장음표시 사용
511쪽
vNGvLA CYLINDRIC A. Demonstratio.
A B eodem lindro resecetur ungula EDC, cuius altitudo AP par sit diamea tro basis E C. Maximum triangulum E AC est dimidium quadrati circulo baseos ungularis inscripti, adeoque quarta pars quad iti, quod fit super diametro ECipyramis igitur super basi triangula E A C in altitudine A D, hoc est ex hypothesi EC. quarta pars est pyramidis stiper basi quadrata EC, in eadem altitudine EC. Ergo pyramis, cuius Dasis est triangulum EAC, altitudo EC, hoe est AD, est pars dimidia pyramidis habentis pro basi quadratum E C, altitudinem ver6 B C dimidiam prioris EC, hoc es semidiametrum. Atqui haec pyramis aequalis est ungulae.ergo: '' Ut pyramis cuius basis est friangulum EAC, altitudo AD, maxima nimirum quae inscribi vpgulae EDC potest, dimidia est ungulae ac proinde ungula eius dupla es .Seg vi ungula EDC est ad pyramidem sibi inscriptam, ita ungula EMC ad sibi inseri- .ptam pyramidem. Nam de ungulae per T.huius, Se pyramideuvngulis inscriptae per elementa, sunt inter se ut altitudines AD, A M. ergo etiam ungula EMC maximet pyramidis sibi inscriptae dupla est. Quod erat demonstrandum.
ΓΤiam hic mirabiliter symbolitant siphaera Ac ungula. Quemadmodum enim ancia bis demonstratum est ungulam pyramidis maximae sibi inscriptae duplam esse, ita quoque ab Archimede demonstratum haemisphaerium FH G duplum esse coni maximi sibi inscripti.
PROPOSITIO LXXII. 'PRisma AFNO M D E cuiuis ungulae AB OD)a cylindro recto
abscissae circumscriptum, ipsius ungulae sesquialterimi est.
512쪽
vNGvLA CYLINDRIC A. Demon alio.
AB eodem cylindro reseca ungula m, quae alis titudinem aequalem habeat diametro ba se a D, eique circumscriptum sit prisma A FGH DE. Recta DE basis trianguli DEHdimidia est diametri DA, altitudo autem trianguli ΕΗ, par est diametro. triangulum igitur DEH quarta pars est quadrati DA. Ergo pyramis, cuius basis est triangulum' DEH altitu do D A seu EF quarta pars est pyramidis, cuius basis quadratum D A & altitudo D A seu EF, ac proinde dimidia est pyramidis cuius basis est quadratum D Α, altitudo semidiameter EB prioris dimidia. sed pyramis, cuius basis quadratum D Α, altitudo autem EB semi diameter, aequalis est ungulae. ergo pyramis cuius basis triangulum DEH, altitudo DAdi-b ν-midia est ungulae. sed illius pyramidis prisima A E D H GF triplum . est. Ergo ptisma
Iam veto ptisma DG est ad prisma DN, ut basis HED ad basi m MED. hoe est 1 ε vtHEad ME , hoc est ut CB ad OB. per I. autem huius etiam ungula ΑCb,est ad ungulam ΑΟDriCB ad OB.Ergo prisma DG est ad prisma DN,ve ungula AC D ad ungulam AOD, N pormutando veprisma DG est ad ungulam A C D, sic prisma D N ad ungulam Α OD. Atqui ostensum est prisima D G sesqui alterum eme ungulae ΑCD. ergo de prisima DN vngulet Ao D sesquialterum est. mod erat demonstrandum
ΗAbes Lector aliam rursium utriusque corporis similitudinem. ostendit Arehi medes cylindrum sphaerae circumscriptum sesquialterum esse sphaeret: ω nos m do demonstrauimus prisma ungulae circumscriptum sesquialterum esse unguIq.
PROPOSITIO LXXm. DAta sit quae uis cylindri recti ungula cum inuolucro suo, siue cum
prismate ipsi circumscripto. Dico tres planas superficies DEH, E HGF, FAG, cylindricae ungularis superficiei, quam includunt, esse sesquialteras. Demonseratio.
Ectangulum quod continetur sub D A diametro baseos , & altitudine unguIae BC hoc est rectangulum F E HG aequaturς superficiei ungulari. sed triangula DEH, A FG, simul sumpta, sunt dimidium rectanguli FE HG. ergo triangula D E Η, AF G dimidium sunt ungularis superficiei.Cum igitur rectangulum F E H Gostenderim superficiei ungulari esse aequale , erunt tres simul planae superficies DEH, FE HG, FAG saperficiei ungularis, quam cingunt , sesquialter . Quod erat demonstrandum. Masgia ra. bara. AB Arehimede demonstratum est superficiem cylindri sphaeram ambientis. su petaeiei sphaericae sesquialteram esse. Haec etiam sphaerae proprietas mirifice' i exprimi-
513쪽
exprimitur ab ungula, duo triangula parallela qua prassimatis sunt bases, reserunt duos parallelos circulos, qui bases sunt cylindri. planum vero F ΕΗG inter duas triangulares prismatis bases medium , repraesentat curvam cyIin dii superficiem mediami trici duas cylindri bases circulares. Quemadmodum enim ex umonstratis ab Archimede deducimus duas cylindri sphaeram ambientis basies esse dimidias superficiei ipli ricae, ita de nos ostendimus duo triangula prismatis nempe ungulam continentis balus , dimidias esse superficiei ungularis: & sicut ex eodem habemus Archimede superficiem curita in cylindri aequalem esse superficiei sphaerς, ita plane ostensiam a nobis est planum FE H G superficiei ungulari esse aequale.
p ROPOSITIO LXXIV. DAta sit cylindri recti ungi ila EDC, cuius altitudo BD parsit cin
cum se relatiae circuli EB C. '
Dico superficiem ungulae quadruplam esse circuli EB C. Demonstratio' .
sub diametro basis EC, de altitudine ungulae BD aequatur a si perficiei ungulari cylindrica . sed rectangulum E C B D , duplum est recta guli A B, B D,ac proinde quadruplum trianguli ADB. ergo superficies ungillaris E D C quadrupla est trianguli A DB sed triangulum ADB. equatur ν circulo EBC, quod eius basis sit radius AB , altitudo autem BD par circumterentiae. Ergo superficies ungillaris ADC quadrupla est cireuli EB C. Quod erat demonstrandum.
QVis rursum hic non agnoseat sphaeram inungilla Eiusdem enim circuli EB C , superficies ungillaris E D C,& superficies sphaerae cuius diameter E C, quadruplae sunt.
quaecunque, onspice figuram pro- 'positionis 4.ὶ secetur pec rectas A B, NM ad diametrum normales planis A B D, N M O, qus axi cylindrico aequi distent. Dico superficies ungulares EDB, BDOM, MOC ondem & inter se& ad totam ungulae superficiem habererat em, quam partes diametri, vel inter se vel ad totam diametrum. . Demonstratio.
C Upe Heles E D B ς aequatur rectangulo E AB D: Sc superficies B D O M,rectan- Ogulo AN BD: superficies vero MOC rectangialo'N C B D aequalis est. superficies denique tota ED C rectangulo E CBD est aequalis. sed I.6. a rectangula, ἡ
514쪽
suiu inter se, 3t ad totum rectangulum EC BD,ut partes diametri ad se mutuo vei ad totam diametrum. ergo Se segmenta superficiei ungularis, sunt inter se,uel ad ic tam sit perficiem ungulae, ut partes diametri inter se vel ad totam diametrum. QAod erat demonstrandRya.
Analogia cum sphaera. .HAbemus ex demonstratis ab Archimede se Pappo segmenta superficiei sphaerica
planis ad diametrum tectis diuisae, esse itiiter se ut partes diametri.In hac ergo etiam pulcherrima proprietate, ungula de sphaera conueniunt.
ΙΝ omnibus denique superficiem ungularem conuenire cum sphaerica
Ponamur vi gula D B C altitudinem habens diametro parem, de sphaera F G Η Ε, simque Circuli maximi sphaerae aequales ungulae basi D A C , secetur quoque sphaera quacunquh demum ratione per circulum FIH plano recto ad circulum maximum FG H. iungantur deinde E H G H. Divisa deinde D C in L , secundum rationem qua diuisa est E G in Κ, ereiactaque L A normaliter ad DC secetur ungula plano LAB. ponanturque AD, AC. Ostendit Archimedes libro de sphaera, Sc cylindro propositione trigesima prima sphaericam superia ficiem F1HE aequalem esse circulo qui radio AH describitur.nos autem a demonstrauim usvngularem superficiem ABC aequalem esse rectangulo L C D,hoc est , quadrato A C. Prae- ea Archimedes demonstrat propositione trigesima secunda eiusdem libri superficiem sphetiarieam VI HG abscissam a ualem esse citculo euius radius est H a nos quoque ostendimus superficiem ungularem ABD aequalem esse rectangulo L D C, hoc est quadrato D A. Denique ostendit Archimedes totam sphaerae superficiem aequari circulo cuius radius EG : denos demsistrauimus φ totam ungularem fugerficiem aequari quadrato DC. Igitur tota unguia
latis superficies D ABC ad suas partes in quas est diuisa sagdem habet proportio nem quam tota sphaerae superficies ad suas partes. Manifestum igitur est ungulatem superficiem a sphaerae rotunditate nullo alio di faferre nisi secundum lineas expansas de circulares: unde si uis hac ratione asserat Ariachimedem deuenisse in notitiam demonstrationum quibus in materia sphaerae M cylindri ins est,non videtur a ve aberraturus.
515쪽
FInem impono recensendis ac demonstrandis sphaerae atque ungulae analogijs, si ottendero non minus solida segmenta ungularia 3c spliς- rica quam superficierum .portiones symboli Zare. . Data sit cylindri recti ungula E FGH cuius basis EF H semicirculus, altitudo F G par diametro baseos EH, sit autem si di ra F E PH M, ex eiusdem semicirculi EFH circumuolutione circa δ iametrum siue axem E H, producta. Ducatur deinde IKN perpendicularis ad E H, perquam ductis planis I DN, K I L, rectis ad .EH, tam sphaera quam ungula in duo segmenta dirimatur. Dico segmenta ungularia EGLIΚ, ΗΚ IL, eandem inter se habere proportionem quam egmenta siphaerica IFEN, IH N. Demonstratio.
Tungant tit E I, H I, IO, N O,O L. Quoniam ex hypothesi cylindrus a quo abstin. 'ditur ungula, rectus est, erit L I recta plano EI H, adeoque per defin.3.via dcc angulus KIL rcctus. ergo KI est altitudo trianguli LIΚ. Rursiis quia GF est par diametro F, H, sive F M, erit & LI par IN, ut patet cx dc monstratis in l. huius. triangulum litur L IK dimidium est rectanguli NIK, ac proliade aequatur quadrato. IK, lioc est rectangillo HKE; pyramides ergo quarum bases sum triangulum LI K, & rectangulum H K E, altitudo autem colimunis KO, aequales si int. prae terea lcgmentum ungulare E G L I O, arquatur pyramidi cuius balis rectangulum HEK, altitudo radius O F, siue OH. quare clim pyramis, cuius basis rectangulum HEΚ, altitudo OH, ad pyramidem cuius basis rectangui. HKE altitudo K O, rationem habeat eoinpositam ex ratione altitudinis HO, ad a Ititudinem K O. Sex ratione basi rectangulae H EKαd basim rectangulam HKE, lioc est b ex ra tione HEad FI K. habebit quoque tegmentum ungulare EGLIO ad pyramidem KLIO cuius basis citariang. LIX, altitudo KO, rationem compositam ex rationibus Η Ο ad KO, M H E ad H K. Iam vero segmentum sphaericum I EN contentum sph. aerica sit perficie IEN, S Conica ION , aequatur e cono cuius basis est circulus radio I E descriptus, altitudo autem radius sphaerae HO , sed ille conus ad conum ION, rationem habet compo-δε φώ, ct sitam ex ratione altitudinis H O ad altitudinem Κο, de ex taliode basis ad basim, ' . hoc e ita ex ratione quadrati EI ad quadrat. K I, hoc cit . cx rmione rcctanguli a iis ΕΚ ad rectangulum HKE, hoc eis ex ratione HE ad HK. Ergo Sc tegmen-ς smi.
516쪽
tum sph ticimi IENO ad conum ION, rationem habet compositam ex rationibus HO ad ΚΟ , & ΗΕ ad HK. sed etiam ostendi supra segmentum ungulare E GLIO ad pyramidem Κ LIo rationem habere composita ex rationibus Η Ο. ad KO, dc HE ad ΗΚ. ergo segmentum E GLIO est ad pyramidem KLIO, ut segmentum I EN O ad conum ION. Ergo componendo segmentum E G LI Kest ad pyramidem KLIO, ut semcntum EIN K est ad conum Io R. Eodem plane discursu, si sub finem loco compositionis adhibeatur diuisio, ostendam pyramidem KLIo esse ad segmentum ungulare ΚILH, ut conus ION est ad segme- tum sphqracum IH N. Igitur ex aequalitate segmentum ungulare EGLI K est ad segmentum ungulare ΚILH , ut segmentum sphaericum I EN est ad sphaericum segmentum III N. Quod erat demonstrandum. Dχojnsii per segmentu ingulare E G LI Oesse ad segmentum ungulare o ILII, ut sphaericum segmentum IRMO, est ad segmentum sphaericum IO NH.
. . . 'DYramides, quarum bases sunt rectangula HER , ΕΗΚ; eommunis autem alti-
εν A OF, hoc est a segmenta ungularia ξGLIO, OILH, sunt inter se virectangula H ΕΚ, ΕΗΚ, hoc est , ut ΕΚ ad K H. Atqui etiam coni quorum, bases sunt circuli radiis EI, HI descripti, communis vero aItitudo semidiameter D. ybarie. O F, hoc est, segmenta sphaerica IE MO, I O ΝΗ, Rint inter se, ut quadrata EI, H I, hoc est ut rectangula HEK, E H Κ , hoc est ut E K ad K H. Ergo segmenta ungularia EG LIO, O ILΚ eandem inter se rationem habent, quam segmenta sp rica IEMO, ION M. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO LXXV HI. Cum inter pyramides ungulae inscriptas, & conos inscriptos sphaerae
non leuis itidem analogia intercedat, hanc quoque tribus sequentibus propositionibus explicabimus. . Data Di iligod by Corale
517쪽
DAta sit cylindri recti ungula BGH, habens altitudinem F G parem diametro basis & sphqrae ABCD. Cui siectae plano BNC inscribatur Isoscelius conus ABNC. diuisa vero diametto basis ungulae E H, iquae axi AD sit aequalisὶ in Κ, ut diuisus est axis AD in M, erigatur KI normalis ad EH , quam patet ipsi MCesse aequalem. fiatque sectio KIL ad cylindii axem parallela. Iuncta demum Hisquam etiam patet ipsis C A esse aequalem per HI & L, planum agatur HI L.
Archimedes propoutione decimaquarta libri de sphaera & cylindro demonstrat circvium descriptum radio qui sit medius inter MN & NA, proportionalis. siue inter MC M CA, aequalem elle toti conicae superfici ea ABNC praeter basim. Idem applieandum est ungulae, olfendendum scilicet I HL superficiem triangularem ae. qualem esse quadrato facto sub latere, quod medium sit proportionale inter rectas ΚΙ, ΙΗ, hoc est MC, C A. Iunge o F. quoniam GF est ex hypothesipat EH, erit OF dimidia FG. ergo etiam ΙΚ dimidia a lineae I L. Igitur rectangulum. Eed 1 HI, IK est triangulo HIL aequale. sed quadratum super media inter HLΙΚae- quatur rectangulo KI, I H. i d igitur ipsum quadratum est aequale HIL triangulo. Idem intellige de quavis superficie pyramidali modo explicato. - M. Porro manifestum est pyramidem l ILH ungulae EFGH inelusiam , reprae sentare conum inscriptum parti sphaericae ABNC ea ratione quam constructio postulauit.Quod liquido lector intelliget, si coni superficiem secundum longitudinem perimetri baseos ς expandi concipiat, quod K I ipsi MC, de HI ipsi CA sit aequalis. Quod si igitur IL foret circulari perimetro expanso BNC aequalis, tum
superficies IH L non solum repraesentaret conicam sit perficiem,sed illi omnino aequaIis existeret.
cγlindri recti ungula sectione Κ M N, quae recta est ad diametrum GL, axi cylindrico parallela: ungularique segmento K MLN pyr mis inscripta sit, sphaerico ucro conus ABC E. Dico triangulum M KN ad MLN, triangulum eandem habere proportionem quam AEC basis coni ABCE, ad superficiem eius dein praeter basim.
518쪽
vNGvLA CYLINDRI CRDemonstratio.
Iois agmonstrat Archime des libro primo de sphaera ς cylindro propositione deelmaia A quinta,euiusque coni isos celij superficiem ad basim suam eam habere rationem quam latus coni ad radium circuli baseos, hoc est in casu nostro, ut est ΑΒ linea aclineam AF. cum autem ponatur GK ad KL, eandem habere rationem quam habet DF ad FB : igitur etiam est GK ad KM, ut DF ad F Α, 8evi K M ad ML. se F A, ad A B, quemadmodum ex elementis patet. sed ut ΚM ad M L , ita triangulum LMN ad triangulum LMN, cum eorum cominunis altitudo sit ΜN. ergo triangulum ΚΜ N, est ad triangulum LMN. ut FA ad AB, hoe est ut basis coni AEC ad reliquam coni superliciem. Quod erat demonstrandum.
Ponatur rursum cylindri ungula I G , sed cuius altitudo HI par siediametro G L: secetur vero conus ABC, sectione OP Q, basi AEC parallela, & diuidatur ML in R, ut diuisa est in B E in P. tum per puniactum R sectio fiat RSV quae aequid istet plano NM K. Dico spatium M RSN aequale esse quadrato sub linea quae media est proportionalis inter MR & ΜΚ, RV simul sumptas , eo prorsus modo quo spatium superficiei conicae duobus perimetris parallelis A E C, o P innterceptum aequale est circulo cuius radius est medius inter PEvel A o, de lineas A F, o T simul sumptas. . s
519쪽
Quod spati vim par aliciis circulis AEC, OP Q comprehensum aeqi ale si circulo cuius railius mediam proportionem liabeat inter lineas AO & O I . Assiintit sumpta S,non in tetulci demonstrare,cum id ab Archimede libro primo de sphaera de cylindro propositione decima sexta sit de inon stratu ni. supercit igitii rhoc ip-stim demonstremus de figura MR S N, quod illa scilicet at ilialis G quadrato mediet proportionalis inter lineas M R, bd aggregatum ex duabus M K, R U. hoc autem sic ostendo. Quoniam ex hypothesi cylindrus ex quo desumitur ungula, rectus est, erit latus cylindri rectum ad hasi in GH Ι , adeoque per definie.3. undec. angulus N M L rectus est. Qitia autem parallela plana ex hypothesi NMΚ , S RU secat planum NM L, erunt cominii nes sectiones NM, S R paralleladi. cum igitur angulus NM K-.1-. tectus sit, etiam S RV rectus erit i trapeatum igitur MNSR rectangulum est ad hasim siuam M R. liaci tui in Y secta bifariam , ductaque YZ parallela ad MN, AS, erit rectanguluna MR, YZ aequale trapezio M N S R. quod statim paret, si per Ζ ducatur parallela ad MR occurrens rectis MN, RS. recta quoque Ygetie dimidia summς rectarum MN, RS, quod cadem constructione facta nullo etiam negotio liquor. Iam vero quia IH altilii do ungulae ponitur aequalis diametro GL, erit hςc dupla semidiametri, adeo tue& NM dupla, ipsius MK. Cum igitur NM, ιS R suit parallelae, etiam S R dupla est R U. Ergo YZ dimidia summae rectaruna mina.. t. NM, S R, aequatiir rectis MK, RU. Ergo rectangulum sub MR & MKR V, hoc est quadratum mediae proportionalis inter M R de MK, R v, aequatur rectangulo M R, YZ, hoc est ut ante ostendi, plano MNS R. Quod erat demonstrandum.
Priusquam hic manum tollo de tabula, ut sphaerae atque ungulae admirabilis similitudo clarius intelligatur , communes utriusque proprietates praecipuas unum subasi echum Lectori dabo.
Symbolilationes ungulae cylindrica cum siphaera, primo circis
solidorum rationem. 'pRIMA. 4emadmodum ungula ad ungulam in triplicata est ratione late tum homologorum, ita quoque sphaera ad si haeram.
Segmenta ungularia&sphaericatam ea quae planis ad diametrum rectis abscinduntur, quam ea quae ad centra consistunt eandem inter se habent
Quod si b,si ungulari semili exagonum inscribatur,& secundum huius semihexagoni lineas plana fiant axi aequi distantia , idem quoque pr stetur in semicirculo maximo sphaerae , eschaec figura circulo inscripta in orbena agatur producens conicas superficies; in eadem ratione sectae erunt
M ungula de sphqra. ι1 V. Quemadmodum praedicto modo secta ungula ad suam partem inscriptam habet rationem octo ad sex: ita quoque sphaera ad figuram inscripti habet proportionem octo ad sex.
520쪽
Sicut ungula altitudinem habens diametro baseos parem cum iis uolucro, siue pii ima ungulam includens, emesquialterum ungulae; ita similia ter sphaera cum suo inuolucro,hoc est cylindrus sphaeram ambiens est fel qui alter sphaerae. v I. Quemadmodum inuolucri pars ad totum inuolucrum est in triplica
taratione laterum diametro aequi distantium et ita etiam contingit in partibus inuolucri sphaerici, si ad totum inuolucrum conferas partes inuolucri, quae insistant lineis axi parallelis. v II. Quemadmodum ungula altitudinem habens hasis diametro parem aequatur pyramidi, cuius basis pares curuae superficit ungulς, altitudo autem semidiameter, ita di sphaera qualis est cono,cuius basis est par super, ficiei sphaericae, altitudo autem semidiameter sphaerae. vi II.
Sicuti segmento ungulari quod plano per cylindri axem ducto decussatur qualis est pyramis basim habens aequalem cur ut superficiei sementi ungularis, altitudinem vero parem semidiametro: ita etiam sphaericet portioni aequalis est conus baum habens aequalem superficiei sphqricae portionis, altitudinem vero semidiametrum spnaeret.
Quemadmodum ungula maximae pyramidis sibi inscripti dupla est,ita& hemi*hqrium coni maximi sibi inscripti, duplum est.' Secundo circa rationem superscierum. PRIMA.H Edret cuiusuis polygoni cingentes ungulam si simul sumatur secIusis
lateralibus triangulis, ς quales sunt rectangulo quod fit super diametro circuli qui basis est ungulet, & altera linea quq quatur altitudini ungulς. Ita quoque superficies conicet ex cuiuscunque polygoni circumscripti sphqrς circumuolutione productet demptis lateralibus ςquales sunt rectangulo quod fieret super diametro & linea quet toti perimetro circuli
eandem ungulam constructis, exclusis lateralibus triangulis , inter se quales existuntrita quoque si circa sphaeras duas aequales diuersa polygona ex gyratione formata conicas superficies produxerint, erunt saperficies unius, alterius superficiebus aequales demptis lateralibus. MI. Sicut ex diuisione diametri ungularis sub quavis ratione, superficies ungulares planis interceptae quae normaliter ad diametrum per pun diuisionum ducuntur sese habent secundum rationes in diametro factas: