장음표시 사용
551쪽
in eodem aequalem constituere,. quae datae ellipsi sit limilis, habenti inter Illos axes non maiorem rationem quam . axes inter se habeant sectionis per axem
Construetio . demonstratio. ID A ta sit sectio in spliaeroide A B C cui aequa.
Oporteat exhibere de similem datae D. fiat per praecedentem quaedam sectio per ces trum spliςtoldeos EFG similis D. Deinde fiat a H IK sectio parallela E v qiiς ad ipsam EF G sectionem eam habeat rationem quam ABC ad lectionem eandem EFG, eritque perfectum problema ut per se manifestum est.
D datum punctum in sphaeroidis seperficie contingens planum pQ
Con Ductis o dmonstratio. e It Apunctum danim in superficie sphaeroi- deos ABC, ad quod oporteat planum adponere quod haeroides contingat. inuentob axe C B agatur per C B,& A punctum planum ABC, perque ea quae libro de ellipsi docuimus , ponatur A D in plano ABC, contingens sectionem in A, erecta denique A Enormali ex A ad rectam AD, quae occurra ζaxi in E. fiat per AD planum rectum ad sectionem AB C. Dico illud sphaeroides contingere in A. Quonlam ΕΑ linea recta est ad D A, de simul ex constructione planum per AD rectum ad planum ABC, igitur e iam EA recta est ad planum pet AD positum. Cum igitur linea E R breuissima' sie ostensa ς ad Ellipsim ABC, dc simul breuissima ad planum orthogonum per A D, necensatio planu per AD notmalitet plano ABC insistens, contingit sphaeroides in A.ergo prς- nitimus quod fuerat requisitum.
552쪽
SInt ABC, DEF seestiones factae per axes spiraeroideon Α Β C, D E F,
quibus inscribantur parabolς A B C, D E F. Dieo sphaeroides ABC ad sphaeroides DEF habere rationem compositam ex parabola ABC ad DEF parabolam,& ex ratione altitudini, B G ad EH altitudinem. Demonstratio.
V st enim ellipti eum planum ABC du-DEF planum ellipticum in seductum ut corpus habens basim ABC parabolam & altitudinem B G, ad 1blidum luper basi DEF parabolica altitudine
EH, haec eni di illis aequalia esse facile colligetur ex ao ' libri de Parabola , M
s. libri deductibus. 6ed sicut se habet AB C , ellipticum in se ductum ad DEF,
ellipticum cluctum in se, ita quoque ABC ductum in orbem ad D EF, ellipticum ductum in orbem, cum quadrata I K ad L M,
eandem rationem contineant quam circuli
radijs illis descripti. Igitur etiam sphaeroides ABC ad D EF, eam habet rationem quam parabola AB C ducta in altitudinem. B G, ad parabolam DEF ductam in altitudinem E H. Quod fuit demonstrandum.. Verum quoniam argumentandi ratio sub finem huius demonstrationis usurpaza, non adeo sertasse plana omnibus videbitur , ut ulteriorei, probationem non desiderenKadiungo lemma uniuersale huiusmodi. Data stat quae uis plana ABC, DLRDinco solida quae fiunt ex planis illis in se du-Gζs eandem interse rationem habere,quac
solida quς procreantur ex ijsdem planis ductis in orbem. Ducant ir in utroque plano parallelae infinitar, I K, L M. & concipiantur sit per quadratis IK, LM constitui parallelepipeda infinita in altitudinibiis KK,MM nianifestum est haec parallelepipeda inscripta esse solidis , quae fiunt ex ductibus planorum AB C. DEF, in se. intelligantur deinde radus IK MLM describi circuli infiniti ac super iis erisi cylindri infiniti in altitudinibus ijsdem K Κ,M M. patet hos cylindros inscriptos esse solidis, quae fiunt explanis ABC, D LF ductis in orbem. lam vero quoniam parallelepipeda de cylindri habent communes atris udines, erunt in ter se ut bases,lcilicet ut quadrata IK ad circuIos radiorum I K. sed quadrata sine u Ia IK sunt singulis circulis radiorum IK proportionalia. ergo etiam parallelepi. peda singi la sunt singulis cylindris proportionalia. Ergo 12. S. vlvmim parallelepipedum IK ad primum cylindrum I Κ, ita omnia parallelepipcda ad Omnes cylindros. pati argumento ut unum parallelepipediim LM ad virum c lindrum LM, ita omnia parallelepipeda LMaci omnes cylindros L M. sed ut unum parallelepipeduna I K, ad unum cylindrum IK, ita unum parallelepipedum LM ad unum cylindrum L M, eum horum quatuor solidorum ratio eadem sit quae basium , quas patet esse proportionales. Ergo omnia parallclepipeda IK, sunt ad omnes sylindros IX, ut omnia parallelepipeda LM ad Onancs cylindros L M, N permutando.&c. Vnde facile iam probabitur iuxta formam discursus libri de ductu plani in pla-
553쪽
mim. propositione s. solidaquet fiunt ex ductibus planorum ABC, DEF in seipsa solidis quae procreantur ex ijsdem planis in orbem ductis esse proportionaIia. Hoc igitur uniuersim demonstratum deinceps assumemus in particularibus propnsitionii in casibus, non aliam asterentes probationem praeter hanc,quod sint ut quadrata parallelarum, ita circuli qui ijsdem parallelis ut radijs descrjbantur. corollam m. LX propositione patet si altitudines B G,EH sint aequales,sphaeroides esse ad sphaea toides ut parabola ad parabolam.
. PROPOSITIO CXXX. Phaeroides ad sp Laeroides habet ra
tionem compositam ex ratione elislipseon quς per axes maiores fiunt, S: ex ratione altitudinum axium minorum,
vel ex ratione ellipseon quae per axes minores fiunt & altitudinum maiorum in sphtroidibus lenticularibus. -- ιιαOStensum est in praecedenti sphaeroides ad
sphaeroides eam habere rationem quae collonitur ex ratione inscriptae parabolae semieI- ipsi per axem AEC ad parabolam inseriptam semiellipsi per axem DEF, Staxis EGad axem EH. est autem parabola inscripta ad inscriptam ut semiellipsis ad semiellipsin, sunt 3 enim ut triangula maxima inscripta. Igitur Cum rationes quoque E G,EI semiaxiuin minorum, communes sint rationibus diameistrorum parabolicarum inscriptarum, restat ut ratio AEC, semiellipseos ad semiellipsin D E F,ducta in rationem E G ad E H, eandem rationem exhibeat Cum ratione parabolae inscriptae semiellipsi AEC ad parabolam inscriptam DEF, ducta in rationem A Gad E H. Cum igitur illa eadem sit cum ratione sphaeroidis ad sphaeroides; ergo etiam haee est ut sphaeroides ad sphaeroides.Quod fuid demonstrandum..
PROPOSITIO CXXXI. Phaeroides ad sphaeraminscriptam eam obtinet rationem quae inter
554쪽
scriptotiigitur ut AE ad DE, ita
norem plano a l axem AC recto, lectiti BFG cireulus erit.iii scribatur super circulo GFB, semisiphaera DBFG. ducto autem per axem A C plano,exhibeatur sectiones A H B, DKB,& inscribatur cuique s ectioni tua para. bola ΑBE, DBE. Ostensum ii est ABE, ductum in se ad D BE diictuna in se eam habere rationem quam parabola iiiscripta A BE
ad inscriptam DBE. sed parabola A BE ad DBE parabolam, quoniam axes BE communes sunt esto ut AE ad D Ei igitur etiam ABE ellipticum ductum in se ad D BE, circulare ductum in se est ut A E ad D E, sed vi ΑΒ E ellipticum ductum in se ad DBE, circulare ductum in se. ita est A B E, ellipticum ductum in orbem ad DBE circulare ductum in orbem; cum 4 quadrata HI ad K I quadra
ta eam rationem contineant quam circuli ra-
ITIO C X X X l I. OMnes eoni maximi sphaeroidi inscripti insistentes alicui semoniquae fit per centrum inter se sint quales. Demonstratio.
SInt duo maximi coni ΑΒ GC, DE GF inscripti sphaeroidi, insistentes sectionibus B GC, E GF per centrum factis. Dico illos inter se aequaIes esse. triangulum per axem coni EDF est aequale triangulo per axem coni ABC, per eaquet libro de ellipudemonstrata e sunt.igitur H C ad H F, ut reciproce D I ad AH. sed vi HC ad HS siegelliptica basis BGC ad basi in ellipticam EG F. ergo ut BGC ad EGF, ita reciproce DI ad ΑΗ. ergat coni EDRBAC
PROPOSITIO CXXXIII. SIt eonus ABCD sphqroidi inscriptus
& per E centrum & verticem coni A ductum planum exhibeat triangulum ABD, cui inscripta si parabola Α F B verticem habens Α, altera vero inscripta sit ellipsi ΑΗBE cuius vertex B. Dico Dissiligod by Corale
555쪽
Dico conum inscriptum ad sphqroi des eam habere rationem quam habet
parabola A F B E ad spacium parabolicum A G B E. a
Demonstratio. . . O Stensum est a quod AGBE ductum in
altitudinem BE aequetur AH BE, ducto in se. Praeterea demonstratum est h AIBE Din se ductum aequari AFBE ducto in B E, est autem BE altitudo communis. Igitur A HBEductum in se ad AI B E , ductum in se, est vi parabola AGBE ad spacium parabolicum AFB A. sed sicut se habet AH BEductum. in se ad AI B l , in se ductum , ita se habet sphaeroides ABCD ad conum AIBCD, E eum quadrata H K ad quadrata K, eandem rationem obtineant quam circuli radi tum HK ad circulos radiorum IK. Igitur sphaeroides ABCD ad inscriptum conum eamhabet rationem quam parabola AGBE adspaeium parabolieum AFBE.
SEcetur sphetroides sectione ad axem recta exhibente circulum sener quove bali inscribatur conus parti sphqroideos A BC Di positoque per axem plano A B N, ponantur Α M,N M parallelae axibus Λ R,R N de parabolς inscribantur ΑHM, AKD parallelogrammis ARN, ALD,
Dico partem sphaeroideos ADCB, ad conum inscriptum rationem habere compositam ex ratione qua habet superficies parabolica F Η Α L. d supersciem parabolicam DKAL,&Gratione quam habet altitudo A M ad altitudinem D L. Demonstratio. Dueatur quaeuis OP quae aequidistet AM,
ostensiim est d proportionales esse lineas OP, α G P, H P. similiter si ex D puncto ponatur D Squaesie parallela NM, demonstratum est η T P, I P. K P esse proportionales. quare A G D L Ω- perficies in se ducta aequatur sblido quod habet basim AH FL . & altitudinem A M. similiter superficies triangularis A ID L in se ducta pyramidern exhibebit aeqtialem g magnitudini cuius basis est spacium parabolicum. A K D L, Sc altitudo Τ P. sed hae magnitudines habent ratiotiε coispositat ex ratione baseos parabolicet Α HFLadparabolica Α K D L.de ex altitudine Μ Α ad S A, siue OP ad T P. Ergo eorpora illis aequalia, nimirum A G D L ductum in se , de AI D L in ses S ductum
556쪽
ductum habebunt rationem ex ijsdem compositam. sed quam rationem habet ΑGDL ductum in se ad AI DL, in se diictum, eandem rationem habet pars sphς. s. ii, roideos A B C D ad conum inscriptum AII C B: eum quadrata G P, D L eandem habeant rationem quam circuli radijs GP, DL dcscripti. Igitur etiam pars sphaeroideos A B C D ad conum inscriptiim AI D C B, habet rationem compositam ex ratione parabolae A HFL. ad AK DL, & ex altitudine OP seu AM ad DL altitudinem. Quod fuit demonstranduPa.
. PROPOSITIO CXX XU. Sphaeroides A B C D secetur per axem sectione A B C. atque hςc ipsa
sectio secetur duobus planis parallelis, uno per centrum, altero supra xentrum vel infra exhibentibus circulos DI B, GFIt,in plano aute ABC describatur parabola ALB, cuius vertex sit B. Dico segmentum sphaeroidicum ABID ad ΑEFG, segmentum sphaeroidicum eam obtinere rari nem,quam
superficies A L B Κ ad Α L H. Semonstratio.
c St enim AEBΚ in se ductum ad ΑΕΗ, duetum in se,ut superficies ALBK ad sa- . stratione is 3.huius. sed ut AEBΚ ductum in se ad ΑΕΗ, ductum in se taest ΑΕΒΚductum in orbem b ad AEH,in orbem ductum: quadrata EH, BK eandem rationem seruent, quam circuli radijs E H, B Κ deseripti. Igitur etiam sphaeroides A E BID ad partem A EF G , eandem rationem seruat, quam kLBK superficies parabolica ad se perficiem ALH. Quod fuit demonstrandum.
557쪽
Explicius Sphaeroidu natura sive proprietavdiu, breuietiam eampendio pro qui intendimu comide- magnitudines, quarum dupta est dissisentiae atrae etenim magnitudines oriuntur Uctione parabia , aliae ab laperisti; quodque . parabus dignum' conoeses parabolscum appellitur: quod mero ab bperbola,b perbolitum.
Οnoides parabolicum voco solidum ex semiparabolae circulatione productum super axe eiusdem parabola quiescente. DEFINITIO SECUNDA. Axis conoidis parabolici linea est quς in formatione conoideos axis parabolet fuit, & secat omnes lineas bali conoidis parallelas bifariam. DEFINIΤIO TERTIA.. Figura conoidibus inscripta vocetur maxima figurarum quet illis imscribi potest.
EX PLICATI O. Cum plurima triangula parabolet verbi fratia iiiscribi possint,illud an
tonomastice dicatui inscriptum quod maximum est triangulorum quae parabolae super basi inscribi possunt. idem esto de corporibus, quae
PROPOSITIO CXXXVI. OMnis sectio conoidis paraboli ei per rectam facta quς
informatione conoidis immobialis fuit parabolam generat. Demonstratio.. Sit igitur semiparabolae ABC quae
conoides formauit sita gyratione, axis AB r secundum quem fiat sectio ABF, assumaturq; in parabolae ABC perimetro duo puncta G 8c C , ex quibus demittantur perpendiculares ad rectam AB, lineς GII,CB,&planum AC a volvatur eousque in orbem donee peruenerit ad punctum E sectionis AEF. igitur H G aequalis est HE , smiliter BC aequalis B F, cum sint eaedem lines sola litus gyratione mutatae. quare ut G Had BC, ita est HE ad BR M viqii adratum GH ad CB quadratum, ita est qua-S s a dratum eDiuiligod by Cooste
558쪽
dratum H E ad BF quadratum , est autem ex suppositione ABC parabola, ad cuius axem ΑΒ, ordinatim positae suiu HG, BC: igitur ut quadratum H G ad BC quadratum, hoc est quadratum H E ad BF , ita linea AH ad AB lineam. ai.PHab. aquare etiam AEF est parabola. Quod erat propositum. Corollarium. Non solum constat ABF parabolam esse, sed eodem discursu patet parabolas ABRABC esseqquales ac similes, ac provide latus rectuin quod axi AB descruit commune esse utrique sectioni.
OMnis sectio conoidis parabolici ad axem conoidis recta circulum
formas. - . . Demostratio. CX parabolici conoidis definitione linea ED quae basis est semiparabolae ADE, - - rmantis conoides, describit circulum ECF, Et quia ED ordinatim est collocata ad axem A D. orthogonaliter iIli insistit. posito igitur quovis plano ABC per axem ΑD, erit CD .aequalis D E per Corollarium praecedens, Cum sit eadem parabola ABC cum ADE r erit insit per CD recta ad AD. acto deinde plano quocunque GBH quod aequi distet E C F, exhibens communes intersectiones IB, I H. planorum ABC, AGE dc GBH. erunt normaliter erectae, adeoque ordinatim postae ad axem AI, lineae I B 8e I G : quia i parallelae sint I G, D E, M I B. C D. Cum autem parabola ABC eadem sit cum parabola ΑGE, hinc I G est ad D ta vi IB ad D C, ω D E ad D C, ut G I ad I B : cum autem aequales sint DE, D C, aequales quoque sunt IG, IB. puncta igitu G B Η in semicirculo ex istunt non mimis quam ECF. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO CXXXVIII. LEMMA.INtersecent parabolam binae parallelς Α B, & E F, G H occurrentes sibi inuicem in punctis I & Κ. Dico rectangulum EI Fad GK H, eandem habere rationem quam habet CID rectangulum adrectangulum Α Κ B.
559쪽
I Er puncta I & Κ, ponatur recta occurrens perimetro parabolae in punctis LM. erit ergo rectangulum EIF ad G ΚΗ rectangulum, ut LIM ad L K M rectangulum, ut est ostensiim lib. de parahola. , sed eodem modo est rectangulum CID ad ΑΚΒ, ut LIM ad rectangillum L ΚΜ. Igitur ut BIF rectangulum ad rectangulum G H, ita CID ad ΑΚΒ rectangulum.
PROPOSITIO CXXXIX. SEctum sit conoides quouis plano obliti
que ad basim . Dico per axem fieri posse sectionem quae recta sit ad planum duinum. Semonstratio.
UIt conoides paraboli eum ABC sectum sectione f DEF obliquὰ ad basim AI C, igitur axi occurret in aliquo puncto G, cum sectio D E F axi ncin aequa- , distet, erigatur ex G linea G H normaliter ad planum D EF,&per HG,&lineam G B planum p natur: erit illud rectum ad DEF planum, cum omnis sectio per lineam GHi Fecta sit ad planum DER
Mnis sectio conoidis parabolici ad axem obliqua ellipsim format. Demonstratio.
Cle conoides rarabolicum ABC plano ODEF, oblique lectum ad axem AG Dico
D EF ellipsim esse. Agatur enim per axem Corioideos planum quod rectum sit ad planum D EF, exhibens communem intersectionem D K, ex puncto vero I, quod commune est axi & lineς DF, erigatur normaliter IE ad planum ABC, quod factum fuit per axem rectum ad DEF planum, ponatur denique per I E planum HEL , quod aequidistet basi CL B , faciens in planis BAC, DEP sectiones ΚΙΗ, EI M. Et quoniam IE recta est plano B AC, perpendicularis est ad DF . NH. Igitur circulus esta sectio HER quare lineae IK, IE, I H, IMaequales sunt inter se. Tandem ponatur planum N R O parallelum H E KMecurreIIS plano T EF, secundum communem iii tersectionem P R.Et plano B A C secundum
560쪽
Lis .ia r. rectam OP N. erit denuo N R O circulus, & qui P R parallela est ad IE, ae recta I E ex construct.normalis ad planum ABC, erit dc recta P R . normalis ad planuuitia . B A C, ac proinde normalis adrectas DF, O N. Igitur rectangulum H IKesta N P O rectangulam ut quadratum IE ad P R quadratum, sed ut tectangulum H IN ad rectangulum N P Ο , ita rectangulum D I F, ad rectanguli m I PF. ergo re ctangulum DIF est ad rectangulum D PF, ut quadratum IE ad quadratum P R: Qua te sectio D E R Fellipsis est. Quod erat ilemonstrandum.
PROPOSITIO CXLI. δει niti*stio miconoidis paraboli ei ςqui distans parabolam exhibet.
BD aequidis ans. Quod fuit demonstrandum. s Sto conoidem ABC, cuius axis B D , sectio EF G aequidistans BD. Dieo sectionem EFG
esse parabolam. agatur per axem B D planum CBA, quod rectum sit adsectionem EFG , ex. hibens communem interseetionem EF. Deinde agatur aliud planum H Κ L quod aequi distet basi AG C, cuius communis intersectio cum phino EFG sit linea IL, Iinea vero FG sit communis eiusdem intersectio cum plano A G.C. Quoniam plano ABC, plana EFG&HKLorthogonaliter insistunt,erit ΚI communis eorum sectio e re eta plano ABC. simiIiter di FG recta est plano ABC. ergo rectangulum HIL aequale est quadrato Ix: M rectangulum APC quadrato FG est aequale. quia vero etiam ABC planum per axem BD positum est, parabola est ABC sectioide monstratum vero est libro de parabola ι quod rectangulum quoque HIL ad AF C rectangulum eam rationem obtineat quam linea E I ad. EF lineam, igitur etiam quadratum IK ad FG, quadratum,eam rationem habet quam linea EI ad E F lineam. quare ii parabola est sectio EFG axi
PArabolae omnes quae generantur in conoide parabolico sectionibus I axi parallelis aequale latus rectum habent quod omnium axibus imseruit: siue aequales ae smiles sunt omnes parabolae ari aequid istantes. - stratio.
sectiones; altera per axem BD scilicet ABC, reliquae duae eidem ad angulos rectos,una quidem neminperi E F, parallela axi, altera vero DBI etiam pet axem et facientes cum plano haseos communes sectiones FG, Di, quae pera'. undecim