장음표시 사용
481쪽
DEmonstratum est segmenis 3 tum superficici ungularis
segmetuum ungularis supersi' et ei NLD aequari rectangulo ADO. quare si ab aequalibus, stiperficie nimirum INDLKLω rectangulo AD M. tollantutaequalia , nimirum superficies NLD, de rectangulum ADO,
quae remanent sunt ae lualia, su
PROPOSITIO X L U III. O inia plana ungulam
ambientia,&ad elliptiaeam ungulae basim terminata demptis triangulis lateralibus,superficiei cylindric quae ungulam cin git, aequalia sunt simul sumpta. Demonstratio. O lnia enim illa plana simul
sumpta, demptis triangulis, aequantur per ψI.huius quadrato diametri A D. Atqui eidem quadrato aequatur superficies cylindrica quae ungulam cingit. Ergo omnia plana ungulam ambieniatia simul sumpta, demptis triangulis,aequantur superficiei eylin dricς quae cingit ungulam*iloderat demonstrandum. cor iam SImiliter demonstrabimus iania plano dempto, triangui laterali ungulae segmentum
H Τ C R D ambientia, ae talia esse superficiei H Τ C R D: tam
enim plana ambientia dempto triangulo, quam superficies. a quanLur rectangulo ADa
482쪽
DAta sit ungula, qualis supra, quam ad extremitatem diametri conia tingat planum, triangulare D C E , secans planum elliptivum A F N C secundum rectam C E, contingat autem eandem ungulam &alterum planum DENO secudum rectam IK, secans planum DC Erecha o E, planum vero ellipticum A F N C recta H Κ E. Ponatur dentia φ ue per relliam aliquam L G normalem diametro, planum axi aequi di-ans, producens iit superficie ungulari rectam M N, secans vero planum ODEN secundum rectam G H. Dico planum contingens ODEN, aequale esse superficiei ungulari cylindricae MCEN. Demonstratio.
DEmonstratum emn 1.huius,contingens planum ODEN esse aequale ted angulo quod lineis AC,LC continetur.Rursum per s.huius superficies cylindrica MCEN, quς segmentum ungulare cingit, aequatur rectangulo sub ijsdem linem AC, L Ccomprelienis. Ergo planum contingens ODEN superficiei cylindricae ΜCEN ungulare segmentum ambienti aequale est. Quod erat demonstrandum.
cundum re stam BC: ponantur autem bina plana mi parallela perrectas MI, O N diametro normales , secantia planum contingens secundum rectas FH, EG, superficiem vero ungularem secundum rectas
483쪽
vNGvLA CY LINDRI CA. Dico planum continirens EFII G aequale et se superliciei ungulari cylindricae I B N L C Κ.
DEmonstratum est in h. huius planum contingens EF HG aequale esse rectangulo quod lineis AD,MO continetur. Atqui demonstratum etiam est propositione 4 . superficiem 1 BN LCK aequalein esse eidem rectangulo sub lineis AD, MO compre lacnsb. ergo planum contingens EF HG superficiei I BN LCK aequale e Quod erat demonstrandum.
N TNgularem stuperficiem cy-V liiidricam secundum datam
rationem partiri. Constructio indemonstratio.
CIt vi gularis superficies ABCD diuidenda secundum rationem datam I ad K. fiat ut 1 ad K, ita A D ad D F. vel ita A D ad F E, de secundum FG, EB perpendiculares ad diametrum, ducantur plana axi cylindri parallela exhibentia communes sectiones in superficie cylindri ungulari rectas B C GH. Dico superficiem ungillet A BCD ad partem G H D, vel ad partem B G H C eandem habere proportionem quam habet I ad K. Demonstratumeli enim , rectangulo ADF aeqtialem esse ungui superficiem GH D. Demonstratum quoque est brectangulo AD , EP aequalem esse stipet ficiem B GH C. Demonstratum quoque estς toti ungulari superficiei aequale esse quadratum A D. Cum igitur I. sexti sit ut AD ad D F, vel EF, ita quadratum Α D ad rect aheii Ium ADF, vel A D, FE, erit quoque ut AD ad DF, vel FE noc estve I ad K, ita superficies ungularis tota ad partem G H D vel GH C B. prqstitimus igitur quod
PROPOSITI O LI I. SEcetur ungula A B C, cuius altitudo par sit diametro basis planis quot
cunque axi aequi dilhantibus& rectis ad diametrum D C. Dico superficies ungulares planis illis interceptas eandem inter se sota tiri rationem quam partes diametri D C.
484쪽
vNGvLA CYLINDRic A Demonstratio.
T Emonstratum enim iE, aequale esse se est, rectangulum sub DC AEaequale est e super i iei ungulari ABD. Deia monstratum item est retiangulum sub D C & EF, aequari superficiei AIM B. ollensium b quoque est rectangulum DC , FG aequati sta perficiei IMNΚ, & rectangulis D C,G Ha quale existere stiperficiei KN OL. rectangulum denique super DC & H C, aequale esse
superficiei C L O.patet igitur totam ungulae superficiem diuisam esse secundum partes diametri DC, cum quadratum DC, lit diuisum in rectangula quae e fortuantur eandem rationem quam partes lineae D C.
Υlindrus rectus ABDE, cuius altitudo par sit diametro basis AD, secetur per AD plano exhibente sectionem ungularem A B C D. Dico superficiem ungularem ad cylindricam, eam obtinere rationem, quam diameter circuli ad perimetrum. Demonstratio.
CVperficies lindri recti AE aequalis est rectangulo contento sub BC, hoe est ODA, de sub toto perimetro circuli ABD: quod eodem fere discursu probabitur. quo deuionstrauit Xrchimedes triangulum cuius altitudo est semidiametet, basis ve ro, circumferentia, aequari circulo. sed quadratum D A est ad rectangulum conten tum sub DA, & perimetro circuli, ut D A est ad perimetrum circuli. Ergo & quadratum D A, hoc est per 4s. curua superficies ungulae ACU, est ad cylindri su perficiem ut diameter D A est ad perimetrum circuli ABD. QAod erat denion
PROPOSITIO LIV. VNgula AB CD cuius altitudo BC, secetur plano per A D&quodlibet punctum E in recta B C.
485쪽
VNCVLA CYLINDRIC A. 997 Dico ungulare superficiem ABCD ad stupet sciem ABED eandem habere rationem cum rei ta B C ad B E. DemonstraIIo.
Donamur quotvis KR, FG normales ad AD, per alias fiant sectiones axi parallelae ΚBC, FGH occurrentes plano DEA s e cundum rectas ΚE, FI, dc plano DCAχ- condit in rectas FH , FH , KC. erunt ergo omnia triangula CBΚ , HGF, aequiangula inter te. Similiter omnia triangula, E HK, IGF aequiangilla erunt. ergo
CB, HG, HG, sunt rectis BK, GF, GF proporticinales: & EB, I G, I G, sunt ijsidem B K,GF, GF proportionales. ergo CB,HG, H G sunt proportionales ipsis E B, I G, I G: ergo singula plana quae subtendunt superfiacies B C lIG, G H H G proportionalia sunt planis singulis, quae subtendunt superficies I EI G, GII G. Ergo r2.quinti, ut planum subtendens superficiem BC HGad planum subtendens superficiem BEI G, hoc estve BC ad BE, sic omnia plana simul sumptaqtiae subtenduntur siue inscribuntur si aperficiei ungulari BCHA ad omnia pIana
simul siumpta quae subtendtintur seu inscribuntur superficiei ungulari BEI A. Cum igitur pati argumento possimus ostendere aggregara planorum utrique superficiei ungulari iuxta quamcunque multiplicationem inscriptoriam semper inter se eandem seruare rationem quam BC habet ad BE, planaque illa deficiant tandem a super ficiebus ungi laribus quantitate quacunque data minori: Manifestum est ipsas quoque ungulares superficies eandem inter se rationem habcre, qtiam BC habet ad B E. Miam consequentiam secundum rigorem Geometricum facile probabit Lector Geometra, si adhibeat eam demonstrandi formam qua variis locis huius operis usi sumus, vel discursus ab Archimede Ic Euclide passim usurpatos.
PROPOSITIO LV.CViuscunque ungulae superficies, siue altitudinem parem habeat diametro baseos siue non, aequalis est rectangulo, quod diametro baseos sΑEὶ de ipsius ungulae altitudine B D continetur.
486쪽
vNGvLA CYLINDRIC A. Demonstratio.
Di ametris AB, LM in aeque multas, sed plures ac semper plures, aequales partes AI, II, L U, U Uiniuisis per diuisionum puncta I, I, U, V ducantur normales ad diametros GC, OC: RO, RO , de compleantur rectangula GI, GI, R U, R V. item CI, C I, O U, O v, semicirculis inscripta. Rectangula GI, GI, R U, R V una eum semicirculis suis ducta in seipsa,hoc est in rei hangula illis aequalia re similia CLCI, de OU, OV producent infinita parallelepipeda, ungi lis quς ex semicirculorum ductibus generantur, inscripta, quorum bases erunt rectangula GI C, Rhoc est quadrata IC, V Ο; altitudines vero erunt aequales diametrorum partes II.,
UV. aia ex constr. AI sunt ad I B, ut LV sunt ad V M : suntque C I,C V mediae inter AI, IB, & L U, V M, erunt quoque AI, ad C I, ut L V ad OV. uertendo C I ad AI, ut OV ad LV. sed ex constr. AI siunt ad AB , ut LV aclLM. ergo ex aequo CI sant ad AB, ut O V ad LM S permutando CI sunt ad
OU, ut AB ad LM. ergo ratio quadratorum singuloruin C I ad quadrata singula O U duplicata est rationis diametrorum AB, LM sed ratio altitudinum II, actaltitudines V V, eadem est ex constructione , quae diametrorum AB, LM. Ratio igitur composita ex ratione quadratorum C I ad quindrata O V, ex ratione a I-titudinum II ad altitudines UU, hoc est ratio parallelepipedorum singulorum vngulet AKB inscriptorum ad parallelepipeda singula ungulae L TM inlcripta. triplicata est rationis diametrorum AB, LM. ergo singula parallelepipeda ungulae A KB singulis ungulς LT M proportionalia sum. ergo per Ia. .element. vi unu Vngulae ΑΚΒ ad unum ungulς LT M, sic omnia simul adsimul omnia. Atqui unam
est ad unum in triplicata ratione diametrorum , ut iam ostensum est. Ergo omnia simul sumpta ungulae ΑΚΒ, sunt ad omnia simul sumpta ungulae L TM in tripliCata ratione diametrorum. Quare si proseqitamur reliquam partem discursus in pro-PPs.6s Sc 47. expressi, legitime Concludetur, ungulam quoque ad ungulam in triplicata existere diametrorum ratione.Quod erat domosistrandum.
487쪽
Expeditu theorematibus quae ungularem quantitatem, sinuolucri ei dem concernunt, ore ur hac parte contemplationem 'perficiei cylindrica qua vvulam cingit, quam conabimuradquadratum aut rectangulum quale reducere varias eius assectiones notas reddere, quas non iniucundas exi mo futuras Lectora Geometrae. PROPOSITIO XXXVI. Irculum ABC diuidat diam
ter AC bifariarn,quam orthogonaliter siecet BD in E, ducta per centrum B I ponatur contingens B H, ex quo uis in contingente B Hpuncto demittatur H G parallela BD. Dico rectangulum BD , B H aequari AC, G E rectangulo. Est Pappi collec. Math. lib. F. propos. 2O. Demonstratio.
Tvhge ID, sileaturque BKad HG normalis. AQuoniam B H contingit circulum in B puncto, ex quo recta BI per centrum acta est ex constructione; igitur angulus I BH rectus est. sed etiam tectus est Κ B E: anguli igitur IB H, Κ B D aequales sunt: quare dempto communi ΚBI, aequantur H B Κ, IB D. simi vero Ae anguli H ΚΒ, ID B recti, nam ID B in s emicirculo est: de aliatero patet ex constructione; triangula igitur H LB, BD I similia senti ergo HB ad ΒΙ , ut KB ad BD. ergo tectangulum H BD . aequatur rectangulo IBK, hoc est rectangulo AC GE. Quod erat de- a s a L
Circulum ABC contingat E B G; demittanturque ex punctis,E,RG, perpendiculares ad diametrum A C, quae sint EF, B GH de BK producatur in D. Dico rei: angulum B D E G rectangulo A C F H aequale esse. Est Pappi, ibidem proposLA. .
488쪽
V st enim per praecedentem a tectangulum EBD, aequa te Α C,F K rectangulo. sed rectangulum G B D per eandem aequatur AC, ΚΗ rectangulo. Igitur rectangulo A C, F Haequale est BD. EG rectanguinium. Quod fuit demonstran
Ponatur semicirculo ACB recta subtendens arcum C E, ex cuius terminis perpendiculares fiant E F, C D ad diametrum AB. Dico rectangulum quod continetur utraque simul CD EF, & CE aequale eL' se rectangulo contento recta linea DF, dc recta EH subtendente circumferentiam EB H, quae una cum circumferentia C E,
semicirculum CBH perficit. Est Pappi ibidem propos. 23. Demonseratio.
ompleto circulo, sit ipsius diameter CH, di producta CD in Κ, ad ipsam perpendicularis dueatur EG, & ΕΗ, ΕΚ iungantur. Quoniam igitur diameter A B secat C Κ ad rectos angulos, aequalis est CD ipsi DK. sed de GD est aequalis EF. ergo GK aequatur duabus CD, de EF: est autem GE aequalis etiam D F; quς vero reliquam semicireuli CE H circumferentiam subtendit est ΕΗ. Itaque quoniam angulus Κ est aequalis angulo EI,&HEC angulus in semicirculo rectus, aequalis recto ΚG E, erunt triangula HEC, LEG aequian- .gula. ergo vi HE ad EC, ita ΚG ad GE, Mob id rectanguIum contentum HE, EG, hoc est H E,D F, aeq uale est ei quod G R, C E, hoc est ei quod utraque simul C D, EF, de C E continetur.
PROPOSITIO XXXIX. Iisdem positis demittatur perpredicularis EI ad diametrum H C.
Dico rectangulo C E, EI aequale esse H E,C I rectangulum. Demonstratio.
CVnt enim a triangula CEI. CEII similia, ac proinde latera CI, IE sunt lateri bus CE, E H proportionalia. unde rectangulum C I, EH rectangulo IE, CE est
489쪽
arcus subtendant, ex quibis demittantur perpendie utares P Κ, E I, D H, C G, ad di metrum A B. Dico rectangulum sub BG,&sub Ap, subtendente arcum PD Α,qui una cum arcu B P,constituit semicirculum,aequari rectangulis sub B P Κ, sub PB, & duabus P Κ, E I, sub PB, dc EI,DH,&sub PB&DH, CG.
t Stendimus praecedenti propositione rectaugulo P A. BK aequari BPK rectana: de propositione trigesima octaua rectangusos ub P A & NI, aequale es.se rectangulum sub PR, Ei tamquam Una, & pt, hoc est BP: 8t in eadem propositione est demonstratum rectangulo PA III, aequari rectinguIum seb ELDH si mulsumptis, SED, hoc est PB: item re tangulo sub AP, HG aequati rectangulum sub DEI, CG,simul sumptis, S stib DC,hoc est BP. Manifestum igitur,rectaniagulum sub ΑΡ & BG squale esse omnibus rectangulis; quὀrum primum est BP Κ, secundam sub PK, EI M PE seu PB, tertium sub EI, DII &Euhoe est Bν quartum sub DΗ, CG & DC, hoc est BP. . 'cordarium.
F odem distulsu demonsttabimus si aequales lineae totum semicirculum subtendat. rectangulum sub tota diametro B A, Sc sub AP subtenderite omnia figurς inseri Hae latera, dempto Vltimo, aequati omnibus rectangulis supradictis derectangillo insuper Α C G. o
SI inseribatiir semicirculo ungulae a cylindro recto decussatae, quς habeat aequalem altitudinem diametro baseos, quodlibet polygonum regulare, dos ehundum latera polygoni fiant sectiones quae sitne axicylin dri, ex quo decussata est ungula, aequi distantes. Erunt timnia plana simul sumpta ungulae inscripta qualia rectangulo quod fit sub tota diametro, de latere quod omnia latera polygoni sub en-dit,dempto ultimo.
490쪽
C It itaque ungula A B C,a cylindro recto ab- seisia ubens altitudinem QJ diametro baseos ACvrem:eius basi inscripta sit figura regularis ADEFG C, & ducta sit A G ad
terminum virimi lateras CG. Denique plana ponantur per latera polygoni quae aequi distent. ara cylindri hibentia communes intersee tioisia es cum ellipsi ABC rectasAM, MN, NO, 4 l Dico plana haee omnia simul sumpta , nimirum ADM, DENM, E FON, BGPO MC G P, aequari rectangulo C A G. lanais e Ex centro ducatur Snormalis diametro, & a puncto . ducatur msuperficie cylindrica recta Q B, quς erit ungulae altitudo, 3c ex hypothesi a Qualis diametro AC, iungatur deinde S B, ductis insuper DIRE I, F Κ, GL normalibus ad A C , iunge H M,IN, KO, L P. Quoniam Q S, DII sunt parallelς, itemque Bin MD, anguli BQ S, MD H aequales erimi. Rursum quia QS,QB aequidistant DΗ,DM, plana SQ B, H DNI
sunt b parallela. ergo earum sectioia es communes cum plano elliptico CB A, reciς nimirum B S,MU , suntς parallelae. Cum δgitur Q. S. 'BS aequidistent D H , M H , erunt anguli S B, D TIM aequales. triangula igitur B S Q, M H D similia sunt. ergo uti BQ id , ita MD ad DH. sed BQ ex hypothesi par est diametro AC, adeoque dupla semidiametri Q S. Ergo Ac MD dupla est D H. Pari modo ostendam rectasNE OF, P G duplas esse rectarum EI, FK, GL. Pretterea quoniam cylindrus ex hypothesi rectiis est, a quo decuit itur ungula, erunt M D, N Ε, o F, P G rectae plano vastos Α λα pdeo 'ue per definitionem 3.undecimi angulos rectos faciunt cum lineis AD, DE, EF, FG, GC. triangula crgo ADM, CGPrectangula sunt, a plana DMNE, EN O F, EO PG, trapezia rectangula. Muoniam igitur M D,trianguli A DM est altitudo, eaque dupla est ostensa ipsius D H, erat triangulum A Drectangulo Qb A D dc D II aequale. Iam vero rectis E D, N M hi sectis in Τ & V, iunctaque T v, rectam T V dimidiam elle flammae rectarum M D, NE; rectangulum E D T v, a qLiari trapezio rectangulo MN ED insequenta, figurae opport - . . nitate usi,demonstrabamus. Quare cum rectangulum sub E D & M D,N E tanquam' vita, quae duplae sunt rectς T V, rectanguli E DTV duplum d sit erit quoque rectangulum sub ED, dc MD, NE tanquam una, duplum plani MN ED. Quia alitem tectae MD, NE, ostensae sunt duplet rectarum D H, EI, rectangultim sub ED, MMD, NE simul sumptis duplum etiam est rectanguli sub ED. cu DH EI simul sumptis. planum igitur MNED aeqitatur rectangulo sub D E siue A D N Q H,E Isimul sumptis. pari argumento ostendam planum EN OF , aeqriari rectangulo sub EF id est AD, de ED FK; planum ver4FO , PG rectangulo sui, FG, hoc est AD & FΚ, GL, triangulum denique GPC ostendam tectangulosib GC,id est AD,&GL aequarLut ostendi supra triangulum ADM aequata rectangulo A D H. Omnia isti ut plana ungulae inscripta simul lunapta aequami r omnibus rectangulis ilia lis simul sumptis, hoc est per Corollarium praecedentis rectangulo quos rectis C Α, AG continetur. Quod erat demonstraudum.