장음표시 사용
541쪽
o R ad L R , cum igixur sit ut ini totum IR, ita ablatum OR adiae R iabui m erit residuum PO ad residuum. I L, iri tum P R ad totum IR, hoc est us su ad E H. Dcinde iam ostentam est o R esse ad L R, v PR ad I R. hoc est ut V R ad SKR. ergo componendo UO est ad OR, vi KL 'aΑ L Ri de permutando U O est ad KL VeΚL. hoc est ratio rectangulorum P OU,IL Κ, es h plicata rationis SH ad EH, boc est , eadem eum ratione quadrati SH ad EH. God fuit demonstrandum.
PROPOSlTIO C VI. LEMMA. . Iisdem positis: α
Dico rectangulum FLG ad F, G rectangulum eam obtineretationem quam rectangulum lLΚa4 EI D tetangulum.
Demonstratio. lRAtio rectanguli FLG ad FH G rectaesulum coponitur ex ratione P Lad FH, hoe est M O ad M Η, & ex ratione 'ad H G, hoe est OB ad H B, sed ex ijsdem rationibus comprinitur ratio rectanguli Mo B ad rectangulum Μ H B ergo ratici rectangulorum FLG, FH G eadem est cum ratione rectangulorum MOB. M HB. sed ratio rectangulorum ΜOB,MΗB eadem est cum ratione POU ad S H quadratum, elim tam rectangula b MOB, PO V, quam rectangulum ΜHB. ὰ- ω qixadratum SH snt aequalia. igitur etiat ratio α I ad FHG, eadem est ' cuin ratione POP ad SH quadratum, sed ratio . P OV ad S H quadratum, ea- . . dem est cum ratione ILL ad HB quadratum. Igitur rectangulum FLG ad FHG, est veILΚ rectangulum ad rectangulum ΕΗPhQuod erat demonstrat
Dico FLG rectangulum ad rectangulum IL K eam habere rationem quam quadratum FH ad H E quadratum. Demonstratio.
LSi enim d rectangulum FL G ad FHG, ut ILK ad ΕΗ D. Igitur permutan- . do ut FLG ad IL Κ, ita est FHG, hoc est FH quadratum ad EI D, hoe est: quadratum E H.
542쪽
Dico rectangulum L H M ad C o Drectangulum eam habere rationem qua' lG quadratum ad L Nq dratum. Dem ratio.
T tenim quadrarum I G ad C IC quadra- um vi. AGBrectangulum ad rectangulum AN B, hoe est quoniam AB, EF, similiter sunt diuisit, ut rectangulsi E Η F ad Eo F. sed vi EΗF rectangulum ad EO F, ita est, L HM ad COD. rectangulum. igitur vel LHM rectangulum adrectangulum COD. ita est IG quadratum ad CN quadratrum moderat demonstrandum.
toidos formatum Ost. ι immo ratio. Non indiget'r ostio ulteriore demonstratione quam et quae ex definitione
prima potest assumircum enim perellipsis determina circulationem super axo immoto sphaeroides formetu igitur in omni parte circulationis eadem ellipi repotietur quae Naeroitas efformati
'Mnis semo sphaeroidis per centrum facta recta est ad aliquod plisper axem Diaeroideos.
543쪽
tCli ABC sectio pee eent m *Meroideor obnoua ad axem EF , nam de recta dubium eue non potest erigaturigit a ex D, pentro normaliter ad planum ABC recta DI, re per ID, & axem EF planum LGF constituatur. Dico planum ABC rectum esse ad planum EDGF , quod per axem transit, nam ID cum sit ex constructione rem ad planum A B C , igitur , etiam planu ED GRper ipsam ductum rectum in adplausi ABC. Quia erat propositum. .
PROPOSITI o CXI. OMnia sectis, sthaeroidis percen
trum non transiens recta est ad albquod planum auod pG axem sphaeristi deos duci poteu.
SIe ABC sectio spbaeroidis non per centrum acta, sit autem DEP . Ne Gn. trum posita aequi distans plano A B C. Quoniam ostensum' est plano DEFaliquod per axem posse constitui quod eidε ormogonaliter insistat,igitur plano ABC. aequidistanti idem planum orthisonum erit. fieri itaque potest, quod propositio as. serit.
PRO Pos ITIO CXII. OMnis sectio spbaeroidis normalis ad axem qui in conflauctione
sphaeroideos immotua laucuculum rabibet.
544쪽
CIt sphaemides ABC cuius axem in inritum AC diuidat sectio H FI orthogonaliter. Dico illam circulum esse. fiat sectio per AC axem scilicet,etit haec ellipsis illi similis a cana spheroides productum est sit autem communis sectio plani A B C D, & plani HII I recta ΗΙ, tandem per punctum F, quodvis in stiperficie sphaeroidis assumptum,& axem A C , planum agatur AFC occurrens plano H FI , secundum lineam KR erit sectio ΑFC ellipsis, sim lis de aequalis ellipsi ABCD. Et quo niam ex hypothesi axis AK rectus est plano HFI, de .3. undecimi erunt KF, ΚΗ normalesaxi, 3c proinde ordinatim positet ad axem. Quoniam igitur ad idem punctum axechs Cominmunis ellipsium aequalium M similium sntordinatim ductae K H,KF erunt inter se aequales, est veto & IK aequalis ΚH. ergo ΚΗ, KF. XI aequales sunt. sectio igitur H FI circulus est. Quod erat demonstrandum.
kMnis sectio sphaeroideos ellipsim exhibet si obliqua est ad axem. Demonstratio.
SEcetur sphaeroides ABC sectione DEF.
quae si obliqua ad axem AC. Dico illam esse veram ellipsin, intelligatur facta sectio ABC per axem A C. quae sit recta ad planum D E F quod fieri posse demon litatum est e. Deinde expuncto I intersectionis plani per axem A C eu m plano D E Ferigatur normali ter I E, erit ergo IE, linea in plano DEF: quoniam ex suppositione orthogonaliter insistit plano ABC, per rectam igitur I E planum agatur H E B, quod si rectum ad axem A C,assumpto deinde quouis N puncto in communi inte sectione planorum ABC, D E F,etigatur NL parallela IS erit laaec NL in plano D E F. quod est ex constructione orthogonum ad pIanum A BC. per NL,denique agatur planum KLMparallelum BEH. Quoniam HEB, KLMcirculi sunt, igitur HI B rectangulum est ad KN Meeetangulum , ut est quadratum IE ad N L quadratum sed ut e rectangu
545쪽
PROPOsITIO CXIV. SPEaeroides se, tu in plano per axem
secetur de altero plano per centrumptiori ad angulos reo tos. . Dico communem intersectionem horum planorum ab axe bisectam esse. Demon tratio.
It planum ABC per axem AC, alterum uoque planti in B D E, per centrum Fcon. stitutum priori ad rectos angulos, producat communem intersectionem B E. Dico illam
in F bisectam esse. nam B FElinea est non minus in plano ABC qua sit in plano BDE. sed prout est in plano ABC elliptico transit per F centrum ellipseos, ac proinde bifariam in F diuisaesti igitur etiam prout est in plano B D E, bisecta est. Quod fuit demon
PLano per centrum sphaeroidis posito si aliud normaliter per axem isti
insistat, communi siserscctio exhibebit axem sectionisquς per axem sphaeroideos non transit. DemonNratio. Ecetur sphaeroides AB C plano BDE,peto centrum sphaeroidcos F: agatur deinde planum per AC axem sphaeroidis quod normaliter plano BD E insistat, exhibens communem intersectionem rectam BE. Dico BE axem esse sectionis BDE. per centrum Fponatur planum GDH rectum ad axem Α C ,erit a lioc circulus, de quidem b plano ABC rectus. st autem DFL communis sectio planorum GDH,BDE. quia vero ABCellipsis est cuius Fest centrum,ergo recta BF aequalis est FE, est autem etiam FD aequalis L F utpote in circulo GDHL, per centrum acta, deinde quia plana B D E, G D H, recta sunt plano ABC, erit e DFL communis eorum sectio recta plano ABC. quare
eum D L sit diuisa bifariam in P, diuidatqueBE bifariam ad angulos rectos, necessario BE de LD, axes erunt sectionis BDE, quae vera ellipsis ostensa est. ta ta b
546쪽
PROPOSITIO CXVI. OMnis linea in quo uis plano posita
quod per centrum sph roideos trausit bisecatura centro sphaeroidis. Demonseratio.
CIt sphaeroides ABC sectum plano BDE, per centrum F, ducta vero sit in plano BDE recta BE per centrum F. Dico illam bisectam esse in pulicto F. Agator enim planum per AC axem sphaeroideos ABC quod rectum sit ad planum BDE, erit BE ho.
rum planorum communis intersectio, quam ex II hilius perspicuum est bisectam esse incentro F. Quod erat propositum.
qui distans fuerit, eidem similis erit. onstratio.
Ponantur in maeroide ABC duo plana parallela PGE, BID.. Vnum scilicet
per centrum B ID, alterum eidem aequi- distans. Dico illas sectiones inter se similes esse. Agatur planum ABC per axem sphaeroideos rectum ad plana parallela, occurrens illis secundum lineas PE, BD; crunt igitur PE , BD axes sectionum petcenuum sphaeroideos& sectionis PGE. erigatur normaliter ad planum ABC recta LI, diuisa deinde PE bifariam in K. agatur planum per Κ quod transeat per LIlineam nimirum FGIII, exhibens KGcommunem intersectionem cum plano PGE, cum plano autem per axem ducto ABC, interiectionem Fri,quqe erit axis ellipseos FGH, erit itaque KG normalis ad PE, cum sit aequidistans I. I. unde rectangulum F Κ H, est ad rectangulu F L Hut 4 PΚE rectangulum ad rectangulum BL D. sed ut rectangulum F Κ H ad FLΗ, ita est quadratum ΚG ad LIquadratum,cum sectio F G H sit elliptica euius axis est FH. Igitur ut rectangulum P RE ad BL D, ita est quadratum K G, ad LI quadratum, igitur vi PE ad BD. ita est RG ad LI, sunt autem P P, KG εc BD, LI axes ellipseon. Quale simi res sivit lue sectiones. quod demonstiare oportuit.
547쪽
Ati sphaeroidis axem exhibere. constructio in demonstrinis.
CIt sphaeroides ABC, cuius axem opor eeat exhibere. fiat sectio quaecunque ED B. erit ea , aut circulus, aut ellipsis. Inuento huius sectionis axe EB, per EB, fiat
sectio A B C ad angulos tectos cctioni EDR. erit ea rursus ellipsis. Inueniatur denique sectionis ΑΒ C axis A C. Dico AC axem quoque fore sphqroideos. cum enim sectio Α Β C ad angulos rectos constituta sit sectio. ni ED B transiens per axem EB, erit vinplano ABC axis hi, roidis, ac proinde ABC ellipsis erit facta per ema qua sphς- roides formatum est; axis ergo est A C sphae-tudeos A B C. Quod erat demonstrandum.
T, Ati sphaeroideos centrum assignare.
Confin oo demonstrario. Nuentus axis AC dividatur bifariam in F. Dico P, punctum esse quaesitim , est enim hoc ipsium centrum ellipseos ex qua sphaeroides formatum est per quod omnis linea tu sphaeroide posita bisecatur.
Mnis sectio per centrum transiens oblique ad axem , ellipsin exhibet dissimilem illi quae per axem facta est. Demon alio.
It sectio ABC per centru sphaeroideos D ob-F liqua ait axem. Dico ABC esse ellipsim dissimilem EFG sectioni quae tacta est per axem. Quod ΑΒ C stellipsis patet exii3. huius. Quod autem similis non sit inclinata sectio ABC sectioni E F G siue EB G, sic ostendo. sit E F G sectio per axem sphaeroideos recta plano ABCί fieri enim id potest per IIo. per . centrum autem fiat sectio HBF ad axem EGreeta, sper I 8. undecimi etiam recta eritis an . EFG,ὶ faciens cum plano ABC communem sectionem BD; cum plano autem EFG Ω-ctione D F. quoniam igitur plana H B F, A B Cambo recta sunt plano EFG , erit per I9. undecimi communis eorum sectio BD reja plano EFG , ac proinde per defin. . I i. mi im
548쪽
, is h.ia, recta ad AC, quae axis est sectionis ABC. ergo BD alter axis est sectionis ABC. similiter perspicuuin est ED, DF axes esse ellipseos EFG. quoniam vero HB Fhi, L. b Circulus est, a quales sunt D F, D B. his positis propositum ita concluditurinon est μι. axis ED ad axem DF, ut axis AD ad axem D B, hoc est DR Quod tamen iuxta definitionem 3.requiritur ad ellipsium similitudinem. Coro arium. demonstratis patet axem minorem sphaeroideos esse communem omnibus se--Mctionibus ellipticis per centrum factis.
SEchio per axem maiorem maxima est omnium sectionum , quae ita sphaeroide fieri possunt, sicut sectio per axem minorem minima. RDemonstratio.
C Int duo aves sphqroidem ΑΒ, CD M sectio per illos facta exhibeat ellipsim ACBD.
Dico illam esse maximam omnium sectio mquae in sphaeroide fieri possitnt. Erigatur H Fnormaliter ad pIanum ACB. Deinde per quamlibet lineam H E in plano AC B , ω lineam H F sectio ponatur EFG. Dico illam esse minorem plano ACB. Pet rcchas ΑΒ, H F fiat sectio AFB,etit sectio A FH aequalis sectioni ACB sed AFB sectio est maior sectione EFG cum linea ΑΗ sit maior axis, ac proinde maior quavis diametto HE. Igitur etiam ACB maior est sectione EFG. Igitur
sectio per axem maiorem maxima est omnium
sectionu quae in sphaeroide fieri possunt, minia Fam autem esse C FD manifestius est quam ut demonstrari debeat.
pROPOSITIO CXXII. DAta quavis IK linea qui sit minor axe maiore sphaeroideos,maior
autem axe minore eiusdem, oporteat ellipsin exhibere in sphaeroide. cuius axis aequalis sit datae lineae I K. Constructio S demonseratio.
INuento e sphqroidem ACB ducatur ex centro eiusde circulus interuallo dimidio datae I K, occurrens stinoni ACB per axem factae in puncto E,&iungantur EH. Denique per rectam EHG,sectio fiat EFG, recta ad planum ACB. Di- eo EFG esse quaesitam sectionem. cum enim sectio EFG, rectast ad planum Eli,s.; ... ACB quod per axem est, igitur e sectionis EFG axis est EG. qui eum ex constra ctione aequuis sit datae I patet persectum esse quod problema requirebat.
549쪽
O lnei sectiones per centrum sph aeroideos transeuntes eam inter se
ibrtiuntur rationem quam continent axes maiores inter se. DemonstraIIo. Sint sphaeroideos A B Uditae tectiones BDE,
F D G per centrum H ductet. Dico illas eam inter se habere rationem quam duci axes maiores inter se se phaeroides sit oblongum. agatur enim planum ABC per axem A C. quod rectum sit ad planum BDE exhibens communc intersectione ni lineam B E. erit igitur B Earis maioμ sectionis BDE : recta vero H D quae communis est intcrscctio plani BDE cum plano per axem AC, axis minor est . tum sectionis BD Etum ABC vel AD C. similiter communis intersectio plani F D G, cum plano quod per axem A C. fice erit axis minor tum sectionis F D G, tum sectionis per axem factae.cum igitur
sectiones per centrum omneu, eosdem habeant axes minores, eam inter se rationem habebunt quam axes maiores, cum ellipsium ratio ex ra tionibus axium componatur.
Aliter de breuius propositum sic concludo. . per Corollarium Ito. huius ellipses omnes per
centrum transeuntes . axem minorem habent communem cum sphaeroide. Quare cum ratio ellipsium ex axium rationibus componatur, erunt ellipses per centrum transeuntes, ut axes maiores.
PROPOSITIO CXXIV. IN dato sphaerbi de ellipsim exhibere,
quae ad ellipsim per axem rationem habeat datam minoris inaequalitatis sitq; illi aequi distans. Construmo es demonstratio.
CIt sphaeroides ABC cuius sectio per axem A B C. Oporteat autem exhibere ellipsim in ratione duplicata E ad F , quae a quidis hct axi A C. fiat vix ad F, ita AC ad B D , in plano sectionis per axem ABCi s ectioni autem An Cadre s angulos constituta sit qilaedam sectio per B D. dico hanc sectionem esse quaesitam. nam similis est lectioni quae illi fieret parallela per axem sphaeroideos AC , &conseqtienter similis sectioni ABC, atqui similes sectiones sunt in duplicata ratione laterum homologo. rum,hoc est A C ad B D, hoc est E ad P. 4itur exhibuimus quod petebatur.
550쪽
DAtam ellipsim in datoe sphaeroide exhibere quae maiorem proporti d-nem inter suos axes non habeat quam ellipsis qus fit per axem sph
toidis. Constra tio in demonstrimo. Cli D B GI sectio facta per axem sphaeroiis
deos x altera clara ellipsis, cuius axis maior A C ad minorem. L B, non maiorem habeat rationem quam axis D se ad I ROporteat elIipsim exhibere in sphaeroide. Fiat axis minor sipi aeroi dis HB ad aliam rivi ΚΗ ad K A. Patet ex hypothesi Z non ore maiorem axe H D. in sphaeroide igitur exhibeatur ellipsis, cuius axis maior HE, si aequalis Σ:huius b minor axis H M paterit HB. Quare erit HM adHE, ut KB ad R Α Ergo per definit. .huius ellipses E M RABC simile sunt. Posita deinde OP diametro coniugata ipsi diametro E p, fiat ut AH, quadratum ad quadrat m AK, ita rectangulum ΟΙ Ρ ad OR P rectangulum, de pet punctum R sectio fiat S unquae aequi distet sectioni EMRDico S UT sectioneinaequalem S: similem esse sectioni A B C. Est enim ABC similis sectioni ΕΜ P. Sed SUT etiam similis est sectioni EM P. igitur etiam A BC smiIis est sectioni S U TDeinde ellipsis EMF ad ellipsim AB C. eam rationem habet, quam quadraetim E Had AK quadratum, hoe est ex construct. quam OH P rectangulum ad ORPtectangulum,hoc est rursiim, quam quadratum E Had S R, quadranim.ellipsis erago ABC aequalis est de similis ellipsi SVT. Igitur perfecimus quod postultatum
PROPOSITIO CXXVI. IN sphaeroide exhibere seistionem per centrum quae similis sit ellipsid
tae cuius axe non contineant maiorem rationem quam . axis maior
conirruato G daemoniano. a Ata sit ellipss ABC cui similem oporteat exhibere per centrum sphaeroideos sedati DEF. Posito D G axe in siphcroide fiat. sectio DEG, cuius centrum H, erecta deinde recta H I normaliter ad axem DG quae erit minor axis sphaeroideos, inuentisque axibus AC, BL ellipsis datae, fiat ut KB ad ΚΑ,ita III ad HE,perspicuum est ex hypothesi HE fore minorem axe sphaeroideos maiori H D- exlube elixam ture ergo in sphaeroide ellipsis EMF per centrum cuius maior axis sit HE. Die o. elli messe similem AB C. nam axis EH ad HI, hoc est 4 HM, est velio. h. iis axis A K ad ΚΒ, constructione. triar similes sisne ellipses per similium ellipseon 'definitionem.