장음표시 사용
451쪽
Tungantur C B,E B, C H.E H, igitur pyramis DCEB pyramidi DCE H, aequalis eli,' cum sint stiper eadem basi bealtitudine.diuidatur deinde arcus BC bifariam in F, dc per punctuin F axi cylin rico ae- quid istet FΚΙG; iungantur deinde C F, F B, E K, K B, CI,
. FK ipsi I G aequalis est, sitque FG tectae CE parallela, perspicuum est , trapezium CFΚE trapeZio CIGE aequale esse ; proindeqtie cum N altitudines sin t et qua les,quod BPI sit parallela ad CE , pyramidem CFΚEB, pyramidi CI GEH parem esse. Rursus subdiuidatur bifariam ascus CF in L, M per L ponaturaxiae quidistans L Μ N O; iungantur quoque CL,LF, EN, NK. CM, MLEO, OG. Quoniam igitur L Μ ipsi N O est aequatis , Sc Lo parallela CE, erit trapeZium CLΜE trapezio C NOE aequale..unde, cum sit FG ipsis LO, CE aequidistans, manifestum est solidum CL NE KF solido CNO EI G aequale existere. hac constructione semper continuata ex omni parte auferentur semper aequalia, atque adeo quantacunque pars tandem a corpore DB FCEΚB persintiles inscriptiones auferatur , poterit aequale quoque. auferri a cylindrica qualuitate ' . D HIC E GH. Per tales autem ablationes sine fine continuatas relinquetur tandem ex utraque quantitate solidum dato minus. Quare per ea quae libro de progressio - .nibus Geometricis praemismus, necesse est totu DB FCEΚB toti D HIC E GHi ιαμ aequale existere. Quod filii demonstrandum. . ' s i
. PRO POSITIO X. Diuisa sit ABF diameter baseos cylindri ADC in B bifariam, de ex
B ad ipsam normaliter erigatur D B, diuisa denique B D bifariam in puncto G , erigatur GH quae aequi distet A F, perficiaturque rost an gulum parallelogrammum BG H.
Dico parallelepipedum sub basi rectangula B G H de altitudine F C, maius esse dimidio quartae partis cylindri F B D M ta
452쪽
v N G v f A CYLINDRICA,/Demonstratis.
TAlem enim habet rationem quadrans eylindri ad parallelepipedum sub basi AH & altitudine F C, qualis inter bases,quadfantem scilicet B DF, Ac parallelogrammum B Hareperitur: sed ostensum est b p rallelogrammum B H maius esse dimidio quadrantis DB F, igitur etiam parallelepipedum sub basi BH, Maltitudine F C maius est dimidio quadrantis cylindrici. Quod erat demonstrandum. corollarium. QVod fuit assemim de parallelepipedo sub BG Η, Ma Ititudine F C respectu quartae pariis culindri DBF etiam intelligendum de parallelepipedo sub basi GK,κ altitudine F C respectu solidi quodin sub segmento citiaculari DG H, dc altitudine estem FC, atque ita decς-
Adem manente figura: x I. Adem manente figura: Dico si parallesepipeda hoc modo quadranti inscripta cylindrico, aς eodem quadrante sempe demantur, residuam tandom fore quantitatem omni solida magnitudine data minorem.
IN praeeedenti, eiusque Corollario demonstrati H est parallelepipeda illa maiora
existere dimidiis quantitatum cylindricarum, quibus inscribuntur.Quare si ab his uIae tollantur, semper plus auferetur quam dimidium. Ergo per t.decimi reIinquet tandem ex quadrante cylindrico quantito data minor. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XII. adrantis cylindrici basiis ADF diuisa sit 't prius. sectantisium
8 D in partes aequales G, I, &c. persciantur parallelogramma BH.GK &e. cylindro deinde inscripta sint parallelepipeda viosius sub ijsdem' basibus. Denique seeundum rectam DB, & quodvis punctum N in linea FC, quae est in cylindri superficie,planum agatur e Lbens ungulam LN r. IDico etiam ex ipsa randem ungula relinquendam quantitatem quavi, data minorem li eadem operatio in basi Cylindri continuetur quae s periore propositione imperata fuit. Demonstratio.
Ostensum est ex ipso cylindm residuam fore quantitatem quavis data minorem: iEdhee pars tesidua maior est residuo quod remanet ex ipsia ungula. igitur cum ungulae residuum pars sit eius residui quod remanet ex ipsb cylindro, patet veritas
453쪽
vNGvLA CYLINDRIC A. PROPOSITIO XIII.
Solidae magnitudines habetes utramque basim parallelam similem simili-
rerm positam, eam inter se sortiuntur rationem quae ex basibus & altitudinibu composita est. Dem Bratio. Si magnitudines parallelepipedales fuerint
vel prismata,iam per elementa ccmstat huius propositionis veritas. quod si altera sit parallelepipedum vel prisina,vt AL: altera vero curvilinea D HI; vel si utraque sit curvilinea, per inscriptiones prisinatum semper continuatas concludetur propositum ea discurrendi forma, qua Euclides utitur in elemento duodecimo. Quem discursum ego ad alia properans Armandum relinquo Lectori.
num axi aequi distans E FGH faciens: in plano ABD, sectionem. EF parallelam AD; quod deinde secetur plano IKL, tecto ad planum E F G, diuisa denique bifariam recta EF in N, iga Iur planum per N Maxem cylindri, ad quem ungula pertinet, occurrens plano IR L secunducommunem interlectionem OK, perquam fiat sectio PKQ parallela plano A B D. Dico frustum cylindricum ΕΙΚLFaequale esse frusto E P Κ Q F. Dentonstratio.
Taveantur P K . K Q rectae sit btendentes
A arcus P K, K qui quoniam sunt aequales inter se, utpote aequales arcubus EB, BF, erunt quoque lineae PK, KQ aequales. sunt quoque triangula aequalia & similia I PO,
L, Eum lineae EN NRhoc est PO.OQ, adeoque Ic IO, OL, aequales sint. Igitur pyramides Io K P , QOKL aequales sunt. Rursis segmentis PK , KQ inseribi possunt
triangula maxima vi prius: erunt liqc aequalia inter ib, 5 per ea quς paulo ante praei nisi mus, inscripta viai prismata, alteri inscriptis erunt ae
qualia quod cum semper fieri possit, constatcgmen tu IP KO segmento OK L Q eue aequale. adiecto igitur c5muni solido EI K V, erit totum E PK R, toti EIKLF aequa-Ie.Quod fuit demouit tandum.
454쪽
PROPOSITIO XV. SEcetur cylindrus sectione A B F D,
quae aequi distet axit diuisa deinde bi fariam recta A B in C, ducatur per C &axem cylindri planum EHCM , ductadsinde Α F quae occurrat ipsit C M in L, per L agatur planum I GK faciens cum plano EHCM sectionem communem L G, tum per rectas A L F, L G planum ducatur AGFL. Dico segmentum cylindricum A D F B plano ALFG diuisum esse bifariam. Demonstratio. FRustum ALGI, frusto KL GF aequale est.
Eodemque discursu quo probata fuit hor umfrustorum aequalitas, concludetur etiam aequa
litasse ustorum GLCHA, EGLM F. Igitur frustum ALGI cum frusto EGLMF, aequatur frusto XL GP, viri eum frusto GLCΗΑ. Quare si utrisque addantur aequales cylindri portiones I GL MED , BCH GLK, erunt tria frusta ALGI. EGLMs, GL MED , tribus ΚLGF, GLCHA, B CH GLK aequalia. Aiqiii hace tria Vltima constit uni segmentum A GFB ; tria vero priora contaciunt se inentum ADFGA. ergo illa quoque segmenta sunt aequalia. segmentum igitur cylindricum A D , plano AG FL bifariam est diuisum. mod tuit de
πτ iugulam AD C dispescat planum DBC axi aequi distans, exhibensu frustum eius D G C B, acto deinde per axem cylindri plano E F G, ruod areum DFB bisecet in F, assignetur communis intersectio superciet cylindricae cum EFG recta FG , Ze recta M H communis interia sectio planorum D B C de E F G , possitasve HI, quae sit parallela E F, ducatur planum per HI L, quod sit aequi distans basi A B D, quod communem intersectionem proferat KL cum plano D BC. tandem secundum rectas EG & KL, planum ponatur terminatum in cylindro s ctione L G Κ. .
Dico D G CB aequale esse solido D ΚG LB.
455쪽
Opyramides super eadem basi HI G, erunt Iaae pyramulas inter se aequales, cum altitudines sint aequales; similiter aequabantur de pyramides, quae in frustis HI GC M HIGI , super eadem basi constituentur,cum altitudines earum etiam sint aequales, Et quia omnes similiter figurae inscribendae frusto HGID, aequales erunt figuris quς eadem Constructione inscribentur frusto HI GK , erunt frusta illa ςqualia. a pari modo quia omnes quoque figurae Dustis HI GC, HI GL inscribendς futurae sint aequales perpetuo, etiam haec usta aequalia erunt: sunt igitur quatuor illae partes sblidet aequales inter se , ac
proinde ibildum ΚGL aequatur solido D G C I D H C e ostensum quoque esth IH L C aequari D HIM Igitur communi addito DF BL ID, erit DKILB aequale DIC B: additis emo ΚGL, DG CID H. quae ante ostendi esse aequalia, totum D G C Bfuit demonstrandum. aequale erit toti DKGI. B. Quod
D Arusit ungula BD AC, in cuius basi ad baseos diametrum AB, alia quidistet E F, qua bisecta in G, per G de axem cylindri ducatur planum faciens in cylindri superficie se,ionem C D. sumpto dein ae iii C Dpuncto aliquo Κ, per illud secundum AB diametrum fiat ungularisse-elio BLKMA. Denique perrectam F E age planum axi aequi distans
Dico partem ungularem F L K M E, ad ungularem partem F H DIE, eam habere rationem quam habet recta C Κad rectam C D. . Demonseratio.
ΕSe enim ostensum e solidam magnitudinem ungularem B D AC ad ungulam BR A C, eam liabere rationem quam 5abet C D ad C Κ: eodem autem disclirsu ostendi pomst ungulae BDA, partem BFHILA, ad partem BFLMEA ungulae B K A, eandem chabere rationem quam FH ad FL. hoc est CD ad CK. igitur residua duo FHD IE, FLΚM E eandem habent rationem quam CD ad CR. Quod fuit demonstrandum. serotarium. Um igitur per7. huius etiam totae ungulae B Κ A, B D A ratiouem eandem habeant quam rectet C R, C D, sequitur ungulas tota=segmentis esse Proportionales.
456쪽
Ponantur A B, B C aequales lineς obtendentes arcus A H B, B G &. secetur ungula planis per Λ Η, B C, quae axi sint parallela.
Dico segmen tu ungulae A R B E Ο Α ad segmentum ungulae BSCD E, eam obtinere rationem quam habet linea Hi ad lineam GK , quae normaliter ducuntur ad diametrum A L diuidentes arcus A B, B C bifariam. Demonseram.
CIe primo M parallela diametro AL, N planum ponatur per D centrum baseos quod bisecet arcum ΑΒ in & rectam H o producat in cylindri superficie: in plano autem elliptico AD L, rectam Κ O, denique in plano ΑΒ E rectam RΜ: ex evius termino M posita MN, quae aequidis et RH. sectio fiat per lineam NM parallela AB, d planum tandem ducatur TO V per Κο, ocrectam VT parallelam ad AB . ostensum est segmentum vnguti A UOT B aequari segmento AOEB ; ostensium quoque est AVNoΤB, segmentum ad segmentum BGDC eam rvionem habere quam habet Η O linea ad lineam G D: est autem HI ad GK. Ut ΗΟ ad GD, cdm IO, & KD sint in eodem plano: sintq; triangula IH Ο, Κ GD fimilia. Igitur manifestum est segmentum AOEB ungulare ad ungulare segmentum BGDC eam habere rationem quam linea HI ad GK. Quod fuit demonstrandum. Quod si BC non si parallela A L. fiat parallela quςdam quae sit
aequalis Α Β & eontinuata constructione praecedemi comparetur utrumque immetum AOEB, ω BED FC eum segmento illo quod habet rectam aequalem ipsi ΑΒ parallelae diametro, atque ita utriusque rationem inueniet ad illud segmentum cognitam, ac proinde etiam inter se.
PROPOSITIO XIX. SEmicireulo, qui basis est ungulae, inscribatur dimidium hexagoni
regularis per cuius latera A B, B C, C D plana ponantur, quae aequi- distent axi cylindri, formantia segmenta ungularia A l BMIM KNC,
Dico segmen tu ungulare abscissum plano CBM esse ad reliqua duo segmenta simul sumpta, ut recta F H, quς ex medio arcus CB puncto G, ducitur A D diametro normalis, est ad duas simul lineas HI, G Q, quae ex medijs arcuum B Α, CD punctis sunt normales eidem diametro A D.
457쪽
DEr praecedentem segmetitu C B K M N est ads egmentum B AI M, ut F H-EP. similiter per praecedentem segmentum C B M Κ N est ad segmentum N CD L, ut FH ad G Q , hoc est. quia G Q EP aequantur ut FH ad EP , hoe est ut idem rursus segmentum CBMKN ad segmentum BAIM; segmenta igitur BAIN. FCDGL aequalia sunt. Quoniam igitur segmentum CBMKN est ad singula segmenta aequalia BAIM,NC DL, ut recta FH est ad singulas aequales lineas E P , G Q. , erit segmem tum CBM KN ad duo aequalia segmenta B AIM, NCD GL simul sumpta, ut reua FH, ad duas aequales rectas EP,G mul sumptas.
' ne r6. hbri de ductumni in ptinum, quiάinter-gσmin per flanistriatum in sed tum sesimul demonuraui-min solidom inde productam esse veram e lindri panem. Verum nisutit huim sici ratiose sequentium propessionum ecarior explicatis, τι ostendamus qualusis ea cylindri pars , qua circuis in se ducto aquatis 3τ, cse qua eiusdem partes qua-ue rationeadpanes lindricas reducantur. Sit itaquesemici culus ABC aequalis A D C semicircuis, qui ita constiιιι νον intersi , ut ad rectos an gutis raram plana in spini
metrum A C . e. secundum modum in libro is ductibias pluatum in se inuicem δε-
lipticuo, quoaehoc corpus diui--. quoniam omnes linea Is
aquato sunt rectis IH nodu-rexi linea, I F. I G ducta in . Eneas IH, quadrata infinita IF GH, quorum ommetri erum is plano es ko I G , ita- quoslidum ABEDC elliptico Uno I G n duas aequales partes erit diuisum; quarum una
458쪽
Atque hac δε τηνιti susscere existimo. reliquam ea, ut eius quoque yrrus πι - mklevtinemus. Sit itacrae denuo circutiis AB, cuisu diametro FIH , aqoidistent dual neari vites C C, D D, se AC segmentum erectumsis normaliter ah tim circuti A B,ctintellitaιur duci in reliquam partem circuli C B interceptam parassessi II, Κ Κ : orietur hine solidum quodsio loco ostendim- esse cylindricum ; habens duin partes,quarum una en e sin-drita nor ,si licet basim habenssegmentum C EI,qua est aquaia A C,s alsitudinem C in h.e est L tu in cylisdro X M v babente M M circulum aqualem circulo AB: abera vero
459쪽
res aequales, quemadmodum de toto semicirratiis se ducti explicatum M. Ponantur iam in e
eonsequentererit totum L M V N eo us,quale corpori CE GB, quod natum eis ex ducta AC in C B: quod autem corpus Me L M V Npertineae ad untulam X M V, patet, quoniam
X M dimidia sint M v,es N S dimidia sone
SV. io tur anguis V quales sunt an se G M X v. quare XNV suns in eodem plano. Ex his ergo hunc in modum exposivis habemus figmenta circuli i qualia AC O CB, in se maius ducta producere sigmentum ungulare L M V N absissemplano LN, a tota ungula X M V, ekius basis est par circulo Α Η 'ait rudis aqualis diamrero A B. Me reuoces in memoriam Lector , ubi defigmentis circab in sedactis menuo inciderit.
'olidum pioductum ex semicirculo O in se ducto ad aliud similiter ortum ex alio semicirculo in se ducto triplicatam rationem habet laterum homologorum. .
Intitaque AB, CD diametri semicirculo- ri,m AFB, CED qui in se ducti producant corpora A FG B, C EI D. Dico illa triplicatam inter se rationem continere diametri A B ad diametrum CD. Sunt enim similia corpora, quoniam baso similes sunt, & modus quo sermantur communis. Unde necessarium est sertiantur proportionem communem similibusque corporibus debitam quam ex elementis constat este triplicatam laterum homo- dogorum.
Quod si quis huic demonstrationi non acquiescat, uti potetit inscriptionibus corporum similium, sicut propositione duodecima huius factum est , per progressionum regulas illis inter se coli iris eruere rationem quam sine dubio reperiet esse triplicatam linea: A B ad CD, cum singuIa eorpora inscripta similia eandem rationem obtineant vel legat propositione huius libri trigesimam quintam. coro
460쪽
ΕXtendi postulo hanc propositionem ad solidas quantitates quς gignuntur ex se. gmentis partium circuli similibus in seductis, cum illae proportionales imprimis sint totis ungulis quarum partes existunt , Meaedem omnino formari de illis possint demonstrationes quae ungulis integris aut circulis in se ductis inseruiunt.
VNgula A B D C secetur elano EFG, parallelo illi quod per AC &axem cylindri ponitur, iitque B D ungulae altitudo aequalis B Q dia
Dico ungulam totam A B C D ad partem decussatam B E F G D triplicatam habere rationem eius quam habet AC recta ad lineam EF. Demonstratio.
Cuper KF diametro circulus describatur L F , & ponantur lineae L BE Q. MONP quotcunqire, sed rectae ad diametrum KF. erit igitur BE Q rectanguIum aequale KEF rectangulo, hoc est quadrato EL. similiter erit ONP rectangulum ae quale KNF rectangulo, hoc est quadrato NM. Vnde quia singula rectangula ON Parqualia sunt quadratis MN, hinc ΚBF, ductum in residuum KSRF aequale a est solido quod fit ex semicirculi' ΚLF in seducto: sed semicirculus ΚLF in se ductus ad semicirculum A B C in se ductum est bintriplicata ratione diametri Κ F ad diametrum totam C A siue ad B gitur etiam corpus ex ductu plani ΚBF in planum ΚS RF ad semicirculum ex ABC, totum in seductum habet triplicatam ratione lineae KF ad diametrum B in. atqui segmenta ΚBF , ΚS QRF producunt segmentum ungulare KDGF,&Rmicirculus ACB in se ductus producit totam ungulam, uti in Scholio praecedenti demonstrauimus ergo segmentum ungulare est ad ungulamin triplicata ratione E F ad A C. Quod erat demonstrandum. corollarium. H hae Se ex Corollario I .sequitur quamlibet ungula ad segmentum plano iuxta determinationem propositionis abscissum triplicatam habere proportionem eiusquam habet AC recta ad ER