장음표시 사용
501쪽
gultim PDK ad superficiem EDΚΗ, ut recta FD est ad curvam DE. igitur etiam pars superficiei ungularis E GD ad cylindlicam ED RH est ut FD tecta ad n '
curvam ED. Quod fuit demonstrandum, viscursis
D Atus sit cylindrus N L altitudinem habens AC parem diametro . Ponantur in plano per axem dueto rectangula BAC, BEG aequalia inter se sitq; ungula ALH secta plano BID, quod sit ad AN diame
trum normaliter constitutum & axi aequidistans. Pacta deinde ΗΚ, aequali B E per A N& K punctum, fiat sectio ungularis AF K. Dico AtD superficiem ungularem aequalem esse ungulari superficieii FKH. Demonstratio.
G st enim superficies ungularis III FK ad Glii perficiem HI D L, ut HK ad , HL, sed demonstratum est D I HL superficiem aequalem esse rectangulo super B N, Se diametro baseos, hoc est rcctangulo N BO,igitur ut est H K ad II L, ita est HI F Κ vngularis superficies ad rectangulum N B o. sed vi HK ad HL, hoc est, quia B E est ex hypothesi aequalis ΗΚ, ut BE ad I L. siue B O, ita quoque rectangulum N BE ad N BO rectat gu lum. Igitur rectangulum N BE ad N BO, rectangulum est ut superficies ungularis HI FK ad rectangulum N BO Rectangulo igitur N BE aequalis .est sit perficies ungularis HIF K: est autem ex suppositione rectangulum NE aequale B AC, rectangulo. Igitur H IF Κ ungularis superficies rectangulo BAC, aequalis emat qui ostensum est a rectangulo sub BΑ &diametro, hoc est ex hypothesi rectangulo B AC, aequalem esse superficiem ungularem AID. est itaque superficies AID ungularis aequalis HI FK superficiei. Quod fuit demonstrandum.
PROΡOSITIO LVIII. DAta sit ungula A B C D cuius altitudo B C par sit diametro A D,&
arcus B E in semicirculo A B D. Oporteat super arcu B E se perficiem exhibere ungularem quae sit in qualis ungulari superficiei datae FO D.
502쪽
Flant EI, PM normales ad diametrutti AD,&ex cylindri a xc abscinde tecta rei NΚ, ut rectangulum LN Iarctuale sit tecta gulo ADM: ducta deinde ΚΗ quae atquia distet NB .fiat sectio per A I lineam & M punctum ι8t demittatur E G quae aequi distet B H. Dico sit perficiem HGEB aequalem esse superficiei FOD. Est enim superficiem CBE aequasis rectangulo ADNI, hoc est NI BC, sed ut si perficies EB C ad EB H. ita est B C linea b ad lineam B H, hoc est rectangulum B C, N I ad B H, NI rectangulum. Igitur etiam rectangulum B H, NI, hoe est rectangulum Κ N, NI aequale est sil- perficiei ungulari EB H. sed rectangulum ΑDM rectangulo Κ NI aequale cst ex conia structione. Igitur rectangulum A D M aequale est iuperficiei EB H. Aequi etiam superficies ungularis D FO aequalis est tectangulo ς AD M.Igitur etiam stiperficies DEO vngulari superficiei EB H seper arcu B E constituta est aequalis. Praestitimus ergo quod optabatur.
PROPOSITIO LIX. SInt duae ungulae CBQ, L E Ο,quarum altitudines diametris bisiuin
sint pares. secentur autem planis axi parallelis perpendiculariter ad diametros, scilicet planis L AB, MPΚ, IDE, KFG. Dico superficies his planis contentas, habere rationem compositam ex ratione diametri C Q ad L O diametrum, & ex ratione M L ad K I. .
Emonstratum est 4 sit perficiem ungularem ABKP esse rectangulo CQLMi sequalema,stensum quoque est rectangulo LOIK aequati superficiem D EG F. seu Diuitigma l)ν Corale
503쪽
sed rectangulum C QNIL ad rectangulum LOIΚ, habet rationem compositam χχ C inad LO, & ex ratione ML ad IN. Igitur etiam superficies ungulares it iis rectangulis aequales ex iisdem rationibus sunt compositae. Quod erat demonstrandum.
P R O P O S I T I O L X. VNgula,cuius altitudo par diametro baseos, secetur plano FGH L quod axi aequi distet
directae AN. exhibens communem intersectionem cum basi elliptica A H C rectam Hl, & per Hi planum ponatur HlΚ quod basi ABN κ- qui distet. Dico eodem excessu superate superficiem cylindricam B G H K superficiem rectaguli F se requo superficies rectanguli l HL excedit ungula rem HKC. Demonstratio.
Ostensium est . si pefficiem ungularem BGHC aequalem esse rectangulo Α NM D . hoc est quoniam altitudo ungulae ponitur par diametro AN, rectangulo F G L. Igitur Arithmetice proportionales sunt superficies BG HK, rectangulum FGH,reliangulum IHI.,& superficies HKC. Quod erat demonstiandum.
CVbtendant AB , BC aequales ar- O eu, in basi ungulari ΑΒ L, & se- ocundum rectas A B , B C ducant plana A B E, B E F C, quarum communes intersectiones cum basi elliuptica A E D L sint rectς Α E, E F; M secundum has lineas plana ponantur quae recta sint ad plana A B E,B E F Cexhibentia communes sectiones cum
superficie ungulari cylindrica arcus ANE, EP F. Dico superficies ungulares A Ο Ε B, B E D F C proportionales diuisas esse, hoc est eandem rationem esse supersi- et ei AN EB ad BE FC superficiem, qualis est superficiei AN EOA ad superficiem EPF DE.
504쪽
Demonstratio. Fiant plana KGD, Κ ΗΟ liuidentiareiactas BC , AB bifariam, & exhibemia lineas GD, HO in stiperficie cylindrica, rectas vero S in planis, C B EF, ΑΒ E. Deinde ex Q M M, lineae ducantur QP, MN, quae aequi distent rectis KO, Κ H,& secundum lineam NM, planum ponatur basi A GL ungulari aequidistans ex liibens in superficie cylindrica arcu T N U. Denique ponatur in plano ABE per plinctum M tecta V M T parallela A B, & fiat sectio per UT, & baseos centrum Κ pro ducens ungulam, ex qua abscindetur plano
ABΤNU segmetuit ungillare Α U O T B: quia ΚGest ad KS, vi K H ad KR,&ve Κ G ad K S, ita GD est ad S Oth: x Hest ad KR, sie HO est ad RM, erit quoque ut GD ad S in hoc est GP,sic HOad RM, hoe est H N. sed quia arcus AB, BC ςquales sue, ut G P ad H ita est superficies cylindrica BE PF C ad superficie A VNTR& ut GD ad Ho, ira est superficies virgulatis BED F C ad ungulare . A UOT B. Igitur ut sit perficies B EP FC ad BEDFC, ita superfietes A VNΤB ad superfletem A U O TB , 8c d sequenter vi est se perficies B EPF C ad residuam EΡFDE, ita superficies A UNT B ad residuam VNT OV: est autem tota superficies AVOTB aequalis superficiei AQEB. desuperficies A UNX aequalis superficiei ANEB.Igitur ut BE PF C ad refiduam EPFDE, ita superseies A NE B id residuam AN EOA. Quod Mis demonstran
PROPOSITIO LXII. DAtasitvngula EFKa cylindro recto decussata altitudinem AF ae
qualem habens diametro basis KE , circumdent autem ungulam plana tangentia ED I, ID CH, &c. terminata in plano elliptico E I FK producto, erunt plana illa omnia quadrilatera, praeter duo plana contingentia terminos diametri E & Κ, quae sunt triangula. Dico corpus includens ungulam contentum planis ambientibus , de
polygonis duobus, semicircaeo Ε Α Κ de semiellipsi E I FΚ conscriptis, mulctatum duabus pyramidibus,quarum bases sunt triangula lateralis, altitudo semidiameter L Κ, aequale esse pyramidi qia ς basim habet quadratum diametri ΚΕ,&altitudinem LN semidiametrum.
505쪽
AD piinctum Α in quo BA contingit peripheriam
balis KAE, ducatur ex centro recta L A. Quoniam ev hypothesi rectus est cilindrus, F Α cylindri latus ad basilia Κ A E rectum erit. ergo L A ad F Α, normalis est. Est vero L A a etiam normalis ad B Α. Ergo LA ad planum tangens BGFA recta bes . ergo LAsemidiameter baseos est altitudo pyramidis BGFAL. Eodem modo demonstrabitur semidiametrum talem coismunem esse altitudinem omnium pyramidum, quarum hales suiu plana ungulam tan entia, apex vero Cenrrum L. cum ergo pyramides aeque altae, sint ut bases, erunt omnes illae pyramides quae ibit dum ungulam includens compora ut ad pyramidem cuius basis est quadratum K E, altitudo semidiameter L Κ siue LA, ut omnia plana ambientia ungulam, ad quadratum KR sed omnia plana ambientia, demptis duobus triangulis lateralibus,ar- qtlantur e quadrato KE. Ergo omnes illae pyramides, demptis duabus lateralibus, hoc est totum corpus ungulam includens, mulctatum duabus lateralibus pyramidibus, aequatur pyramidi cuius basis est quadratum KE, altitudo semidiameter L K. Quod erat demonstra'dum.
PROPOSITIO LXIII. DAtae sipi binae ungulae aequales ac similes a cylindris rectis abscissae,
quarum altitudines sint basium diametris pares. Circumscribantur autem utrisq; corpora iuxta sensum propositionis praecedentis, sic ut eo- tum superficies diuersum planorum tangentium numerum complectantur; unius,exempli gratia,superficies contineat decemplana tangentia,sterius mille: . Dico utraque illa corpora ungulas ingludentia, mulctata pyramidibus lateralibus semper esse aequalia.
Ex pr cedenti est manifesta, singula enim aequatitur pyramidi cuius bass est Ua- dratum diametri baseos ungillae, altitudo autem semidiameter eiusdem baseos.
DAtae sint binae ungulς acylindris rectis resectae, quarum altitudines sint diametris basium aequales, bases autem sint qualescunque, siue
aequales nimirum siue inaequales. Dico corpora ungulas continentia mulctata lateralibus pyramidibus trisplicatam inter te habere rationem diametrorum bassium ungularium.
s Emonstratum enim est,a corpora illa aequari pyramidibus quet bases haserit ae- quales quadratis diametrorum ungularium basium, de altitudines semidiametris pares.Igitur quam rationem habebunt pyramides illae, eandem quoque habebune
506쪽
Corpora unpulas continentia. sed ratio pyramidum es composita ex ratione quadrati baseos ad quadratum baseos, hoc est ex duplicata ratione diam citi ad diametrum,& ex ratione semidiametri ad semidiametrum, quae eadem cst cum ratione diametu ad diametrum, ac proinde triplicata est rationis diametri ad diametrum. ergo etiam Corpora quae ungulas continent sunt in triplicata ratione diametrorum basium ungulariaim. quod demonstrare oportuita
PROPOSITIO LXV.CΥlindro parabolico recto C D A C I
G conscriptum sit prisma,curus latera H A , B C, F G, F E tangant parabolas quae sunt bases cylindri. Dico pyramidem cuius basis rectangulum sub C A, ordinatim posita & dupla altitudinis cylindri parabolici, altitudo vero axis ipse i ID, cylindro parabolico
Sumatiir AK dupla ipsius AE,quine est aIlitudo cylindri dati. Est demonstratum libro de parabola, triangulum ABC este sesquialterum Parabolet A D C. unde etiam pri ima A C B F Eest sesquialtetu cylindri parabolici ADCI G E. posito deinde plano per C A & Fr erit prisma ACBFEG triplum b pyramidis cuius basis A CB . vertex F, ac proinde sesquialterum quoque est partis reliquae, quae est pyramis basini habens C AEG, vertici E ergo pyramis AEG, F, aequatur cylindro parabolico. sed puramidis C A E G, F, altitudo est H D B, quae I l . v rix oaraboIae H D. ergo puram is CA E G, E, aequalis est pyramidi. 37 PM Casiosi,si, altitudinis HB balis vero rectangulum C AKd . ..ce cuius alta uoti Atiniti inlatis, cum sal est H D balis vero rectangillum C A K, est illa ipsa pyramis de qua agitasser-
euiu intituri ltitudo sit axis H D, basis vero rectangulum, quod sub C A ordinat'im posit & dupla altitudinis cylindri parabolici continctur. Manifesta igitur est veritas Theorematis.
PROΡOSITIO LXV I. SItvnstula K HI a cylindro recto abscissa, altitudinem habens par I
diametro basis KI, quim cingant plana tangentia I A D, B ACD, Dico corpus ungulam includens, quod planis tangentibus 8c duobus
podonis, emicirculum K MI, 3e semiellipsim i H Κ
einc, ni uictatum duabus lateralibus pyramidibus hoc est solidum G L AD FH, aequale esse ungulae.
507쪽
vNGULA CYLINDRIC A. Demonstratio.
Icto ERecta ex centro LM normali ad ΚΙ diametrum, inscribatui semicirculo qui est basis ungulat parabola ΚMI axem habens LM. Demonstratum est . cylindro a parabolico habenti basim parabolam ΚMI & altitudinem semidiametri LM aequari ungulam super basi semicirculari IN ΜΚ, & altitudine diametri K I. fletiam praecederiti propositione ostensum est eidem cylindro parabolico aequari pyramidε cuius altitudo sit LM , basis vero rectangulum quod sub K1 de dupla altitudinis cylindri parabolici, sith dupla nempe ipsius L M, hoc est rursum sub KI , contin turi ergo pyramis, Cuius altitudo est semidiameter L Μ, basis vero quadratum diametri KI, aequatur cylindro parabolico, hoc est ut iam ostendi, aequatur ungulaesed . etiam corpus LGHUC DALF aequatur pyramidi cuius basis sit aequalis qaadrato bεL.MMARI At altitudo sit L M. ergo corpus LGH FCDAL aequale est ungulari magnitudini.Quod fuit demonstrandum. .
Comparatio unguia cysindrica cum Jhana salijs corporibus. 'HAc parte maximὸ intendimus symboligationes ungulae cylindritae .cum sphaera notas reddere, tanta enim est similitudo inter ungulam& sphaera, ut omnes sphaerae proprietates, Vngulae communes sint, quemadmodum ex ijsquς deinceps demonstraturi sumus cognosci poterit.
PROPOSITIO LXV M. DAta sit ungula G D M a cylindro recto abscissa , altitudinem parem
habens diametro baseos C M , ex haeresectum sit B A DC segmentum plano per axem cylindri transeunte, cuius communis sectio cum basis elliptica sit tecta B D. Circumscribatur autem polygoniam CFEG A arcui A E C,&secundum atera polygothi fiant plana axi parallela quae exhibeant in plano elliptico comunes sectiones C H, H Κ, Κ D, M ponatur AL contingenti CF, aequidistans siue normalis diametroc M.
508쪽
v NGVLΑ - CYLINDRIC A. Dico corpus C F Η Κ D A B, maius esse pyramide quae fit sub basii rectangula M C L in altitudine B C. Demonstratio.
orpus C FHKDAB est aequale py- ramidi sub basi quae sit aeqtialis sit perficiebus CFΗ , Κ GF Η, Κ GAD & sub altitudine B C, ut patet ex discursis huius sed superficies C F H,K G F H,K G A Drnaiores sunt rectangulo M CI., ut paret ex 42. huius. ergo pyramis, cuius balis rectaniagulum M CL , altitudo vero BC, minor est pyramide, cuius basis sunt plana praedicta de altitudo BC, adeoque etiam minor
uta sit ungula qualis in praecedenti AGI,&segmentum eodem modo deeussatum E D H F A, si inscribatur polygonum A B C D regu-
' lare qualecunque circulari segmento baseos AED , & secundum latera polygoni plana popantur axi parallela quarum communes intersectiones cum plano ellipticosnt AF, FG, GH, ponaturque DK normalis ad A I Dico corpus inseriptum ungulae minus esse pyramide quae basim habeat aequalem rectangulo IA K, altitudinem vero AE, semidiametrum.
Vcatur enim EI, quaesit normalis ad ali-- quod latυs polygoni, verbi gratia, B C, curectus ex hypo ille si cylinsus sit, facile demo- strabitur EL comune csse altitudine pyrami-du,in quas corpus inscriptum A BF G H DE, resolui potest. erit ergo pyramis cuius basis sit squalis superficiebus ABF, ECGF, CD HG, altitudo autem EL, aequale inscripto corpori ABFGH DE vngulari. iunt autem plana AB F, B C G F, CD HG aequalia, rectangt Io ex IB, AK. ergo pyramis cuius hasis est rectangulum I B, A K, altitudo EI., arquatur etiam corpori inscripto A BFG H D E. pyra mis vero sub basi rectangula I Α Κ, Si altitudine 'E habet basim maiorem quam sit rectangulum I B,A K,& habet altitudinem A Emaiorem altitudine EI.; igitur pyramis sub' bast rectangula IR, A K , dc altitudine EL, minor est pyramide cuius basis cst rectangu- . Ium I AK, altitudo autem AE. ergo Zc cor ptis ABF GH DE inscriptum ungulae minus
est pyramide habente basim rectanguIum I ΑΚ, dc altitudinem A E semidiametrum. uod erat demonstrandum. PRO
509쪽
v NGULA CYLINDRIC A. io O PROPOSITIO LXIX. DAta sit ungula A CD, a cylindro recto decussata , habens altitudi
nem diametro baseos aequalem, a qua abscissum sit segmentum G BCD, plano per axem cylindri transeunte. Expuncto autem B ducta sit BF normalis ad diametrum A D. Dico segmentum ungulare GBCD aequale esse pyramidi cuius basis est tectangulum ADF, & altitudo semidiameter G D. . Demonstratio.
DYramis enim illa nec maior est nec minor A segmento ungulari. sit enim, si fieri potest, primo minor , per 6. huius inscribi potest segmento ungulati G B C D solidum, quod de
ficiat a segmento quantitate minori da a , a
deoque etiam minori quam pyramis ponatur deficere a sesmento GBCD. selidum igitur inscriptum segmento GBC D, maius erit pyramide cuius bias est rectangulum ADF, de altitudo G D. Q god repugnat praecedenti. Non igitur pyramis minor est segmento
GBCD. Ponatur deinde, si fieri potest, pyram is esse maior segmento GBCD. Cylindro cuius pars est ungula, conscribatur solidum seperans cylindrum quantitate data minori, quod praestat Euclid yrop.ro. ia. erit pars selidi cylindro conscripti. etiam conseripis ungulae. cuius excessus supra ungulam erit pars excessus quo alidum cylindro eonscriptum superat cylindrum. Quare cum excessiis solidi conscripti olindro silpra cylindrum se dato minor, erit a fortiori exeessus solidivngular consciipti supra ungulam dato minor, ac proinde etiam minor excessu quo pyramis ponitur siperare ungulam. Ergo s.lidum unguIae conscriptum minus eis pyramide. Quod repugnat 47.huius.Non igitur pyramis maior est ungula. iniare cum neque minorem esse probatum sit su- . pra, aequalis erit. Quod iuit demonstrandum.
I Rima hla elucet inter sphaeram M ungulam similitudo. Demonstrauit Archia medes propo 33. libri primi de sphaera εc cylind. segmento sphaerae aequalem ense conum cuius basis est aequalis sit perficiei segmenti, astitudo lemidiameter sphς-tae.' similiter & nos iam demonstrauimus segmentum decuisatum ab ungula plano per cylindri axem transeunte aequale esse pyramidi cuius basis est rectangulum ADF, quod per ηε. huius aequatur ruperficiei ungularis segmenti DC B in altitudo autem aequalis semidiametro G D.
EX praecedenti Theoremate aliter dena onstrabirnus proposition. 1 . cuius haec est assertio. Omnis ungula acylindro recto abscissa, altitu
dinem habens parem diametro baseos ADὶ aequatur pyramidi cuius basis est quadratum diametri A D altitudo autem semidiameter G D.
510쪽
Demonstratio Wgula A CD plano per axem Myndii
transeunte, diuidatur in duo segmenta
pedicularis per prςced .erum lcgmeta illa qualia duabus pyramidi hus, quai u bases sunt duo rectangula A D F,D AF,altitudo autem communis GD se in idiameter. sed duet illae pyramides aequantur pyramidi cuius basis est quadratum AD , de altitudq eadem GD, cum rectangula A DF, D AI quadrato AD sine aequalia. Ergo duo regineti ea GBC D, G B C Α, hoc est tota ungula A C D,ςquatin pyramidi cuius basis est quadratum diametri AD , altitudo autem semidiameter GD. Quod erat demonstrandum.
U Cce altera ungulam inter & sphaeram analogia. Ex Archimede M Pappo habemus sphqram aequari cono cuius basis est aequalis superficiei siphqrae, altitudo autem radio sphaerae. Nos vitro demonstrauimus ungulam aequalem estσpyrami.-di, cuius basis est quadratum diametri quod propos. I.huius libri ostendimus superficiei ungulari esse aequale) altitudo autem semidiameter G D. corosiarium. X propositione colligo sequens theorema. Data sit ungula , quae supra plano per cylindri axem transeunte diuisa sit in segmenta duo G B C D, C A, ducaturq;' BF normalis ad AD. 'Dico segmentum G BCDisse V totam ungulam ut pars diametri PD ad totam diametrum AD, ad segmentum vero alterum eandem habere rationem qsam DF Mabet ad FA.
o Ectangultim ADF est ad quadrarum AD, ve PD ad AD. sed ut tectanguin lum ADF ad quadratum AD, ita pyramis. cuius basis est A DF rectansilii m& altitudo GD, est ad pyramidem cuius basis quadratum AD,altitardoaluem G D. , ι,.-o. Ergo pyramis cuius basis est rectangulu m Α D F , M altitudo G D, hoc est a segmen tum vngulare GBCD, est ad pyramidem Cuius basis est quadratum AD, Maltitu-bj.. ..t do GD, hoc estv ad totam ungulam, ut FD est ad AD, pari argumento ex ε' proώ - babimus segmenta GBCD, GBC A esse inter se ut DF est ad FA
PROPOSITIO LXXI. OMnis ungula a cylindro recto abscissa, dupla est inscriptae sibi pyra
nnidis maximie. cuius nimirum basis est E A C in triangulum maxi
mum , quod semicirsuto, qui basis est ungulae, inscribi potest; altitudo vero δε M eadem quae ungulae.