장음표시 사용
491쪽
vN 'CvLA CYLINDRIC A. cur Irium.
rectam abscissa sit pars superficiei cylindricae, quae ungula cingit GPN A ia A, & arcui GE A subtendantur aece s rectae quotcunque,sccundum quas plana inscribantur ungularis superficiei in dricq shinento: eodem discursu, quo latra usi sumus, demonstrabimus per precedentem omnia plana inseripta simul senipta aequari rectangulo quod continetur rectis A I. CD, subtendente arcum DF C qui una cum arcu A D complut semicirculum . .
DAta se ungula A P B, a cylindro recto decussata, cuius D Faltitudo sit
ae qualis diametro A B,& costituamur latera cuiuscunque polygoni, circulum ambientia, scilicet BI,'l HG, GDNι sic ut primum B l tangat Extremitatem diametri AB de reliqua in contactu bisecentur,& per haec latera, plana constituantur axi parallela 'tagulam tangentia secundum rectas HT, DF, quae producant communes sectiones cum basi ungula Aelliptica rectas BR,R Q, P Q: secent vero sese mutuo secundum rectas
IR, Gin facta autem N D aequali ipsi FP iungatur NP, ducatur demum N O normalis ad A B. .
Dico omnia plana ungulam ambientia, dempto triangulo Bl R, aequari rectan
gulo, quod fit stib lineis A B, B O. Demonstratio.
F X punctis II 8t G, ducantur GL,HK S o A thogonaliter ad AB: dc ponatur per Τ parallela occurrens rectis G Qd R in V de X. Quoniam ex liypothesi , cylindrus, a quo abscisia est Vnsula, rcctus est, pare e TH rectam esse plano baseos AD R. ergo per definit s. undecimi T Hnormalis eis ad GI. adeoque te V G,X I ad GIsunt rectaei recrata gulum igitur est GV XI, aequale ei, quod sit b TH, GI continctur. Atqui rectangulum G V X I aequale est plano G QR l. cum enim I G bisecetii rara H, ex conis struct.etiam X v,B O bisectae erunt, adeoque triangula B TX V TQ aequalia; si igitur com- muni trapeZio IBTU G addamur triangula' V T Q. B T X, erunt planum IR RG , de re- ctangulum IX U G aequalia; ergo dc rectanguia T H,G I plano G. R I aeqitale est. Deinde iapraecedenti demonstrarum cst re tam Τ H du- a 37.bula . plana esse rectae HK. Cum igitur elii Mem duia
pia sit II S, pares erunt T ll, H 4. Rectangulum igitur S HGΙ aequatur rectangulo T II GI, hoc est, ut lain ostendi, plano G QR I. Atqui rectangulum S HGΙ aequatur rectangulo sub AB, B L. planum igitur G QII de rectanguIum sub ΑΒ, B L, aequalia sunt. Simili plane discursu ostendam planum G y N aequari rectangulos ibAB. LO; plana igitur ungulam ambientia simul sumpta, dempto trianingulo B R I aequamur rectangulo Α B O. QAbd erat demonstrandum.
492쪽
SInr AB, C D contingentes circulum Α E n terminis diametri AC, qui cuculus sis est ungulat AE FC cylindro recto decussatae , habentis altitudinem EF diametro AC parem: posito deinde quocunque polygono BG, GH,
i H D circumdante circulum AEC,sic uti eius latera in contactu bisecentur,pl
nisi, postris per lineas polygoni axi p
rallelis, quae concurrentia cum plano el-Iptico ungulari AF C sorment IK, KL, , communes intersectiones, secent vero sese mutuo secundum rectas DI,
ΗΚ, GL, B M. Dico ha dras omnes D IKH, HKLG, GLMB, ungulam ambientes simul sumptas exclusis triangulis A s M,C DI uari quadrato A C. o Demonstratio.
Si enim in praecedenti demonstratum re--Mctagulo A CN aequari tecti lineium D HKL Ibidem ostensum est rectanguIO AC, N o aequari rectilineum GHKL, & rectilineo BGLM aequari rectangulum super A C & ΑΟ: agitur cum rectangulis ACNC, AC NO, ACAO aequetur quadratum AC; etiam omnibus figuris rectilineis D H ΚΙ , GHKL,GBLM simul sumptis aequatur quadratum A C. Quod erat demotistrandum.
PROPOsITIO XLIV. DAtae sint binae ungulae a cylindris rectis decussatae, quarum altitudi
nes, sint basium circularium diametris pares,& ipsae etiam bases circulares aequales sint. Circa virumque autem circulum polygona describantur, sed inaequalium numero laterum, circa unum circulum exempli gratia polygonum decem laterum,circa alterum vero laterum mille: ponantur insuper plana per latera polygonorum qu ς axibus aequi distent, concurrentia cum planis ellipticis ungulas terminantibus. Dico omnia plana unam ungulam ambientia simul sumpta, aequalia esse planis simul sumptis alteram circumdantibus, si triangularia vitamque omittantur.
ι ι- UX demonstratis enim, constat congeriem planorum singulas ungulas ambieri. utrum,demptis triangulis aequalem esse quadrato circularis diametri quae in basi est ungulet, ex hypothesi autem ungularum base , adeoque & diametri batam aequales
493쪽
sunt Igitur manifestum est plana simul omnia demptis trianguli unam ungulam am hientia , aeqtialia esse plane simul sumptis quae alteram ambiunt, dea piis item uiangulis. Quod erat dcmomitandum.
PROPOSITIO XLV. 'SVpergetes cylindrica cuiusuis ungulet a cylindro recto deculatae, cuius altitudo par est diametro circuli qui basis est ungulet , aequalia est
quadrato diametri. Demonstratio. . Sit ungula ABCD, cuius altitudo BC, citaequalis AD diametro baseos cylindri A recti a quo decussata est. Dico cylindricam superficiem ungulae, quadrato diametri AD aequalem esse. Si negas sit primo, si fieri potest, quadratum iAD maius cylindrica superficie quς ungu-
lam amhit:excessus autem sit planum E. Fiat ergo rectangulum D AF aequale plano E: ec erigatur FI normaliter ad diametrum ΑD. Dcinde polygonum alIquod tegulare inscribariir circulo A B D , cuius ultimum latus AH minus sit subtensiis reus AI, de demittatur H G normalis ad A D diametru. Quia quadratum AD, secundi , superat rectangulum ADF rectangulo D AF id est ex const&E plano , quo eodem excessu quadratum AD ponitur lii perare superficiem cylindricam ungulae, erit rectangulu ADR' cylindric: superficiei ungulς aequale. ergo rectangulum ADG maius est cylindrica
sit perficie quς ungulam terminat. Ergo P
ctan gui A D H cadem multo est maius.1Ed tectangulo ADH aequalia sunt planatimnia simul silmpta quae per latera polyg ni inscripti ducentur axi parallela terminata . in elliptica basivngularis corporis. Igitur etiam illa plana maiora sitnt lindrica super ficie quae ungulam ambit, quod fieri nequie,cum ungula plana sint minoris 3e latitii sinis longitiidinis quam singulς partes superficiei cylindricae quas decussarunt ab ipsa ungulari superficie. Non igitur maius est quadratum A D cylindri superficie
Sit deinde, ii fieri potest, quadratum AD minus eadem superficie cylindriea
ambiente ungulam,& defectus sit planum E. Erit ergo quadiatiim AD cum qua Λ-titate N quacunque, quae nunc riit quam E, adhuc minus ungulati superficie quae ungula in ambit. Circumlcribatur ibitur aliquod polygonum circa circulum ABDtot laterum ut ductis per latera pIanis ungulam tangentibus, triangula remanean LA OK, DL M, quae simul sumpta aequalia sint aut minora quantitate Ni riuod alia quando futurum est, cum multiplicatis in infinitum polygoni conscripti lateribus triangulorum Α OK, DLM tum bases A DL, tum altitudines OK, L M,fiant i mdem dato minoraὶ 5e plana ponamur secundum latera huius poIygoni quaeaxi cylindisco aequidistent. Igitur quadratum AD simul cum triangulis AO DLMmanus est cylindrica superficie quς ungulam ambit. Atqui plana ungulam ambientia demptis triangulis,aequamur quadrato AD per praecedentem. ergo etiam illa una cum triangulis minora sunt quam superficies cylindri. quae ungulam cingit,quod ab -
494쪽
surdum est: nam omnia illa plana simul cum triangulis lateralibus cylinJricam vngulae supelficiem includunt. Quadratum igitur AD non minus cylindrica ungulae ita perficie; quare cum neque maius este poste, supra ostenderimus, necesse est vi sit aequale.Quod erat demonstrandum. ι
DAta sit ungula, qualis in praecedenti,ad cuius diametrum A D ducta . normali GH quacunque,ex puncto H ponatur insuperficie cylindrica ungulae recta H T. Dico cylindricae superficiei ungulam cingentis partem H TCRDa qualem este rectangulo AD G. '
CI negas, erit rectangulum ADG, vel maius vel minus supersicie HΤCRD. sit primo maius,&excessiis sit planum E. Arcui H BD inscribe figuram aequitate ram tot, adeoque tam paruis Constantem lateribus, Ut recta A R siab tendens arcum R B Α, qui cum arcu D R complet semicirculum, deficiat a diametro A D , quantitate minori data, adeoque virectangulum sub AR & DG, saperetur a rectangulosiab A D ZOD G, plano minori quam Ε, quae omnia ex elementis factu facillima. Quoniam ergo rectangulum ADG stiperat rectangulum AR,D G plano minoti quam Ε, quom perare ponitur superficiem H TCRD, erit quoque rectangulum 'ARDG maius sit perficie H TCRD. Atqui ractangulo ARDG aequantur plana quae secundum latera figurae aequi laterae inscribuntur superficiei H TCRD. ergo & plana illa inscripta maiora sunt superficie I TCRD , cui inscripta sunt quod est absurdum. Non igitur rectangulu ADG,est maius superficie kIT C MD. Ponatur deinde re tangaeum ADG minus esse silpςrficie H TC R D, defectui. autem sit planum E. circumscribe arcui HBD figuram aequilateram tot laterum, ut ductis pet illa planis ad cylindri axem parallelis ungulam tangentibus, postrema planum versus D, quod est triangulare, minus sit plano E. Quod necessario fa- . turum aliquando, est manifestum. igitur rectangulum ADG una cum plano illo triangulari,adhuc minus erit superficie H Τ C R D.sed plura sit perficiem H TCRDambientia,dempto triangulo,h aequantur rectangulo ADG. ergo etiam plana ambientia una cum triangulo minora sunt superficie HΤCRD, quam cingunt. quod est absurdum. Non igitur rectangulum ADG minus est superficie NT CR sed neque maius esse ostensum est supra. necesse igitur est ut cidem sit aequalis.Quod
DAta sit ungula, qualis supra, ductis deinde lineis MI, ON ad dia
metrum A D rectis, per has ponantur plana ad axem cylindri parallela, quae inungulae supelficie essiciant rectas I Κ, NI. . Dico segmentum superficiei cylindricet ungula ambientis IB N L C ΚΙ, aequale esse rectangulo quod rectis AD, M o continetur.
495쪽
. VNGVLA CYLINDRI CADemonstratio.
'Emonstratum est segmen- superficiei ungularis 1N D L KI aequari rectangulo AD M. Demonstratu est . item segmeiatum ungularis si petii-eiei N L D aequari rectangulo ADO. quare si ab aequalibus, si perficie nimirum IN DLKI, ω rectangulo ADM, tollamue aequalia , nimirum superficies NLD,& rectangulum ADO,
quae re manent sunt ae lualia. Q-
perficies nempe IA N L C KI, dc rectangulum A D M o. Ita id
PROPOSITIO X L V III. O ini plana ungulam
ambientia,& ad ellipti- eam ungulae basim terminata demptis triangulis lateralibus, perficiei cylindric quae ungulam cingit, aequalia sunt simul sumpta. Demonstratio. OMnia enim illa plana simulsu mpta, demptis triangulis, aequantur per I. linius quadrato diametri A D. Atqui eidem quadrato aequatur superficies cylindrica quae ungulam cingit. Ergo omnia plana ungulam ambieniatia simul sumpta, demptis trian gulis quantur superficiei cylindricet quae cingit ungulam. laoderat demonstrandum.
cor tamm,SImiliter demonstrabimusomnia plano dempto, triangulo. latetali ungulae tegmentum
H Τ C R D ambientia, aeqhalia esse superfletei H T C R D: tam
enim plana ambientia dempto triangulo, quam si perficies. a quantur rectangulo AD
496쪽
DAta sit ungula, qualis supra, quam ad extremitatem diametri contingat planum, triangulare D C E , iecans planum elliptivum A F N C secundum rectam C E, contingat autem eandem ungulam Salterum planum DENO secudum rectam IK, secans planum DC Erecha D E, planum vero ellipticum A F N C recta H Κ E. Ponatur dentia que per rectam aliquam LG normalem diametro, planum axi aequidis stans, producens in superficie ungulari rectam MN, secans vero planum ΟDEN secundum rectam G H. Dico planum contingens ODEN, aequale esse superficiei ungulari cylindricae MCEN.D onstratio.
DEmonstratum est in 1.huius,contingens planum ODEN esse aequale rectangulo quod lineis A CλC continetur.Rurium per .huius superficies cylindrica MCEN, quς segmentum ungulare cingit, aequatur rectangulo sub ijsidem lineis A C, L C comprelienis. Ergo planum continsens ODEN superficiei cylindricae. MCEN ungulare segmentum ambienti aequae est. Quod erat demonstraudum.
DAta sit ungula, qualis supra, quam contiogat planum aliquod se
497쪽
Dico planum contingens EF HG aeci uale esse supernciei
ungulari cylindrieae I B N L C lc.
Dem Bratio. DEmonstrarum est in 2. huius planum contingens EF HG aequale esse rectang ilo quod lineis AD,MO continetur. Atqui demonstratum etiam est propositione 47. superfici a I BN LCK aequalein esse eidem re ctangulo sub lineis AD, MO comprehensio. ergo planum contingens
TNgularem sit perficiem cy-V lindricam secundum datam
Construct o o demonstratio. CIt ungularis superficies ABCD diuidenda secundum rationem datam I ad K. fiat ut I ad K, ita AD ad DF, vel ita AD ad F E, do secundum FG. EB perpendiculares ad dia- f ,. 'metrum, ducantur plana axi cylindri parallela exilibentia communes sectiones in superficie cylindri ungulari rectas BCG H. Dico superficiem ungi ilς A B C D ad partem G H D, vel ad partem B G HC eandem habere propor- G Itionem quam habet I ad K. Demonstratum Ieltenim a rectangulo ADF aequalem esse un- Z iguit superficiem GH D. Demonstratum quo- et ' que est rectangulo A D , EF aequalem esse lsuperficiem BGH C. Demonstratum quoque eslς toti ungulari sit perficiei aequale esse qua- 'dratum A D. Cὐm igitur i. sexti sit ut AD ad DF, vel EF, ita quadratum AD ad rectansulum ADF, vel A D, FE, erit quoque ut AD ad DF, vel Frinoc estve I ad K, ita superficies ungularis tota ad partem G H D vel GH C B. prqstitimus igitur quod
PROPOSITIO LII. SEcetur ungula A B C, cuius altitudo par sit diametro basis planis quot
cunque axi aequi distantibus& rei his ad diametrum D C. Dico superficies ungulares planis illis interceptas eandem inter se sertiri rationem quam partes diametri D C. l by Corale
498쪽
Γ Emonstratum enim est, tectangulum sub DC δ:- DE, aequale esse superia iei ungulari ABD. Dc-
monstratum item est rectangulum sub D C dc EF, aequari superficiei AIM B. ostensum b quoque est rectangulum DC , FG aequari superficiei IMNK, & rectangulis DC,GH aequale existere sit perficiei KN OL. rectangulum denique super D C M H C, aequale cile superficiei CL O. patet igitur totam ungulae superficiem iiiii cani esse secundi im partes diametri D C, cxim quadratum DC, sit diuisum in rectangilla quae e sortiuntur eandem rationem quam partes lilaeae D C.
CΥlindrus rectus ABDE, cuius altitudo par
si ./sit diametro basis AD, secetur per AD plano exhibente sectionem ungularem A B C D. Dico superficiem ungularem ad cylindricam, eam obtinere rationem, quam diameter circuli ad perimetrum.
CVperfietes cylindri recti AE aeqtialis est rectangulo contento sub BC, hoe est DA, de sub toto perimetro circuli ABD: quod eodem fere discursu probabitur. quo demonstrauito rchimedes triangulum cuius altitudo est semidiameter, basis ve ro, circumferentia, aequari circulo. sed quadratum D A est ad rectangillum conten tum sub DA, & perimetro circuli, ut D A cst ad perimetrum circuli. Ergo I: quadratum D A, lioc est per ψs. curua superficies ungulae ACU, est ad cylindri su perficiem ut diameter D A est ad perimetrum circuli ABD. Quod erat demon
Ngula A B C D cuius altitudo B C, secetur plano per A D S: quod
libet punctum E in recta BC. Dico
499쪽
vNGVLA CYLINDRIC A. 997 Dico ungulare perficiem ABCD ad stupet sciem A BED eandem habere rationem cum recta B C ad B E. DemonstraIio.
D iam tur qlio tuis KB, FG normales ad A D, per quas fiant sectiones axi parallelae ΚBC, FGH occurrentes plano DEA s e cundu in rectas ΚE, FI,&plano DCA enn dii in rectas FH , FH , KC. erunt ergo omnia triangula CBΚ, HGF, aequiangula ε inter te. Similiter omnia triangula, E BK, IGF aequi angula erunt. ergo
CB, HG, HG, sunt rectis ΒΚ, GF, GF proporticinales: Ad E B, I G, IG. nt ijsdem B K, G F, G F proportionales. ergo C B,H G, H G sunt proportionales ipsis E B , I G, I G:crgo singula plana quae subtendunt superficies BCII G, GH HG proportionalia sunt planis singulis, qliae subtendunt superficies B EI G, GII G. Ergo I 2.quinti, ut planum subtendens superficiem B C H G ad planum subtendens sit perficiem BEI G, hoe est ut BC ad BE, sic omnia plana simul sumptaqliae subtenduntur siue inscribuntur sit perficiei ungulari BCHA ad omnia plana simul sumpta quae subtendi imir seu inscribuntur superficiei ungulari BEI A. Cum igitur pati argumento possimus ostendere aggregata planorum utrique superficiei ungulari iuxta quamcunque multiplicationem inscriptoriam semper inter se eandem seruare rationem quam BC habet ad BE, planaque illa deficiant tandem a super ficiebus ungularibus quantitate quacunque data minori: Manifestum est ipsas quoque ungulares superficies candem inter se rationem habere, quam B Chabet ad BE. Miam consequentiam secundum rigorem Geometricum facile probabit Lecto e Geometra, si adhibeat eam demonstrandi formam qua varias locis huius operis usi sumus, vel discurius ab Archimede se Euclide pasti in usurpatos.
PROPOSITIO LV.CViuscunque ungulae superficies, siue altitudinem parem habeat diametro baseos siue non, aequalis est rectangulo, quod diametro baseos AEὶ diapsilus ungulae altitudine BD continetur.
500쪽
Cumatur BC aeotialis diametro AE, & plaι - nopet puneta E, A C dueto ab eodem cylindro declinetur ungula EBC A. Cum ostensium a sit superficiem AB CE ad superficiem ABDE, eam rationem continerequς est inter lineas BC & BD; etiam interquadratum AEquod per A s. huius par est superficiei A BCE .& superficiem ABDE, intercedet ratio BC ad BD, hoe est ex hypothesi A E ad BD. sed vi AE ad BD, sic est quadratum A E ad reiactangulum rectis AE A BD, comprehensiim: ergo quadratum ΑΕ, ad superficiem EBD A derectangulum AE BD eandem habet ratio. nem. igitur rectangulum AE BD, aequale est superficiei ungulari ABDA. moderat demonstrandum. orollamium. DAri argumento probabimus, si unguIa qtiae- uis planis secetur secundum rectas BR,GF. diamet, normales , superficiem ungularemGO A aequalem esse rectangulo quod diametri baseos parte F A, & ungulae altitudine B Dcontinetur, item superficiem BD OG aequari
Posita enim rursus ungula ACE, cuius altitudo BC par sit diametro A E. Erit superficies GP A aequalis rectangulo h F AE. ergo rectangulum F AE est ad superficiem GOA , ut superficies GPA ad superficiem GOA , hoc est ut Cnad D B, per sq. hoc est. ex constr. vi EA ad BD, hoc est ut ipsum riirsiis rectan gulum FA, AE ad rectangulum FA, BD. cum igitur rectangulum F Α. ΑΕ ad Q- perficiem Go A. eandem habeat rationem quam ad rectangulam FΑ, BD, erit hoc superficiei GOA aequale. Eadem est secundi demonstratio.
do DΚ par diametro baseos A D, ab hoc abscissa sit ungula A B C D eiusdem altitudinis; ducta deinde recta FE quae sit perpendiculari ad AD, secundum FE nat sectio axi parallela
quae communem intersectionem cum superficie
cylindri exhibeat lineam L G H. Dieo superficiem ungulae E G D ad superficiem E HKD, eam habere proportionem quae est inter rectam F D & E D curuam. Demonnratio.
O Mendimus η2persciet ungulari E GD aequari rectangulum ADF, sive F DK: est autem rectangulum