIO SECUNDA.ΙNuolucrum ungulae estprisma ungulam sibi inscriptam ambiens. Vide figuram scholij propositionis 18. quae huiusnodi solidum exhibet, prisina enim AFEDHCG est inuolucrum ungula ABCD. cetera in decursu operis suis quςque locis definientur.

444쪽

PARTITIO LIBRI.

Trima et Vulam e Indricam, ei quepartes , nu ad Iondis axem 'rasi tu rescissu ad cubum reducit. Secunda idem praestat de inuolum inguiari eiusqueparalbin, quas plana ad axem edita paradisti abscindunt. Tertia obndricam inguia olindricae superficiem ad quadratum reducit, ab que in asse mes nota acit. ammiram ingulae lindricae cum βbae similitudinem continer. - ingulamybnisuam βbriam cum Ilindro parabolo comparat. lGnasthaeroiaeos proprietates tractat. lSeptima contemptitisnem insumi de Onoide Pa gobeo. . l

445쪽

Riangulum ABC diuisum sit utcunque recta A p,quam secet GH parallela B C, ducto per GH plano EGH , ponatur in eo E F, quae aequi distet G H, iunctis deinde A E, E B, & Α F, F diuisaque E F in i, secundum rationem BD ad DC, ag tur planum per Α D & punctum I. Di eo corpus AF CBE diuidi plano AID secundum proportionem BD ad D C. Demonstratio

F X puricto K linearum GH, AD communi intersectione, ponantur re, ΚΒ, xta Est GK ad NH, H BD ad DC, hoc est ex hypothes ut EI ad I F. ergo nuta GKIE est ad figuram ΚI FH, ut G Κ ad ΚΗ, sductis enim EΚ, Κ F, est triangulum ΕΚ a ad IN F, ut est EI MIR triangulum quoque GEΚ ad ...HFH, ut GK ad K H, hoc est EI ad I F. quare cum pyramis AEGRI ad pyramidem Α ΙΚΗ F eam obtinea rationem,qua figura GE IS ad fguram Fia H, b ,. ais. etiam pyramis ad pyramidem est ut GK ad Kre sed etiam , pyramis GE L B est ad pyramidem FRH C. vi GEΚ basis ad basim KFH, hoe est, ut GK ad Kri, veluti etiam pyramis ERIB ad I FC pyramidem. quare tota pyramis GEIKB ad totam I K Hs C, rationem habet eandem eum GK ad ΚΗ, hoc est BD ia DC. . Ergo RAI KEB corpus ad corpus A IKC F, est ut BD ad D C. sed etiam pyramisti. IKDB ad I Κ DC pyramidem rationem obtinet qua basis BKD ad basim D KC, hoc est quam BD ad DC. Igitur totum solidum AIDB ad solidum ΑΙ DC, proportionem habet quam BD linea ad D C lineam.mod fuit demonstrandum.

446쪽

PROPOSITIO II. Ponatur figura quadrilatera A BCD, cuius opposita latera AB, CD

proportionaliter diuidat recta EF: sit autem GH parallela C D secans EF in M,&in plano per GH ducto collocetur lΚ parallela GH, quae secetur in L secundum rationem C F ad F D. Iunctis denique AI, 1 C, B Κ, Κ o planum ponatur per E F & punctum L. Di eo corpus A ICDΚB diuisum esse plano E LF secundum ratio. nem C F ad F D. i Demonstratio.

non lineae F I. FKAc EI, Ec ex hac constructione orientur Pyramidex variae, variis quidem basibus insistentes, sed habentes communes altitudines, quemadmodum videre est in pyramide GIΜLC de LM HKD, ac pyramidibus A IGM BLM HK. quarum bases GILM & LM ΗΚ, inter se eam sertiuntur rationem, quam habet linea GΜ ad ΜΗ, hoc est EC ad FD. stipet sent praeterea pyramides LΜFC, LMFD, EMLA, EMLB quarum bases etiam sortiuntur eanisdem rationem quam ratio ΑΕ ad EB. siue s F ad FD. quare ELMΑ una cum LMGIA ad EMLB, una cum MLΚH B eandem continent rationem quam FLMC una cum GIL MCad LMFD, una eum LMΚΗD. ergo totum AIC FLE ad totum EL FDΚB. est ut CF ad FD. Quod fuit demonstrandum, .

PROPOSITIO III. Quartae parti superficiei circularis ABC inscribatut DE semidia metro B C aequi distans: qua bifariam in F diuisa, erigatur norm liter F G ad rectam D E, ponaturq; Gl parallela B C. Dico parallelogrammum IGF maius esse dimidio segmenti A D E.

447쪽

v N G v L A CYLINDRIC A. Demonstratis.

Ducta GK quae contingat circulum in G, occurratque AB productae in K. fiat an gulo K G I, et qualis angulus I G H, facta deinde rei la I L aequali A I, describantur circulo- rum arcus I. G, DG seu idiametro AB. Quoniam IGF angulus rectus est , reliqui duo RGI 5e M GF, recto sitne squales. sed angulus HGI aequatur angulo KGI. ergo etiam HGI cum M GF , facit rectum. sed etiam HGI eum H GF, facit rectum. Igitur H GF angultis angulo FGM est aequalis. quare cum M G tangat C G in G, etiam H G tangetareum D G in G. similiter demonstrabo etiam arcum L G in eodem puncto tangi ab H G. te aequales sane figurς I GL Et GDF, quantitatibus AGI dc GFE. ed rectangu lum I F, excedit figuras GIL, D GF quanti tale mistit mea L G D. eadem ergo quantitate rectangulum I F, superat figuras AGI, GFZi sunt igitur illae dimidio tegmenti ADE minoia res, & consequenter IF maius est dimidio eius dem segmenti AGE D. Quod demonstrare oportuit.

PROPOSITIO IV.

Riangulum maximum cuiuis segmento circuli inseri tum , quod semicirculum non excedit, maius est eiusdem segmenti dimidio. Dem Aratio.

Donatur semicirculus ABC. ex quo segmentum quodvis dematur DBE , habens DL

parallelam AC diametro; erigatur dei alle ex I, centro circuli normali et 1 B, quae diuidet D Eb: Liriam : perfecto deinde rectangulo latitudinis DE, alii uis dinis vero HB, erit FG circulum contingens ςqui distat enim

DR FG,& diameter I Bortliogona est parallelis FG, D E; posita igitur qtiauis KLM,

D E; possita igitur qtiauis KLM, quae aequi distet B H, erit KM minor BI. ablatis ergo III, LM aequalibus lineis, remanebit B H maior KL. quare triangulum DBE maius erit DKE triangulo, ac proinde maximum est eorum quae segmento DBE inscribi queunt: est autem DBE triangulum dimidio segmenti maius,cim triangulum DBE, rectanguli FG sit dimidium. triangulum igitur maximum dimidio segmenti est maius Quoia fuit de

monstrandum.

448쪽

vNGULA CYLINDRIC A. PROPOSITIO U.

TNscribatur semibasi lindricae triangulum maximum ABD, residuis aquoque segmentis maxima triangula inscribantur AEB, DG B: hoc semper fiat. Per singulas deinde harum linearum ductis planis qhi. aeaxi cylindri qui distent, semicylindro inscribantur prismata plura semper ac plura in infinitum. Dico tande ex semicylindro ABC D. relinquendam quantitatem solidam qua- uis data I., minorem ex continuata sine' termino prismatum ablatione. A Demonstratio.

stensum praecedenti propositione triangula illa segmentis inscripta maiora esse dimidiis segmentorum , quibus inscribuntur: est autem ratio prismatum ad segmenta cylindrica eadem cum ratione basium trianguloru nempe A B D. L, Α EB, B D G ad segmenta circularia, quae sinthases segmentorum cylindricoru,cum altitudianibus non differant. Igitur x prismata inscripta maiora sunt dimklijs corporum quibus sunt in scripta.quare per primam decimi elementorum -- perpetua prismatum ablatione tandem E cylinadro residua fiet quantitas data L magnitudine minor. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO V l.

Sit Α Β axis cylindri C D E, cuius baiasi, F C G, diuisa sit bifariam per F G

diametrum, secundum quam si fiat sectio FGKL, abscindetur ungula FCGL, basi deinde F C G, inscripto triangulo

maximo inscribantur εc residuis segme tis maxima triangula ; dc secundam hax lineas constitutis planis quae axi cylindri aequi distent, ungulae prismata inscriban tur plura semper ac plura in infinitum.

Dico ex continuata sine termino pris. matum ablatione relinquendam tandem

quantitatem dato solicso M , minorem ad ungulari magnitudine. Demonstratio.

DSe precedentem propositionem eousque continuetur ablatio prismatum a cylindro donec residua fiat quantitas solido Mutinor, hoc igitur residuum maius erit residuo gle

449쪽

eesiiluo quod relinquetur ex ungulari quantitate, clim sit pars alterius residui quod a cylindro relictum est. mul Co igitur minus erit residuum ungulae quantitate M. Quos

oportuit demonstrare.

corollarium. NE repetere cogamur demonstrationes praecedentes, includere illis quoque intendci castim qui spe t corpus quod resultat ex semicylindro post unguIae de- euissationem, hoc est si contingat fieri similes ablationes prisinatum a eorpore L DIE GKL remanebit quoque solidum quavis data quantitate minus,ve Patet demonstrationis iam positς vim consideranti.

PROΡOSITIO VII. Dividant AB, CD diametri basim cylindricam normaliter sibi insi

stentes, & per A B planum secundum cylindri axem constitutum signet in cylindri superficie rectam A E, quς utcunque diuisa sit in F. Deinde perrectam CD M puncta F & E, plana constituantur CDF, C DE

vi resulten t ungularea quantitates C AF D, CAED. Dico inter ungulam C A E D & ungulam C AF D, eam rationem i tercedere quae est inter rectas AE & ΑF.

Demonstratio.

Diuiso arcu AGD bifariam in G, ponantur

tectae A G, DG. Idem fiat de arcubus residuis de sectiones fiant secundum has lineas quae axi cylindri aequid istent exhibentes in cylindri superficie rectas LN , GI, &c. erit itaque AEI GD eorpus ungulς AED inscriptum, ad corpus A FH GD, suae ungulae inscriptum vea linea A E ad ΑF. similiter corpus A EN IGinscriptum ad corpus A FM H Gmscriptumia-hebit b rationem eandem quam AE ad A P. Corpora autem illa inscripta, ablata ex quantiis talibus quibus inscribuntur: relinquunt standem dato iblido minorem. Cum igitur per tales inscriptiones sine fine continuatas semper resultet ratio AE ad AF, per ea , quae libro de progressionibus a prςmisimus: manifestum est etiam ungulas ipsas A DIE & ADHF , eam ratio. nem continere quam ΑΕ linea ad lineam Α F. Quod fuit demonstrandum.

PROPOSITIO VIII.

Ecetur cylindrus sectione per diametrum basis A B decussante ungulam ΑDEB, erecta deinde ex C centro normaliter CD ad diametrum AB, ducantur latera cylindri D E, B M, ad latus autem DE ducta C Et fiant sectiones,una per lineam C D, & punctum M in latere B M. altera per rectam C E, & idem punctum M. Ponatur denique linea recta

450쪽

96ι v NGVLAt CYLINDRICA quae uis FI in cylindri superficie exhibens communes intersectiones cum

planis positis puncta G, H, I. Dico FG aequale inesse lineae H I. Demonstratio.

PEr rectam IF age planum parallelum pu-no CBM, faciens cum plano CDB s ctionen FK, cum plano CDE sectione niKL, cum plano C EG B sectionem LG. Quoniam igitur planum CDB , secat duci plana parallela ΚFI,CBM, erunt sectiori es KF, CB parallelae. Rursum quia planum C EG B secat duo plana parallela DFI. CBM, erunt sectiones LG, CB etiam parallelae. parallelae igitur i sunt KF, L G. Deinde quia plana parallela KFI, CBΜ l ecat planμm EDC, erunt sectiones commune&, nimirum KL, ω axis cylindri, aequi distah te s. sed etiam latus p G axi ςqui distat. ergo Κ L, F G aequidistant. ergo G F K L parallelograminum eli. ergo FG aequatur KL. ungantiir deinde C M , ΚΗ. Quoniam plana parallela L RHI , CB M secat planum CLEI M. erunt communes sectiones LI, C M parallelae. Rursum quoniam plana para Ilela ΚFH, C B M Iesar planum C KD HM , erunt sectiones ΚΗ, Chlparalleig. ergo etiam O, RH sunt paralIclae: sunt autem & HI,KL supra ostenis pa rallelae. ergo ΚHIL parallelogrammum est. ergo HI aequalis est, Κ L. sed etiam ostendi supta FG ςquari KL; qquatur igitur FG, HI. Quod erat demonstrandum. Coromum. Mota Ilac propositionem prorsus eta uniuersalem; vera est enim, siue A B,diameiam ter sit circuli A DBC, siue quaedam ei aequidi itans, ut patet demolis rationem

considerami.

PROPOSITIO IX.

Esto erlindrus cuius basim .diuidat diameter A B: ex centro D eriga tur normaliter C D ad diametrum A B: per C vero ponatur in superficie cylindri C E recta linea: deinde agatur planum per AB , & punctum quoddam E, in recta CE , exhibens sectionem ABKE. posita denique in cylindri superficie recta B H , ducatur planum per C D, de quodlibet punctum H in recta B F , tandem per D E rectam & idem punctum H sectio fiat D EG H. Dico ungulam cylindricam DB FCEΚΗ aequalem esse solidae m gnitudini D HIC E G H. - ,