장음표시 사용
561쪽
inormales erunt ad planum ABC, ae proinde per definit. . undec. nor males ad AC. Per praecedentem EFG , BDI parabolae sunt 3 axes earu, EF, BD. fiat rectae EF aequalis BK , & ordinatim ponatur HKquq erit parallela D I, cum sit B DI parabola; igitur vi , B K ad B D, ita est quadratum HK ad DI quadrarum. quia similiter ABC parabola est, recta ingulum , AF C ad AD Cest, ut linea E Fad B D lineam, hoc est ex constructione ut BR ad BD. sed ut te ctangillum ΑFC ad rectangulam AD C, ita quadratum FG ad quadratumI I. sCu . enim FG,DI sint normales ad AC quadrata rectangulis sunt aequalia. Igitis FG quadratum est ad quadratum D I, ut linea BK ad BD lineam, hoc est KH quadra tum ad DI quadratum. Igitur FG linea aequalis est lineae ΚΗ. sed Ze lanea EF aequalis est ex constructione rectae BK. igitur sunt aequales de similes parabolae EFG & B Κ H. de aequale habent latus tectum quod axibus B K M E F inseruit. Eodem
discursu ostendam quamlibet aliam parabolam axi parallelam aequalem esse ac simi. Iem parabolae Per axem. Omnes igitur parabolet axi cono ideos parallelet sunt aequales ac similes, liue Iatus rectum axibus inseruiens habent commune. Quod erat de-
Ati conoidis parabolici axem praebere.
cIteonoide; parabolicum ABC cuius basis AEC. Inuento centro baseos D, ex
Ieodem erigatur normaliter ad planum baseos recta DB. Dico BD fore axem.as
sumpto enim quouis puncto I in linea DB, fiat sectio FIGH quae aequidistet basi AE C. Deinde seeundem lineam BD sectio altera fac'ns communes sectiones G D E, quae r&undecimi erunt parallelae.iraque I Η, I G, IF aequales sunt, Et similiter D C, D E, D A:sed etiam IL aequalis est I G. quemadmodum & Κ D aequalis DE. Igitur quia DB secat omnes lineas in plano FGH plano baseos AEC parallelas bitariam,axis erit concideos parabolici per definitionem axis quam positimus.
562쪽
Deptinu parallelu quae conoides parabobcum interflant.
PROPOSITIO CXLl V. Ectiones parallelet in conoide parabolico similes figuras exhibent quae
Cloequidistant basi sectiones, circuli . sunr, Se consequen*r figura: similes. si eum basi
concurri int, erunt ellipses ostendendum au
tem est illas esse similes.fiat planum A C F per axem conoi deos rectum ad plana parallela ABC,DEF,erunt rectae AC,DPaxes sectionum A B C, D E F diuisis itaque Α C, DF Ilianeis proportionaliter in II dc G , erectis iudi H B, G E normaliter ad planum A CF,secun dii m illas rectas H B, G E plana ponantur basiconoideos parallelaiae proinde recta ad planuCAL: nempe plana IBK, LEM. quare de per defin. 3.vndec. erunt B H , E G normales ad rectas KD, AC, ML, DF. rectangit Ium ς ΑΗ C. est ad D GF rectanguluvi est I HKad L G M rectagulum, hoc est quoniam DH. EG normales suntad diametros D L, L Μ, vequadratum H B ad GR i unt igitur AB C. DEF ellipses similes uxta definitionem en
PL num per axem considis rectum ad quamlibet aliam seistionem , illius sectionis axem exhibebit. DemonLIratio.
Duplex hie est easus: alter quo secti ad qlia planum per axem est rectum, axi atqui distat: alter quo axi conoidis occurrit. Ponatur primum sectio G C E ad quam planum per axem Κ ΑΙ rectum est, aequid istare axi.per axem ponatur planu F Α H, paralleIum plano G CE, erunt ergo Α d, C D communes sectiones plani ΚΑΙ cum planis FAH, GCEd parallelς.Qtiare cum A B, utpote axis rectus
sit plano K F i, erit dc C D recta eidem plano. ergo D normaliter secat EG , quς est communis sectio planorum G C E, Κ FI .Insuper planum F Α Η, i rectum est plano K FI, ergo planum G C E , eidem parallelum, plano KFI tectum est i eii autem de planum ΚΑΙ
563쪽
rectum plano GCE. ergo communis eorum sectio ID K, recta est plano GCE. M' '- ergo de n. . undec. I DK recta est ad EDG. Quare cum ID K sit diameter, patec EG bisectam esse in D. Et quidem ut silpra ostendi, ad angulos rectos. ergo C D est axis sectionis CED. Secundum quoque casiam sic demonstrabimus. Sit iterum sectio ABC , plano A D C per axem D Eoccurrens secundum lineam A C ad angulos tectos. Dico A Caxem esse ellipseos A B C.ex puncto F, quo axis D E occurrit plano ABC, erigatur normaliter F B ad planum A D C. igitur si secundum , F B fiat sectio G B II basi co-noidis aequi distans, erit circulus Si quidem rectus η ad planum o D C, ac proinde FI aequalis F.B. quare cum PB recta se ad planum AD C, recta quoque erit definit 3.vndecim ad rectam AC. unde cum a recta A C dividatur bifariam recta BI. ad angulos rectos, patet rectam A C axem esse sectionis ABC.
I duae sectiones in conoide parabolico axi occurrentes aequi distantes fuerint, linea per viri usique centrum acti axi conoideos aequi distabit.
CInt plana parallela ABC, DEF, quorum centra H&I. Dico lineam ΗΙ aequi- - distare axi eonoideos. ostensiam si est sectiones ΑΒ C, D EF similes esse. praeterea di .. . demonstratum est η planum per axem concidis rectum ad sectiones ABC. DξFaxes earundem exhibere, planum igitur per axes AC, DF sectionum ABC.DEF 'i transiens est planii, quod per axem conoidis transit,sir igitur planum hoe D A G C F. Igitur D AF parabola est quet per axem transi ac proinde recta GHI, quae bifariam diuidit AC, D P, quae ιε. undeeimi sunt parallelae, sectionis DGF per axem eonoidis factae diameter est. Sunt autem omnes diametri axi sectionis aequidistantes igitur& GHI axi seetionis aequi distat.sed sectio D GF eumdem habet axem quem comides. ergo G HI axi conoideos aequidistat. Quod erat propositum. .
reae sectiones axi conoideos aequi distantes sertiuntur basium se
564쪽
CInt duae sectiones DBh maior & mi- not FGH, quarum axes sint BE, FH; factaque BI aequali FH, ponatur IK aequii istans ED: erit itaque B IK parabola aequalis FGH, ut ostensum est supra i sed parabola BED ad B IK, parabolam triplicatam habet rationem eiusquam habet recta b ED ad IK , hoc est HG. Igitur manifestum est sectiones axi. parallelas triplicatam habere rationem suarum basium. Quod erat demonstran
PROPOSITIO CXLVIII. COnoides parabolicum RAGὶ ad
eandem rationem habet, quam triangulum BAC ductum in rectangulum AC BI, ad triangulum FDE, ductum in rectangulum DFEK, hoc est quam prisma basim habes triangulum BAC, altitudinem C B, ad pii Ima basim h bens triangulum F D E,altitudinem F E. Demonstratio.
PEt ea quae demonstrauimus prop.129. huius,3 conoides est ad conoides, ut eorpora quae fiunt ex ductibus parabolarum in seipsas. sed haec aequantur solidis, quae fiunt ex triangulis BAC, FDE ductis in rectangula ACBI, DFEK. Ergo conoidium ratio eadem est quet solidorum factoriim ex ductibus triangulorum BAC , FDE in rectangula ACBI, DF ΕΚ. Quod erat demonstrandum. corosianum. DArtes conoideos parallelis ad basim planis abscissae, eam seruant rationem quam partes parabolae per axem ijsdem planis interceptaε, in se ductae , siue quam parces trianguli BC A ductae in altitudinem A I seu CB. Demonstrabitur discutis omnino simili.
Onoides parabolicum ad conoides parabolicum rationem habet compositam ex altitudine ad altitudinein,& ex basi ad basim .
565쪽
CONOIDES PARABOLICUM. Demon ratio.
Int duo conoides AB C,G EF. ostenden-Odum est conoides ABC ad conoidesu EF , habere rationem Compositam ex ratione basios AKC ad basini EI G, & ex ratione altitudinis BD ad FH altitudinem. pKcedenti propositione demonstratum est conoides ad conoides eam habere raelonem quam prisina habens basim triangulam BDA, N altitudinem DA ad prisina ex basi triangula FH E & altitudine HE. sed ratio illorum prismatum componitur ex ratione altitudinum DA, HE, S ex ratione triangularium basium B D A, H FE,lioe est rursu in ex ratione DA ad HB,&ex ratione BD ad FH. ergo ratio conoidium eomisponitur ex ratione DA ad HEbis sumpta, hoc est ex ratione circuli ΑΚ C ad circulum EI G, 8c ex ratione altitudinum conoidiearum B D, H F. Quod crat demo stran
conus inscriptus ad conum inscriptum.
Inteonoidibus inseripti eoni A B C, D E RODico conoides ad conoides eam habere rationem quam habet conus ABC ad DEF. Conus enim ad conum rationem habet compositam ex hasi circulari ΑΚ C ad basim D GF, & ex altitudine B H ad EI. sed prae cedenti propositione idipsum est demonstra.
tum de ratione conoidis ad corioides.ergo conus inscriptus ad conum inscriptum eam habet rationem quam conoides ad conoides, cum altitudines & bases communes existant.. e m
566쪽
1os CONOIDES PARABOLI CV M. PROPOSITIO CLI. Conoidis ABC secetur plano per axem BP Α,& alijs planis EFG,
H IK basi parallelis, occurrentibus plano A P B secundum communes intersectiones L H, M E. Dico partes con ideos eam sortiri inter se rationem quam partes trianguli inscri
CEgmenta illa conoLlica parallelis ad basim planis abscisse eam inter se rationem habent, . quam prismata quae fiunt cx partibus trianguli interceptis ijsidem planis ductis incommunem altitudinem A P. sed haec sunt ut partes trianis guli. ergo, & illa Quod erat propositum.
PROPOSITIO CLII. SEcetur axis eonoidis parabolici in E, F, G in partes aequales, actaque per axem plano ABC, ponantur E H, FI, G Κ parallelet basi A C de
sectiones fiant diuidentes conoides. a Dico partes conoidis planis illis a
scissas rationem continuare quae reperitur inter seriem numerorum I.3 3.7. oc C. Dinon iratIo.
CVnt enim partes conoidis inter se demonis stratae beandem seruare rationem quae reperitur in partibus trianguli A BD. sed partes ABD facile ostendutur rationem continuar quae inter seriem numeroru I. 3. .7.9. 3 c. reperitur;igitur etiam partes conoidicae eandem riem continuant. Qii Od fuit demonstrandum.
PROPOSITIO CLIII. DAtum conoides parabolicum diuidere secundum datam rationem sectione basi parallela.
constructis-demonuratio. It conoides parabolicum ABC diuidendum sectione quae basi ΑM C aequissi
stet,secundum rationem K ad L. fiat per axem BI sectio ABI, ductaque AB diuidatur triangulum ABI recta HG, quae rectae AC, aequidis et secundum rationem K ad L, &per HGplanum ponatur DEF, quod basi AMC aequidistet.Dico conoides
567쪽
eonoides ABC ad cono ideos partem DB F, eam rationem continere quam Κ ad L. ostensum enim est , conoides ad partem sui parallelo ad basim plano resectam eam rationem obtinere quam triangulum per axem ad partem siti: sed ex eo inructione triangulu ABI ad triangulum G BH, est ut linea K ad L. Igitur 6e conoides ABC ad partem ab . Iaram DBFE. eandem rationem K ad λ όbtineri Factum igitur quod postulatum fuit.
PROPOSITIO C L I V.COnoides ad partem sui parallelo basi plano ablatam eam sortitur ra
tionem, quae est duplicata axeos toti Us ad partem axeos ablatam.
D Eponatur praecedentis propositionis scema quo ABC conoides diuisum est pla-nno DEF paralleIobasi AM C. demonstratum iam est conoides ABC ad partem DB F, habere rationem eandem cum ration trianguli ABI ad GBH, quam cum ex elementis constet esse duplicatam rationis B Iad B H, manifestum est co-noides ABC ad sui partem DBF , duplicatam habere rationem altitudinis BIad B H. Conoidupara bes cum alijs corporibus comparatio.
PROPOSITIO CLV. PAr bolam A BC cuius
axis A D , contingat recta AK, axis parabolae A G C: perfecto deinde rectangulo HK , ponatur diagonalis Α C. Dico parabola A B C Hin se ductam ad triangulum AECH , ductum in
se, eam habere rationem quam sex adqIlatuor.
DVeantur parallelae FB EG ad ordinatim applicatam CR oniam ostensum
best lineas FD. BD, ED proportiopales esse, similiter ostensum est proportIO-. i. vinales esseςFD, ED, GD. ergo ABCH ductum in se aequatur g AECH ducto altitudinem AK de AECH ductum in se aequatur AK Ipitur quam rationem habet AB CH, ductum in se ad AECH in se ductum eam rationem habebunt superficies AECH, AG CH ductae in altitudinem A K. Vigitur duo corpora genita ex ductibus planorum AECH,A GC H in communem altitudinem AK, rtiantur basium suarum proportioirem, etiam AB CH, mseductum cum AECH aucto in se, habebit eandem basium proportionem, trianis
568쪽
gilli nimirum A E C H ad 'acium parabolicum A GCΗ, sed hanc esse rationem sex ad quatuor facile deducitur ex Corollario 236 de parabola. Quare etiam parabola AB CH ducta in se ad triangulum AECH in se ductum rationem continet
PROPOSITIO CXLVI. COnoides ad inscriptum conum
eam rationem obtinet quae est inter sex &.quatuor.
O Stensum est praecedenti propostione parabolam ADBG ductam in se ad
triangulum A F B G,in se ductum eam habere rationem quam sex ad quatuor: sed quam rationem habet parabola ADBG. ducta in se ad triangulum AFB G in seductum , eam quoque obtinet conoides AB C ad conum inseriptum A B C , elim quadrata parallelarum basi in parabola ad quadrata parallelarum basi in triangulo eandem inter se contineant rationem,quam circuli ijsdem parallelis, vir ijs descripti. ergo simili fere discursu quo usuum uxpeop. I 29.huius, concludemus propositum.
PROPOSITIO CLVII. JOnoides cylindri quo continetur dimidium est. Temonstratio.
beat inscriptum conoides DF C. In- uoto cylindri axe F M, qui & conoidi eo munis est, per eundem fiat sectio exhibens parabolam DFC: deinde describatur parabola DIF habens axem AD: ducantur qu GHIM KL parallelae ordinatim positae CD. ex ijs quς libro de parabola sunt deis monstrata erit quadratum G I aequalere. ctangulo GH L, unde per quadragesimam quintam libri de ductibus, GH ductum in H L, aequale solidum formabit magnitudiis ni quae sit ex duinii GI in seipsam, hoc est ex ductu HM in seipsum cum H M,I Gparabolae eaedem sint. Atqui GM ductum in ML aequale corpus proseri illis quae fiunt ex ductu GH in HL, & ex HM in M K: quod colligitur ex 46.de ductibus, cim rectangulum G ML aequetur rectanis gulis GHL, H MK. Igitur cum GH in HL, aequetur H M, ducto in seipsum siue in MΚ; patet G Μ ductum in duplum esse H M ducti in ΜΚ, siue in seip-b ηὐρ sed eandem habet rationem bGM ductum in ML, ad HM ductum in MK, '' habet eylindrus G L ad eonoides H Κ, cum quadrata G M ad quadrata H M, eandem rationem contineant cum circulorum ratione qui fiunt radijs G M de H M. Igitur etiam cylindrus G L duplus est conoidis inscripti.quod demonstrandum fuit. Breuius ex praecedenti, idem demonstrabitur. Cylindrus ambiens coni inscripti
569쪽
triplus ell, conoides vero eiusdem sesquialteri igitur si conus ponatur, a. erit conoides 3.cylindrus autem 6. Ex quo patet propositum.
PROPOSITIO CLVIII. COnoldi ABC inscribatur qui cunisque cylindrus D G H F.
Oporteat rationem conoidis ad cylindrum inscriptum notam facere. Demonstratio.
Stensiim est cylindrum cui conoides in- - scribitur, duplii esse cono ideos inscripti. Igitur rἡtio cylindri super basi A IC , & altituitne KB ad cyluidru,cuius basis est D GH, Et altitudo I H, dupla , est eius quam habet ratio conoi deos ABC ad eundem cylladium inscriptum, nota igitur est ratio conoidis ad inscriptum cyIindrum, clim nota sit ratio cuis 'iusuis cylindri ad quem uis cylindrum.
inscriptum, oc plano F H G posito, quod aequi distet basi AD C , nat cylindrus FHGI, continens conoides FBG, o fiat sectio 2 BC per commu
Dico cylindrum ADCE ad cylindrum FH Gl habete quadruplicatam rationem A C ad G F lineam. Demonstratio.
CYlindrus enim ADCE ad FHGI, rationem habet compesitam ex basi ADC ad basim F H G, quae duplicata est rationis A C ad F G, & ex ratione altitudinis C E ad GI, hoc est KB ait B L, quq est: pariter duplicata .b rationis AC ad FG, eum sectio per BK, axem conoidis exhibeat parabolam AB C. unde cum ratio BR ad B L, ducta in rationem duplicatam AC ad GF. producat quadruplicatam AC ad GF, mani testum fiecylindrum ADCE ad cylindrum FHGI, quadruplicatam quoque habere rationem eius quam AC habet ad FG.
570쪽
SIt quaevis pars conoidis parabolici ABC, habens basim ellipticam
A G C, super qua cylindrus construatur continens conoi deos partem ablatam ΑΒ C; &super eadem basi formetur conus inscriptus cono idi: sat deinde quaevis sectio quae aequi distet basi ellipticς ', formans ternasseetiones, unam in cylindro H I K, secundam in conoide L M N, tertiam in cono O Pra Dico tres lias sectiones esse inter se similes. DemonHratio.
solidum A GCF supponatur esse cylindeus, setiio AG C similis Ac aequalis erit sectioni III K: sed quia
demonstratum est a omnes sectiones in conoide parallelas similes esse, etiam se. ctio LMN similis es sectioni AGCr. quia vero etiam demonstratum est in cono sectiones parallelas quae exhibentellipses, similes existere , etiam sectio O PQ similis erit sectioni AG C. Igitur omnes tres ΗΙΚ, L MN, o PQ sectiones similes sint basi AG C, Mconsequenter inter se. Quod erat d monstrandum.
Cint duae parabolae quarum una ABC sit recta, habens nimirum o o di natim positas ad angulos rectos, altera DEF obliqua cuius nimiruordinatim positae ad diametrum EH, non faciant eum diametro rectos angulos. sint autem tam diametri BG, E H quam C A, DF ordinatim ad eas constitutae, aequales inter se.
Dico B G C ductum in se ad angulos rectos ad Eo FH ductum in se ad angulos obliquos EHF, eam sortiri rationem quae composita est ex triangulo Α Β G ad D E H, & ex Α G seu G C ad FI, normalem ad EH.