장음표시 사용
521쪽
vNGULA CYLINDRIC A. ita et in partes superficierum sphaerae diuisae per circulos rectos ad axem eandem rationem ob Linent quae inter segmenta axis facta est I V. Vt est diameter circuli ad semiperimetruiri eiusdem, ira quoque est sphaerae superficies ad cylindrum altitudinis quς aequatur perunt tro circuli maximi: pari pacto ut diameter ungulae est ad perimetrum semicircularem, ita est ungularis superficies. ad semicylindricam eiulde in altitudinis.
Quam rationem obtinet superficies Uius sphaerae ad alterius supers-ciem,eandem seruant inter se proportionem ungulares superficies, modo proportionales sint bales ungulares cum maximis circulis sphaerarum.
I. Quemadmodum superficies sphaerae quadrupla est maximi circuli, ita & superficies curua ungulae cuius altitudo par est perimetro circuli qui basis est ungulae,quadrupla eth eiusdem circuli. v I I. Sicut superficies cylindri sphaeram ambientis sesquialtera est superficiei sphaerae, ita & pritavis ungulam continentis, ea superficies quae curuam ungulae superficiem cingit, eiusdem est sesquialtera. v III. Quemadmodum sphaerae superficies aequalis est circulo cuius radius par est sphaerae diametro : ita etiam ungula cuius altitudo par est diame-rro basis, aequatur quadrato cuius latus est diameter. Alias symbolietationes non prosequor, sussicit enim haec insinuasse Lectori, ne longior sim quam oportet. demonstrationes vero harum proprietatum pleraeq; a nobis in propositionibus praecedentibus traditae sunt: caeterae vel ex nostris, vel ex Archimede & Pappo non difficulter
522쪽
Vngulam parabolicam considerat; insius er cylindricam vnrulam s piaram confert cum parabola, cylindro parabonco. . PROPOSITIO LXXXI. Ax si x ungula ABCD, altitudinem habens parem basis diametro, quam secent plana EBC, GF H ad diametrum recta. sit autem & parabola I KL, axem habens parem semidiametro ED, ordinatim vero subtensam IL, diametro A L aequalem, diuisa deinde IL, similiter in M 3e P, ut AD est in E & G, ducaatur M Κ, P S ad I L orthogon ς. Dico totam ungulam ABCD esse ad segmentum E BC H FG , ut parabola IKL est ad segmentum M KSP: item totam ungulam esse adlegmentum G F H D, sicut parabola est ad segmentum P S L. Demons lis., in.ο parabola IKL habeat basim diametro AD, M axem semidiametro EDbs M. i,. aequalia, haec ducta in suum axcm, hoc est in ED, uel EB, aequabitur a ismi circulo ducto in seipsium, hoc est ungulari AB CD : item segmentum bin, SP ductum in eandem altitudinem, aequabitur segmento semicirculari E BFG ducto in seipstim, hoc est legmento ungulari EB C H F G. Atqui solida parabolica orta ex ducti parabola: IKL, S: segmenti MK S P , in communem altitudinem axeos, sunt ut bases, hoc est ut parabola IK L ad segmentum M K SP. ergo etiam ungula AB C D , est ad segmentumsbum EB CH FG, ut parabola IKL ad segmentuiti MKSP. Quod crat demonstrandum. Alterius partis eadem est demonstratio.' PROPOSITIO LXXXII. SIt triangulum iso sceles rectagulum A B Dcum altero similL& aequa ii B D C subalterne positum. Divisaq; bifariam B D in F, posita auo EF
523쪽
parabola BED cuius axis sit EF.
Dico magnitudinem ortam ex duinctu G H. in H l aequari cylindro para bolico altitudinis EF dc baseos B EO. Demonstratio.
DV catiir parallele MEM quidem ad BD, de G MKHl ad AB, siue EFL. Vt B D ad D C , sic B H ad F I. sed ex Itypo-' thesi BD, D C aequantur. ergo dc B H, HI aequales sunt: pari argumeto pares sunt H D, H G , rectangulum igitur BF D est rectangulum GHI. similiter EF, ipsi FD , αFL ipsi BF aequalis est; rectangulum igitur BFD, est rectangulum EF L. quia autem BF, FD ex hypothemqtiantur, erunt etiam EF, FL aequales. rectangulum igitur
drato EF. Iam vero cum rectangulu BHD
sit ad rectangulum, BF D vi K H ad EF, etiam rectangialum G HI erit ad quadratum EF, ut RH ad EF. sed quam rationem habet HK ad FE , eandem b habet rectangulum M HK ad rectangulum EF L, sius quadratum EF. Igitur quam rationem habet rectangulum GHI ad quadratus EF , eandem quoque obtinet rectangulum M H K ad E F quadratum. ergo rectangula GHΙ,M HK aequalia sunt. similiter ostindam ductis quotcunque lineis alijs parallelis sinsula semper rectangula GHI aequari singulis rectangulis ΜΗΚ. Qiare magnitudo nata ex ductu trianguli ABD in BDC, e aequa ς ε M.tur cylindro parabolico qui constat basi BED, & altitudine EF. Quod demonstrare oportuis. . . Corollarium. UX hac prop4ione consequens est ut quaevis pars parabolae parallelis intercepta Msub altitudine EF formet quantitatem aequalem magnitudini quae fit ex segmentis triangularibus in s e inuicem dii his, quae illis ijsdem paralIelis intercipiuntur quibus parabolae pars suit clausa.
scribatur deinde quae uis parabola FHG, cuius axis HK sit par lateri recto, & ordinatim posita iit F K G r quae similiter secetur in M, ut axis sphaer.e sectus est in Fr & per M, ducatur M L parallela adii. Dico sphaeram AB DC secundum eandem proportionem diuisames se circulo B DE, secundum quam diuisa est parabola FHL G recta L M.
524쪽
CEntro K,spacto H, describatur semiciκulias, quia axis ΗΚ aequatur lateri reis Ucto, erit HK aequalis ΚF.unde semicirculus transi te per F, & G. super hoc semicirculo ut basi intelligatur fieri ungula F HI G, a cylindro recto abscisia quae .ri. μαι altitudinem poen abeat diametro baseos FG : productaque MLin o, secetue ungula plano per Mo ductα Ostensum enim . est partem ungularem FHOMNad residuam,eam rationem obtinere quam parabolae F H LM segmentum, ad pas 77 tem L ΜG: sed ut ungulae pars ad ungulae partem, ita quoque segmentum , sphaerae ad sphaerae segmen ania igitur eam sortiuntur partes sphaerae inter se rationem quam partes parabolae habent inter se.Quod fuit demonstrandum.
Ex his aliter quam Archimedes prop. . lib. L. de sphaera & cylindrosphetram secundum datam rationem diuidemus, huncin modum.
DArabolam F H G, cuius axis ΗΚ,par ordinatim positae FK, per diametrum MLA seea in data ratione tuique secta FG in M, ita. axem sphaerae seca in F. planum ductum per F rectum ad axem , sphaeram secundum datam rationem partietur ; Vt patet ex propositione iam demonstrata.
CΥlindrus parabolicus, cuius axis EP, basis parabola ABC, axis baseos BE, ordinatim ad axem pos aΑEC, in secetur plano per AC, exhibente in cylindri superficie lineam Α G D. Dico lineam Α G D esse parabolam.
525쪽
DVeatiir recta ED, se sume in axe AB, squodusi punctu ni I, quo ducta ordinatiui I 1 H. qiiς proinde parallela erit ad AE, ex H in s
cylindri sit perhcie ponatur recta HG , quam quia axi ES aequi distat, patet etiam rectet Asaeqii id illare.Quoii iam igitur ΙH, H G aequidi- stant E A, AF, erunt plana IH G, FAE parallela : quae quoniam se t planum EAD, erunt, communes sectiones A E, Κ G parallelae. sunt autem & H l, AE parallelae. ergo etiam GK. HI parallel . Deinde quoniam parallela plana F AES, I HGΚ secat planum BASD, erunt communes sectiones IK, ES parallelet: sed etiam H G ad axem E S, est parallela. er- igo IX, H G parallatae. Ergo G H, IK paralle- . Iogrammum est. ergo HI, GK aequales. His demonstratis thunc in modum concludemus proinpositu. ducatur in cylindri stiperficie recta BD, erit liaec parallela axi ES, ac proinde etiam ad I Κ erit parallela. Igitur ED est ad KD, ut DB, ad I B, hoc est, visuadratum AE ad qua- ex. a M. diatum H I, hoc est ut quadratum A Ei ad quadratum G κ. ergo 4 AGD p rabola est. od erat demonstrandum.
CYlindrus paraboli crus rectus ABCD scuius basis ABD, & baseos axis E B, ordinatim vero posita A Emsecetur primo sectione petAD exhibente parabolicam ungulam FAGCBD- α altera sectione GFM quae aequi distet gasii ABD.
Dico ungulam totam AG CBD ad partem rescissam G p C M, quin tunii catam eius habere rationem quam nabet
D liiidantur proportionaliter rectae AD,
G M iii qui tui suis punctis I Se L, & erigantur diametri I Κ, L N, de sectiones sane secundum lineas EB, Ι Κ, &HF, LN exhibentes in superficie sylindrica rectas lineas BC, KO. SI FC, NP. iungantur denique EC, I & HC, LI'. Quoniam plana IKO, EB Cparallela secat planum A C D, erunt commu-1ies sectiones IO,EC parallelae.pari argumento parallelae suiu HC , LP; de simiIta erunt triangula EBC, IKO &HFC, LN P eum tam anguli BEC, KIO quam anguli EB C. 1ΚO. item ta anguli FH C, N LP quam MFC. LN P aequales sint. Deinde quia reiactae AD, G M sit militer exeonstr. sunt diuisae,
526쪽
virectangit liΤ G LM ad rectangulum G HM, ergo & IK est ad EB, ut L N ad H F. De inde Ob trianguloriim similitudinem, O K est ad C B. vi I K ad E R, lioc est ut L Nad HE. hoc est vi NP ad FC. Igitur ungula A B CD ad ungillani GFCM, rationem habet compositam ex ratione haseos ABD ad basi ins GFM,&ex altitudine BC ad altitudinem l F C, quoniam omnes partes baseos ABD ad omnes partes baseos GFM, hoc eli pars basis ΑΚ I ad GNL , vcl IKBE ad LN FH, eandem rationem habent quam tota parabola ABD ad parabolam GFM & altitudines omnes ungulae ABCD ad altitudines ungu-Iς GFCM, ut BC ad FC, vel KO ad N P. Sed ratio baseos ABD aci basini GFM, hoc est QBR, est triplicata rationis AD ad QR; α ratio BC ad PC, hoc est EB adHF, hoc est S B, duplicata e est eius, quam . habet A D ad .R. Igitur quoniam ratio triplicata AD ad QR , ducta in duplicatam eiusdem producit quintuplicatam, manifestuest rationem ungule ABCD ad virgulani GFCM, quintuplicatam este eius quam habet recta AD ad QR, hoc est AE ad ΗG, siue AD ad G M. Quod erat demon
HAbeam paraboli ABC: CDF aequale latus re hum inseruiens axibus, po utisq; ntingentibus AH, C G, ponantur ordinatim BC&Fl, & erectis FG, B H qtit aequi distentaributi mixtilineae superficies ΑΕΒΗ & CDFG, ducantur in seipsas. Dico corpora producta ex duetu illo habere inter se quintuplicatam rationem eius quam habet B C linea ad lineam FI. Demonobatio.
'lui dantur proportionaliter AH, C Gin M, dc constituantur K EL, M D N paralla Κ&l parallelae diametris. erit igitur rectangultim FI P ad FN P, hoe est B C O ad B L O, ut linea d IC ad N D, hoc est C A ad LE. ergo ut AC,hoc est K I. ad CΙ, hoc est MN, ita erit EL pd D N, vel Κ E ad M D. Igitur A H B ductiim in se ad C G F, in seductum,habctrationem compositain ex superficie HAEB ad superficiem GCDF, dc ex altitudine I Bad GF altitudincm secundum tenorem di scursus facti praecedenti propositione. sed basis AEBII ad bas m CDF G, triplicatam habet rationem eius quam habet linea A H ad CG, hoc est CB ad I F, ostendimus. enim superficiem AEBH ad CDFG, eandem ratio. nem habere quam parabola A BO ad parabolam
527쪽
vNGPLA PARABOLICA. io 23 duplicata est rationis quam habet AH ad CG , hoc e 1 CR ad I P, igitur cum
triplicata ratio DC ad PI, diicta in ratione in duplicatam eiusdem B C ad FI, producat quintuplicatam rationem H A ad G C, patet rationem corporum ex ducati ΑEBH CDFG, in seipsa esse quintuplicata in eius quam habet linea AH ad CG. vliod fuit dein Onistrandum
PROPOSITIO LXXIII. Sint ABC, DEF parabolae similes & aequales quarum vertices A dc D,& axes A F, DC. Similiter parabolae G HI & KL M, similes in
ter se de aequales quarum axes G Κ, MI: sit autem O linea latus restum quod omnibus his Oarabolis ad axes inseruiat. .
Dico A B CD ductum in A D E F ad G HIM, ductum in C M L Κ,
quintuplicatam habere rationem eius quam habet AD ad G M. DemoGratidi.
UIuidantur A D, G M bifariam in pun- P&N, dc positis rectis RPE MHNL, quae aequi distent axibus descri-hantur parabolae per A BD, GH Μ ha - . bentes axes BP, H N. erit igitur ABCD ductum in AD EF, aequale a parabolae ABD ductae in se, & similiter GHIMductum in M LKG , aequa Ie parabolae
GH M in seducto. habent autem parabOlς A B D, G H M qtrale latus rectum ad axes quod lic ostendo. Ducantur B S,S A ipsis PA, PB parallelae ut As ad SB.ficS B ad O , latus rectum, b sed ΒΡ, Ρ A ipsis B S, S A sunt aequales. ergo ut B p ad PA, ita P A ad O, & ut FIN ad N G,
ita NG ad O, quoniam ex constructione parabolae A BC, GHI commune habent latus rectum O. sed etiam lineae BP,P ACommunes sunt parabolae A BD& tectae, H NG communes quoque parabolae GH M. Igitur commune habent Etiam latus rectum O. Hoc posito: demonstratum este ABD , ductum in se ad FHΜin seductum quintuplicatam habere rationem AD ad G M. igitur etiam ABCD ductum in A DEF ad G HIM, ductum in GM L Κ, habet quintuplicatam restionem eius quam habet linea AD ad G M. Quod fuit demonstrandum.
SIt ABCD cylindrus parabolicus, Sesectio AF CB, ungulam parabolicam producens, ducti si contingentibus parabolam A M, BM, demittatur recta M C, in qua assumpto quovis puncto G, per illud fiat sectio FG Κ parallela plano AB M. Dico F G contingere parabolam F Κ I, lectione per G facta productam.
528쪽
Uctas L M, M G C ducatur planum faciens in plano F Κ G eo in n. unem lectione K I G. M in plano A C B sectionem L K C, in sit perficie autem cylindrica rectam EI C. Qui niam ΑΜ ex constructione parabolam AEBcontingit in A, ergo LE, EM ae piales sunt
lineae. cum ergo planum FKG aequidistet: A MB, erit quoque GK b aequi distans LM. ergo & KI aeuualis I FI , cum triangulum LM C, simile sit KGC ei-ngulo de L E ad EM, vc KI ad I G, quare e etiam G F parabolam PRI contingit in F. inod demonstrandum fuit.
PROPOSITIO XC. Ponatur cylindrus parabolicus re-
istus ABCD sectus quacunque sectione perrectam DF in plano D AF sitam,exhibente sectionem FG D. Dico FGD esse parabolam.
tet parabolae ABD, per quam ponarur planum parallelum ad AF, exhibens communes intersectiones EH. HG, BG. Deinde statuatur IK aequidistans EA, erit IK ordinatim posita ad diametrum EB, secundum IK: fiat sectio aequid istans AF. occurrens pIano FG D secundum rectam MN, quae proinde
parallela erit rectς DF per I 6. it. cxli Mens . pr terea communes interscctiones cum cylindri superficie ΚM,ON paralleIas inter se; posita igitur ex N recta NP, quae aequidis leto Κ, erit OR P parallelogrammum, ideoque PN, aequalis est Κ O,& quia bifariam diuisa est O K in I, diuidetur quoque P N, bifariam in ia per
IL, communem interfectionem planorum
EB G, & OKM quae I L aequidistat ΚM : ac proinde etiam MN bifluam diuisa est in L, est vero & FD hisecta in I . Dei h quoniam cylindrus ex hypor. rectus est, erunt anguli F A D. M K. O hoc est M P recti .rursum quia AF, FD aequi distant PM, MN, i anguli APD, P MN pares erulit.triana gula ergo D AR N P M aequiangu a sunt. Ergove AD ad PN, sic FD ad MN. ergo quadratum AD est ad quadratum PN, hoc est K O. ut quadratum FD , ad quadratum MN. sed quadr/- .
529쪽
quadratum AD est ad quadratum ΚΟ. vi , EB ad BI, hoc est, ut HG ad LG. ergo quadratum FD est ad quadratum MN, ut HG ad L G. Quare eum FD, MN bisectae sint in H de L, erit quadratum FH ad quadratum M L, ut HG ad LG. ergo IMGD parabola est. Quod erat demon liralidum.
PROPOSITIO XCI. CΥlindri recti parabolici basim A B H secet quaevis A C, secundum
quam & rectam AD facta sectione ACF, erectaque ex I puncto, quo diuidit ut A C bifariam diametro I B, ponatur planum per i B parallelum rectae A D, exhibens B E rectam ia sit perficie cylindri, qua bis secta in G, ponatur per G de A F lineam, planum A G F; & ponantur plana per AB E, & CBE quae exhibeant communes intellectiones AG,
GF, DE, EF. Dico corpus habens basim A C F, & haedris A B G,B CFG, inclusum, aequale es. corpori quod fit sub basi ADF, clausum planis AGED de G E Fr siue totum prisma A C E D E B, plano A G F bisecari. 'Demonstratio.QVoniam planum IR E parallelum AD
secat bifariam AC in I, secabit quoque DF in L bifariam, quae parallela est tectae ΑC de consequenter diu det bifariam recta AF in puncto K , sed ex constructione planum A GF diuidit rectam quoque B E bifariam in G, parallelogrammum igitur IB G Kaequale est parallelogrammo ΚGEL. Quare cum pyramides I BGΚΑ, Κ GELF ae-' quales habeant bases, & altitudines item pares sint, quod planum IE aequidistet tectis A D. C P Et bisecet rectas A C, D F pyrami
des aequales erunt. sed etiam totum prisma AIL DEB aequatur toti. IC FLEB. ergo
& reliquum IBKGF C aequatur reliquo ΚGELDA. quibus si addas aequales illas pyramides, erit solidum AC FU B par Iido ADFGE. Quod erat demonstrandum.
SIt denuo cylindrus parabolicus rectus cuius basis parabola ABC ducta deinde quavis AD ponatur eius diameter EB, dc iunctis AB, B D, bisecentur ABot BD in F dc G, de diametri harum sint F H, G lducantur Α H, H B, BI, ID, per rectas tandem AD, AB, BD, bc AD HB, BI, ID, plana ponantur exhibentia cylindri superficie rectas neas A Κ, H L, B M, IN, D O in plano aqtem Κ M O sectiones faciant Κο, KM, MO, KL,LM, MN, NO. rursum perrectas EB, FH, Glducantur parallela lateri AK plana quae faciant in plano ΚMO, sectio
530쪽
1618 v NGVLA PARABOLICA.uidat B M bifariam in P , & producat communes icctiones A Ο, Α Uri V Q. PQEPXO, XR, PR, OR, T P. His politis demonstrauimus in prccedenti prisma inscriptu a toti fru- 'sto cylindrico AB D O M Κ, cuius aduerta plana sunt triangula A B D, Κ M o. bisecari plano A P O. Dico igitur ab eodem plano APO bifariam quoque diuidi aggregata prismatum quae residuis frusti cylindrici segmentis inscribtintur, hoc est
QVoniam AE aequalis est ED, hoc est
SO, ω ES aequi distat A K. erit A Taequalis T O, est autem PB aequalis PMi ex c5structione 3 igitur parallelogrammum
est E B P T quemadmodian Ae figura P T quia vero segmenta aequalia sunt AH B, & B I D, hoe est Κ LM, M N O, MGI , FH diametri diuidunt rectas AB, BD bitaliam in F &G, erit trianguintum Α Η Β , aequale triangulo BID , hoc est triangulo MNO. quare cum etiam sit altitudo BP aequalis altitudini MΡ , ex constructione: pars prismatis habens b sim triangulum Α H B, N: altitudinem B Paequatur parti habenti basim triangulum MNO,&altitudinem MP. sed etiam totum prisma habens eandem basim triangulum AHB, dc altitudinem B M , aequale est prismati super basi triangulari MN O, .& altitudine B M: igitur A U PQ M Z residuum cuius basis est trianguluA VPQ, aequatur PXOR BGDI, alteri residuo cuius basis est triangulum P X OR totum
igitur solidum AFBG Di H A ROX P U A, aequatur solido toti A U P X O RQ ΑΚLNΟYMZΚΑ. Quod erat decorasiarium primum. Quod si subtensis AH, HB, B I, ID, bisariam rursum diuisis per diametros inscribantur segmentis parabolet residuis noua rursum triangula, atque ita procedatur in infinitum: actisque per sinsula latera planis inscribantur residuis cylindri paraboli et segmentis pristnata alia, eodem discursia demonstrabimus, plano eodem isIs A P O, bifariam semper diuidi aggregata prismatica.
inare consequenter quoties planum A P O diuidit lineam B M bifariam,reae in ferri poterit cylindricum corpus parabolicum bifariam in partes aequales diuisum esse ex eo quod in infinitum per constructionem praescriptam inscribi possint utrisque aequales quantitates quae temper plus dimidiI residuorum auferant , unde per ea quae de progressiὁnibus dicta sunt, concluditi it plano APO bifariam diesse cylindricum segmentum quod basi constat A Baltitudine M B. PRO.