장음표시 사용
471쪽
YNGvLA CYLINDRIC A. Demonstratio.
MI HR CPRopositionem paulo antε demonstrauimus quidem: verdm praesens demonstra-- tio commodior mihi futura est ad ulteriores proportiones indagandas. Ponantur itaque duo circuli A BC, DEF, quorum singuli in seipsos ducti produeant singulas ungulas. inscribantur circulis parabolae L MΜ. Demonstratum filii a ungulam P β productam ex ductu plani circularis GH in seipsum,aequalem esse solido quod ,Ξ- sim habet L li, altitudinem semidiametro aequalem. eodem modo ostensum est semieirculum IK in seductum exhibere corpus sub has MK, 8c altitudine quae aequalis est semidiametro. itur eandem habebunt rationem inter se illae duae ungulae, quam continent corpora ex basibus parabolicis constantia. Atqui horum proportio composita est ex b proportione altitudinis ΒΜ ad Eo, hoe est AC ad DF,&ex ratione baseos parabolicae L Η ad basim parabolicam M K, quae eadem est cum ratione et rculi ABC ad DER similes enim sunt illae paraboIae,ut patet ex figuris inscriptis euidenter,) ac proinde duplicata rationis AC ad DF. ergo ratio corporis sub LII hasi, de B M altitudine ad corpus subbasi MΚ , M altitudine EO. est triplicata rationis AC ad DF; ergo ungulae illis corporibus parabolicis aequales in triplicata sunt ratione earundem linearum,sicilicet diametri AC ad diametrum D F. Quod fuit demonstrandum.
Vod si placuerit eam discurrendi formam adhibere, qui usi sumus in propositionibus 41. de 47. libri deductu plani in planum, licebit
472쪽
Diametris A B L M in aeque multas, sed plures ac semper plures, aequales partes AI, II, L U, V Adiuisis per diuisionum puncta I, I, V, V ducantur normales ad diametros GC, OC: RO, RO , de compleantur rectangula G I , GI, R U, R Ritem CI, C I, O U, O v, semicirculis inscripta. Rectangula GI, GI, R U, R V unicum semicirculis sui ν ducta in seipsa,hoc est in rectangula illis aequalia de similia CLCI, M OU, O producent infinita parallelepipeda, ungulisquet ex semicirculorum ductibus generantur, inscripta, quorum bases erunt rectangula GI C, R UO,
hoc est quadrata IC, V O; altitudines vero erunt aequales diametrorum partes II,
UV. Sia ex constr. AI sunt ad I B, ut L V sunt ad V M suntqueCI, RUmediae inter AI, IB, & LU, UM, erunt quoque AI, ad C I, ut LV ad ΟU. uertendo C I ad AI, ut O V ad LU. sed ex constr. AI sunt ad AB , ve LV ad LM. ergo ex aequo CI sunt ad AB, ut OV ad LM :&permutando C I sunt ad
O V, ut AB ad LM. ergo ratio quadratorum singulorum C I ad quadrata singula ou duplicata est rationis diametrorum AB, LM. sed ratio altitu3inum II, ad altitudines , eadem est ex constructione , quae diametrorum AB. LM. Rati igitur composita ex ratione quadratorum C I ad quaedrata O V, Si ex ratione altitudinum II ad altitudines CV, hoe est ratio parallelepipedorum singulorum vngulet ΑΚΒ inscriptorum ad parallelepipedasngula ungulae L TM inscripta , triplicata est rationis diametrorum AB, LM. ergo singula parallelepipeda ungulae A KB singulis ungulςLT M proportionalia sunt. ergo per I 2. .element. Vt Vnu ungulae AKB ad unum ungulς LT M, sic omnia simul ad simul omnia. Atqui Unum
est ad unum in triplicata ratione diametrorum , ut iam ostensum est. Ergo omnia simul sumpta ungulae AKB, sunt ad omnia simu Humpta ungulae L TM in triplicata ratione diametrorum. Quare si prosequamur reliquam partem discursus in pro Pos. 6s.& 67. expressi, legitime concludetur, ungulam quoque ad ungulam in triplicata existere diametrorum ratione.Quod erat demonstrandum.
473쪽
Expeditis theorematibus qua ungularem quantitatem, sinuolucri ei dem concernunt, aggredimur hac parte contemplationem superficiei cylindrica qua ungulam cingit, quam conabimur ad quadratum aut rectangulum imiaequale reducere varias eius assectiones notas reddere, quas non iniucundas existimo futuras Lectori Geometra. ΡROPOSITIO XXXVI. Ireulum ABC diuidat diameter AC bifariam, quam orthoisgonaliter secet BD in E, ducta per centrum B I ponatur contingens B H, ex quo uis in contingente B Hpuncto demittatur H G parallela BD. Di eo rectangulum BD , B H aequati A C , G E rectangulo. Est Pappi collec. Math. lib. 1. propos 2O. Demonstratio.
IVnge ID, dii caturque BKad HG normalis. Quoniam B II contingit circulum in B puncto, ex qlio recta BI per centrum acta est ex constructione; igitur angulus I RH rectus est. sed etiam rectus est Κ B E: anguli igit IB Η, Κ B D aequales sunt et quare dempto communi KBI , aequantur HB Κ, I BD. sunt vero & anguli H ΚΒ, ID B recti, nam ID B in semicirculo est: de altero patet ex constructione; triangula igitur HKB, BD I similia sunt. ergo HB ad BI , ut ΚΒ ad BD. ergo rectangulum H B D . aequatur rectangulo In K, hoc est rectangulo A C G E. Quod erat de-
CIreulum ABC contingat EBG; demittatiturque ex punictis, E, B, G, perpendiculares ad diametrum A C, quae sint EF, B GHi&BK producatur in D. Dico rectangulum BD EG rectangulo AC FH aequale esse. Est Pappi, ibidem proposia. .lI , Dema Di ilia oo by Corale
474쪽
,8σ VNGULA CYLINDRIC A. Demonstratio.
U Se enim per praecedentem a rectangulum EBD, aeqlla te A C,F Κ rectangulo. sed rectangulum G B D per eandem aequatur AC, ΚΗ rectangulo. Igitur rectangulo A C,F Haequale est B D. EG rectanguinium. Quod fuit demonstran
Ponatur in semicirculo AC B recta subtendens arcum C E, ex cuius terminis perpendiculares fiant E F, C D ad diametrum A B. Dico rectangulum quod continetur utraque smul CD EF, & CE aequale es
se rectangulo contento recta linea DF,&recta EH subtendente circumferentiam EB H, quae una cum circumferentia CE,
semicirculum CBH perficit. Est Pappi ibidem propos 23. Demonstratio.
mpleto circulo, sit ipsius diameter CH, di producta CD in Κ, ad ipsam perpendi- eularis dueatur BG , & ΕΗ, ΕΚ iungantur. Quoniam igitur diameter A B secat C Κ ad rectos angulos, aequalis est CD ipsi DK. sed de GD est aequalis EF. ergo GK aequatur dua-hus CD,& EFa est autem GE aequalis etiam D F; qu vero reliquam semicirculi CE H circumferentiam subtendit est ΕΗ. Itaque quoniam angulus Κ est aequalis angulo H,&HEC angulus in semicirculo rectus, aequalis recto ΚGEi erunt triangula HEC, LEG aequian. agula. ergo vi HE ad EC, ita KGad GE, Mob id rectangulum contentum H E, E G, hoc est H E,D F, aeq uale est ei quod G K, C E, hoc est ei quod utraque simul C D, EF, ω C E continetur.
PROPOSITIO XXXIX. Iisdem positis demittatur perpindicularis EI ad diametrum H C.
Dico rectangulo CE, EI aequale esse HE,CI rectangulum. Demonstratio.
CVnt enim , triangu Ia CEI. CEH similia, ac proinde latera CI, IE sunt Iateri- 'bus CE,EH proportionalia: unde rectangulum C LEH rectangulo IE, CE est aequale.
475쪽
v N avLA CYLINDRIC A. PROPOSITIO XL. Sit A B eirculi ABC diameter, Belineae BP, PE, E D, DC aequales
arcus subtendant, ex quibis demittantur perpendi eulares P Κ, E I, D H, C G, ad diametrum A B. Dico rectangulum sub BG, dc sub Ap, subtendente areum PDA,qui una cum arcu B P,constituit semicirculum,aequari rectangulis sub B P Κ,
sub P B, & duabus P Κ, E ιι sub P B, & E I,D H,& sub P B & D H,C G. Demonstristis.
Ostendimus praece lenti propositione restaugulo PABK aequari a P κ rectan : & proposi tione trigesima octaua remngulo sub P A 8e KI, aequale ecse rectangulum sub P Κ, Et tamquam una, & pt, hoc est P: Scin eadem propositione est demonstratum rectangulo ΡΑ ΙΗ, aequari rectingulum sub EI, D Hsi mul sumptis, de E D, hoc est P B: item rectangulo sub A P, H G aequati rectangulum sub D H, C tasimul sumptis, de sub D C,hoc est B P. Manifestum igitur,tectan gulum sub AP 3e B G squale esse omnibus rectangulis;qii .rum primum est BP Κ, secundam sub P K, EI dc P E seu P B, tertium sub EI, DEI N ED, hoe est B ῆquartum sub DII, CG dc DC, hoc est BP. . 'coroe vr n. F odem discuisu demonstrabimus si aequales lineae totaim semicirculum subtendar,
in tectangulum sub tota diametro BA, Ac sub AP subtendente omnia figurς inscriptae latera, dempto ultimo, aequari omnibus rectangulis supradictis derectangulo in super AC G.
SI inscribathir semicirculo ungulae a cylindro recto decussatae . quet habeat aequalem altitudinem diametro baseos, quodlibet polygonum regulare,&sehundum latera polygoni fiant sectiones quae sint axicylindri, ex quo decussata est ungula, aequidistantes. . i. Erunt Umnia plana simul sumpta ungulae inscripta qualia rectanguloruod fit sub tota diametro, dc latere quod omnia latera polygoni subten-it,dempto ultimo. Di tiros by Coos e
476쪽
C It itaque ungula A B C,a cylindro recto 2b-vbens alta tudinem QR diametro baseos AC parem:eius basi inscripta sit figura regularis ADEFG C, ducta sit A G ad
terminum virimi Iateras CG. Denique plana ponantur per latera polygoni quae aequidastene .axi cylindri exhibentia communes intersecti anes cum ellipsi ABC rectas A M, M N ,N
Dico plana haec omnia simul sumpta , nimirum ADM, DENM, E FON, I GPO de
CGI', aequari rectangulo C AG. --Ex centro ducatur S in normalis diametro, S: a puncto ducatur insuperficie cylindrica recta QB,quq erat virgulae altitudo, Sc ex hypothesi aequalis diametro
AC, iungatur deinde S B, ductis insuper DII, EI, F K, GL normalibus ad A C, iunge H M. IN, ΚΟ, I P. Quoniam Q S, DII sunt parallelς, itemque Bin MD, anguli B S,M D H aequales *etunt. Rursum quia Q S, B aequidistant D H,DM, plana SQ B, H DMstini b parallela. ergo earum sectiones communes cum plano elliptico C B A, resiς nimirum B S,MU , sintς parallela . Cum igitur Q S, . BS aeqiuidistent D H , M H . erunt anguli
ins B, D II Maequales. triangula igitur B S Q, M H D similia fiant. ergo uti B inulo S, ita MD ad DH. sed BQ ex hypothesi par est diametro AC, adeoque clu-χsemidiametri Q S. Ergo Ac Mh dupla est D H. Para modo cistendam rectasNE, OF, PG duplas esia tectarum EI, FK, GL. Pr terea quoniam cylindriis exlivpothesi rectus est, a q4' dccussatur vi gula, erun t M D, N E, O F, P G rectar plano eos A O C. adeoque per definitionem 3.undecimi angulos rectos faciunt cum lineis AD, DE EF, FG, GC. triangula crgo ADM, CGΡ rectangilla sit sit, Mplana D M N E,E N O F, FOP G, trapezia rectangula. Quoniam igitur M D,trianguli ADMest altitudo, eaque dupla est ostenta ipsius D H, erit triangulum ADMrectangulo sub A D Zc D H aequale. Iam vero rectis E D, N M bisectis in Τ & V, iunctaque T V, rectam T V dimidia m elle summae rectarum M D, N E; dc rectangulum EDTV, aeqψ ri trapeZio rectangulo MN ED insequenti, figurae opportunitate usi, demonstrabimus. Quare cum rectanguliani sub E D & M D,N E tanquam
MD, NE simul sumptis duplum etiam est rectanguli sub ED. sumptis. planum igitur MNED aequatur rectangulo sub D E, siue A D Sc Q H, EI simul sumptis. pari argumento ostendam planum EN OF , ' EF id est AD, de EI FK: planum veroso , Ρ G rectangillo tu, F hoc est AD Sc F GL, triangulum denique GPC ostendam tectangulo sub GC, id est AD.&GL aequari,ut ostendis pra triangulum ADM aequati rectangulo AD H. Omnia igitus plana ungulae inscripta simul senapta aequantiir omnibus rectangiil illis simul sumptis, hoc est per Cofossarium praecedentis rectangulo quos rectis C Α, AG continetur. Quod erat demonstraudinar.
477쪽
rectam abscilla sit pars iuperficiei cylindricae, quae ungula cingit GPN A QJ,& arcui GE A subtendantur aec s rectae quotcta nque,sccundiim quas plana inscribantur ungularis superficiei in dricq shinento: eodem discursu, quo latra usi
sumus, demon strahimus per precet lentem omnia plana inscripta simul sumpta aequari rectangit loquod continetur rectis AI, 5e CD, subtendente arcum DF C qui una cum arcu A D complet semicirculum.
aequalis diametro A B, de costituantur latera cuiuscunque polygoni, circulum ambientia, scilicet B I, I H G, G D N, sic ut primum B l tangat extremitatem diametri AB & reliqua incontactu bisecentur,& per haec latera, plata a constituantur axi parallela viigulam tangentia secundum rectas HT, DF, quae producant communes sectiones cum basii uti gulari elliptica rectas B R, R. Q , P Qi secent vero sese mutuo secundum rectas
ΙR, G in facta autem tu D aequali ipsi FP iungatur NP, ducatur domum N O normalis ad A R. .
Dico omnia plana ungulam ambientia, dempto triangulo BI K, aequari rectan
gulo, quod sit sub lineis A B, B O.
- thogonaliterat A Bi& ponatur per Τ parallela occurrens rectis G QJ R in V dc X. QN-niam ex laypor laesi , cylindrus, a quo abscissa est Runsula, rectus est, pate e T H rectam esse plano baseos AD R. ergo per definit. 3. undecimi TH normalis erad GI. adeoque de UG,XI,ad GI sunt rectae; rectangu Ium igitur est GV XI, aequale ei, quod iub TH, GI continetur. Atqui tectangulum GV XI aequale est plano G QR i. cum enim I G biseccturinis, ex conis struch.etiam X V, BO bisectae erunt, adeoque triangula B TX,VTQ aequalia; si igitur com mum trapeZio IBTU G addantur triangula V T Q, B TX, erunt planum IR QD , dcre- Etangulum IX U G aequalia; ergo Zc tectanguia TH GI plano G 'Ι aequale est. Deinde tu praecedenti demonstratum est rectam TH du- a; .hαι plana elle rectae H K. Clim igitur eiusdem duia εpla sit H s, pares erunt TII, HS. Rectangulum igitur S HGI aequatur rectangulo TH Gl, hoc est, ut iam ostendi, plano G RI. Atqui rectangulum S H GIaequatur rectangulo sub A B, B L. planum igitur GaII Ac rectangulum sub A B, B L, aequalia sunt. Simili plane discursit ostendam planum G QPNaequari rectangulo liib AB. LO; plana igitur ungulam ambientia simul sumpta, dempto triangulo BR I aequantur rectangulo A BO. mod erat demonstrandum.
478쪽
Sint AB, C D contingentes circulum A E Cjn terminis diametri AC, qui circulus Osis est ungulae AE FC cylindro recto decussatae , habentis altitudinem EF diametro AC parem: posxo deinde quocunque polygono B G G Η, H D circumdante circulum AEC, sicut eius latera in contactu bisecentur, pi nisi positis per lineas polygoni axi parallelis, quae concurrentia clim plano elis Iptico ungulari A FCforment IK, i, α LM , communes intersectiones, secent vero sese mutuo secundum rectas DI,
H Κ, GL, B M. Dico hae dras omnes D IK H, H Κ L G, GLMB, ungulam ambientes simul sumptas excluus triangulis A gM, DI uari quadrato Λ C. . Demonstratio.
Ust enim in praecedetati demonstratum re--Mctagulo A CN aequari rectilineti m D H KL Ibidem ostensum est rectangulo AC, NO aequari rectilineum GHKL,& rectilineo BGLΜ aequari rectangulum super A C dc Ao; igitur cum rectangulis ACNC, AC NO, ACAO uetiir quadratum AC i etiam omnibus figuris tectu, neis D H KI, GHΚL, GBLM simul sumptis aequatur quadratum A C. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XLIV. DAeae sitit binae ungulae a cylindris rectis decussatae, quarum altitudi
nes. sint basium circularium diametris pares,& ipsae etiam bases circulares aequales sint. Circa utrumque autem circulum polygona describantur, sed in aequalium numero laterum, circa unum circulum exempli gratia polygonum decem laterum,circa alterum vero laterum mille: ponantur insuper plana per latera polygonorum quς axibus aequi distent, . concurrentia cum planis ellipticis ungulas terminantibus. Dico omnia plana unam ungulam ambientia simul sumpta, aequalia esse planis simul sumptis alteram circumdantibus, sit triangularia utrimque omittantur.
a s huius. I X demonstratis enim, Constat congeriem pIanorum singulas ungillas ambien- raum,demptis triangulis aequalem esse quadrato circuIaris diametri quae in basi estvngulet, ex hypothesi autem ungulariun balas, adeoque & diametri basium aequales
479쪽
sunt Igitur manifestum est plana simul omnia demptis triangulis,unam ungulam ambientia , aeqtialia esse plavis simul sumptis quae alteram ambiunt, demptis item tria nilis. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XLV. 'Vperficies cylindrica cuiusuis ungui a cylindro reisto deculatae, cuius altitudo par est diametro circuli qui basis est ungulet , aequalis est
quadrato diametri. Demonstratio. . SIt ungula A BCD, cuius altitudo BC, sit
aequalis AD diametro baseos cylindriis recti a quo declissata est. Dico cylindricam superficiem vnsulae, quadrato diametti AD aequaIem esse. Si negas , sit primo, si fieri potest, quadratum AD maius cylindrica superficie quς ungulam ambit texcessus autem sit planum E. Fiae
ergo rectangulum V AF aequale plano E: ec erigatur FI normaliter ad diametrum A D Deinde polygonum aliquod tegulare inscribatur circulo ABD , euius ultimum latus AH minus sit subtensia. rcus AI, Mdemittatur H G normalis ad A D diametru. Quia quadratum AD, a. secundi , superat rectangultim A DF rectangulo D AF id est ex conlir.E plano, quo eodem excessia quadratum AD ponitur superare superficiem cylindricam ungillae, erit rectangulu AD F, cylindric stiperficiei ungulς aequale. ergo rectangulum ADG maius est cylindrica
sit perficie quς ungulam termina t. ergo P
elangulum A D H eadem multo est maius. sed rectangulo ADH aequalia sunt planaramnia simul sumpta quae per latera polygoni inscripti ducentur axi parallela terminata iri elliptica hasi ungularis corporis. Igitur etiam illa plana maiora fiant olindrica si- perficie 'tuae ungulam ambit, quod fieri nequit, cum singula plana sint minoris & latitudinis Zc longitudinis quam singulς partes sit perficiei cylindricae quas decussarunt ab ipsa ungulari superficie. Non igitur maius est quadratum AD Iindri superficie
Sit deinde, si fieri potest, quadratum AD minus eadem superficie cylindrica
ambiente ungulam,& desectus si planum E. Erit ergo quadiatum AD cum quantitate N quacunque, quae minor sit quam E, adhuc minus unguIari superficie quae ungulam ambit. Circumscribatur igitur aliquod polygonum circa circulum ABDtot laterum ut ductis per latera pIanis ungulam tangentibus, triangula remaneanc
A OK, DL M, quae simul sumpta aequalia sint aut minora quantitate N quod at
quando futurum est, ctum multiplicatis in infinitum polygoni conscripti lateribus triangulorum AON, DLM, tum bases AO, DL, tum altitudines OK, L M,fiant tandem dato minora) dc plana ponantur secundum latera huius polygoni quaeaxi cylindlico aequid istent. Igitur quadratum AD fimul cum triangulis AONis DLMnuniis est cylindrica superficie quς ungulam ambit Atqui plana ungulam ambientia demptis triangulis, aequam ut quadrato A D per praecedentem. ergo etiam illa una cum triangulis minora sunt quam superficies cylindri,quae ungulam cingit, quod ab-
480쪽
surdum est: nam omnia illa plana simul cum triangulis lateralibus cylindricam vngulae superficiem includunt. Quadratum igitur AD noliath minus cylindrica unis gulae superficie: quare cum neque maius elle poste, supra ostenderimus, necesse est ut sit aequale.Quod erat demonstrandum.
pROΡOSITIO XLVI. DAt sit ungula,qualis in praecedenti,ad cuius diametrum A D ducta
normali GH quacunque,ex puncto H ponatur insuperficie cylindrica ungulae recta H T. Dico cylindric e superficiei ungulam cingentis partem H TCRDa:- qualem este rectangulo AD G. '
CInegas, erit rectangulum ADG, vel maius vel minus superficie H ΤC R D. sit primo maius,ct excessus sit planum E. Arcui H BD inscribe figuram aequitateram tot, adeoque tam paruis constantem lateribus, virecta AR subtendens arcum RB Α, qui cum arcu DR complet semicirculum, deficiat a diametro AD, quantitate minori data, adeoque ut rectangulum sub A R α D G, superetur a rectangu- Io sub A D ωD G, plano minori quam Ε, quae omnia ex elementis factu facillima. Quoniam ergo re tangulum ADG superat rectangulum AR,D G plano minori quam Ε, quo superare ponitur superficiem H Τ C R D, erit quoque rectangulum 'ARDG maius superficie H TCRD. Atqui radiangulo ARDG aequantur . - plana quae secundum latera figurae aequi laterae inscribuntur superficiei H TCRD. ergo dc plana illa inscrip maiora sunt superficie H TCRD, cui inscripta sunt. quod est absurdum. Non igitur rectangulu ADG est maius superficie nTCMD. Ponatur deinde rectangaeum ADG minus esse supςrficie H TCRD, defectus. autem sit planum E. circumscribe arcui HBD figuram aequilateram tot laterum, ut ductis petilla planis ad cylindri axem parallelis ungulam tangentibus, postre-nia planum versus D, quod est triangulare, minus sit plano E. od necessario fit-turum aliquando, est manifestum. igitur rectangulum ADG una cum plano illo triangulari,adhuc minus erit superficie HΤC R D.sed plura superficiem IIT CR D
b iuri ambientia,dempto triangulo,h aequantur rectangulo ADG. ergo etiam plana am
bientia una cum triangulo minora sunt stiperficie ΗΤCR D, quam cingunt. quod est absurdum. Non igitur rectangulum ADG minus est superficie H TCR sed neque maius esse ostensum est supra. necesse igitur est ut e dem sit aequalis.Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XLVII. DAt sit ungula, qualis supra, ductis deinde lineis MI, ON ad dia
metrum AD rectis, per has ponantur plana ad axem cylindri parallela, quae in ungulae superficie essiciant rectas I Κ,N L. Dico segmentum stiperficiei cylindricet ungula ambientis IB N L C ΚΙ, aequale emerectangulo quod retris AD, M o continetur.