장음표시 사용
531쪽
VNGVLA PARABOLICA. PROPOsITIO XCIII.
Sit A B axis parabolae CD B, & ungula parabolica A BEC in suo cy
lindro AD O E B, posito deinde secundum rei tam B E existentem insit perficie cylindri plano C BO O, exhibente in plano parabolico AE C, quod ungulam terminat communem intersectionem C E , in basi vero cylindri ea OME rectam O E; dividatut CB bifariam in Κ, de per K planum ponatur parallelum plano AB L secans superficiem cylindri secundum rectam D M parallelam B E, planum vero CB EO, secundum rectam K P occurrentem lineς CE, in puncto I, in quo ipsam K P bis riam diuidi patet, sunt enim C Κ, P E aequales, ¶llelae, ac propterea 'ut Ρ E ad C Κ, sic PI ad lΚὶ diuisa insuper D M bifariam in H, per rectam Ct E, & punctum H sectio fiat, formans in superficie cylindri Ilian eam CH E, S: sumpto in recta D ΗΜ, puncto quovis F, per CE&F, age planum quod faciat in cylindri superficie lineam CFE , ponaturque per i aequi distans rectς CB recta Ni G, per quam & puncta H dc F, gantur plana N H G, NF G. Dico solidum planis CHE, CFE terminatum aequari magnitudiniquae elauditur planis N FG,NHG. Demonstratio.
IVngantur I H, I F, CH, CF, GH, GF,xN H , N F, ΕΗ, EF. quoniam planum L DM aequi distae tectis BE , C , erunt binae pyramides IH FN, IH FC, item binae IH FG, IH FE aequales. duae igitur IH FC, IH FE aequantur duabus IH FN. IH FG. Atque hoc ipsum demonstrari potes de alijs quantitatibus quae Armari posisunt pet subdiuisionem segmentorum C D, DB in duo aequalia segmenta parabolica, continuando candem constructionem inscriptionis qua vii sumus praesenti propositione de praecedenti: igitur per ea a quς -- monstrata sunt libro de progressionibus
Geometricis constat quantitat cm ungula
rem NHEG aequalem esse magnitudini' quae continetur planis C H E, C F E. Quod fuit demonstrandum.
CEeetur ungula parabolica a recto i
cylindro decussata ABCD plano EFL qubd basi aequi distetri diuisa deinde AD bifariam in H, ponatur
H B axis, secundum quem fiat sectio exhibens in cylindri superficie rectam B C occurrentem sectioni EF L, in puncto F. positis insuper EF,
532쪽
vNGULA PARABOLICA.rum communes intersectiones cum basi ungulari sint rectet AC , CD &CE, CL. 'Dico pyramidem ungulae ABCD inscriptam ad pyra naidem inclusam ungulς E F C L, eandem habere rationem quam ungula A B C D ad E FCLvugulam. et emonstratIo.
OStensum est ungulam ABCD ad unis
gulam EF CL quintuplicatam habere rationem eius quam habet linea A H ad E G.
sed etiam pyramis ABC D ait pyramidem EF CL quintuplicatam habet ratione AH ad E G quod sie demonstro: triangulum A B Dquod est maximu eoru b quae parabolet inscri hi postat ad triangulum E F L,quod ite maximum est,eandem habet rationem, quam e P
tabola A B D ad EFL parabolam. sed d para hola ABD ad EFL, triplicata habet ratio ne AH ad EG.ergo & triangulum A BD ad triang.E F L,triplicata habet ratione A H ad E G. Deinde B C altitudo pyramidis A D B Cest ad FC altitudinem pyramidis EFLC, ut HC ad G C, hoc est ut quadratum A Hadquadratum EG, hoc est in duplicata rationis AH ad EG. Quare cum ratio pyramidum A B D C,E F L C composita sit ex ratione baiasium ΑΒ D, E FL,& ratione altitudinum B C, F C, perspicuum est eam esse quintuHicatam rationis A H ad E G, ili proinde eandem cum ratione ungularum quibus inseritibuntur. Quod erat propositum. Corollarum. YTIne sequitur residua quodue ungularum ouae seuersunt ablatis pyramidibus in-oscriptis aut inclusis,inter se eandem rationem continuare quae reperta est interipiasinet unguIas aut pyramides. ἀ
Facta autem sectione per axem A B,quς assignet in superficie cylindri - . carectam BD altitudine ungulae,siit ED quarta pars rectς B D, ponatumque planum M E G parallelum basi IB H, cum plano ID H sectionem comunem faciens M G. Dico totam ungulam lB D H ad ungulam M E D G, eam habere pro portionem quam triginta duo ad unum.
533쪽
PEr 81. huius I M D G H parabola est,
A diametrum habens A D. deinde quia parallela plana IBH, MEG se- planum parabolicum IM D G H.erunt a sectiones III, MG parallelae. Quare cum IH sit ordinatim posita ad AD, erit & MG. ducatur iam recta EF, erit haec, parallela ΑΒ. ergo BD ad ED, ut AD ad F D, sed AD est ad F D, in duplicata eius quam habet IAad MF. ergo & ratio BD ad ED, hoc est ratio 4 ad . duplicata est rationis I A ad M F. Ergo ratio I A ad M F,ea
dem est cum ratione dupla , & inuertendo MF, est ad I A, ut I ad 2. continuetur ratio I, ad 2,per sex terminos nimirum 12,4,8,Io, 32. Erit ergo rario I,
ad 32, quintuplicata rationis I,ad 2,hoc est rationis MFad I A. Atqui ratio vngulet M DG ad unguum IDΗ, quinis tu plicatae est rationis MF, ad I A. Ergo ungula M D G cst ad ungula ID H, vi I, ad 2. Quod cra idemonstrandum.
PROPOSITIO XCVI. UNgula parabolici cylindri recti sit
diuisa sectione D E B, per axem parabolae AEC exhibente in lindri superficie rectam EB, iunctisque A E,
currentia basi ungulari ABC secundum lineas AB, B C. deinde per has rectas AB, BC plana ponantur diuidentia lineas NO, Kl determinatas in 91. huius bifariam, formatia in cylindri stiperscie lineas curuas A G B, B F C. Dico ungulam totam AE BC maiorem esse pyramide inclusa AEBC, unacu segmeto cylindrico C ERIHC,
magnitudinibus quae superficiebus comprehenduntur AGB, AMR. de CFB, CL B. Dem ratio ..
O Stensum est a segmentum cyli licum baseos CKE, de altitudinis KIbifariam . diuisum esse plano BECqu'dcha vir per punctum F in quo bisecatur recta RI si. P P 1 militer
534쪽
militer segmentum cylindricum super basi ANE, & altitudine EB bisectum esse plano AG B. Clim igitur aequalia sint segmen. taparabolica A N E, E KC, aequalia quo quesiant segmenta cylindrica communis aliatitudinis illis segmentis parabolicis insistentia, unde pars AGBE , aequalis est BF CH, ae binae partes AGBE, EBFG, toti segmento EBA C aequales sunt. Quare cum segmeta ungularia AM BE.EB L CG quae una cum pyramide ungillam consti tuunt, superent segmenta AGBE, EB FC magnitudinibus , quae clauduntur planis AGB, AMB; BF C, BL C, sunt enim illae planis A G B, C FB, ab ungula resectaeὶ si segmentis ungularibiis AM BE, E BL C, Esegmento EBHC, addatur communis pyramis A EC B; legmenta ungularia Α M B E,EBLC una cum pyramide, li cest tota ungula ὶ superabunt segmentum EB H C. una cum pyramide, magnitudinibus, qiis superficiebus comprehendutur A G R,A M Bide CFB, CL B. Quod erat demonstra
PROPOsITIO XCVII. VNeulae A B C D ab cylindro parabolico recto abscissae, basis sit pa
rabola ABD, cuius axis BF & ordinatim posita A D, diuilo axe F B in G,ut B G sit quarta pars B F, per G ponatur i K ordinatim ad axem; di secundum lineas BF, eiu parallelam ΚS, dc tertiam BD plana agan- A inde diagonali CD occurrente communi intersectioni T O planorum DBC,SKLino , erigatur recta
OM quae aequi distet ΤΚ, & per D C, O M sectio fiar, exhibebit illa
D M C parabolam. Tandem per Ni planum, ponatur rectae B C ae- quid istans. occurrens A C D lectioni secundum rectam PN, agatur
que P QN planum quod a qui dillet basi ABD. Dico ungulam P Q C N aequalem esse magnitudini contentae parabolicis planis D M C, D N C.
quartae parti ipsius F B aequalis existat, est rectet 1 G ; nam rati FB ad
535쪽
r B ait G B. dupli eata est ΓΑ ad I G. Vnde posita IU quae aequi distet BF, erat U S laoceit IK aequalis FD, ac proinde F B dupla ST, & S T dupla TK,est enim
G B aequalis a Tia, cum segmenta parabolica sint aequalia IBK, BKD ob aequales a Ex m. lineas V S, FD. quia vero a qui distant rectς KN, TO Sc similiter ex colastructione
Υ Κ rectae OM, erit K Maequalis T O, de quia BD dupla est TD, erit quoque B 'lioc est KL, dupla KM; ac proinde K M aequalis ML: est autem S Τ dupla T K, i tui etiam KM dupla MN,lioc est N L: nam ΚM aequalis est M L,-ΚM dupla M N, igitur NI. aequalis est MN. Igitur KL quadrupla est NI est autem FB ad n G, ut B C ad C Q.: quare B C. hoc est K L quadrupla est Q C, hoc est NL, quales igitur si int lineae QC, NI. hoc est NM. Iare pyramis basim habens triangulum R C. Se altitudinem R N aequatur pyramidi habenti basim triangulu OMN,fi: altitudinem D S, hoc est S F, hoc est RN. quare per propositionem quam paulo ante prςmilimus tota ungula PQSN aequatur magnitudini incluset planis D MC, DNC. Quod demonstrare oportuit.
PROPOSITIO XCVIII Iisdem positis:
Dico ungulatri totam A B C D superare pyramidem maximam vn
gulae inscriptam simul cum cylindri segmento baseos B TKD, dc altitudinis BC, magnitudine DM CND bis sumpta. Demonstratio.
O Stensum ii est segmentum B KL D plano DM C, in duas aeqnales partes diuisium esse. quare B C M Ddimidium est segmenti cylindrici B K L D, ac proinde aequale semisegmento cylindrico A X C B: est vero tota ungula aequalis pyramidi inseriptete simul cuin duobus senii segmentis A XCB, BCMDinsuper adiunctis qua .eνε.hnim. litatibus quae determinantur parabolis A XC, A C &DM C, DNC. Igitur excessus quo ungula excedit pyramidem in scri pram simul cum segmento BT KLD, siue duobus semisegmentis cylindricis A X CB, B CM D aequalis est duabus quantitatibus quae intercipii umit planis A XC, 'APC & DM C, DNC hoe est D MCND bis sumpto. Quod oportuit demonstrare.
p ROPOSITIO XC IX. Oporteat ungulae cylindri parabolici parallelepipedum aequale exhi
constructio daemonstratio. DEmonstratum est insuper proportionem unguIς PQ CN ad ungulam ABC Desse is unius ad triginta duo.Igitur ungula P QC M his sumpta ad totam ungulam 4 νι hin. ABCD rationem continet duorum ad triginta duo: sed ungula PQ N, aequatur
quantitatibus A X CP Α vel D MCND, ablatis igitur magnitudinibus ΑXCP AN DM CND quat singulae aequales sunt ungulae PQCN , ab unguIa ABCD, remanebit quantitas quae ad ungulam P QCN , rationem obtinebit quam triginta ad unitatem: est autem ungula ς ablatis quantitatibus A X CP A QV D Μ CN D, equalis pyranii di inscriptς ungulae, simul cum segmento cylindrico quod basi insistitu TDK sub altitudinc BC: de nota quoque est proportio huius segmenti BKL Diad pyramidem inscxiptam ungulae, cum superscies BKD parabolica quadrata sit, igitur sit pyramis habens basim A BD γ, M alii tudine BC qqualis pyramidi inscript unguIae A B CD, una cum segmento BTKLD , igitur pyramis ΑγDBC ad ungulam PQC rationem habet quam triginta ad unum. igitur si trigesimae parti baseos ABD, A sit aequalis Ζ,&sub Zω altitudine BC pyramis constituatur, erit haec aequalis ungulae PQC M. unde exhibuimus pyramidem de consequenter parallelepipedum aequale ungulae parabolicae. Quod erat faciendum.
536쪽
Corosia m. LIInc manifesta est ratio dignoscendi proportionem inter ungulam parabolicam, M cylindrum parabolicum qui ungillam continet, vel inter ungulam de residuum. quod cum ungula parabolica cylindrum perficit. ex libro etenim quem praemisimus de parabola methodus colligi potest reducendi cylindrum parabolicum ad parallelepipedum illi aequale: cum vero hac prςsenti propositione praxis demonstrata sit etiam ungulam ad parallelepipedum reducendi, quod eidem sit aequale; qui horum parallelepipedorum rationem cognoverit, etiam proportiones coguitas habebir, qtiae sunt inter cylindrum parabolicum eiusque ungulam.
PROPOSITIO C. RE 2 angulo A B inscripta sit parabola C B, cuius axis E F & ordinatim
ad eundem posita B B, iungantur E D. Dico corpus ex duohu superficiei AC in altitudinem EF Iscilicet inuolucrum cylindri parabolici super basi paraboliea B C & altitudine E Faad ipsum cylindrum parabolicum habere rationem ut unum ad duo. Demoinratis.
SVnt enim haec torpora inter se ut bases, cum communem habeant altitudinem: sed ostensum est basim parabolicam CB duplam esse baseos CA; igitur patet veritas propositionis.
PROPOSITIO CI. SIe ABC quadratum cuius latere B Aproducto in B, ut AE sit dimi dia AB, compleatur parallelogrammum BFι ducta denique diagonali BD, ponatur quaevis G I parallela ΑΒ. Dico pyramidem habentem altitudinem BG, &basim GHI rechangulum aequalem esse solidae magnitudini quae fit explano B G H, ducto in planum B ΑΚ H.
537쪽
Veantiit BI, BK deinde fiat ΚL parallela 4 ΒΗ. ostensu est libro de diictibus trianguluBHG,ductum in triangulu KB H duplam ma- σgnitudine producere eius quod producit B HG, ductum in L ΚΒ triangulum, at pyramis habens basim GHI rectangulum , & altitudinem BG continet prςter pyramidem ex basi G HK,& altitudine BG instaper pyramidem T. ex basi GH, KI, & communi altitudine GR. Ostendendum igitur est corpus ex basi GH, Κ I,& altitudine BG aequari magnitudini quae resultat ex ductu superficierum B HG 3: ARBinter se. nam reliquum est commune, scilicet pyramis ex rectangulo GH Κ, ducta in altitudinem BG; aequalitatem vero istam sic ostendo. Quoniam A B dupla est ex constructione rectae KI. Igitur ut ostensum est in libro dedu
GHI dc altitudine BG, aequari selido quod resiliat ex ductu BGH in ΒΗΚΑ.
PROPOSITIO CII. SIt parabola ABC habens axem B E,aequalem A E ordinatim positae,& fiat A Forthogona A C,eidemq; aequalis. Ductaque A G quq aequi distet CF, ponatur CG parallela A F. Denique ponatur quaevis H I parallela BE, secans parabolam in K, producta vero I H, vi H L sit aequalis B E dimidiae nimirum ipsius A ponatur A L. Dico pyramidem euius basis A ML rectangulum & altitudo Α M. aequalem 'esse selidet magnitudiniquae basim habet A K M de altitudinem B E. Demonstratio.
DRaecedenti propositione ostensum est pyraxmidem euius basis est IM L, siue AMLrectangulum de altitudo A Μ, aequari solidae magnitudini quet fit ex ductu plani A MI in planum ΑMHR demonstratum quoque est in Coml- Iario 21.huius, eidem solido quod fit ex ductu ωlani AMI in planum AM H F, aequari soli- magnitudinem quae basim habet segmentum parabolicum A ΚΜ, altitudinem BRErgo pyramis cuius basis est rectangulum IM Utitudo Α M, aequatur solidae magnitudini cu- illa basis est A ΚM altitudo BE. Soderat de
538쪽
PROPOSITIO C . Circulum ABC maximum in sphaera AB CK, cuius diameter A C
contingant A D,C E aequales diametro & iungantur D C, A E. productis deinde EC in F, & AD in G, ut D G, FG sint aequales semidiametro, circuli ponantur F G , de F A. secet deinde HI aequi distans GA, circulum in B, deponatur AH. Dico sphaeram ABC plano ducto per HBI, recto ad planum circuli ABC, diuisam esse secundum eam rationem quam habet pyramis eX ductu trianguli ACE in ACF triangulum , ad pyramidem quae fit ex triangulo ALI ducto in A L H triangulum. Demonstratio.
V st enim ratio semicircuIi ABC duat in se ad partem AB L, a se ductam vi est spheta AB C Mad parte B Α M, na quadrata Ρω NO, eandem inter se rationem seruant quam circuli radijs PNO descripti. quam sequela pro positione celesinia vigesima nona huius exactius & uniuersaliter pro babimus : sed habetur ex prςcedε-tibus semicirculu ABC ductu in se ad partem AN B L, in seductam. eam obtinere rationem quam ACE, ductum in ACF ad ALLductum in A L H, igitur etiam sphaera ex circumductu A BC, semicirculi circa axem AC ad pat-tem sphaerae quae fit ex circuIati ne AN B L luper axe AL, eam habet rationem quam pyramis ex ACE in ACU producta, ad pyramidem ex Α L I in Α LH trian- .gulum. Quod fuit demonstrana
spositis datam sphtram secundum quamuis rationem diuidemusti a rursum praxi quam Archimedes. Dies i by Cooste
539쪽
Construmscr demonstratio. D Etur igitur sphaera ABCD diuidenda
secunum rationem quam habet E ad v, ducta sectio per axem AC exhibeat mcirculum ABC, producatur eius diameter utrimque ut AN & CO, sint aequales semidiametro. Atque ita dividatur AC 'in G, vi pyramis basim habens rectangu- Ium AG C, altitudinem A G, sit ad pyramidem cuius basis rectangulum C G altitudo CG, in ratione data E ad F , haeratione inuento in axe AC puncto G, fiat
per G sectio recta ad axem A C Dico partem sphaerae ABD ad resioum BCD,
eam habere rationem quam habet E linea ad F. quod ex ijs quae deministrata sunt proximis propositionibus manifeste potest o Constar . crectis enim AL,C M perpendi. cularibus ad axem A C , quae sint ipsi axi
aequales, iungantur L C, AM de normaliter ad diametrum ponantur GK, G R aequales rectis G O,G N, connectantur item Λ Κ,CR.denique inscribatur circulo maximo parabola ASC axem habens semidiametro P S parem. Quoniam AL, A C sunt pares, etiam A. 6. I G par est GC. Quare cum tota G K ipar sit toti G O, erit & reliqua IK pan re uet C O. sed Co est par semidiametro. ergo & IK semidiametro par est, adeoque dimidia est ipsius ΑL. pari modo ostendam FIR esse dimidiam ipsius C M. praeterea quoniam g G, C G ipsis H G, I G eodem discursu aequales sunt, rectangula AGO, C GN, sitne rectangula H GK, IGR, ac proinde pyramides, quarum bases sit ne rectangula A G O, C G N, altitudInes autem Α G , C G .
aequantur pyramidibus quarum bases rectangula HGΚ, IGR , altitudines vero. HG , IG. Quare cum priores pyramides snt inter se ut E, F, erunt de posteriores ut E ad F. iam vero posteriores pyramides, quarum nempe bases fiant rectangula H G K, I G R, altitudines H G, I G, aequantur solidis quorum bases sunt segmenta parabolae AT G, EST G. altitudo vero communis S P. ergo solida illa parabolica sunt vi pyramides supradictae, sed ut illa solida parabolica, ita sunt segmenta b vn-' gularia quorum bases portiones semicirculi AI G, GBSC i Ut autem ungularia illa segmenta φ ita sunt portiones sphaericae B AD, BCD. er o portiones sphaer e 1. cae sunt inter se ut supradicis pyramides. Atqui has ostendi supra. clatamanter se seruare rationem E ad F. Ergo etiam sphaericae portiones sunt inter se ut Ead F. Igitur sphaeram diuisimus secundum datam rationem Ead F. QMd suerat requisitum. coro rium.
Posita igitur recta NO diuisa in quatuor partes aequales in A,Ρ de C, si diuidatur tecta NO, in G ut quadratum AG multiplicatum per Go ad quadratum GC. multiplicatum per G N proferat rationem datam E ad F, diuisii erit sphaera secundum rationem datam. Archimedes quidem paulo aliter suaui prςparationem construit,quam non minus imperfectam reliquit,atque ea est quam nos exhibuimus, Lea .ctori proinde non ingrata fore existimo, quae hic deduximu . .
540쪽
3bndri m L herae nonnul proportiones earum , partium conati simus humMue explicare; in quia ad rem nostram non parum facit materia Sphaeroidica in fono dica cuius reductio ad magnitiatara cuticas .e ciui quadratura mamme dependet,hinc eam intactampraetermittere nefas Iridetur: conabimur uaque hoc paruo tractatuproprietates Sphaeroidu magis obuia ac necessenas inuestigare ac demon-
Emiellipseos alter axium ita intelligatur constitutus vi circa eumo immotum ipsa semiellipsis in orbem agatur donec in eundem Iocum redeat a quo moueri caeperati selidum ex hac reuolutione formatum Sphaeroides vocetur.
DEFINITIO SECUNDA . 'Mem Sphaeroidis voco lineam quet in eiusdem formatione immota mansit;esti simul axis ellipseos quς conoides genuit. DEFINITIO TERTIA.
Centrum Sehqroideos dicatur punctum quod in formatione centrum fuit ellipseos, simulque est centrum omni ulla figurarum quae per ipsum
Transeunt. ιSchobou. pestatu dignum via ιαν duplex esse Sphaeroides, unum quodformatur svis Me maiore eL ' si eos,aueram quodH 6ub minore, quod quoniam lenticinia forma situram exhibeo a
Geometris videris praesermissum quio semisuram cum Hiptica confundere consuexerunt: qua igitur ferentibin propositiomb- adducemus , wrigae sebaroidi, eo oualies lenticalari communia esse volumus. .
Similes ellipses dicanturquq axes habent proportionales. PROPOSITIO CV. LEMMA.FLlipsim cuius axis AC contineat circulus ΑΒ C, contingenst in Λ3e C ducta deinde quovis FG, quς occurrat axi in II, ponatur quς-cunque I K ordinatim ad axem A C secans F G in L. Denique per Hponatur H E ordinatim ad axem AC, N per F recta MT ordinatim ad Λ C, inlucatur M H B occurrens rectae IK in o. Pico SH quadratum ad EH quadratum eam rationem obtinere quam P ci V rectangulum ad IL K.