장음표시 사용
461쪽
BA si ungulari dimidium hexagoni inscriptum sit per cuius latera plana ponantur axi aequi distantia A H Ι, Ι H G. Dico figmentiana ungulae plano GHI decussatum duplum esse segmenti quod ablatum est prino A HI. Demonstratio.
Ducantii rex centro E rectae ED, E K quae bifariam secent latera hexagotialia GH. HA in O de N, ponatiitque ΚS parallela ι
ad E D. Quoniam B A , G H aequales arcus I lintercipiunt , erunt parallelae. inare cum uangulus E OH rectus sit , etiam AEo rectus erit. Atqui K S parallela est ex constri ad ED. ergo etiam ES K angulus est rectus. Est vero Sc EN A rectus; anguli igitur ES Κ, EN A aequalessiant. Est autem angulus ad E, virique triangulo S E K, NE A communis, &vnum latus EA, uni lateri EK aequale. Igitur SK aequatur AN. sed HA latus hexagoni, hoc est semidiameter DE , duplum est ipsiusAN. Ergo DE dupla quoque est ipsius KS. Atqui ut DE ad KS,ita segmentum ungula re GO H IF ad segmentum ungulare H ALI, ergo segmentum G OH IF duplum est segmenti HALI. Quod erat demonstrandum.
. PROPO si ΤΙΟ XXIII. Ponatur iterum basi ungulari semi-
hexagonum inscriptum ut prius, &plana posita secundum latera hexagoni parallela axi decussantia tria segmenta ungulae. Dico totam ungulam ad res duum quod remansit ablatis segmentis habere rationem Octo ad sex. 'Demonstratio.
SIt ABCD ungula & latera semihexagoni
AF,FE, EB, per quae plana ΑFG. FE H, BEH axi aequi distantia auferant segmenta A FG, FGDHE,& Et B. Dico igitur proportionem totius ungulae AC DB ad solidum clausum planis ABHG, AFER , FE HG. AFG, BE H esse ut octo ad sex. Ostensum est enim rationem totius ungulae AC DB ad parte FGDHEi triplicatam esse rationis, quam habet AB ad EF, est autem A B dia-: Ox 'meter dupla recte EF, quae latus est hexagoni. Igitur tota ungula ΑCDB, octupla '
462쪽
est segmenti F G D HE. Atqui demonstratum praeterea est shgmellttim F G D H Eduplum esse tam segmenti ΑFG quam segmenti BE H, laoc est, utriqtie si inulsumpto esse aequale. Tota igitur ungula segmentorum A F G, B EH est etiam octu - pla. igitur segmentum FGDH E, de duo simul legmenta AF G , BE H aeqitalia
iunt duabus octauis totius ungulae. His ergo ablatis erit ungula ad residuum solidum tectilineum ut 3 ad 6. Quod fuit demonstrandum . .
DAta sit ungula B F A inspice figuram propositionis sequentisὶ cuius altitudo EF sit aequalis ΑΒ diametro semicirculi BEA qui basis
est ungulae. Dico eam aequalem esse pyramidi,cuius altitudo est semidiameter H B, basis vero quadratum diametri B A.
Emicireulo BE A aequalis fiat semieirculus AKC . quo persecto ad extremitates diametri AC ducantur tangentes F A, E C, diametro aequales , iunganturque . . nis FC, EA rectangulum triangulum FAC ductum in seipsum producit 3 pyramidem euius basis est quadratum A F, altitudo autem recta AF. hoc est cuius basis cit quadratum A C, a titudo diameter A C. ergo triangulum rectangulum FAC ductum in se subalterii e positam, hoc est in triangulum ACE, sibi aequale, producit pyrami-bi. a. dem, quae alterius dimidia . est. Atqui pyramis cuius balis est quadratum A C, alti. tudo vero semidiameter A in dimidia est pyramidis cuius basis est quadratum idem Α C,altitudo vero tota diameter: ergo triangulum FAC ductu in triansulum A C Egenerat pyramidem, cuius basis est quadratum A C , altitudo vero semidianreter A Q. Atqui in libro deductibus ostensum estς corpus quod fit ex ductu triangulo- y 7'tuni FAC, ACE aequarisblido, quod fit ex ductu semicirculi AK C in sieipsum. Ergo pyramis basim habens quadratum AC, altitudinem vero Aa, aequatur semi- citcilio AKC ducto in seipsum. Atqui semicirculus AKC,lioc est ex construct. ω-micircuIus B EA, ductus in seipsum gignit solidum aequale ungulae BFA, cuius altitudo est par diametro B A. ergo pyramis cuius basis est quadratum AC , hoc est ex constr. quadratum diametri BA, altitudo vero semidiameter A , hoc est semidiameter HB, aequatur ungulς BFA. Quod erat demonstrandurn. .
DAta rursum sit ungula BFA altitudinem habens parem diametro B A. Fiat autem semicirculus DIEI F aequalis semicirculo B EA,
463쪽
v N G v L Α C Y L I N D R I C A. 97se reictoq; radio O E normaliter ad diametrum D F, describatur parabola D MEM F, cuius axi&sit EO. , Dico ungulam BFA aequalem esse cylindro parabolico, cuius basis est parabola B MEM F, altitudo semidiameter EO, siue B A., Demonobatio.
Ostensim enis est in libro de ductibus planorum , semicirculum D EF, hcie iras Di est semicirculum BEA, ductum in seipsum aequari paraboIa: DMEN O ductae in altitudinem LO. Atqui semicirculus BE A ductus in seipsum generat solidum aequale ungulae B F Α, ut demonstrauimus in scholio propositionis I9. ungit la igitur BFA aequalis est cylindro parabolico, cuius basis est parabola D ME M F, altitudo aequalis semidiametro Eo siue BA. Quod erat demonstrandum. Cylindrus autem parabolicus facile ad solidum rectilineum reducitur, cum eius basis notam habeat ad figuras planas rectilineas proportionem. Seholiou. Ities, nissior, benigne Lector, quo costimarit prima pres huius Γιri,nimirum adcuba- turam uva me ad inuentionem corporis quod aquale esses unguia, o nugo mosimine ad paratulepipedum reduci posset.
Tota autem ιngula adparallelepipedum reducta habetur quoque reductio partism ungularium, quae planis ad Cy δει axempar.tialis decussamur, cum harum proportio ad totam vnguum,ex hactenus demonstratis noIasis. Resatiguar ut hoc ipsum practemin de unguia inuolucro.
464쪽
De Inuolucro unguiari eius ad cubum vel parallelepipedum reductiones cuiusius eius partu quapiano ad axem cylindri aquis iam te decussatasuerat, s nonnulis inuolucri proprietati in PROPOSITIO XXVI.
Emicirculum contingant rectae: AB , A C rectum angulum continentes,& iuncta B C ad contactus, ponatur alter circulus
BDE, quem H DG contingat parallela ad A C. Dico planum misti lineum IKRH ductum in HDGp B solidum producere, quod sit aequale magnitudiniquae oritur ex ducta misti linei D L B H in figuram E D B H. Demonseratio.
. costensum est pyramidi quae oritur ex ductu trianguli DΗB in se, aequari corpus - quod fit vel ex IH B, in H DGFB, vel ex DLBHin EDHB. Igitur aequalia sunt corpora inter se quae tertium habct cui aequantur. Quod erat demonstrandum.
Dico solidam magnitudinem quae fit ex ductu mixtilinei AC IB inmixti lineum AC FB ad solidum quod resultat ex ductu mixti linei I H B. in H G F B mixti lineum triplicatam habere rationem lineς Α B ad H B. Demonstratio.
hivi. 2 UQuatur benim magnitudo explano A CIB in superficiem AC FB ducta cor- Mpori pyramidali, quod emergit ex ductu trianguli ABC in seipsum; pari ratione etiam solidum quod fit ex plano DLBH in planum H DIgB, aequatur pyramidi quae fit ex ductu trianguli DHBinset sed pyramis nata ex ACB triangulo in seipsum ducto ad pyramidem factam ex triangulo H DB in seipsum triplicatam rationem habet eius φ quam habct linea AB ad HB. Igitur
465쪽
etiam corpus ex ductu plani ACI B in planu ACF B, ad corpus ex plano II DI B,
insuperficiem FIDE B triplicatam habet rationem eius quam habet Iinea AB ad HB. Atqui per praecedentem corpus explano IKRH in planum H IGFB. arquatur corpori producto ex plano H DL B in planum H DE B: ergo corpus explano ACI B ducto in planum AC FB ad corpus ex plano IKBΗ ducto in planum H IGFB triplicatam habet rationem eius quam habet AB ad HB. Sebobon. Ones mepraesens occasio ut accuratius nonnitul e tinem qualia δει corpora qua his proximis propositionib- evostra cor cui usui essepossint i autem UVsium commo. Has e brem, recurrendum est ad ungulam de qua pausi ante mensio fuit. Sis igitur ungula A B C D , cuivi bastos diameter A D in contingentes erecta sint DE, A F, ct tertia FBE paralgeta AD, ex C termino unguiarissast GHq aequississet ID E, Ope Aa-
ιαν parallelogrammum FGHE; iunganturs AG,DH, apparebis tune corpus ex hariis planis constitutum, ungulam continens. Corpus igitur hoc duabus constat partibus. quarum una ipsa est ungula , altera vero inuolucrum ungula. tque hae es ilia quantito de quaerimias duabus proxime propositionibus; quia vero di istest imaginationi persuaderesiguram ex ductu A B in A C genitam nuoluero ungulari non stam aquatim exiisere, sed eandem illam esse. quae involvieri munere fungitur; imms inuolucrum gigni ex ductu A B plani in planum AC r paucis adjungere flatui huius rei explanasionem. Ponatur itaque A B duci in A u,emer inlidum basim hasens A B superficiem cse altiturinem A D. Deinde ducatur AB in D C, exsurget Aura valde mista,qualis exhibetur in quarto semare,habens unam planarum haedraram A B D B Fuperficiei aequalem; aturam vero aquale emicirculo D C,
tertiam denique concauam e lindricam, quartam tandem cylindritam conuexam: hae autem .midentar longe Gersa a figura uolucri qua ex una parte terminatur rectangulusuperficie, ex alia vero plana qua sit qualis A 8,terit perfrie concaua qua congruit conuexa ungulari, quarta. quam terminat ellipsis couuexa, residua haedrae triangulares sunt se ario intelli- etur haec omnia coincidere recte gutisuis locu aptentur.Ad huius retexpiscarisneponendae sunt hae quinque quantitates insice figurasicunda se tertiamin quarum mima tex ductu ΑΒ in A Di secunda instice figuram secundam o quartamὶ ex AB rn D C, unde prima cumsecunda aequalessunt gara quaesieret ex AB in AC: tertia es quarta harum stu-H H 3 rarum
466쪽
prima quamitatis seramdu lineas parasas emergens duo corpora,quorum unu quinto siemate exprimitur, alterum corpus exsurget prout sigura sors exhibe ιν habens sine in P O quales rectis Z C, s quia circalus O O aqualis eis eircula CC , si coniungantur laeduo corpora ita ut pars caua P O congruat eonvexa Z C resistrabis seudum ili mo aquale quartoseia mali. quare tertia gurasimul cum quarta qualis eris muralianta vel septima bis sum ta quae congruit is ingulae,ac roinde inuolucro aequale erithemanimo, eum secundo coniunctum: es autem scema primum
cum siecori id quod nasiisse ex Δctu A B m A Ciigitur id, quod prouenit ex ductu A B in A C inuo lucro is non s mess aequale, sed iraismum,nuolucrum es , qMod unguia congruit, ea raraene qaa explicuium est, eius par es dis onant r.
DAtum sit inuolucrum totam ungulam, cuius altitudo est diameter A D, includens,nimirum Α E B F D G C H : datum item sit aliud includens partem ungulς abscissam plano ad axem cylindri parallelo seeundum rectam IL parallelam diametro A D. Dico inuolucrum totius ungulae esso ad totam ungillam, ut inuolucrum partis ungularis est ad ipsam partem ungularem. Duiligoo by Cooste
467쪽
vNGULA CYLINDRIC A. Demonstratio.
. c X scitolio 27. patet inuolucrum totius unguis cuius altitudo est diameter AD produci ex
ductu plani AEBFDBA in planum quod
compositum est explano AEBFD BA, S toto circulo cuius diameter AD : inuolucrum vero partis ungularis nasci ex ductu pIani IΚBMLBI, in planum quod constat plano I KB MLBI , de toto circulo, cuius diameter A D. Ergo inuolu erum totius ungulae est ad inuolucrum partis in triplicata ratione eius, quam habet EB ad ΚΒ, hoc est eius quam habet EF ad ΚM . hoc et heius quam habet AD ad I L. Atqui etiam ungula tota AB D C est ad.partem ungulare IONLBI in triplicatat ratione eius , quam habet AD ad IL: ergo inuolucrum totius ungulae est ad inuolucrum partis, ut ungula tota est ad partem: per.
mutando igitur, inuolucrum totius ungulae est ad totam ungulam, ut inuolucrum partis ungularis
ad ipsam partem ungularem. Quod erat demon
lucrum ungulae ADC, cuius altitudo par sit diametro fi C: ducanturq;BA, BC. Dico inuolucrum datum ungulare
aequari duabus pyramidibus quae producantur ex triangulis A E B , C B H, singulis in se ipsa ductis. Semonstratio.
PLanum C L B H ductu in planum B H C o
aequatur e triangulo BCH ducto in seipsiam. similiter planum mixtilineum AB Eductum in planum BE AO ςquatur BAE, triangulo in se ducto. Ergo totum planum mixti lineum CLB A EB HC ductum in totum planum EA OCH, hoc est per ea quae in Scholio Σ . huius demonstrauimus, inu lucrum datum ungulare ΑEBHC GDF, aequatur duobus triangulis B C H, B AE ductis in s et pia , d habus nimirum pyramidibus quae ex illis ductibus otiuntur. Quod erat demonstrandum. Coralia m. II Ine alia rursum habetur ungulae cubatura: cum enim compositum ex inuolucro de ungula, utpote verum prisma notum sit, cumque huius compositi una pars, nempe inuolucrum, nota sit, nota erit & altera quae est ipsa ungula.
468쪽
PROPOSITIO XXX. R Etenta figura gropositionis 18. sit inuolucrum II KMRNOQ se σgmiati ungularis lB L NO, di eanturque rectae B L, B I.
Dicomtum segmenti ungularis inuolucrum aequari duabus pyramidibus, quae generantur ex ductibus triangulorum B IK . & B LM in seipsa.
DEmonstrabitur eodem discursu quo praecedens, ex 8. libri deductu plani in planum & Scholio as .huius.
PROPOSITIO XXXI. SIt semicirculus ABC parallelogrammo rectangulo A D E C inscri
ptus, & B F normalis ad AC diametrum, diuidat eam bifariam in F. Denique huic semicirculo inscribatur paral la AKBC,cuius axis B F. Dico ungulam cylindricam cuius altitudo est diameter C A, basis vero semicirculus ABC, ad suum inu'lucrum eam habere rationem quam parabola AKBC ad planum mixti lineum D Κ, ΗΚ.Demonstratio.
IT It m H Ma 1 - 'Emonstratum est in libro de ductu plani in planum a semicirculum ABC ductum ς-- ' in seipstim, hoe est , ungulam euius basis est semicirculus ABC , altitudo AC, quari cylindro parabolico, cuius basis parabola A GBKC, altitudo B F. Demonia. , in s tum quoque est in eodem libro planum H G, HG, ductum in planum composi- .is. tum ex H G HG, & toto circulo cuius diameter A C, hoc est c introlucrum ungulet, aequari solido i quod habet basim HK, IL, altitudinem vero B F. Atqui cylindrus parabolicus cuius basis est parabola A K B K C altitudo DF, est ad solidum euius basis est planum H Κ altitudo eadem BF, ut basis ad basim, hoc est ut parabola ΑΚΒ KC ad planum H K. ergo ungula cuius basis est semicirculus ABC , altitudo AC, est ad suum inuolucrum ut parabola AKBΚC ad planum mixtilineum HK Quod erat demonstrandum.
469쪽
PROPOSITIO XXXII. CVBo Q FG inscriptus esto cylindrus, cuius ungula ABCD, altitudine labens B C aequalem diametro baseos, sit terminata in plano Α Ο erellipsim DIC: factis deinde proportionalibus Q E, AF, 8 E, describatur parabola RO BOS, cuius axis si Pr . Dico corpus lL, K M aequari magnitudiniquae constat basi Ο di
alii tudine A D. , Demonmatio. DEmonstratuin est solidum ex ductu NT
plani in TX, prodiictum aequale esse corpori, quod resultat ex plano N O ducto in altitudinem N X , bos est A D i est voto inuolircrum ungulae AE BCGFD, aequales NT ducto in TX. Igitur inuolucrum Pngulae aequale est solido super basi No ex-s ructo, de altitudine A D. Corpus autem ex NT ia N X, est aequale Noducto in NX, ut eum To ducto in NX. Igitur etiam NT ducto in NX , aequatur inuolucrum ungulare unicum OT in NX: ablatis itaque aequalibus, icilicet quantitate N O in N X. a solido quod fit ex N T in N X , &quantitate ungulari dempta a corpore habente basim N T. altitudinem vero .B C, re manebit corpus ex O T iv N X, hoe est A Daequales Iidaequantitati ILL M. QMd demonstrandum risit.
PROPOSITIO XXXIII. VNgulae cylindricae Ad CD, cuius altitudo par sit diametro A D,b sis A B R. ecetur plano EFG, quod aequi distet plano baseos A B D. Oporteat autem solido E C G M B, corpus exhibere aequale,altitudinem habens BF.
470쪽
QVoniam EFG sectio basi ABD a quidia
stat: igitur erectis E terminis linet IE G,quq est communis interseetio planorum EFG, αΑC D , lineis GH, EI in superficie cylindrica, iunctisque panctis I, H, erit arcus I R H aequ-lis arcui EF Gi ducto igitur plano lHG, agatur K B linea diuidens bifariam iam IR H, secundiam quam fiat sectio per Mim cylindri
producens L M, KC, M P communes intersevictiones. possitis denique H N, IO, parallelis sectae BK. iunctaque ON, fiat vi I γ ad LX, ita L B ad L V, siue rectangulo B I X fac aequale VLγ, de per I VH describatur parabola IT VH habens axem L v. Dic solidii habens pro basi s uperficiem interceptam peri pheria circulari Ι ΒΗ, 3e paraboliea IU H aDtitudinem vero BF , aequari frusto ungulari ECGME. Quoniam parabola est IT UII, igitur ut rectangulum ILH ad rectangulum IR H, ita est LU linea ad lineam RT. sed ut est rectangulum ILH ad I RH rectangu Ium, ita quoque est rectangulum B LX ad PRQ, hoc est rectangulum ULν ad rectangulum Τ R S. Igitur ut linea LV ad R T, ita quoque rectangvlii ULγad TRS igitur cum ex constructione reciangulu UL γ aequale sit rectangulo B LX, etiam rectangulu TRS, aequale e it rectangulo PR omnia igitur rectangula TRS, aequantur omnibus rectangulis P R inergo per 46. libri de ductibus, planum par bolicum I VH LI duetum in planum R S, hoc est in altitudinem R S, hoc est in altitudinem LM siue BF sest enim LM ad L Κ, ut BC aequalis diametro ad semidiametrum B Κὶ aequatur sblido quod fit ex ductu plani circularis I B H in planum. s. i,. circulare IO N Hased ex ductu planorum Circularium I BH Se ΙoNHfit segmen hiam. tum cungulare ΙEBCH. Igitur lidum habens basim IV HLI parabolam & altitudinem BF, aequale est parti ungulari IEBCH. ablato igitur communi cyliniadrico segmento I BFH remanebit Lustum cylindricum ECGME , aequale corpori quod basim habet cIausam perimetris 1 BH,& ITU H. quod etiam aliud ge-- nus inuolucri censeri potest partis cylindricae cui congruit.exhibitimus igitur quoAfuerat requisitum.
PROPOSITI O XXXI TVNgulae , quarum altitudines sunt ςquales diametris basim cylin
drorum a quibus decussantur, triplicatam habent rationem earun- 'dem diametrorum.